2015年高考數(shù)學模擬題沖刺

一、選擇題的解 .-3選擇提分專練(1)..................................................................................................................-9選擇提分專練(2)................................................................................................................-12選擇提分專練(3)................................................................................................................-15二、填空題的解法.................................................................................................................-18填空提分專練(1)................................................................................................................-24填空提分專練(2)................................................................................................................-25填空提分專練(3)................................................................................................................-26三、解答題的八個答題模板.................................................................................................-27四、三角函數(shù)、解三角形、平面向量.................................................................................-47高考專題訓練三角函數(shù)(解答題55高考專題訓練立體幾何(解答題)(理66--高考專題訓練概率與統(tǒng)計(解答題79-七、數(shù)列、不等式.................................................................................................................-82數(shù)-高考專題訓練函數(shù)與導數(shù)(解答題105-高考專題訓練解析幾何(解答題116-十、專題訓練.......................................................................................................................-119專題練習二函數(shù)與導數(shù)123專題練習三三角變換與解三角形、平面向量127專題練習四數(shù)列與不等式131專題練習五立體幾 .-135專題練習九集合與邏輯用語、框圖、復數(shù)、幾何證明、坐標系與參數(shù)方程151一、選擇題的解方法 直接例 數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知 1，且對任意正整

m、n

Sn<a恒成立，則實數(shù)a的最小值為 3 解

＝a·am＝1

＝a

m

n1?an

1＝2(1－3n)<2Sn<a11答

y＝sin2x(x∈R)m(m>0)n(n>0)個單位所得到的圖象都與函數(shù)

B. D.答 3 3π

66

π 33方法 特例2(1)等差數(shù)列{an}m302m1003m項和為( (2)如圖，在棱柱的側棱A1A和B1B上各有一動點P、Q滿足A1P＝BQ，過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為( D.D. 差數(shù)列，進而a3＝110，故S3＝210，選C. VABCAB＝ 1113答 O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A＝60°

cosB

cosC→ →，sinC·AB＋sinB

則m的值為 22A. 22答 解 如圖，當△ABC為正三角形時，A＝B＝C＝60°，取D為BC的中點→21→1 33AB＋31 2∴ →4∴＝2方法 例3函數(shù)y＝xsinx在[－π，π]上的圖象是 解 容易判斷函數(shù)y＝xsinx為偶函數(shù)，可排除π0<x<2時，y＝xsinx>0x＝π時，y＝0C答 可以是 答案解析y＝2|x|，發(fā)現(xiàn)它是偶函數(shù)，x≥0x＝0時函數(shù)取得最小1，而當x＝±4時，函數(shù)值為16，故一定有0∈[a，b]4∈[a，b]或者－4∈[a，b]，從而a＝－4時，0≤b≤4，b＝4時，－4≤a≤0b＝g(a)B.方法四數(shù)形(圖解法例 函數(shù)f(x)＝1|x－1|＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零點之和等于 由f(x)＝1|x－1|＋2cosπx＝0，得1|x－1|h(x)＝－2cos

g(x)＝1|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤g(x)＝1|x－1|x＝1x＝1h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤g(x)＝1|x－1|(－2≤x≤4)h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)x＝1對稱，且6答 ±過點(2，0)引直線l與曲線y＝1－x2相交于AB兩點，O為坐標原點當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于( ±A.

B．－B

D．－答 由y＝1－x2，得x2＋y2＝1(y≥0)，其所表示的圖形是以原點O為圓心，1為半徑的上lA，C選項．當其斜率為－3l方程為3x＋y－6＝0O到其距離為|－6|＝

