復(fù)合材料結(jié)構(gòu)及其力學

復(fù)合材料結(jié)構(gòu)

及其力學孟松鶴哈爾濱工業(yè)大學復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所內(nèi)容安排1-2：復(fù)合材料定義、分類、特點及其典型結(jié)構(gòu)和應(yīng)用3-4：代表性增強相、基體性能及復(fù)合材料的力學行為5-6：簡單層板的宏觀力學性能-1（各向異性材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，正交各向異性材料的工程常數(shù)；正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）7-8：簡單層板的宏觀力學性能-2（簡單層板在任意方向上的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，正交各向異性簡單層板的不變量性質(zhì)）內(nèi)容安排9-10：簡單層板的宏觀力學性能-3（正交各向異性簡單層板的強度問題及二向強度理論）11-12：簡單層板的微觀力學性能-1（剛度的材料力學分析方法）13-14：簡單層板的微觀力學性能-2（剛度的彈性力學分析方法）15-16：簡單層板的微觀力學性能-3（強度的材料力學分析方法）內(nèi)容安排17-18：層合板的宏觀力學性能-1（經(jīng)典層合理論、層合板剛度的特殊情況）19-20：層合板的宏觀力學性能-2（層合板剛度的理論和實驗的比較、層合板強度）21-22：層合板的宏觀力學性能-3（層間應(yīng)力、層合板剛度的不變量及其在設(shè)計中的應(yīng)用）23-24：層合板的彎曲、振動與屈曲行為分析內(nèi)容安排25-26：復(fù)合材料制備方法及其力學特點27-28：復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計方法29-30：復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與軟件31-32：熱防護復(fù)合材料與熱結(jié)構(gòu)分析33-34：復(fù)合材料結(jié)構(gòu)可靠性性設(shè)計與分析方法35-36：復(fù)習要點、討論及答疑經(jīng)典層合理論層間變形一致性假設(shè)直法線不變假設(shè)第k層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系層與層過渡和層與層的結(jié)合方式的考慮？沿厚度方向的積分UndeformedClassicalplatetheoryFirst-orderplatetheoryThird-orderplatetheoryStackingsequencedoesnotaffectthe[A]matrix[B]=0aslongassymmetryispreserved[D]matrixmostaffectedbystackingsequenceForbalancedlaminatesA16=A26=0Generally,D16andD26areinsignificantwithrespecttoD11for>16pliesBij的存在意味著層和板在彎曲和拉伸之間的相互耦合拉力不僅引起層合板的拉伸變形，而且也使層合板扭轉(zhuǎn)或彎曲層合板承受力矩作用時，也會引起中面的拉伸變形層間應(yīng)力層間應(yīng)力產(chǎn)生的原因LaminateStraindistributionStressdistribution因?qū)雍习逖睾穸确较蛭锢硇再|(zhì)不連續(xù)導(dǎo)致應(yīng)力的不連續(xù)層間應(yīng)力產(chǎn)生的原因?qū)雍习迨怯捎谔匦圆煌膯螌影逭辰釉谝黄饦?gòu)成的在各種載荷的作用下個單層板的變形情況是不一致的，但通過粘合在一起構(gòu)成了一體各自的變形，必須協(xié)調(diào)一致成為整體，達到受力平衡因此在層與層之間必然會出現(xiàn)變形的相互制約，這樣就必然會通過層間產(chǎn)生相互作用是變形協(xié)調(diào)受力平衡的力，