晶體的宏觀對稱

晶體的宏觀對稱第三章

晶體的宏觀對稱與分類晶體的宏觀對稱與分類一、對稱的概念二、晶體對稱的特點三、晶體的宏觀對稱要素和對稱操作四、對稱要素的組合五、32個對稱型（點群）及其推導六、晶體的對稱分類七、五次對稱軸、二十面體與準晶對稱性在日常生活中很常見但對稱的概念還有更深邃和更廣泛的含義：建造大自然的密碼；變換中的不變性；審美要素。對稱的概念還在不斷被科學賦予新意。一、對稱的概念對稱（symmetry)：物體相同部分有規(guī)律的重復。其相同部分可以是相同形狀，或相同物理性質(zhì)。

對稱的條件：①必須具有若干個彼此相同的部分；②這些相同部分通過一定的操作彼此有規(guī)律地重合。石榴子石晶體綠柱石晶體二、晶體對稱的特點晶體的對稱包括宏觀和微觀兩方面，具有三個特點：①普遍性：一切晶體都是對稱的。②特殊性：晶體的對稱是有限的，它受晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)嚴格控制，如對稱軸只出現(xiàn)一、二、三、四和六次對稱軸。③雙重性：晶體的對稱不僅包含著幾何意義，也包含著物理意義；不僅體現(xiàn)在外形上，也體現(xiàn)在性質(zhì)上。石英晶體磷灰石晶體

石鹽晶體不同切面上的硬度曲線三、晶體的宏觀對稱要素對稱操作：對稱變換，使物體或圖形的相同部分重復出現(xiàn)所進行的操作（如旋轉(zhuǎn)、反映、反伸等）。對稱要素：在進行對稱操作時所憑借的一些假想的幾何要素——點、線、面。

對稱中心（C）對稱軸（Ln）對稱面（P）

1.對稱面（P）

☆P

操作為反映,也稱鏡面（mirror）.

將圖形平分為互為鏡像的兩個相等部分。晶體上的對稱面，通常不將之轉(zhuǎn)化為點，而是直接投影成一條直線或弧線。Φ=0°a5a2a3a4●●●●●a6a1立方體的6個晶面投影點和9個對稱面的投影☆對稱面(P)

可能出露的位置：①垂直平分晶面和晶棱；②包含一對晶棱，并平分晶面夾角?！顚ΨQ面(P)檢驗方法：垂直等距，鏡像反映。

看兩相等部分上對應點的連線是否與P垂直等距。若是則為鏡像反映關系?！罹w中可以無P,也可以有多個對稱面存在，如3P、6P、9P等.但最多不超過9P.

2．對稱中心（C）

對稱操作為反伸

只可能在晶體中心，只可能一個。

☆晶體具C的標志：晶體上所有的晶面均兩兩平行、同形等大、方向相反。

☆確定晶體（或模型）有無C的方法：

將晶體（模型）置于桌面上檢驗。

凡是有對稱中心的晶體，晶面總是成對出現(xiàn)且

兩兩反向平行、同形等大。3．對稱軸

(Ln

)1）軸次(n)：旋轉(zhuǎn)360°時，相同部分重復出現(xiàn)的次數(shù)。2）基轉(zhuǎn)角(α)：使相同部分重復出現(xiàn)所必須旋轉(zhuǎn)的最小角度。

n=360°/α返回L6☆對稱軸—LnL2L3L4L6

晶體中Ln可能出露的位置：①晶面的中心：兩相對晶面中心的連線。②晶棱的中點：兩相對晶棱中點的連線。③角頂上：兩相對角頂?shù)倪B線；或者一個角頂和與之相對的一個晶面中心的