D

2方法五例 若A為不等式組

a從－21x＋y＝a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為 44

4解 如圖知區(qū)域的面積是△OAB去掉一個小直角三角形41

2×2＝2C答

關鍵在于所求值應該比△AOB的面積小且大于其面積的一半．sinθ

4－2m ＝

，cos

1

答 2 試根據(jù)答案的數(shù)值特征分析．由于受條件sin2θ＋cos2θ＝1的制約，m為一確定的值，進而2

πθ 選擇提分專練 是純虛數(shù)，則實i 是純虛數(shù)，則實i

1

＋5i

5設全集 解 由圖中陰影部分表示集合A∩(?UB)A＝{x|x(x答 pqp，則q0p?x0∈Rx2＋1<0，則p：?x∈R0p，q，若“p∨qpq b 若“p∨q”為假，則命題p與q均假，錯誤；D中，a＝b＝0D/a＝－1錯誤．b答 某校200名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間 2解析由直方圖知[90,100]內的頻率為：1[1－(0.02＋0.03＋0.04)×10]＝0.05，所以成績在2答 故選A.答 5 C．5

PCDABCD，PC＝PDAB、CDM、

4×5＝2

P－ABCD答 若直線y＝kx與圓(x－2)2＋y2＝1的兩個交點關于直線2x＋y＋b＝0對稱，則k，b 解 依題意知直線y＝kx與直線2x＋y＋b＝0垂直，且直線2x＋y＋b＝0過圓心，＝ ＝以 即答 解 loga＋loga＋…＋log

＝log(aa

)＝log(a

2 2答

2

21

25已知△ABCA，B，Ca，b，c，若

則△ABC的面積為

6A.6C.

B.＝解 由正弦定理 c ＝及 得 4sinB＝1－cos2B＝154

△ABC＝2acsinB＝2×1×2×4＝4答 已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋a，其中a≥16，則下列說法正確的是( f′(x)＝3x2－12，令f′(x)>0得x>2或x<－2，令f′(x)<0得－2<x<2.a≥16.∴f(2)≥0，答 →橢圓36＋9＝1上有兩個動點P，Q，E(3,0)，EP⊥EQ，則EP·QP的最小值為 B．3－3 3 解 設P點坐標為(m，n)，則36＋9∴|PE|＝ 3 ∴|PE|的最小值為∴→ → → → → →EP·QP＝EP·(EP－EQ)＝EP－EP·EQ＝|EP|，故EP·QP答 f(x，y)＝0f(x，y)＝0的④|x|＋1＝ 選擇提分專練A＝{x|0≤x＋3≤8}，B＝{x|x2－3x－4>0}A∩B等于()A．{x|－3≤x＜－14＜x≤5}解析A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|x<－1x>4}A∩B＝{x|－3≤x＜－1答

＝＝

解 答

解 答 x 當log2x≥0，即x≥1時，f(x)＝2log2x＝x；當log2x<0，即0<x<1時，f(x)＝2－log2x＝1，x0<x<1答

＝x

x≥1y＝x a其中所有正確結論的序號是 C．①③④解

?ac<0，故c>cac<0知，y＝xc在(0，＋∞)上是減函數(shù)，ac<bc，故②正確．a(chǎn)－c>b－c>1.a>b>1，答 已知雙曲線259＝1MF218，NMF2點，O是坐標原點，則|ON|等于 3 3解 ON為△MF1F222答 如圖所示的程序框圖，輸出的S的值為 B． 2解 k＝1時

k＝2

k＝3k＝4k＝2016時，S＝－1.答案C若由不等式組x－的圓心在x軸上，則實數(shù)m的值為

33C.

B．－3D3D．－x軸上，x＝my＋nx－3y＝0垂直， 1∴m×3m＝－3x x

＋＋

解 令x＝1，可得4x＋1n的展開式中各項系數(shù)之和為

＝Cr·(4x)3－r·x－r＝Cr43－r

x2令2＝033答 10．(理)某研究性學組有4名同學要在同一天的上、下午到做A、B、C、D、E實驗，其余實驗都各做一個，則不同的安排方式共有()A．144 B．192C．216 D．264解 A、B、C4 32EA、B、C三個實驗C1×3＝924×(2＋9)＝264D.3答 10．(文)已知函數(shù)f(x)＝cosx(x∈(0,2π))有兩個不同的零點x1，x2且f(x)＝mx3，x4.若把這四個數(shù)按從小到大排列構m的值為()2 2C.