這就是層間應(yīng)力協(xié)調(diào)平面剪切變形的一致和平衡時，就會出現(xiàn)層間剪應(yīng)力協(xié)調(diào)法線變形的一致和平衡時，還會出現(xiàn)層間正應(yīng)力層間應(yīng)力產(chǎn)生的原因xyNxY方向的變形也要一致，上層y方向收縮的多，下層y方向收縮的少，所以上板將下板往里拉，下板將上板向外拉，出現(xiàn)y1（拉應(yīng)力）和y2（壓應(yīng)力）可是板的邊緣是自由邊，不能在側(cè)面提供這樣的力，只能由層的間面來提供這個協(xié)調(diào)平衡的力，這就是層間應(yīng)力yz層間應(yīng)力各向同性材料制備的板或梁等構(gòu)件，受到橫向載荷作用時，將在構(gòu)件的橫截面內(nèi)產(chǎn)生剪應(yīng)力分析證明：當梁或板的跨度大于其高度或厚度的4-5倍以上時，截面上的剪應(yīng)力對于截面內(nèi)法向應(yīng)力的分布影響甚小，同時這種材料的剪應(yīng)力最大值遠小于材料的剪切強度，因此在強度計算中可以不考慮橫向剪應(yīng)力的影響但對層合板，抵抗層間剪應(yīng)力的能力與基體剪切強度同量級，這個值通常是很低的，有時要考慮層間應(yīng)力層間應(yīng)力是使層合板破壞的一個重要原因?qū)雍习迨且环N多層結(jié)構(gòu)，當它的層間應(yīng)力超過強度極限時就會導(dǎo)致分層破壞層合板的承載能力由于層間破壞而明顯地下降，致使材料的潛力未能充分發(fā)揮層合復(fù)合材料在自由邊緣附近可能產(chǎn)生分層，這種自由邊緣可能會是板邊、孔的周圍或者是管狀試樣的兩端提高層間剪切強度縫合、針刺整體編織設(shè)計…經(jīng)典層合理論包含的xy值，在層合板邊緣是不可能存在的經(jīng)典層合理論中，不考慮層間應(yīng)力z，zx，zy，而僅僅考慮層合板內(nèi)的應(yīng)力x，y

，xy，即假設(shè)為平面應(yīng)力狀態(tài)，不可能斷定某些實際上使復(fù)合材料破壞的應(yīng)力在層合板的自由邊上(層合板邊界或孔邊)層間剪應(yīng)力很高(甚至是奇點)，從而導(dǎo)致在這些區(qū)域內(nèi)脫膠改變鋪層疊合順序，即使不改變每一層的方向，也要引起層合板拉伸強度的不同（在經(jīng)典層合理論中，這種改變不影響拉伸剛度），層合板邊界附近的層間正應(yīng)力z的改變是上述強度不同的結(jié)果層間應(yīng)力層間應(yīng)力經(jīng)典層合理論——考慮正交各向異性的對稱角鋪設(shè)層合板xyzzzyzxyxxy-+-+層間應(yīng)力材料主方向的平面應(yīng)力時的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：轉(zhuǎn)換為層合板軸向的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：拉伸剛度為：層間應(yīng)力力與應(yīng)變關(guān)系為:中面應(yīng)變層合板沒有剪應(yīng)變，但在每一層材料主方向上，除了正應(yīng)變，還有剪應(yīng)變=0層間應(yīng)力相應(yīng)于此剪應(yīng)變的剪應(yīng)力在層邊是不存在的在自由邊上xy為零，意味著作用在脫離體其他邊緣上的xy所引起的力偶必定有反應(yīng)，滿足力矩平衡條件的反應(yīng)力偶只能是由作用在與下一層接界的鋪層下表面部分的xz引起的層間應(yīng)力在選定區(qū)域的左側(cè)，CLT預(yù)報由于0和90層的彈性模量和泊松比不同，存在橫向正應(yīng)力，而右邊的自由邊是不存在的，y方向的平衡只有通過層間間應(yīng)力提供同樣左邊0和90層橫向正應(yīng)力產(chǎn)生的力矩，在左邊自由邊只能通過層間正應(yīng)力來的得到平衡層間應(yīng)力層間應(yīng)力的計算不采用經(jīng)典層合理論，其他層合板理論或以彈性力學的方法來計算小撓度理論有限撓度理論小應(yīng)變理論有限應(yīng)變理論一階剪切變形理論Reddy型的簡化高階理論LCW型的高階理論三維彈性理論具有非線性本構(gòu)關(guān)系的板殼理論實際計算工作很大，根據(jù)層合板特殊性可以適當?shù)睾喕瘜娱g應(yīng)力——彈性力學解法

