晶體的宏觀對(duì)稱

晶體的宏觀對(duì)稱第三章

晶體的宏觀對(duì)稱與分類晶體的宏觀對(duì)稱與分類一、對(duì)稱的概念二、晶體對(duì)稱的特點(diǎn)三、晶體的宏觀對(duì)稱要素和對(duì)稱操作四、對(duì)稱要素的組合五、32個(gè)對(duì)稱型（點(diǎn)群）及其推導(dǎo)六、晶體的對(duì)稱分類七、五次對(duì)稱軸、二十面體與準(zhǔn)晶對(duì)稱性在日常生活中很常見(jiàn)但對(duì)稱的概念還有更深邃和更廣泛的含義：建造大自然的密碼；變換中的不變性；審美要素。對(duì)稱的概念還在不斷被科學(xué)賦予新意。一、對(duì)稱的概念對(duì)稱（symmetry)：物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)。其相同部分可以是相同形狀，或相同物理性質(zhì)。

對(duì)稱的條件：①必須具有若干個(gè)彼此相同的部分；②這些相同部分通過(guò)一定的操作彼此有規(guī)律地重合。石榴子石晶體綠柱石晶體二、晶體對(duì)稱的特點(diǎn)晶體的對(duì)稱包括宏觀和微觀兩方面，具有三個(gè)特點(diǎn)：①普遍性：一切晶體都是對(duì)稱的。②特殊性：晶體的對(duì)稱是有限的，它受晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)嚴(yán)格控制，如對(duì)稱軸只出現(xiàn)一、二、三、四和六次對(duì)稱軸。③雙重性：晶體的對(duì)稱不僅包含著幾何意義，也包含著物理意義；不僅體現(xiàn)在外形上，也體現(xiàn)在性質(zhì)上。石英晶體磷灰石晶體

石鹽晶體不同切面上的硬度曲線三、晶體的宏觀對(duì)稱要素對(duì)稱操作：對(duì)稱變換，使物體或圖形的相同部分重復(fù)出現(xiàn)所進(jìn)行的操作（如旋轉(zhuǎn)、反映、反伸等）。對(duì)稱要素：在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)所憑借的一些假想的幾何要素——點(diǎn)、線、面。

對(duì)稱中心（C）對(duì)稱軸（Ln）對(duì)稱面（P）

1.對(duì)稱面（P）

☆P

操作為反映,也稱鏡面（mirror）.

將圖形平分為互為鏡像的兩個(gè)相等部分。晶體上的對(duì)稱面，通常不將之轉(zhuǎn)化為點(diǎn)，而是直接投影成一條直線或弧線。Φ=0°a5a2a3a4●●●●●a6a1立方體的6個(gè)晶面投影點(diǎn)和9個(gè)對(duì)稱面的投影☆對(duì)稱面(P)

可能出露的位置：①垂直平分晶面和晶棱；②包含一對(duì)晶棱，并平分晶面夾角。☆對(duì)稱面(P)檢驗(yàn)方法：垂直等距，鏡像反映。

看兩相等部分上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否與P垂直等距。若是則為鏡像反映關(guān)系。☆晶體中可以無(wú)P,也可以有多個(gè)對(duì)稱面存在，如3P、6P、9P等.但最多不超過(guò)9P.

2．對(duì)稱中心（C）

對(duì)稱操作為反伸

只可能在晶體中心，只可能一個(gè)。

☆晶體具C的標(biāo)志：晶體上所有的晶面均兩兩平行、同形等大、方向相反。

☆確定晶體（或模型）有無(wú)C的方法：

將晶體（模型）置于桌面上檢驗(yàn)。

凡是有對(duì)稱中心的晶體，晶面總是成對(duì)出現(xiàn)且

兩兩反向平行、同形等大。3．對(duì)稱軸

(Ln

)1）軸次(n)：旋轉(zhuǎn)360°時(shí)，相同部分重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)。2）基轉(zhuǎn)角(α)：使相同部分重復(fù)出現(xiàn)所必須旋轉(zhuǎn)的最小角度。

n=360°/α返回L6☆對(duì)稱軸—LnL2L3L4L6

晶體中Ln可能出露的位置：①晶面的中心：兩相對(duì)晶面中心的連線。②晶棱的中點(diǎn)：兩相對(duì)晶棱中點(diǎn)的連線。③角頂上：兩相對(duì)角頂?shù)倪B線；或者一個(gè)角頂和與之相對(duì)的一個(gè)晶面中心的