D．－D解 假設方程f(x)＝m的兩個實根

的零點為22 可得2<x3<x42 2266所以 3cos6＝－2答 22

ω的值為 ＝2 故A＝2，由f(0)＝2可得sinφ ＝2而 2，故π

f12＝2sin12 故12T 又4>12T>3，∴0<ω<6答 x0451221x∈[－1，t]時，f(x)2t④當1<a<2時，函數(shù)y＝f(x)－a有4個零點． 選擇提分專練 解 全稱命題的否定是特稱命題，即“存在一個奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)答 已知集合M＝{1,2，zi}，i為虛數(shù)單位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，則復數(shù)z＝( 解

答

＝i＝i2若直線(a＋1)x＋2y＝0與直線x－ay＝1互相垂直，則實數(shù)a的值等于 解 答 “m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的( A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D 1解 mx＋ny＝1可以變形為1＋1 答 C．y＝ 解 答 閱讀程序框圖(如圖)，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[1,3]上，那么輸入的實數(shù)x的取值 C．{x∈R|0≤x≤log23x＝2}解 依題意及框圖可得

0≤x≤log23答

A.＋3，kπ＋6

C. 解 根據(jù)已知得 ＝ω由不等式

π

解得

π 答

x，y，z∈Sx≠yxz≠yz①a，b，c，d②a，b，c，dx∈Sxy＝1其中正確論斷的個數(shù)是 解 答 變化的圖象可能是 解 33r＝htanθ(θ為圓錐軸截面兩母線夾角的一半∴V＝1πh3tan2θ＝tV0h＝kt1(k為常數(shù)) 答 M，N①M，Ny＝f(x)已知函數(shù)

此函數(shù)的“友好點對”有 A．0 B．1 C．2對D．3 由題意，當x>0時，將f(x)＝log3x的圖象關于原點對稱后可知g(x)＝－log3(－x)(x<0)的圖象與x<0時f(x)＝－x2－4x存在兩個交點，故“友好點對”的數(shù)量為2.答 定義兩個實數(shù)間的一種新運算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.對任意實數(shù)a，b，c給出如下結論：其中正確結論的個數(shù)是 解 因為答 x2＝f(x1)x2≤257x3＝f(x2)xn－1≤257xn＝f(xn－1)，否則停止賦值．已知賦值k(k∈N*)次后該過程停止，則x0的取值范圍是( 于是xn－1＝2n(x0－1)，即xn＝2n(x0－1)＋1.答 解析①顯然錯誤；③容易造成錯覺，tmax＝5；④錯誤，f(2)f′(x)<0答 答 二、填空題的解由于填空題不需要寫出具體的推理、計算過程，因此要想“快速”解答填空題，則千萬不可方法 直接 例 PC→解 由橢圓方程知c＝4－3＝1，所以F2(1,0)CAAF2⊥F1F2A(1，y0)y2＝9 22則 →3≤y1≤3→的最大值為3 2332已知復數(shù)z＝a＋(a－1)i(a∈R，i為虛數(shù)單位)為實數(shù)，則復數(shù)zi在復平面上所對應 答 因為復數(shù)z＝a＋(a－1)i(a∈R，i為虛數(shù)單位)為實數(shù)，所以a－1＝0，zi在復平面上所對應的點的坐標為方法 特例例 解 方法 ∵→ →

→→→

＝→→→ → →∵AP⊥BD，∴→→又∵→ → →AP·AB＝|AP||AB|cos∠BAP＝|AP|∴→ →AP·AC＝2|AP|方法 把平行四邊形ABCD看成正方形，則P點為對角線的交點，AC＝6，則→→答 3如圖，在△ABC中，AD⊥AB3

