高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)-平面向量的數(shù)量積課件-新人教B版

學(xué)案3平面向量的數(shù)量積考點(diǎn)1考點(diǎn)2填填知學(xué)情課內(nèi)考點(diǎn)突破規(guī)律探究考綱解讀考向預(yù)測(cè)考點(diǎn)3考點(diǎn)4名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

考綱解讀

平面向量的數(shù)量積(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.名師伴你行SANPINBOOK考向預(yù)測(cè)

這一部分是向量的核心內(nèi)容，高考的一個(gè)命題點(diǎn)，填空題、選擇題重在考查數(shù)量積的概念、運(yùn)算律、性質(zhì)、向量平行、垂直、向量的夾角、距離等，解答題重在與幾何、三角、代數(shù)等結(jié)合的綜合題.返回目錄

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1.平面向量的數(shù)量積的概念（1）已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量

叫做向量a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b,即a·b=

，其中θ是a與b的夾角，

叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積都為0.|a||b|cosθ|a||b|cosθ|a|cosθ(|b|·cosθ)名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（2）數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與

上的投影|b|cosθ的乘積.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)如果e是單位向量，則a·e=e·a=

;(2)a⊥ba·b=0且a·b=0a⊥b;(3)a·a=|a|2或

;(4)cos<a,b>=

;(5)|a·b|≤|a||b|.b在a方向|a|cos<a,e>名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：

；（2）分配律：

；（3）數(shù)乘向量結(jié)合律：

.4.向量的長(zhǎng)度、距離和夾角公式(1)設(shè)a=(a1,a2),則|a|=

.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)，則|AB|=

.(3)設(shè)a=(a1,b1),b=(a2,b2),則cos<a,b>=a·b=b·a(a+b)·c=a·c+b·c(λμ)·a=λ(μa)名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=

.（2）若a=(x,y)，則|a|2=a·a=

,|a|=

.（3）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a⊥b

.x1x2+y1y2=0x1x2+y1y2x2+y2名師伴你行SANPINBOOK已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,則|a-b|=

.【分析】求|a-b|可先求|a-b|2.考點(diǎn)1數(shù)量積的計(jì)算返回目錄

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【解析】|a-b|=返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK求平面向量數(shù)量積的步驟:首先求a與b的夾角為θ,θ∈［0°,180°］,再分別求|a|,|b|,然后再求數(shù)量積即a·b=|a||b|cosθ,若知道向量的坐標(biāo)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈〔-,〕.(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.返回目錄

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【解析】(1)a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b=(cosx+cos,sinx–sin),∵x∈[],∴cosx>0,∴|a+b|=2cosx.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈[],∴≤cosx≤1,∴當(dāng)cosx=時(shí),f(x)取得最小值為-;當(dāng)cosx=1時(shí),f(x)取得最大值為-1.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2的值是

.【分析】由垂直的充要條件,尋找|a|,|b|,|c|之間的關(guān)系.考點(diǎn)2利用向量解決垂直問(wèn)題【解析】∵a⊥b,b=-a-c,∴a·b=a·(-a-c)=-|a|2-a·c=0,∴a·c=-|a|2=-1.又∵(a-b)⊥c,∴(a-b)·c=0,∴a·c=b·c=-1.∵a=-b-c,∴|a|2=|b|2+|c|2+2b·c,∴|b|2+|c|2=|a|2-2b·c=3,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.返回目錄

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垂直問(wèn)題是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn),在高考題中常常出現(xiàn),常與向量的模、向量的坐標(biāo)表示等聯(lián)系在一起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a⊥ba1a2+b1b2=0,a∥ba1b2-a2b1=0.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π).(1)求證:a+b與a-b互相垂直;(2)若ka+b與a-kb的模相等,求β-α(其中k為非零實(shí)數(shù)).返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK(1)證明:(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,∴a+b與a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),|ka+b|=,|a-kb|=.∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α).又k≠0,∴cos(β-α)=0.而0<α<β<π,∴β-α=.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求：（1）a與b的夾角；（2）a-b與a+b的夾角的余弦值.【分析】(1)由(a-b)和(a+b)的數(shù)量積可得出|a|,|b|的關(guān)系.(2)計(jì)算a-b和a+b的模.考點(diǎn)3利用向量解決夾角問(wèn)題返回目錄