連線。對(duì)稱軸的平面表示方法

L2L3L4L6晶體對(duì)稱定律

晶體中只可能出現(xiàn)軸次為一次、二次、三次、四次和六次的對(duì)稱軸（L1、L2、L3、L4和L6），而不可能存在五次及高于六次的對(duì)稱軸。①、直觀理解②、數(shù)學(xué)證明：t’=mtt’=2tCOS(180?-)+t=-2tcos+tmt=-2tcos+t2cos=1-m

cos=(1-m)/2-21-m2m=-1,0,1,2,3相應(yīng)的＝0或2/3/22/3（但是，在準(zhǔn)晶體中可以有5、8、10、12次軸）對(duì)應(yīng)的Ln

＝L1L6L4L3L2

tt’ttAA’BB’4．旋轉(zhuǎn)反伸軸

(Lin)1）對(duì)稱操作：旋轉(zhuǎn)＋反伸（倒反）

Lin的特點(diǎn)：

晶體圍繞該直線旋轉(zhuǎn)一定的角度，并對(duì)該直線上的一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行反伸，可使晶體上的相同部分相互重合。P.27圖3-9返回Li4

Lin

操作為旋轉(zhuǎn)+反伸的復(fù)合操作:

Li

1=C

Li

2=P

Li

3=L3C

Li

4

Li

6=L3P無(wú)論先旋轉(zhuǎn)后反伸，還是先反伸后旋轉(zhuǎn)，效果完全相同。2）Lin與簡(jiǎn)單對(duì)稱要素或其組合的等效關(guān)系：Li1＝L1＋C＝CLi2＝L1＋P⊥＝P（P⊥Li2）Li3＝L3＋C（L3∥Li3）Li6＝L3＋P⊥（L3∥Li6，P⊥L3）Li4不能用簡(jiǎn)單對(duì)稱要素或其組合表示；Li6具有獨(dú)立意義！

注意判別！5．旋轉(zhuǎn)反映軸(Lsn)對(duì)稱操作：旋轉(zhuǎn)

＋

反映

所有的旋轉(zhuǎn)反映軸均可由其他簡(jiǎn)單的對(duì)稱要素或組合表示，沒(méi)有獨(dú)立的意義，

不作強(qiáng)調(diào)。四、晶體的宏觀對(duì)稱要素的組合一個(gè)晶體可以擁有多個(gè)對(duì)稱要素，這些對(duì)稱要素之間相互必須滿足相互間的對(duì)稱。根據(jù)這一規(guī)律，對(duì)稱要素間的組合關(guān)系可歸納成以下幾個(gè)組合定律：對(duì)稱要素組合定理舉例：定理1：LnL2LnnL2

(L2與L2的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一半)逆定理：L2與L2相交，在其交點(diǎn)且垂直兩L2會(huì)產(chǎn)生Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩L2夾角的兩倍。并導(dǎo)出n個(gè)在垂直Ln平面內(nèi)的L2。例如:L4L2L44L2,L3L2L33L2思考:兩個(gè)L2相交30°,交點(diǎn)處并垂直L2所在平面會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸?定理2：LnPLnP

C(n為偶數(shù))逆定理：LnCLnP

C(n為偶數(shù))PCL2PC

說(shuō)明L2、P

、C三者中任兩個(gè)可以產(chǎn)生第三者

對(duì)稱要素組合定理1.Ln×L2⊥→LnnL22.Ln×P∥→LnnP3.Ln×P⊥＝Ln×C→LnPC（n為偶數(shù)）4.Lin×P∥＝Lin×L2⊥→Lin（n∕2）L2（n∕2）P(n為偶數(shù)）→LinnL2nP（n為奇數(shù)）5.Ln×P∥×L2⊥→LnnL2(n+1)PC(n為偶數(shù))→LnnL2nPC(n為奇數(shù))

五、晶體32個(gè)對(duì)稱型及其推導(dǎo)1、對(duì)稱型（點(diǎn)群）：1）對(duì)稱型*：晶體宏觀對(duì)稱要素之組合。

由于這些對(duì)稱要素相交于晶體的幾何中心，故對(duì)稱型也稱為點(diǎn)群*。2）對(duì)稱型（點(diǎn)群）的全面符號(hào)（一般符號(hào)）的書寫方式為：

對(duì)稱軸（先高次，后低次）+對(duì)稱面+對(duì)稱中心

如：立方體的對(duì)稱型（點(diǎn)群）符號(hào)應(yīng)寫為3L44L36L29PC從群論推導(dǎo)證明，晶體中可能出現(xiàn)的對(duì)稱型（點(diǎn)群）總共只有32種。（P32表3-4）32個(gè)對(duì)稱型分類見(jiàn)表3-4。

