2020高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)與數(shù)列有關(guān)的概率統(tǒng)計(jì)壓軸大題

數(shù)列與離散型隨機(jī)變量相結(jié)合問(wèn)題典例1【2019年全國(guó)卷口】為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和6，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，pi(i=0,1,L,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則P0=0,P8=1,p=ap1+bp+cp1d=1,2,L,7)，其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c二P(X=1).假設(shè)a=0.5,B=0.8.⑴證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,L,7)為等比數(shù)列；(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.解：(1)由題意可知X所有可能的取值為：-1,0,1.?.p(X=-1)=(1-a)B；P(X=0)=aB+(1-a)(1-B)；P(X=1)=a(1-B)則X的分布列如下：X-101P(1-a)BaP+(1-a)(1-P)a(1-B)(2)Qa=0.5,B=0.8「.a=0.5x0.8=0.4,b=0.5x0.8+0.5x0.2=0.5,c=0.5x0.2=0.1

(i)Qp=ap1+bpj+(i)Qp=ap1即p=0.4p+0.5p+0.1pG=1,2,…，)1 i i+1整理可得：5p=4p.1+p.1(i=1,2，…,7)「.p1pp=4(ppp.)(i=1,2，…,7)二.{匕1Ppi}(i=0,1,2,…,7)是以p1Pp0為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列(ii)由⑴知：p,+1p耳=(〃1Pp0)4j=p1-4j/.ppp=p-47,ppp=p-46,TOC\o"1-5"\h\z(, ,)1p48 48—1 .作和可得：p_p=p-M-0+41+—+47)= p p=18「0' 1p41 313p- 1 48p11257(,,,)1p44 44p1 3 11257p=p一p=p-M-0+41+42+437- p= x = 4卜4%J 1p41 3 48p144+1p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥1治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4=苫氏0.0039，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說(shuō)明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.例2某游戲棋盤(pán)上標(biāo)有第0、1、2、L、100站，棋子開(kāi)始位于第0站，選手拋擲均勻硬幣進(jìn)行游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站或第100站時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)游戲過(guò)程中棋子出現(xiàn)在第n站的概率為Pn.（1）當(dāng)游戲開(kāi)始時(shí)，若拋擲均勻硬幣3次后，求棋子所走站數(shù)之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）證明：P-P=p1（P-P）（1<n<98）；n+1n2nn-\（3）若最終棋子落在第99站，則記選手落敗，若最終棋子落在第100站，則記選手獲勝.請(qǐng)分析這個(gè)游戲是否公平.解：（1）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3、4、5、6，P(X=3)=_3=一,8所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:X34561331P8888所以，E(X)=3義-+4義-+5義-+6*-=—；8 8 8 82(2)依題意，當(dāng)1<n<—8時(shí)，棋子要到第(n+1)站，有兩種情況:1由第n站跳1站得到，其概率為-P；2n可以由第(n-1)站跳2站得到，其概率為-P2n-111所以，P=-P+-P.n+1 2n2n-111 1同時(shí)減去P得P-P=--P+-P=--(P-P)(1<n<—8)；n n+1n2n2n-1 2nn-111(3)依照(2)的分析，棋子落到第——站的概率為P=-P+-P，—— 2—8 2—71由于若跳到第99站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有P=-P.100 2—8所以P100<P—9，即最終棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戲不公平.例3、11月，2019全國(guó)美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國(guó)農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽(yáng)舉辦，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，1 2設(shè)甲每次投球命中的概率為2，乙每次投球命中的概率為3，且各次投球互不影響.(1)經(jīng)過(guò)1輪投球，記甲的得分為X，求X的分布列;(2)若經(jīng)過(guò)〃輪投球，用j表示經(jīng)過(guò)第i輪投球，累計(jì)得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求P,P2,P3；②規(guī)定P°=0，經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得p=api+1+bp+cp/b豐1)，請(qǐng)根據(jù)①中p，p2,p3的值分別寫(xiě)出a，c關(guān)于b的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列｛pJ的通項(xiàng)公式.解：(1)記一輪投球，甲命中為事件A，乙命中為事件B，A,B相互獨(dú)立，由- 1 2 ，一八，題意P(A)=-，P(B)=-，甲的得分X的取值為-1,0,1，1、21P(X=-1)=P(AB)=P(A)P(B)=(1--)x-=-，乙JJ二1x-+(1-1)x(1-2)」

23 2 3 2P(X=0)=P(AB)+P(AB)=P(A)P二1x-+(1-1)x(1-2)」

23 2 3 2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 2 1P(X=1)=P(AB)=P(A)P(B)=-x(1--)=_，2 3 6???X的分布列為:X一101P-1-1(2)由(1)p=,16TOC\o"1-5"\h\z11111 7p=P(X=0)-P(X=1)+P(X=1)(P(X=0)+P(X=1))=-x+-x(-+：)=,2 26626 36同理，經(jīng)過(guò)2輪投球，甲的得分r取值-2,-1,0,1,2：i己P(X=-1)=x,P(X=0)=y,P(X=1)=z，則P(r二一2)=x2,P(r=一1)二盯+yx,P(r=0)=xz+zx+y2,P(r=1)=yz+zy,P(Y=2)=z2