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【解析】(1)∵(a-b)·(a+b)=,∴|a|2-|b|2=,又∵|a|=1,∴|b|=.設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=,又∵θ∈［0,π］,∴θ=.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK(2)∵(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2×+=,∴|a-b|=.(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+=,∴|a+b|=，設(shè)a-b與a+b的夾角為α,則cosα=.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK公式cosθ=可求a,b的夾角及夾角取值的范圍，應(yīng)用時(shí)，要注意y=cosx在x∈［0,π］上的單調(diào)性.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK已知|a|=,|b|=1,a與b的夾角為45°,求使向量(2a+λb)與(λa-3b)的夾角是銳角的λ的取值范圍.由|a|=,|b|=1,a與b的夾角為45°,得a·b=|a||b|cos45°=×1×=1,∴(2a+λb)·(λa-3b)=2λa2-6a·b+λ2a·b-3λb2=λ2+λ-6.設(shè)向量(2a+λb)與(λa-3b)的夾角為θ,則且cosθ≠1,返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK由(2a+λb)·(λa-3b)>0得λ2+λ-6>0,∴λ>2或λ<-3.假設(shè)cosθ=1,則2a+λb=k(λa-3b)(k>0),2=kλλ=-3k,故使向量2a+λb和λa-3b夾角為0的λ不存在.∴當(dāng)λ>2或λ<-3時(shí),向量(2a+λb)與(λa-3b)的夾角是銳角.解得k2=-.∴返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos()的值.【分析】從向量的模入手，求出θ滿足的條件.考點(diǎn)4以向量為載體的綜合問(wèn)題返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK【解析】解法一：由題意知m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),∴|m+n|==由已知|m+n|=,得cosθ+=.又∵cos(θ+)=2cos2(+)-1,∴cos2()=.∵π<θ<2π,∴<<.∴cos()<0.∴cos()=-.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK解法二：|m+n|2=(m+n)2=m2+2m·n+n2=|m|2+|n|2+2m·n+2［cosθ(-sinθ)+sinθcosθ］=4+2(cosθ-sinθ)=4〔1+cos(θ+)〕=8cos2().由已知|m+n|=,得cos︳︳=.∵π<θ<2π,∴<<.∴cos()<0.∴cos()=-.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK本題主要以向量作為載體，實(shí)質(zhì)上是考查三角中的求值問(wèn)題，注意倍角公式的運(yùn)用.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的長(zhǎng)度的最大值;(2)設(shè)α=,且a⊥(b+c)，求cosβ的值.返回目錄

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【解析】(1)解法一:由已知得b+c=(cosβ-1,sinβ),則|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).∵-1≤cosβ≤1,∴0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.當(dāng)cosβ=-1時(shí),有|b+c|max=2,∴向量b+c的長(zhǎng)度的最大值為2.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK解法二:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2,當(dāng)cosβ=-1時(shí),有b+c=(-2,0),即|b+c|=2,∴向量b+c的長(zhǎng)度的最大值為2.(2)解法一:由已知可得b+c=(cosβ-1,sinβ),a·(b+c)=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos(α-β)-cosα.∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cos(α-β)=cosα.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK由α=,得cos(-β)=cos,即β-=2kπ±(k∈Z),∴β=2kπ+或β=2kπ,k∈Z,于是cosβ=0或cosβ=1.解法二：若α=,則a=(,).又由b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0),得a·(b+c)=(,)·(cosβ-1,sinβ)=cosβ+sinβ-.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cosβ+sinβ=1.∴sinβ=1-cosβ,平方后化簡(jiǎn)得cosβ(cosβ-1)=0,解得cosβ=0或cos