＝1，則

→ 答

33解 則 |BC|＝2∴→ → → →＝2 0＝

3方法 迅速作出判斷，簡捷地解決問題，得出正確的結果，Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方例3已知函數(shù)f(x)＝x|x－2|，則不等式f(2－x)≤f(1)的解集 解 函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，由不等式f(2－x)≤f(1)知，2－x≤2＋1，從而得到不等f(2－x)≤f(1)的解集為答 (2013·)設D為不等式組

D 225解 作不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示(△OAB及其內部)，P(1,0)2x－y＝0225方法 構造

例4(1)如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面＝BC＝2，則球O的體積等 (2)16，25，36(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大小關系 (1)如圖，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，方體的體對角線長即為球O的直徑，所以22＋222＋22＋＝2RR＝2OV＝3＝

而 ，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在e4e5e4e5答 (1) 已知a＝ln1 1，b＝1－1，c＝1 1，則a 大小關系

2

2

2

2

2

2在上面的結論中，正確結論的序號 答 解 (1)令f(x)＝lnx－x，則

0<x<1

＝x－＝x∵11∵ 201320142(2)用正方體ABCD—A1B1C1D1實例說明A1D1與BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1與BC1ABCD上的投影互相垂直，BC1DD1ABCD上的投影是一條直線及其外方法五例5 觀察下列算式：13＝1,23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若某數(shù)m3按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2015”這個數(shù)，則m＝ 由題意可得第n個算式的左邊是n3，右邊是n個連續(xù)奇數(shù)的和，設第n個算式的第一a

a＝n2－n＋1

，故

2015453答 n

1nnkN(n，k)(k≥3) ＝2n三角形 ＝2正方形 五邊形 ＝2六邊形 按照上面的規(guī)律，第n個“”圖需要火柴棒的根數(shù) 答 (1)1 解 (1)由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推測：當k為偶數(shù)時

k－2

＝2n＋

＝1100－100＝1列，所以，第n個“”圖需要火柴棒的根數(shù)為6n＋2.填空提分專練1．某產(chǎn)品的費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表3456yab根據(jù)上表可得回歸方程^＝^＋^中的^為7.據(jù)此模型預 費用為10萬元時銷售額yab

—

x ，y b＝7，把點(4.5,35)代入回歸方程得^得 y＝7x＋3.5x＝10答 算，則輸出n 的值為 ．解析由數(shù)列遞推

＝2，an＝2－nSn＝(2＋2＋…＋2)

n＝11

－2－66＝4028>2014n＝10＝211－2－55<2014答 3、如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，點D在BC邊上，∠ADC＝75°，則AD的長 解 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2由余弦定理得：AD2＝CD2＋AC2－2CD×AC×cosC＝8－4∴AD＝6－答 6－4m，nα，βm，n是兩條異面直線，m?α，n?β，m∥β，n∥α 5、在極坐標中，圓ρ=4cosθ的圓心C到直線的距離為 解：由ρ=4cosθ，化為直角坐標方程為x2+y2﹣4x=0，其圓心是A（2，0由得： ①C②C③Ct＜1或④若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則． 解：由圓的定義可知：當4﹣t=t﹣1時，即t=時方程表示圓，故①錯由雙曲線的定義可知：當（4﹣t（t﹣1）＜0t＜1或t＞4時方程由橢圓定義可知（1）當橢圓在x軸上時，當滿足 時，即 表示焦點在x軸上的橢圓，故④正確．（2） 時，即＜t＜4時方y(tǒng)軸上的橢圓，故②錯誤．填空提分專練若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓 解 設圓心坐標為則|b|＝1 由1故所求圓的標準方程是答 不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集 8x≥8.∴原不等式的解集為答 在邊長為2的正方形ABCD內部任取一點M. 解 (1)以AB為直徑作圓，當M在圓與正方形重合形成的半圓內時π M位于正方形與圓重合形成的弓形內時，∠AMB>135°， 4×2