連線。對稱軸的平面表示方法

L2L3L4L6晶體對稱定律

晶體中只可能出現(xiàn)軸次為一次、二次、三次、四次和六次的對稱軸（L1、L2、L3、L4和L6），而不可能存在五次及高于六次的對稱軸。①、直觀理解②、數(shù)學證明：t’=mtt’=2tCOS(180?-)+t=-2tcos+tmt=-2tcos+t2cos=1-m

cos=(1-m)/2-21-m2m=-1,0,1,2,3相應的＝0或2/3/22/3（但是，在準晶體中可以有5、8、10、12次軸）對應的Ln

＝L1L6L4L3L2

tt’ttAA’BB’4．旋轉(zhuǎn)反伸軸

(Lin)1）對稱操作：旋轉(zhuǎn)＋反伸（倒反）

Lin的特點：

晶體圍繞該直線旋轉(zhuǎn)一定的角度，并對該直線上的一個定點進行反伸，可使晶體上的相同部分相互重合。P.27圖3-9返回Li4

Lin

操作為旋轉(zhuǎn)+反伸的復合操作:

Li

1=C

Li

2=P

Li

3=L3C

Li

4

Li

6=L3P無論先旋轉(zhuǎn)后反伸，還是先反伸后旋轉(zhuǎn)，效果完全相同。2）Lin與簡單對稱要素或其組合的等效關系：Li1＝L1＋C＝CLi2＝L1＋P⊥＝P（P⊥Li2）Li3＝L3＋C（L3∥Li3）Li6＝L3＋P⊥（L3∥Li6，P⊥L3）Li4不能用簡單對稱要素或其組合表示；Li6具有獨立意義！

注意判別！5．旋轉(zhuǎn)反映軸(Lsn)對稱操作：旋轉(zhuǎn)

＋

反映

所有的旋轉(zhuǎn)反映軸均可由其他簡單的對稱要素或組合表示，沒有獨立的意義，

不作強調(diào)。四、晶體的宏觀對稱要素的組合一個晶體可以擁有多個對稱要素，這些對稱要素之間相互必須滿足相互間的對稱。根據(jù)這一規(guī)律，對稱要素間的組合關系可歸納成以下幾個組合定律：對稱要素組合定理舉例：定理1：LnL2LnnL2

(L2與L2的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一半)逆定理：L2與L2相交，在其交點且垂直兩L2會產(chǎn)生Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩L2夾角的兩倍。并導出n個在垂直Ln平面內(nèi)的L2。例如:L4L2L44L2,L3L2L33L2思考:兩個L2相交30°,交點處并垂直L2所在平面會產(chǎn)生什么對稱軸?定理2：LnPLnP

C(n為偶數(shù))逆定理：LnCLnP

C(n為偶數(shù))PCL2PC

說明L2、P

、C三者中任兩個可以產(chǎn)生第三者

對稱要素組合定理1.Ln×L2⊥→LnnL22.Ln×P∥→LnnP3.Ln×P⊥＝Ln×C→LnPC（n為偶數(shù)）4.Lin×P∥＝Lin×L2⊥→Lin（n∕2）L2（n∕2）P(n為偶數(shù)）→LinnL2nP（n為奇數(shù)）5.Ln×P∥×L2⊥→LnnL2(n+1)PC(n為偶數(shù))→LnnL2nPC(n為奇數(shù))

五、晶體32個對稱型及其推導1、對稱型（點群）：1）對稱型*：晶體宏觀對稱要素之組合。

由于這些對稱要素相交于晶體的幾何中心，故對稱型也稱為點群*。2）對稱型（點群）的全面符號（一般符號）的書寫方式為：

對稱軸（先高次，后低次）+對稱面+對稱中心

如：立方體的對稱型（點群）符號應寫為3L44L36L29PC從群論推導證明，晶體中可能出現(xiàn)的對稱型（點群）總共只有32種。（P32表3-4）32個對稱型分類見表3-4。