2、晶體對(duì)稱要素的極射赤平投影1）對(duì)稱面：平移至投影中心與球面交線的赤平投影。

同于晶體上雙晶面、雙晶結(jié)合面的投影。水平的：水平大圓，即基圓。（虛線表示無(wú)P）直立的：為直線。傾斜的：以基圓直徑為弦的大圓弧。2）對(duì)稱軸：平移至投影中心與球面相交點(diǎn)的赤平投影。同于晶體上的各種直線（晶面法線、結(jié)晶軸、晶棱、晶帶軸、雙晶軸）的投影。表示方法…水平的：在基圓上。直立的：在基圓中心。傾斜的：在基圓內(nèi)。返回立方體（3L44L36L29PC）對(duì)稱要素的

極射赤平投影m1m2r1r2r5r63、對(duì)稱型的推導(dǎo)：

根據(jù)對(duì)稱要素的組合定理進(jìn)行直觀推導(dǎo)。對(duì)稱要素的組合分類：A類：高次軸不多于一個(gè)的組合；B類：高次軸多于一個(gè)的組合。1）A類對(duì)稱型推導(dǎo)：27種

A類對(duì)稱要素可能的組合有7種情況：表3-2P37。2）B類對(duì)稱型的推導(dǎo)：5種對(duì)稱型推導(dǎo)簡(jiǎn)表共同式LnLinLnnL2

LnP(C)

LnnPLn(偶)nL2(n+1)P(C)Ln（奇）nL2nP(C)

Lin（偶）(n/2)L2(n/2)P

A類n=1L1Cn=2L2PL2PC3L2L22P3L23PCn=3L3L3CL33L2L33PL33L23PCn=4L4Li4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi42L22Pn=6L6Li6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi63L23PB類3L44L33L44L36L23L24L33PC3Li44L36P3L44L36L29PC六、晶體的對(duì)稱分類晶體是根據(jù)其對(duì)稱特點(diǎn)進(jìn)行合理的科學(xué)分類的。

1、屬于同一對(duì)稱型的所有晶體歸為一類，稱為晶類。晶體的32種對(duì)稱型即分為32個(gè)晶類。

晶類的名稱由單形的一般形的名稱確定。見(jiàn)P32表3-4

2、根據(jù)高次軸的有無(wú)及個(gè)數(shù)，將晶體劃分為3個(gè)晶族1）低級(jí)晶族：無(wú)高次軸2）中級(jí)晶族：只有一個(gè)高次軸。3）高級(jí)晶族：有多個(gè)高次軸。3根據(jù)各晶族的對(duì)稱特點(diǎn)（Ln或Lin的軸次高低及其個(gè)數(shù)）共劃分為七個(gè)晶系：①

三斜晶系（triclinicsystem）：無(wú)L2，也無(wú)P。②

單斜晶系（monoclinicsystem）：L2或P不多于1個(gè)。③

斜方晶系（正交晶系，orthorhombicsystem）：L2或P多于1個(gè)。④三方晶系（trigonalsystem）：唯一的高次軸為L(zhǎng)3。⑤四方晶系（正方晶系，tetragonalsystem）：L4或Li4只有1個(gè)。⑥六方晶系（hexagonalsystem）：L6或Li6只有1個(gè)。⑦

等軸晶系（isometricsystem）（立方晶系，cubicsystem）：有4L3。

P35表3-4晶體的對(duì)稱分類應(yīng)熟記！P36表3-532對(duì)稱型按物性分類表3-632對(duì)稱型按在自然界礦物中出現(xiàn)的概率分類32對(duì)稱型按物性分類

介電晶體類（32個(gè)對(duì)稱型）壓電晶體類（不具對(duì)稱中心，有多個(gè)極軸，除3L44L36L2外，共有20個(gè)對(duì)稱型）有對(duì)稱中心C（共11個(gè)對(duì)稱型）熱電晶體類（極性晶體，具單向極軸，共10個(gè)對(duì)稱型）3L2、L33L2、L44L2、L66L2、Li4、Li6、3L24L3、3L44L36L2、3Li44L36P、Li42L22P、Li63L23PLi1、L2PC、L4PC、L3PC、L6PC、3L24L33PC、3L23PC、L44L25PC、L66L27PC、3L44L36L29PCL33L23PCL1、L2、L3、L4、L6、P、L22P、L44P、L33P、L66P七、五次對(duì)稱軸、二十面體準(zhǔn)晶

1、五次對(duì)稱軸及準(zhǔn)晶的發(fā)現(xiàn)L5L8L10L12

五方、八方、十方及十二方晶系

2、二十面體配位如：Al12Mn二十面體配位MnAl本章重點(diǎn)總結(jié)：1)對(duì)稱要素：P,Ln,C,Lin；

2)對(duì)稱要素組合：4個(gè)定理；3)對(duì)稱型：要學(xué)會(huì)用組合定理判斷正確與否；4)晶體的對(duì)稱分類：3個(gè)晶族，7個(gè)晶系，32個(gè)對(duì)稱型（點(diǎn)群）或稱32晶類。