分析層間應(yīng)力必須考慮三向應(yīng)力狀態(tài)，而不是平面應(yīng)力狀態(tài)。對正交各向異性層合板，考慮了三向應(yīng)力狀態(tài)材料主方向的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：利用平面內(nèi)的坐標變換，可得：層間應(yīng)力——彈性力學解法應(yīng)變-位移關(guān)系為：xyz考慮x=constant，所有應(yīng)力與x無關(guān)，位移表達式可假設(shè)為：應(yīng)力平衡方程可簡化為：在端部X等于常數(shù)處受均勻拉伸情況層間應(yīng)力——彈性力學解法這個聯(lián)立的二階偏微分方程——沒有封閉解簡化引入邊界條件采用有限差分等近似數(shù)值解法三維有限元或準三維有限元法位移場代入幾何方程-代入應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系-代入平衡方程得：層間應(yīng)力——彈性力學解法高模量石墨/環(huán)氧復(fù)合材料[45/-45/-45/45]寬度b=8h（厚度）利用彈性力學三維問題計算出來的應(yīng)力，當接近到自由邊時，x下降，趨于零，而xz由零增加到無窮大，即在y=b處出現(xiàn)奇異點經(jīng)典層合理論的偏差可以看作是邊緣效應(yīng)或邊界效應(yīng)，在離開邊緣一個層合板厚度后，經(jīng)典層合理論是正確的層間應(yīng)力——彈性力學解法四層層合板，考慮上邊兩層從層合板中面不同距離處的層間剪應(yīng)力xz沿截面厚度的分布由數(shù)值外推的應(yīng)力值用虛線表示在層合板表面和中面上xz的值為零，其極大值發(fā)生在層間界面上（z/h0=1）最大值發(fā)生在自由端與層間界面的交線上并出現(xiàn)奇點（y=1.00b）沿層板厚度的層間剪應(yīng)力分布層間應(yīng)力小結(jié)有限寬的層合板是結(jié)構(gòu)上常用的構(gòu)件形式，測量材料基本性能的試件大多更是有限寬的，邊緣效應(yīng)的影響，會使測量結(jié)果出現(xiàn)很大的誤差±300鋪層的層合板，在強度試驗時的破壞載荷僅僅約為計算值的一半±600鋪層的層合板，在強度試驗時的破壞載荷幾乎與計算值相等只有層間剪切效應(yīng)才能解釋用試驗確定材料的強度的時候，必須注意選擇試件的鋪層方向，使層間應(yīng)力盡可能地小層間應(yīng)力小結(jié)層合板的鋪層順序?qū)娱g法向應(yīng)力是有影響的帕加諾和派普斯工作設(shè)想，改變疊合順序可使層間正應(yīng)力從拉伸變?yōu)閴嚎s啟發(fā)—福耶和貝克的試驗發(fā)現(xiàn)：對±15和±45對稱角鋪設(shè)層合板，當±15和±45層位置顛倒時，其疲勞強度相差很大，大約25000磅/平方英寸，靜強度等其他數(shù)據(jù)也定性地顯示出類似差別（但是經(jīng)典層合理論中拉伸應(yīng)力不受疊合順序的影響）。在實驗中觀察到分層，并指出逐漸分層是疲勞的破壞形式層間應(yīng)力小結(jié)層合板的鋪層順序?qū)Ψㄏ驊?yīng)力是有影響的后一種鋪層有比前者高的強度，分層的傾向性小類似可推斷：[45/-45/15/-15]s將與[15/45/-45/-15]s的拉應(yīng)力成鏡面對稱，產(chǎn)生壓應(yīng)力，強度更高層間正應(yīng)力正確把握是該類層合板設(shè)計成功的關(guān)鍵層間應(yīng)力小結(jié)一般來說±層合板僅存在剪切耦合（層間沒有泊松比不協(xié)調(diào)），所以xz是惟一不為零的層間應(yīng)力0/90層合板僅存在層間的泊松比不協(xié)調(diào)（無剪切耦合）所以只有yz和z是不為零的層間應(yīng)力上述的組合如±1和±2組成的層合板，存在剪切耦合和層間泊松比不協(xié)調(diào)的情況，層間應(yīng)力有xz，yz和z層間應(yīng)力對強度和剛度的影響復(fù)合材料層間的抗拉強度、剪切強度