公約數(shù)與公倍數(shù)問題

知識框架數(shù)學(xué)運算問題一共分為十四個模塊，其中一塊是計算問題。公約數(shù)與公倍數(shù)問題是計算問題中數(shù)的性質(zhì)里面的一種。整除問題余數(shù)問題數(shù)的性質(zhì)皿公約數(shù)與公倍數(shù)問題計算問題偶性與質(zhì)合性問題數(shù)字問題算式汁算在公務(wù)員的考試中，公約數(shù)與公倍數(shù)問題考查點只有兩種類型。無論生活場景如何改變，同學(xué)只要牢牢把握這兩種類型，就能輕松搞定公約數(shù)與公倍數(shù)問題。兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)'■公約數(shù)與公倍數(shù)問題'■公約數(shù)與公倍數(shù)問題三個數(shù)的最大公的數(shù)和最小公倍數(shù)核心點撥1.題型簡介（1）約數(shù)與倍數(shù)若數(shù)a能被b整除，則稱數(shù)a為數(shù)b的倍數(shù)，數(shù)b為數(shù)a的約數(shù)。其中，一個數(shù)的最小約數(shù)是1，最大約數(shù)是它本身。（2）公約數(shù)與最大公約數(shù)幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個，稱為這幾個自然數(shù)的最大公約數(shù)。（3）公倍數(shù)與最大公倍數(shù)幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個，稱為這幾個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。考試題型一般是已知兩個數(shù)，求它們的最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)。2.核心知識（1）兩個數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)一般采用短除法，即用共同的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，直到所得的商互質(zhì)為止。A、把共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來，就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。B、把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)連乘起來，就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。如：求24、36的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z22436121S6923（2、3互質(zhì)）24、36的最大公約數(shù)為其共同質(zhì)因數(shù)的乘積，即2X2X3=12；24、36的最小公倍數(shù)為其共同質(zhì)因數(shù)及獨有質(zhì)因數(shù)的乘積，即（2X2X3）X（2X3）=72。（2）三個數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)A、求取三個數(shù)的最大公約數(shù)時，短除至三個數(shù)沒有共同的因數(shù)（除1外），然后把所有共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來。B、求取三個數(shù)的最小公倍數(shù)時，短除到三個數(shù)兩兩互質(zhì)，然后把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)連乘起來。如：求24、36、90的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。2d36W12IS45TOC\o"1-5"\h\z615（4、6.15除1以外沒有共同的因數(shù)）24、36.9。的最大公約數(shù)為2X3二或￡4比90121日始4615（4、B有公倍數(shù)2）一:赭（3^L5有公倍數(shù)3）215（2,5互質(zhì)）24.36.日0的匿小公倍數(shù)為￡M3X2X3X2X1X5=3633.核心知識使用詳解（1）兩個數(shù)如果存在著倍數(shù)關(guān)系，那么較小的數(shù)就是其最大公約數(shù)，較大的數(shù)就是其最小公倍數(shù)。（2）互質(zhì)的兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。（3）利用短除法求取三個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時要注意二者的區(qū)別：求取三個數(shù)的最大公約數(shù)時，只需短除到三個數(shù)沒有共同的因數(shù)（除l外）即可;而求取三個數(shù)的最小公倍數(shù)時，需要短除到三個數(shù)兩兩互質(zhì)為止。（4）多于三個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的求法與三個數(shù)的求法相似。夯實基礎(chǔ)解法九成熟，題目精挑細(xì)選，考試中60%的基礎(chǔ)題，基本搞定！1.兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)例1：（2005．福建）48與108的最大公約數(shù)是：A.6B.8C.24D.12【答案】D【解析】［題鑰］“48與108的最大公約數(shù)”，兩者沒有倍數(shù)關(guān)系，可以選用短除法來求最大公約數(shù)。［解析］24SIOSTOC\o"1-5"\h\z224543122749短除法：4和9除1以外沒有共同的因數(shù)；最大公約數(shù)：把共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來，就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)，故48和108的最大公約數(shù)為：2X2X3=12。因此，選D。2.三個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)例2：三根鐵絲，長度分別是120厘米，180厘米，300厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段？A.8B.9C.10D.11【答C案】【［題鑰］解這道例題中隱含了最大公約數(shù)的關(guān)系?！敖爻上嗟鹊男《巍保礊榍笕龜?shù)的析】公約數(shù)，“最少可截成多少段”，即為求最大公約數(shù)。［解析］短除法：2120ISO300TOC\o"1-5"\h\z2609015033045755I1015252352、3、5除以1以外沒有共同的因數(shù)；最大公約數(shù)：把共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來，就是這三個數(shù)的最大公約數(shù)，故120、180和300的最大公約數(shù)為：2X2X3X5=60。所以每小段的長度最大是60厘米，一共可截成120?60+180+60+300?60=10段。因此，選C。進階訓(xùn)練解法九成熟，剩下35%的中等題也能搞定，考試成功更進一步！1.兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)例3：（2007．江西）能被15和12整除的最小正整數(shù)是：A.60B.120C.180D.30【答案】A【解析】［題鑰］“能被15和12整除的最小正整數(shù)”即為15和12的最小公倍數(shù)，采用短除法來求最小公倍數(shù)［解析］短除法：315125和4除1以外沒有共同的因數(shù)；最小公倍數(shù)：把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)連乘起來，就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，所以15和12的最小公倍數(shù)為：3義5義4=60。因此，選A。2.三個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)例4：6枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高，如果用1分、2分、5分硬幣分別疊成的三個圓柱體一樣高，這些硬幣的幣值為4元4角2分，那么這三種硬幣總共有多少枚？A.180B.181C.182D.183【答案】C【解析】［題鑰］此題解題的關(guān)鍵點是要確定多少枚1分、2分或5分的硬幣疊成的圓柱體高度相同。［解析］根據(jù)“6枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高”，其中6、5、5的最小公倍數(shù)為30，則：36枚1分硬幣、30枚2分硬幣、25枚5分硬幣疊成的圓柱體一樣高；此時這些硬幣的幣值之和為221分，恰好為2元2角1分，是4元4角2分的一半，故4元4角2分由72枚1分硬幣、60枚2分硬幣和50枚5分硬幣組成，即共有硬幣72+60+50=182枚。因此，選C。例5.（2008.國考）甲、乙、丙、丁四個人去圖書館借書，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他們四個人在圖書館相遇，問下一次四個人在圖書館相遇是幾月幾號？A.10月18日B.10月14日C.11月18日D.11月14日【答案】D【解析】［題鑰］每隔n天去一次即每（n+1）天去一次，該題轉(zhuǎn)化為求6、12、18、30這四個數(shù)的最小公倍數(shù)問題。［解析］每隔n天去一次即每（n+1）天去一次，那么：甲每5+1=6天去一次