求數(shù)列極限的十五種解法

PAGE求數(shù)列極限的十五種方法1．定義法定義：設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱數(shù)列收斂于；記作：，否則稱為發(fā)散數(shù)列．例1．求證：，其中．證：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立．當(dāng)時(shí)，記，則，由，得，任給，則當(dāng)時(shí)，就有，即，即．當(dāng)時(shí)，令，則，由上易知：，∴．綜上，，其中．例2．求：．解：變式：；∴，∴，，則當(dāng)時(shí)，有；∴．2．利用柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則：數(shù)列收斂的充要條件是：，正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，總有：成立．例3．證明：數(shù)列為收斂數(shù)列．證：，，取，當(dāng)時(shí)，有，由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列收斂．例4．（有界變差數(shù)列收斂定理）若數(shù)列滿足條件：，，則稱為有界變差數(shù)列，試證：有界變差數(shù)列一定收斂．證：令，那么單調(diào)遞增，由已知可知：有界，故收斂，從而，正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有；此即；由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列收斂．注：柯西收斂準(zhǔn)則把定義中的與的關(guān)系換成了與的關(guān)系，其優(yōu)點(diǎn)在于無需借用數(shù)列以外的數(shù)，只需根據(jù)數(shù)列本身的特征就可鑒別其斂散性．3．運(yùn)用單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理：在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限．例5．證明：數(shù)列（個(gè)根式，，）極限存在，并求．證：由假設(shè)知；①用數(shù)學(xué)歸納法可證：；②此即證是單調(diào)遞增的．事實(shí)上，；由①②可知：?jiǎn)握{(diào)遞增有上界，從而存在，對(duì)①式兩邊取極限得：，解得：和（舍負(fù)）；∴．4．利用迫斂性準(zhǔn)則（即兩邊夾法）迫斂性：設(shè)數(shù)列、都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有：，則數(shù)列收斂，且．例6．求：．解：記：，則：；∴；從而，∴由迫斂性，得：．注：迫斂性在求數(shù)列極限中應(yīng)用廣泛，常與其他各種方法綜合使用，起著基礎(chǔ)性的作用．5．利用定積分的定義計(jì)算極限黎曼積分定義：設(shè)為定義在上的一個(gè)函數(shù)，為一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì)的任意分割，在其上任意選取的點(diǎn)集，，只要，就有，則稱函數(shù)在上（黎曼）可積，數(shù)為在上的定積分，記作．例7．求：．解：原式．例8．求：．解：因?yàn)椋?，又：∴；同理：；由迫斂性，得：．注：?shù)列極限為“有無窮多項(xiàng)無窮小的和的數(shù)列極限，且每項(xiàng)的形式很規(guī)范”這一類型問題時(shí)，可以考慮能否將極限看作是一個(gè)特殊的函數(shù)定積分的定義；部分相關(guān)的數(shù)列極限直接利用積分定義可能比較困難，這時(shí)需要綜合運(yùn)用迫斂性準(zhǔn)則等方法進(jìn)行討論．6．利用（海涅）歸結(jié)原則求數(shù)列極限歸結(jié)原則：對(duì)任何，有．例9．求：．解：．例10．計(jì)算：．解：一方面，；另一方面，；由歸結(jié)原則：（?。?，；由迫斂性，得：．注：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而函數(shù)又具有連續(xù)、可導(dǎo)、可微、可積等優(yōu)良性質(zhì)，有時(shí)我們可以借助函數(shù)的這些優(yōu)良性質(zhì)將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，從而使問題得到簡(jiǎn)化和解決．7．利用施托爾茨（）定理求數(shù)列極限定理1：型：若是嚴(yán)格遞增的正無窮大數(shù)列，它與數(shù)列一起滿足：，則有，其中為有限數(shù)，或，或．定理2：型：若是嚴(yán)格遞減的趨向于零的數(shù)列，時(shí)，且，則有，其中為有限數(shù)，或，或．例11．求：．解：令，則由定理1，得：．注：本題亦可由方法五（即定積分定義）求得，也較為簡(jiǎn)便，此處略．例12．設(shè)，求：．解：令，則單調(diào)遞增數(shù)列，于是由定理2得：．注：定理是一種簡(jiǎn)便的求極限方法，特別對(duì)分子、分母為求和型，利用定理有很大的優(yōu)越性，它可以說是求數(shù)列極限的洛必達(dá)（）法則．8．利用級(jí)數(shù)求和求數(shù)列極限由于數(shù)列與級(jí)數(shù)在形式上的統(tǒng)一性，有時(shí)數(shù)列極限的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)求和，從而通過級(jí)數(shù)求和的知識(shí)使問題得到解決．例13．求：，．解：令，則，考慮級(jí)數(shù)：．∵，∴此級(jí)數(shù)是收斂的．令，再令，∵；∴；而；因此，原式=．9．利用級(jí)數(shù)收斂性判斷極限存在由于級(jí)數(shù)與數(shù)列在形式上可以相互轉(zhuǎn)化，使得級(jí)數(shù)與數(shù)列的性質(zhì)有了內(nèi)在的密切聯(lián)系，因此數(shù)列極限的存在性及極限值問題，可轉(zhuǎn)化為研究級(jí)數(shù)收斂性問題．