、剪切模量、粘接強度等性能一般較低，因而出現(xiàn)層間正應(yīng)力和剪應(yīng)力時，其強度及剛度下降，導(dǎo)致提前破壞，其破壞模式為剪切分層或張開分層，特別是在自由邊附近，由于層間應(yīng)力特別大，最容易出現(xiàn)分層破壞不同單層和不同疊層順序?qū)⒊霈F(xiàn)不同的變形協(xié)調(diào)要求，因而也就會出現(xiàn)不同的層間應(yīng)力和疊層變形，并導(dǎo)致不同疊層半的耦合效應(yīng)結(jié)構(gòu)設(shè)計人員應(yīng)在了解層間應(yīng)力的基礎(chǔ)上改進設(shè)計方案，使層間的不良影響盡量減少，導(dǎo)致破壞分層情況盡量減少自由邊界脫層的抑制方法層合板設(shè)計層合板設(shè)計設(shè)計——外載是已知的在構(gòu)造中改變材料和尺寸以支承給定載荷分析是確定特定構(gòu)造能承受的載荷設(shè)計有效層合板的關(guān)鍵抵抗載荷的大小和方向性中的任何一個不超過設(shè)計能力，層合板設(shè)計到恰好滿足特定需要各向同性是低效的，有過剩或冗余例如正交鋪層抵抗主方向1和2上的載荷對稱鋪層中A11、A12、D11和D12抵抗N1，A12、A22、D12、D22抵抗N2角鋪設(shè)層合板得到剪切和扭轉(zhuǎn)剛度…考慮的因素剛度和強度特性取決于鋪層不均勻性和某種程度的不連續(xù)性層間剪切模量較低，層間剪切和層間拉伸強度甚低拉、壓模量不同和拉、壓強度不同幾何非線性和物理非線性…層合板設(shè)計層合板剛度不變量層合板剛度不變量正交各向異性間單層板和各向異性簡單層板的二維剛度不變量轉(zhuǎn)換剛度不變量有助于確定單層剛度在轉(zhuǎn)換到非材料主方向時是如何變化的層合板剛度不變量現(xiàn)將簡單層板的剛度不變量的概念擴展到正交各向異性層合板XY平面內(nèi)的層合板剛度可以用通用的形式給出：層合板剛度不變量概念

當所有正交各向異性層的材料都相同時，常數(shù)U可以移到積分號外面層合板剛度不變量概念我們令：層合板剛度不變量概念剛度V0(A,B,D)V1(A,B,D)V2(A,B,D)V3(A,B,D)V4(A,B,D)(A11,B11,D11)U1U20U30(A22,B22,D22)U1-U20U30(A12,B12,D12)U400-U30(A66,B66,D66)U500-U302(A16,B16,D16)00U202U32(A26,B26,D26)00U20-2U3以單層性能為函數(shù)的層合板剛度層合板剛度不變量概念由于每一層在自己的空間范圍內(nèi)都是均勻的簡化層合板剛度不變量的特殊結(jié)果研究幾種特殊情況幫助理解Vi(A,B,D)的求和數(shù)學知識：奇函數(shù)（反對稱）在對稱于原點的區(qū)間內(nèi)積分等于零偶函數(shù)（對稱）在對稱于原點的區(qū)間內(nèi)積分等于有限數(shù)層合板剛度不變量的特殊結(jié)果考察以下四種情況鋪層角是z的奇函數(shù)鋪層角是z的偶函數(shù)鋪層角是z的隨機函數(shù)鋪層角是/N的增量，N為總層數(shù)層合板剛度不變量的特殊結(jié)果1、鋪層角是z的奇函數(shù)-+z下列積分項為奇函數(shù)下列積分項為偶函數(shù)下列和值為零：下列剛度分量為零：P=2or4層合板剛度不變量的特殊結(jié)果2、鋪層角是z的偶函數(shù)下列積分項為奇函數(shù)下列積分項為偶函數(shù)下列和值為零：下列剛度分量為零：-+z-層合板剛度不變量的特殊結(jié)果3、鋪層角是z的隨機函數(shù)z定義為單獨的Vi(A,B,D)的空間平均值其中p為偶數(shù)，互換積分次序?qū)雍习鍎偠炔蛔兞康奶厥饨Y(jié)果3、鋪層角是z的隨機函數(shù)z當所有Vi（A，B，D）為零時，剛度中僅有常數(shù)項層合板是宏觀各向同性，但仍然是非均勻的，應(yīng)力分布是不連續(xù)的且與各向同性材料不同層合板剛度不變量的特殊結(jié)果4、鋪層角是/N（有N層等厚度，N〉2）的情況-/3+/3

z/2-/4

