《離散型隨機(jī)變量及其分布列》同步練習(xí)

《離散型隨機(jī)變量及其分布列》同步練習(xí)一、選擇題1．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ－101P則ξ最可能出現(xiàn)的值是()A． B．－1C．0 D．1解析：因?yàn)镻(ξ＝－1)＝，P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，所以ξ最可能出現(xiàn)的值是－1.故選B.答案：B2．某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為X45678910P則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為()A． B．C． D．解析：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝＋＋＝.答案：C3．離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值為()\f(2,3) B．eq\f(3,4)\f(4,5) D．eq\f(5,6)解析：由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋\f(1,3×4)＋\f(1,4×5)))×a＝1，知eq\f(4,5)a＝1，解得a＝eq\f(5,4).故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝P(1)＋P(2)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,4)＋eq\f(1,6)×eq\f(5,4)＝eq\f(5,6).答案：D4．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于()A．0 B．eq\f(1,2)\f(1,3) D．eq\f(2,3)解析：設(shè)X的分布列為X01Pp2p即“X＝0”表示試驗(yàn)失敗，“X＝1”表示試驗(yàn)成功，設(shè)失敗率為p，則成功率為2p.由p＋2p＝1，則p＝eq\f(1,3)，故應(yīng)選C.答案：C5．帶活動(dòng)門的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，現(xiàn)隨機(jī)地放出5只做實(shí)驗(yàn)，X表示放出的蜂中工蜂的只數(shù)，則X＝2時(shí)的概率是()\f(C\o\al(1,20)C\o\al(4,10),C\o\al(5,30)) B．eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(3,10),C\o\al(5,30))\f(C\o\al(3,20)C\o\al(2,10),C\o\al(5,30)) D．eq\f(C\o\al(4,20)C\o\al(1,10),C\o\al(5,30))解析：X服從超幾何分布，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(3,10),C\o\al(5,30)).答案：B6．一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為P(X)，則P(X＝4)的值為()\f(1,220) B．eq\f(27,55)\f(27,220) D．eq\f(21,25)解析：由題意取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球1個(gè)新球，故P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,9),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).答案：C二、填空題7．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1<x2，則P(x1≤ξ≤x2)等于________．解析：由分布列性質(zhì)可有：P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．答案：1－(α＋β)8．從4名男生和2名女生中選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過(guò)1人的概率是________．解析：設(shè)所選女生人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，則P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)9．已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________．解析：設(shè)ξ取x1，x2，x3時(shí)的概率分別為a－d，a，a＋d，則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，∴a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0,\f(1,3)＋d≥0))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))三、解答題10．從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中，每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn)，直到摸到的球中有紅球(不放回)，則試驗(yàn)結(jié)束．(1)求第一次試驗(yàn)摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率．(2)記試驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列．解：(1)記“第一次試驗(yàn)摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,6),C\o\al(2,8))＝eq\f(3,7).(2)由題意知X＝1,2,3,4，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,8))＝eq\f(13,28)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,8))×eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(9,28)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,8))×eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))×eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(5,28)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,8))×eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))×eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))×eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,2))＝eq\f(1,28)，所以X的分布列為X1234Peq\f(13,28)eq\f(9,28)eq\f(5,28)eq\f(1,28)11.某校校慶，各屆校友紛至沓來(lái)，某班共來(lái)了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，組委會(huì)對(duì)這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”．(1)若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于eq\f(1,2)，求n的最大值；(2)當(dāng)n＝12時(shí)，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為ξ，求ξ的分布列．解：(1)由題意可知，所選2人為“最佳組合”的概率為eq\f(C\o\al(1,n－6)C\o\al(1,6),C\o\al(2,n))＝eq\f(12n－6,nn－1)，則eq\f(12n－6,nn－1)≥eq\f(1,2)，化簡(jiǎn)得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，故n的最大值為16.(2)由題意得，ξ的可能取值為0,1,2，則P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,12))＝eq\f(5,22)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,6),C\o\al(2,12))＝eq\f(6,11)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,12))＝eq\f(5,22)，ξ的分布列為ξ012Peq\f(5,22)eq\f(6,11)eq\f(5,22)1．一位客人游覽福州鼓山、福州永泰天門山、福州青云山這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是,,，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)Y表示客人離開福州市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值．求Y的分布列．解：分別記“客人游覽福州鼓山”，“客人游覽福州永泰天門山”，“客人游覽福州青云山”為事件A1，A2，A3.因?yàn)槭录嗀1，A2，A3是相互獨(dú)立的，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.由于客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0,1,2,3，相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3,2,1,0，所以Y的所有可能取值為1,3.所以P(Y＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(eq\x\to(A)1·eq\x\to(A)2·eq\x\to(A)3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(eq\x\to(A)3)＝2×××＝，P(Y＝1)＝1－＝，所以Y的分布列為Y13P2．在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地隨機(jī)抽取兩張卡片，記第一次抽取的卡片的標(biāo)號(hào)為x，第二次抽取的卡片的標(biāo)號(hào)為y，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x－2，x－y)，記ξ＝|eq\o(OP,\s\up6(→))|2，(1)求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求“ξ取最大值”的概率．(2)求隨機(jī)變量ξ的分布列．解：(1)因?yàn)閤，y可能的取值為1,2,3，所以|x－2|≤1，|x－y|≤2，所以ξ＝(x－2)2＋(x－y)2≤5.且當(dāng)x＝1，y＝3或x＝3，y＝1時(shí)，ξ＝5，因此，隨機(jī)變量ξ的最大值為5.又因?yàn)橛蟹呕氐仉S機(jī)抽取兩張卡片共有3×3＝9種情況，所以P(ξ＝5)＝eq\f(2