例14．設(shè)，，證明：數(shù)列收斂，并求極限．證：由，可得：，令，則，且，考慮級(jí)數(shù)：；由于；所以，級(jí)數(shù)收斂，從而收斂．令，∵存在，∴（存在）；對(duì)式子：，兩邊同時(shí)取極限：，∴或（舍負(fù)）；∴．例15．證明：存在．（此極限值稱為常數(shù)）．證：設(shè)，則；對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，可得：，所以；因?yàn)槭諗浚杀容^判別法知：也收斂，所以存在，即存在．10．利用冪級(jí)數(shù)求極限利用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式，常常易求出一些特殊形式的數(shù)列極限．例16．設(shè)，若，求：．解：對(duì)于固定的，當(dāng)時(shí)，單調(diào)趨于無窮，由公式，有：．11．利用微分中值定理求極限拉格朗日中值定理是微分學(xué)重要的基本定理，它利用函數(shù)的局部性質(zhì)來研究函數(shù)的整體性質(zhì)，其應(yīng)用十分廣泛．下面我們來看一下拉格朗日中值定理在求數(shù)列極限中的應(yīng)用．例17．求：，．解：設(shè)，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得：，故當(dāng)時(shí)，，可知：原式．12．巧用無窮小數(shù)列求數(shù)列極限引理：數(shù)列收斂于的充要條件是：數(shù)列為無窮小數(shù)列．注：該引理說明，若，則可作“變量”替換：令，其中是一個(gè)無窮小數(shù)列．定理1：若數(shù)列為無窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無窮小數(shù)列，反之亦成立．定理2：若數(shù)列為無窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無窮小數(shù)列．推論1：設(shè)數(shù)列為無窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無窮小數(shù)列．例18．（算術(shù)平均收斂公式）設(shè)，求極限．解：由，作“變量”代換，令，其中是一無窮小數(shù)列；由定理2的結(jié)論有：．此題還可以用方法1（定義法）證明，也可通過方法7（公式）求得，此處略．例19．設(shè)，，求極限．解：由，，作“變量”代換，令，，其中，都是一無窮小數(shù)列，故因?yàn)椋杂薪鐢?shù)列，即，從而結(jié)合上述推論1，有：，再根據(jù)定理1，即有：；又由定理2，可知：，；∴．注：利用無窮小數(shù)列求數(shù)列極限通常在高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教材中介紹甚少，但卻是一種很實(shí)用有效的方法．用這種方法求某類數(shù)列的極限是極為方便的．13．利用無窮小的等價(jià)代換求某些函數(shù)列的極限定理：設(shè)函數(shù)、在的某個(gè)領(lǐng)域有意義，，，且當(dāng)時(shí)，，，則在右端極限存在時(shí)成立．例20．求極限．解：令，，當(dāng)時(shí)，，由定理1，得：．例21．求：，（為非零常數(shù)）．解：原式；令，當(dāng)時(shí)，，由定理1，得：；∴．注：我們知道，當(dāng)時(shí)，函數(shù)都與等價(jià)，倘若熟悉這些等價(jià)函數(shù)，觀察它們與本文定理中的的關(guān)系，把求某些函數(shù)列極限問題轉(zhuǎn)化為求熟知的數(shù)列極限問題，這樣就會(huì)起到事半功倍的效果．14．利用壓縮映射原理求數(shù)列極限定義1：設(shè)在上有定義，方程在上的解稱為在上的不動(dòng)點(diǎn)．定義2：若存在一個(gè)常數(shù)，且，使得有，則稱是上的一個(gè)壓縮映射．壓縮映射原理：設(shè)稱是上的一個(gè)壓縮映射且，，對(duì)，有，則稱在上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，且．例22．設(shè)，，，求．解：考察函數(shù)，，易見對(duì)，有：，，；所以，是壓縮的，由壓縮映射原理，數(shù)列收斂．設(shè)，則是在的解，解得，即．例23．證明：數(shù)列（個(gè)根式，，）極限存在，并求．解：易知：，考察函數(shù)：，且在上有：，因此，在上是壓縮的；，，由壓縮映射原理，數(shù)列收斂且極限為方程：的解，解得：．本題也可通過方法三（單調(diào)有界定理）解得，此處略．注：壓縮映射原理在實(shí)分析中有著十分廣泛的應(yīng)用，如用它可十分簡(jiǎn)單的證明穩(wěn)函數(shù)存在定理、微分方程解的存在性定理，特別的在求一些數(shù)列極限中有著十分重要的作用，往往可以使數(shù)列極限問題得到簡(jiǎn)便快速的解決．15．利用矩陣求解一類數(shù)列的極限（1）若數(shù)列的遞推公式形如：且已知，其中為常數(shù)且，，；解：可將遞推公式寫成矩陣形式，則有，，從而可利用線性代數(shù)知識(shí)求出的表達(dá)式，并進(jìn)一步求出．（2）若數(shù)列的遞推公式形如：且已知，其中且，，解法1：令，則，，從而有：，整理得：，再由（1）可以求解．解法2：設(shè)與關(guān)系式對(duì)應(yīng)的矩陣為，由關(guān)系式；逐次遞推，有，其對(duì)應(yīng)的矩陣為，利用數(shù)學(xué)歸納法易證得，通過計(jì)算可求出的表達(dá)式，并進(jìn)一步求出．例24．證明：滿足遞推公式的任何實(shí)數(shù)序列有一個(gè)極限，并求出以、及表示的極限．解：由已知可得：，（）；矩陣的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為：；令，則，從而有：；于是