z/4層合板剛度不變量的特殊結(jié)果Aij是各向同性的，但Bij不為零，準各向同性材料層合板剛度不變量的應(yīng)用U1和U5是層合板平均剛度的基本指標對各向同性材料，它們是拉伸剛度和剪切剛度建議正交各向異性不變量U1和U5依次稱為各向同性剛度和各向同性剪切剛度是復(fù)合材料層合板最小剛度能力的一個實際度量可以與其他各向同性材料或正交各向異性材料進行比較借助于各向同性剛度，可以完成層合板的優(yōu)化或設(shè)計層合板的某些性質(zhì)是隨著鋪層角的改變圍繞各向同性剛度變化的層合板剛度不變量的應(yīng)用硼/環(huán)氧復(fù)合材料所有曲線下面的面積都是相同的復(fù)合材料力學重點內(nèi)容經(jīng)典層合理論層合板的強度問題層合板的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系剛度的特殊情況層間應(yīng)力強度分析方法層合板設(shè)計層合板的宏觀力學性能層合板的彎曲振動與屈曲層合平板的彎曲、屈曲與振動層合平板是復(fù)合材料層合板最簡單和最廣泛使用的一種形式學習的目的是分析各種耦合剛度（Bij、A16、A26、D16、D26）對層合平板彎曲、屈曲和振動性能的影響，這是纖維增強復(fù)合材料力學課程的主要部分，不包括層合板理論的全部研究內(nèi)容，而是研究層合平板的某些很重要結(jié)果，用以評價剛度的物理意義從層合平板的基本理論—列出層合平板的彎曲、屈曲和振動的基本微分方程和邊界條件以及可能的解法—特定例子的性能（特殊材料的簡支矩形板）層合平板的彎曲、屈曲與振動層合平板的尺寸作用于層合平板的力和力矩彎曲、屈曲與振動的基本方程基本限制和假設(shè)限制是理論應(yīng)用的限定，是明顯的滿足或不滿足，什么理論適用于什么問題假設(shè)是對理論不精確性的限定（一些我們不清楚或者可以忽略的）限制和假設(shè)的區(qū)別在于限制只涉及已知量，而假設(shè)包含了未知量（我們要推測的未知量）彎曲、屈曲與振動的基本方程基本限制薄板（t<1/5aorb）、小變形（w<1/4t）,無面內(nèi)張力每層單層板是正交各向異性的，但材料主方向不一定與層合板坐標軸一致，材料是線彈性的，且每一層及層合板是等厚度的板的厚度與其長度和寬度相比很小，即為薄板不考慮體積力彎曲、屈曲與振動的基本方程基本假設(shè)：與層合板理論依據(jù)的假設(shè)相同，對于薄層合板有下列基本假設(shè)：作用在xy平面（板平面）內(nèi)的應(yīng)力支配板的性能，假設(shè)z、xz、yz為零，即近似為平面應(yīng)力狀態(tài)，只考慮x、y、xy

。忽略橫向剪應(yīng)變xz、yz,Kirchhoff假設(shè)（直法線），橫向剪應(yīng)變近似為零，即固有的中面法線不變形。這與z=0矛盾，但通常忽略不計，x、y、xy以及u，v是z的線性函數(shù)位移u，v和w與板厚相比較很小，應(yīng)變x、y、xy與1相比很?。ㄐ隙壤碚摚衣匀マD(zhuǎn)動慣量彎曲、屈曲與振動的基本方程如果忽略了橫向剪應(yīng)變或假設(shè)為零，那么根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，整個板的橫向剪應(yīng)力也為零；另一方面，即使是對橫向剪應(yīng)變不做假設(shè)，我們知道如果沒有剪切載荷，在板的上下表面的橫向剪應(yīng)力為零，在經(jīng)典層合理論中，通常把橫向剪應(yīng)變視為零，橫向剪應(yīng)力由平衡方程來計算根據(jù)克?；舴蚣僭O(shè)，留下x、y、xy以及u，v是z的線性函數(shù)，此外，應(yīng)力也是相應(yīng)橫坐標z的線性不連續(xù)函數(shù)由于放寬了薄板的限制，平面應(yīng)力假設(shè)z、xz、yz與面內(nèi)應(yīng)力相比很小，引起起的變形可以忽略不計，但在維持應(yīng)力平衡是必需的，不能忽略層合平板的彎曲層合平板的尺寸作用于層合平板的力和力矩彎曲問題是指在橫向載荷q（x，y）作用下求解層合板的撓度、變形和應(yīng)力層合平板的彎曲由層合板的合力和合力矩與中面應(yīng)變和曲率有下列關(guān)系層合平板的彎曲從層合板中取一板元素dxdyt，其上作用合力和合力矩層合平板的彎曲平衡方程為繞y軸力矩平衡繞x軸力矩平衡層合平板的