＝8答 (2)在△ABCA，B，Ca，b，ca＝23，c＝2

＝b，則 解 由

＋tanB＝b由正弦定理得，23＝2 2＝ 2＝答 5、若函數(shù)f(x)＝|logax|(0<a<1)在區(qū)間(a,3a－1)上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍 解析：由于f(x)＝|logax|在(0,1]上遞減，在(1，＋∞)上遞增，所以0<a<3a－1≤1，

a 6、已知定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，對于滿足0<x1<x2<1x1、x2，給出下列結論f(x1)＋f(x2) 2

解析：由f(x2)－f(x1)>x2－x1，可

>1，即兩點(x1，f(x1))與(x2，f(x2))連線f(x1)xx斜率大于1，顯然①不正確；由x2f(x1)>x1f(x2) ，即表示兩點(x1，f(x1))、xx 填空提分專練 線的離心率等于5，則該雙曲線的標準方程 解 由題意知

5a＝5，b2＝20 方程為5 答案5若直線y＝2x＋m是曲線y＝xlnx的切線，則實數(shù)m的值 解 設切點為y′＝(xlnx)′＝lnx＋

y＝(lnx0＋1)x－x0y＝2x＋m比較得

，2，n＝3，0P(x，y)y＝sinx的圖象上運動．Qy＝f(x)足 OQ＝m?OP＋n(其中O為坐標原點)，則函數(shù)y＝f(x)的值域 解

OQ＝m?OP＋n＝33 消去x得d＝sinc－22

∴y＝f(x)＝2sin2 答 是

3232

y 1y【答案】(2)x>0時，f(x)＝|x－a|－2af(x)R上的“2013a 解 由題意得，當x>0時a≥0f(x)的圖象如圖(1)f(－a)＝2a，5a－(－a)＝6a<2

＜a<0f(x)的圖象如圖(2)所示，f(x)為增函數(shù)，∵x＋22f(x＋2013)>f(x)．2 答 －∞，2解 ①錯誤，②③④正確．答 6、函數(shù)f(x)3sin(2xπ)的圖象為C，如下結論中正確的 （3出所有正確結論的編號①圖象Cx11π②圖象C的所有對稱中心都可以表示為(k，0)(kZ6f

π5π

在區(qū)間 ，內是增函數(shù)1212y3cos2x個單位長度可以得到圖象Cf(x在[0上的最小值是32三、解答題的八個答題模模板 f(x)＝2cosx·sin＋3－3sinx＋sinxcos審題路線 解f(x)＝2cos x＋cosx－3sin2x＋sinxcos ＝2sinxcosx＋3(cos2x－sin2x)＋1＝sin2x＋3cos 函數(shù) 2 ∴當 2kπ，k∈Z，即x＝π＋kπ，k∈Z時，f(x) 2x＋3＝－2＋2kπ，k∈Zx＝－12＋kπ，k∈Z kπ≤x≤π kπ，π＋kπ 般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即 整體代換：將ωx＋φ看作一個整體，利用y＝sinx，y＝cosx的性質確 求解：利用ωx＋φ的范圍求條件解得函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性 (2014·福建)已知函數(shù)f(x)＝cosx(sinx＋cos ＝(1)若0<α sin ＝解:方法一(1)

sin 2＝ 2＝所以cos 2

f(α)＝

( 2

＝2 2×2＋2＝(2)因為f(x)＝sinxcos

1sin

1＋cos

1sin2x＋1cos＝2

π

－2

＝2由

k∈Z－2≤ —8

π—8，方法 f(x)＝sinxcos

1sin

1＋cos

1sin

1cos＝2

π

sin 2 ＝＝f(α)＝

2 ＝

2

4＝2由

k∈Z－2≤ —8

π—8，模板 在△ABC中，若 2(1)求證：a，b，c(2)B

審題路線 證 因為acos2C＋ccos2A＝a1＋cos 1＋cos a＋c＋(acosC＋ccos 故 a＋c＝2ba，b，c成等差數(shù) 2 cos ≥ 第一步定條件：即確定三角形中的已知和 第四步再：在實施邊角互化的時候應＝2，cos b＝3.