由此得甲的得分y的分布列為:Y-2一1012P111336143216，11I/43216，■?p=-X +-X(-+ )+-X(—+—+ )33362636636636?/p-ap+bp+cp(b豐1),.Jp=.Jp=ap+bp一p=ap+bp+cp22 3 2 17 1「1—a+—b 36 6 643 7 1_7 a+—b+—c 〔216 36 6 366(1—b)a= 71-bc= 7代入 絲+1+bpt+cp-1(b01)代入 絲+1+bpt+cp-1(b01)得:p=—p+—p7i+1 7i-1..?p,+1-6(pJ11，數(shù)列｛PJpn/是等比數(shù)列，公比為q二^，首項(xiàng)為p0二石"Pn-1?二p二(p-p)+(p-p)+L+(p-p)=nn n-1 n-1 n-21 1T11 1(6)n+(6)n-1+L+6=5(6)*典例4某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場(chǎng)以來(lái)，生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，決定邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)z來(lái)衡量產(chǎn)品的質(zhì)量.當(dāng)Z>8時(shí)，產(chǎn)品為優(yōu)等品；當(dāng)6&z<8時(shí)，產(chǎn)品為一等品；當(dāng)2<z<6時(shí)，產(chǎn)品為二等品.第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件，繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Z的條形圖.用隨機(jī)抽取的500件產(chǎn)品作為樣本，估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況，并用頻率估計(jì)概率.4020OC80的頷4020OC80的頷（1）從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；（2）現(xiàn)某人決定購(gòu)買(mǎi)80件該產(chǎn)品.已知每件成本1000元，購(gòu)買(mǎi)前，邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)要購(gòu)買(mǎi)的80件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè).買(mǎi)家、企業(yè)及第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)就檢測(cè)方案達(dá)成以下協(xié)議：從80件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)出3件或4件為優(yōu)等品，則按每件1600元購(gòu)買(mǎi)，否則按每件1500元購(gòu)買(mǎi)，每件產(chǎn)品的檢測(cè)費(fèi)用250元由企業(yè)承擔(dān).記企業(yè)的收益為X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;（3）商場(chǎng)為推廣此款產(chǎn)品，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng).客戶可根據(jù)拋硬幣的結(jié)果，操控機(jī)器人在方格上行進(jìn)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、……、第50格.機(jī)器人開(kāi)始在第0格，客戶每擲一次硬幣，機(jī)器人向前移動(dòng)一次，若擲出正面，機(jī)器人向前移動(dòng)一格（從k到k+1），若擲出反面，機(jī)器人向前移動(dòng)兩格（從k到k+2），直到機(jī)器人移到第49格（勝利大本營(yíng)）或第50格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束，若機(jī)器人停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得優(yōu)惠券.設(shè)機(jī)器人移到第〃格的概率為PG<n<50,neN*），試證明｛P—P｝（1<n<49,neN*）是等比數(shù)列，并解釋此n nn-1方案能否吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款產(chǎn)品.121上87上42 1解：（1）根據(jù)條形圖可知，優(yōu)等品的頻率為;87十=1，用頻率估計(jì)概率，1則任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為P=-.1（2）由（1）任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為萬(wàn)，

由題意X=(1600-1000)x80-250x4=47000，或X=(1500-1000)x80-250x4=39000P(X=47000)P(X=47000)=C4416P(X=39000)=C04(1)4+C2—412J1116故X的分布列為:X4700039000PA1116TOC\o"1-5"\h\z5 11所以數(shù)學(xué)期望EX=47000x—+39000x =41500.16 16(3)機(jī)器人在第0格為必然事件，P=1，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，機(jī)器人移到0第1格，其概率P=1.機(jī)器人移到第n(2<n<49)格的情況只有兩種：\o"CurrentDocument"1 21①先到第n-2格,又出現(xiàn)反面,其概率乂-2，1②先到第n-1格，又出現(xiàn)正面，其概率2Pn-1.所以P=1P+1P，故P-P=-1(P-P)n2n-1 2n-2 n n-1 2 n-1 n-2所以1<n<49時(shí)，數(shù)列｛P~々J為首項(xiàng)P1-P01公比為-1的等比數(shù)列.1所以P-p。=1所以P-p。=-5，P-P=—n n-1l2J(1\n-5l2J一(1\n-5l2J以上各式累加，得P-1=-—+-—+-+nl2Jl2J(n=0,1,-,49)2所以獲勝概率P49二31-(1A501-(n=0,1,-,49)2所以獲勝概率P49二31-(1A501-(1A5011失敗概率勺二-*二§（1、5049501-(1A49491+(1A491-48所以獲勝概率更大一 (1A1(1A2所以P=1+--2)故此方案能吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款產(chǎn)品.例5例5撫州不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化更有著許多旅游景點(diǎn).每年來(lái)?yè)嶂輩⒂^旅游的人數(shù)不勝數(shù).其中，名人園與夢(mèng)島被稱(chēng)為