彎曲層合平板的彎曲得到用u0、v0、w表示的平衡方程，為書寫簡單，將的下標0略去，用“，”表示對下標的微分，可得三個方程，三個未知數(shù)u，v，w層合平板的彎曲引進算子含有Bij，反映拉伸、彎曲耦合效應(yīng)層合平板的彎曲平衡方程可以簡化成層合平板的彎曲當層合板對稱于中面時，Bij=0，三個式子相互獨立，第三個方程只包含w項層合平板的彎曲u,v與w的方程相互獨立，可分別求解層合平板的彎曲-撓度方程對稱情況下，與均勻各向異性板的方程一致，只是計算Dij時不同如果是正交各向異性層合板，D16=D26=0與均勻正交各向異性板的方程一致，如果是各層均為各向同性材料，但每層不一定相同，D16=D26=0，D11=D22=D12+2D66=D，平衡方程與各向同性板完全一樣層合平板的彎曲-邊界條件非對稱層合板的一般情況，需要聯(lián)合求解平面問題和彎曲問題。相應(yīng)地，在邊界條件中也要同時規(guī)定平面邊界條件和彎曲邊界條件，對于四階微分方程，每邊需要有4個邊界條件簡支邊界條件（用S表示）層合平板的彎曲-邊界條件非對稱層合板的一般情況，需要聯(lián)合求解平面問題和彎曲問題。相應(yīng)地，在邊界條件中也要同時規(guī)定平面邊界條件和彎曲邊界條件，對于四階微分方程，每邊需要有4個邊界條件固支邊界條件（用c表示）層合平板的彎曲-簡支板的彎曲考慮一四邊簡支并承受分布橫向載荷q(x,y)作用的矩形層合板可用雙三角級數(shù)解，將橫向載荷q(x,y)展開為層合平板的彎曲-簡支板的彎曲一般來說m,n為任意正整數(shù)，qmn可由下式求出可用雙三角級數(shù)解，將橫向載荷q(x,y)展開為對于均布載荷q（x，y）=q0特殊正交各向異性層合板板的撓度w只由一平衡微分方程描述簡支邊界條件：滿足簡支邊界條件假設(shè)特殊正交各向異性層合板對于均布載荷

精確解對稱角鋪設(shè)層合板假設(shè)邊界條件為不為零由于D16、D26的存在，撓度w的表達式不能用雙三角級數(shù)展開，否則w，xxxy和w，xyyy將出現(xiàn)正弦和余弦奇次函數(shù)，變量不能分離，此外撓度展開式也不滿足邊界條件，因此可以用近似解法——瑞利-里茨法（Rayleigh-Ritz）對稱角鋪設(shè)層合板

應(yīng)變能外力所做的功為層合板總勢能為對稱角鋪設(shè)層合板仍選取表達式它滿足位移邊界條件，即但仍不滿足力的邊界條件，即這時可用最小勢能原理，將w的表達式代入總勢能表達式，由最小勢能原理可知對稱角鋪設(shè)層合板如果選取m=1，2，3…,7，n=1，2，3，…7,則由上式可得到49個線形代數(shù)方程，可解得49個未知量amn對于受均布載荷q0正方形板（a=b），當?shù)玫綄雍习宓淖畲髶隙葹榫_解對稱角鋪設(shè)層合板如果忽略D16和D26，即把對稱角鋪設(shè)近似地作為即為特殊正交各向異性層合板，則最大撓度為精確解比較以上結(jié)果可知，忽略彎曲、扭轉(zhuǎn)耦合剛度后誤差約為28%,所以不允許采用特殊正交各向異性層合板作為對稱角鋪設(shè)層合板的近似反對稱正交鋪設(shè)層合板反對稱正交鋪層合板拉伸：A11=A22，A12，A66耦合：B11，B22=-B11彎曲：D11=D22，D12，D66平衡方程反對稱正交鋪設(shè)層合板S2簡支條件選取位移滿足邊界條件，可得精確解反對稱正交鋪設(shè)層合板不同層數(shù)反對稱碳/環(huán)氧正交層合板的撓度無限多層相當于忽略了拉伸-彎曲耦合的特殊正交層合板對2層，如果忽略影響很大，3倍隨層數(shù)增加，拉彎耦合對撓度影響衰減很快，與長寬比無關(guān)層數(shù)>6，可忽略耦合影響反對稱角鋪設(shè)層合板A16=A26=D16=D26=0拉彎耦合剛度B16、B26耦合影響類似層合板的屈曲屈曲：失穩(wěn)，特殊的失效狀態(tài)，變形嚴重而失去使用功能，結(jié)構(gòu)行為平板的屈曲是當平面內(nèi)載荷（壓縮、剪切）達到一定大時，以致初始平直的平衡狀態(tài)不再穩(wěn)定而撓曲成為曲面形狀，使板產(chǎn)生偏離平衡狀態(tài)的載荷叫屈曲載荷層合平板的屈曲是指在平面內(nèi)壓縮和剪切載荷作用下，當載荷增加到一定值時產(chǎn)生有橫向撓度的另