(1)ac (1)由→→＝2得c·acoscos

1

a2＋c2＝b2＋2accos

(2)在△ABC1－1sinB＝1－1得sinC＝csin

＝32 4b

3＝9C1－49cosC＝1－49cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsin

7 2 4

3×9模板 bbn

得得解(1)anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，所以 －cbn 所以數(shù)列{cn}c1＝1d＝2的等差cn＝2n－1.(2)bn＝3n－1于是數(shù)列{an}n第一步找遞推：根據(jù)已知條件確定數(shù)列相第二步求通項：根據(jù)數(shù)列遞推公式轉化為 第四 寫步驟：規(guī)范寫出求和步驟

f(n)－c.數(shù)列{bn}(bn>0)cnSnSn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2)． 1(2)若數(shù)列bb＋nTnTn>2012nnn

由題意知 a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－24 ∴a1＝ ＝－＝ ∴c＝1.q＝2＝ －

∴an＝－2·1n－1＝－2·1n3 ∵Sn－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋＝Sn＋Sn－1bn>0，Sn>0，∴Sn－∴數(shù)列{Sn}11n≥2時，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，n＝1時，b1＝1也適合此通項公式．∴bn＝2n－1(2)Tn＝1＋1＋1＋…＋

1 1 1 ————

1

1 n

由Tn＝ >1001，得n>12n＋12 ∴

1Tn>2012n模板 是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，MAB(2)CD1ABCDCD1＝3C1D1M審題路線

CD∥AMCD∥AMM是AB中點，四邊形ABCDC1MC1M∥平面求平面ABCD 求平面ABCD(1)證明ABCDMABCD∥MA第一步找垂直：找出(或作出)第二步C1M?A1ADD1，D1A?A1ADD1C1M∥(2)解方法 第三步由(1)CD∥AM第四步AMCD第五步的角AB＝2BC＝2，CA＝C為坐標原點，建立如圖(2)C－xyzA(3，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0， 因此M 0，所以→1＝－，－，32，2， －，，0 C1D1M 由 得 可得平面C1D1M的 3x＋y－2n＝(1，3，1)＝(0,0，3)ABCD→ 5法向量，因此cos〈→1，n〉＝ ＝.所以平面C1D1M和 ABCD所成的角(銳角)的余弦值為5方法二由(1)D1C1M∩ABCD＝CABABD1N⊥AB，因此∠D1NCC1－AB－C的平面角．Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°CN＝3ND1＝CD2＋CN2＝2 2所以 中，cos∠DNC＝CN＝2＝ 15 2C1D1MABCD所成的角(銳角)的余弦值為5BC(1)A1BC1D (1)以A為坐標原點，分別以→，→，→為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐

所以 →cos〉＝ 3

＝10A1BC1D所成角的余弦值為3(2)由題意，知＝(0,2,0)ABA1的一個法向量．ADC1m＝(x，y，z)，因為 ADC1ABA1θ，5 5|所以|cosθ|＝|cos〈AC，m〉|＝AC·m |＝，得sinθ＝|→

3ADC1ABA1所成二面角的正弦值為3模板 橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，短軸長為 2，直線l與yP(0，m)CA，B，且→＝ (1)求橢圓C的方程 (2)求m的取值范圍 →＝ →＝設 解(1)C的方程為設c>0，c2＝a2－b2，由題意，知2b＝ 2，a＝ a＝1，b＝c＝2.Cy1＝1y＋2x2(2)ly＝kx＋m(k≠0)，lC 得 所以 所以 當 1時，上式不成立 當m≠4時，k＝ 4m 又k≠0，所以k＝ >0.解得－1<m<－2或4m即所求m的取值范圍為 2，第一步提關系：從題設條件第二步找函數(shù)：用一個變量第三步得范圍：通過求解含第四步再回顧：注意目標變 l的距離與點(－1,0)l