2、晶體對稱要素的極射赤平投影1）對稱面：平移至投影中心與球面交線的赤平投影。

同于晶體上雙晶面、雙晶結(jié)合面的投影。水平的：水平大圓，即基圓。（虛線表示無P）直立的：為直線。傾斜的：以基圓直徑為弦的大圓弧。2）對稱軸：平移至投影中心與球面相交點的赤平投影。同于晶體上的各種直線（晶面法線、結(jié)晶軸、晶棱、晶帶軸、雙晶軸）的投影。表示方法…水平的：在基圓上。直立的：在基圓中心。傾斜的：在基圓內(nèi)。返回立方體（3L44L36L29PC）對稱要素的

極射赤平投影m1m2r1r2r5r63、對稱型的推導：

根據(jù)對稱要素的組合定理進行直觀推導。對稱要素的組合分類：A類：高次軸不多于一個的組合；B類：高次軸多于一個的組合。1）A類對稱型推導：27種

A類對稱要素可能的組合有7種情況：表3-2P37。2）B類對稱型的推導：5種對稱型推導簡表共同式LnLinLnnL2

LnP(C)

LnnPLn(偶)nL2(n+1)P(C)Ln（奇）nL2nP(C)

Lin（偶）(n/2)L2(n/2)P

A類n=1L1Cn=2L2PL2PC3L2L22P3L23PCn=3L3L3CL33L2L33PL33L23PCn=4L4Li4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi42L22Pn=6L6Li6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi63L23PB類3L44L33L44L36L23L24L33PC3Li44L36P3L44L36L29PC六、晶體的對稱分類晶體是根據(jù)其對稱特點進行合理的科學分類的。

1、屬于同一對稱型的所有晶體歸為一類，稱為晶類。晶體的32種對稱型即分為32個晶類。

晶類的名稱由單形的一般形的名稱確定。見P32表3-4

2、根據(jù)高次軸的有無及個數(shù)，將晶體劃分為3個晶族1）低級晶族：無高次軸2）中級晶族：只有一個高次軸。3）高級晶族：有多個高次軸。3根據(jù)各晶族的對稱特點（Ln或Lin的軸次高低及其個數(shù)）共劃分為七個晶系：①

三斜晶系（triclinicsystem）：無L2，也無P。②

單斜晶系（monoclinicsystem）：L2或P不多于1個。③

斜方晶系（正交晶系，orthorhombicsystem）：L2或P多于1個。④三方晶系（trigonalsystem）：唯一的高次軸為L3。⑤四方晶系（正方晶系，tetragonalsystem）：L4或Li4只有1個。⑥六方晶系（hexagonalsystem）：L6或Li6只有1個。⑦

等軸晶系（isometricsystem）（立方晶系，cubicsystem）：有4L3。

P35表3-4晶體的對稱分類應熟記！P36表3-532對稱型按物性分類表3-632對稱型按在自然界礦物中出現(xiàn)的概率分類32對稱型按物性分類

介電晶體類（32個對稱型）壓電晶體類（不具對稱中心，有多個極軸，除3L44L36L2外，共有20個對稱型）有對稱中心C（共11個對稱型）熱電晶體類（極性晶體，具單向極軸，共10個對稱型）3L2、L33L2、L44L2、L66L2、Li4、Li6、3L24L3、3L44L36L2、3Li44L36P、Li42L22P、Li63L23PLi1、L2PC、L4PC、L3PC、L6PC、3L24L33PC、3L23PC、L44L25PC、L66L27PC、3L44L36L29PCL33L23PCL1、L2、L3、L4、L6、P、L22P、L44P、L33P、L66P七、五次對稱軸、二十面體準晶

1、五次對稱軸及準晶的發(fā)現(xiàn)L5L8L10L12

五方、八方、十方及十二方晶系

2、二十面體配位如：Al12Mn二十面體配位MnAl本章重點總結(jié)：1)對稱要素：P,Ln,C,Lin；

2)對稱要素組合：4個定理；3)對稱型：要學會用組合定理判斷正確與否；4)晶體的對稱分類：3個晶族，7個晶系，32個對稱型（點群）或稱32晶類。