一種平衡狀態(tài)，此時屬于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，通常稱板發(fā)生屈曲，相應(yīng)于產(chǎn)生屈曲的載荷值稱為臨界載荷從理論上講，板的屈曲形式和相應(yīng)的臨界載荷值有無窮多個，但實際應(yīng)用只需求得其中最小的一個臨界載荷值，并稱為屈曲載荷屈曲方程和邊界條件假設(shè)屈曲以前是薄膜應(yīng)力狀態(tài)，不考慮拉彎耦合影響，當薄板受平面載荷時，由薄膜狀態(tài)進入屈曲狀態(tài)，控制屈曲的微分方程為式中表示從屈曲前的平衡狀態(tài)開始的變分（力和力矩的變分、位移的變分），其中合力和合力矩的變分與應(yīng)變變形的變分的關(guān)系仍用經(jīng)典層合理論的力-中面應(yīng)變/曲率，力矩-中面應(yīng)變/曲率關(guān)系。用位移表示的屈曲方程與彎曲方程相似（除用變分符號外），但二者有本質(zhì)不同，彎曲問題數(shù)學上屬邊界值問題，而屈曲問題屬求特征值問題，其本質(zhì)是求引起屈曲的最小載荷，而屈曲后的變形大小是不確定的屈曲方程和邊界條件屈曲問題的邊界條件僅適用于屈曲變形，因為屈曲前變形假設(shè)為薄膜狀態(tài)，特征值問題的一個明顯特點是所有的邊界條件都是齊次的，即皆為零，這樣簡支邊界條件為屈曲方程和邊界條件固支邊界條件為在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲考慮沿著x方向作用均勻平面力的四邊簡支矩形層合板，討論特殊正交各向異性層合板情況這種層合板沒有拉彎耦合、拉剪耦合和彎扭耦合在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲對于板屈曲載荷問題，只有一個屈曲方程來描述四邊簡支的邊界條件為：這個四階微分方程和相應(yīng)齊次邊界條件的解與前面的彎曲問題一樣，可選取雙三角級數(shù)形式的解滿足邊界條件，這里m和n分別為x和y方向的屈曲半波數(shù)在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲當n=1時，上式有最小值，所以臨界載荷為在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲不同m值下的臨界載荷最小值并不明顯，它隨不同的剛度和長寬比a/b而變化角對稱鋪設(shè)層合板與分析彎曲類似，可獲得近似解在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲a/b<2.5，在x方向以一個半波屈曲，對a=b隨a/b增加，在x方向屈曲成更多的半波，但臨界載荷對a/b的曲線趨于平坦，接近在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲反對稱正交鋪層合板拉伸：A11=A22，A12，A66耦合：B11，B22=-B11彎曲：D11=D22，D12，D66屈曲方程聯(lián)立在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲S2簡支條件選取位移滿足邊界條件，可得精確解在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲Nx是m、n的復(fù)雜函數(shù)，研究m和n取值范圍的過程，求出其最小屈曲載荷在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲Nx0：B11=0，正方形，特殊正交各向異性反對稱角鋪設(shè)層合板A16=A26=D16=D26=0，拉彎耦合剛度B16、B26反對稱角鋪設(shè)層合板層合平板的振動對于板的振動問題，主要是求解板的固有頻率和振型，這里限于討論自由振動與屈曲問題類似，板的固有頻率理論上有無窮多個，其中最低的頻率稱為板的基頻與屈曲問題不同的是工程應(yīng)用上除基頻外，有時也需要求出其他更高階的頻率值另外，往往需要了解相應(yīng)于各階頻率的振型振動方程和邊界條件考慮到板的運動慣性力，振動方程為密度、加速度表示從平衡狀態(tài)起的變分，撓度w