4ce 設直線

1的方程為a>1，得到點(1,0)l

同理可得點(－1,0)l于是s＝d1＋d2＝

由

≥5c

c≥5c

≥2c5e2－1≥2e2 解得4≤ee>1e的取值范圍是5， 模板 C(－1,0)x2＋3y2＝5CA，B兩點．

ABxMM

審題路線 → → (1)依題意，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝y(tǒng)＝k(x＋1)x2＋3y2＝5y整理得 .3k 由線段AB中點的橫坐標是－2，得 ＝－3k2＋＝－2，1k＝±3，適合ABx－3y＋1＝0x＋(2)xM(m,0)·MA(ⅰ)當直線AB與x軸不垂直時，由(1)知x1＋x2＝－2 3kx1x2＝ .3k所以→ MA·MB＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k將③代入，整理得·MA 第一步先假定：假設結論成第二步再推理：以假設結論第三步下結論：若推出合理第四步再回顧：查看關鍵 6m＋14注意到·kMA7，此時·→ MA(ⅱ)ABxA、B－1，2、－1，－ 當 →→綜上，在x軸上存在定點 7，0，使→·→為常數(shù) MA (1)E在第一、四象限)，且△OAB8.lEE (1)因為雙曲線E的漸近線分別為

所 ＝2，故c從而雙曲線E的離心率 由(1)知，雙曲線E的方程為lxl⊥xlE有且只有一個公共點，又因為△OAB E的方程為4

若存在滿足條件的雙曲線 則E的方程只能為4lx E4－16＝1ly＝kx＋m得k>2或k<－2，則

—k由

y1＝

y2＝2m

由 1|OC|·|y－y|， m 2m2－k 由 44－k2<0，m2＝4(k2－4)，Δ＝0lE lEE的方程為4 方法 由(1)知，雙曲線E的方程為l

由 得

同理，得 lxC由

＋

由

得4m2－1<0lEΔ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－即4m2a2＋t2－a2＝0， l E的方程為4方法 當直線l不與x軸垂直時l2 依題意，得k>2或 得(4－k)x－2kmx－m

2又因為△OAB的面積為 2又易知 2x2＋y2·＝5，所以

2＝4，得m＝4(k 由(1)E的方程為由 得4－k2<0lE E的方程為4l⊥x軸時，由△OAB8 l：x＝2E4－16＝1

lEE的方程為4ξ12P1545ξ12P1545模板 甲、乙兩人參加某舉辦的答題闖關游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一364道題，乙答對每道題的概率都是3(2)ξξ審題路線 確定ξ 確定ξ (1)設甲、乙闖關成功分別為事件A、B，則P(A) ＝43 ＝ P(B 2)3＋C1 2)2＝1＋2＝7 3·3 1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B(2)ξ P(ξ＝1)＝42＝，P(ξ＝2)＝4 4＝ξ 第五 列表：列出分布列 1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)2nA，Bn個(1)n＝3ξ(2)C表示事件“ξηC (1)當n＝3時，ξ的所有可能取值為66A，BC3＝20(種)ξ6ξ2345P153315

×5＋

×10＋(2)ξηξηn－12ξηn2ξηn＋k(k＝1,2，…，n－2)(n≥3)2Ck所以當n＝2時 22＋Ckn≥3

C C模板 已知函數(shù)f(x)＝ (1)a＝1y＝f(x)在點(2，f(2))(2)a≠0f(x)x x 1aa—0＋0—xa111＋0—0＋ (1)當a＝1時 ，f(2)＝ 又 a≠0，以下分兩種情況討論．①a＞0f′(x)＝01x變化時，f′(x)，f(x) 在區(qū)間 －a， f－1＝－a2.f(x)x＝af(a) 1②a＜0f′(x)＝0x變化時，f′(x)，f(x) 1 f(x)x1＝af(a) 1處取得極小值 第一步f(x)的導數(shù)f′(x)．注意f(x)的定義域.第二步f′(x)＝第三 列表格：利用＝0的根將f(x)定義域分成若 觀察f(x)的間斷點及步驟規(guī)范y＝f(x)在點(0，f(0))4－c.a，bf(x)c c＝3時，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，f(x)R上為增函數(shù)．由(1)f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4x＝0時等號成立．c±c2－16tc<4x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0f(x)無極值；c＝4x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c±c2－16t根

x1＝1lnt1，x2＝1lnt2.x1<x<x2 x>x2時，f′(x)>0f(x)x＝x2f(x)c的取值范四、三角函數(shù)、解三角形、平面向αθ終邊相同(αθ終邊所在的射線上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的α是任意一個角，P(x，y)α的終邊上的任意一點(異于原點它與原點的距離是r＝x2＋y2>0，那么sin

cos tan P

已知角α的終邊經(jīng)過點P(3，－4)，則sinα＋cosα的值 1答 cos商數(shù)關系：tanα＝sincos誘導公式口訣：奇變偶不變、符號看象－sinsin－sin－sincoscos－cos－coscossin cos4＋tan－6＋sin21π的值 答案2－ 對稱軸：y＝sin

k∈Z；y＝cos

y＝sinx

減區(qū)間：2＋2kπ2

y＝cosx的增區(qū)間：[－π＋2kπ，2kπ]減區(qū)間：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；

y＝tanx

y＝sinx2π，為奇函數(shù)；y＝cosx2π，為偶函數(shù)；y＝tanx的π，為奇函數(shù)．求ω忘掉寫＋2kπ，或＋kπ

5答 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ令α＝βsin2α＝2sinαcosα.cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ令α＝βcostan(α±β)＝tanα±tanβ1?tanαtan

1＋cos

1－cos

2tantan ，sin ，tan2α＝1－2tan1 α＋4＝(α＋β)－

已知α，β∈4，π，sin(α＋β)＝－5，sinβ－4＝13，則 答 a b c正弦定理 ＝2R(R為三角形外接圓的半徑sin sin sin注意：①正弦定理的一些變式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinsinA＝a，sinB＝b，sinC＝c a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2Rsin要結合具體情況進行取舍．在△ABCA>B?sinA>sinB.

在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝60°，則 答 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.0[問題6] 下列四個命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|；④若a＝0，則－a＝0.其中正確命題是 答 a·b＝|a||b|cos cos a·b

x2＋y2 ab上的投影＝|a|cos〈

〉＝|b|

注意a，b〉為銳角?a·b>0且a、b不同向〈a，b〉為直角?a·b＝0a、〈a，b〉為鈍角?a·b<0a、b不反向易錯警示： 已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，則向量a在向量b上的投影 答 5a·b＝0a⊥ba⊥b時，a·b＝0；a·b＝c·ba＝c，消去律不成立；(a·b)ca(b·c)不一定相等，(a·b)cca(b·c)a平行． 下列各命題：①若a·b＝0，則a、b中至少有一個為0；②若a≠0，a·b＝a·c，則．答 ①→ PA＋PB＋PC＝0?P為△ABC的重心②→→→ →PA·PB＝PB·PC＝PC·PA?P為△ABC的垂心 λABAC)(λ≠0)所在直線過△ABC→④

→|PA|＝|PB|＝|PC|?P為△ABC的外心易錯點 ＝例 2(cos3x－sin3x)的圖象向 平 ＝錯解 找準失分點y＝2(cos3x－sin＝sin－3x－π 正 y＝2(cos3x－sin＝sin－3x－π y＝要由y＝sin－3x－π得到y(tǒng)＝sin(－3x)只需對 2 y＝

π

2(cos 左π易錯點 例 已知cos

sin(α＋β)＝5

cos 錯解

π

14

由cos sin 4 ＝7cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sin

＝98或3找準失分點由0<α＋β<π，且 53

＋β<πcos

＝14 1β<33

∴3<α<2α＋β∈3正 cos 1<cos 2 3 53∴3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝14 ∴3∴cos(α＋β)＝－＝7sinα＝ 4＝7∴cos＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sin

1易錯點 例3已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍 錯解∵cos a·b 2λ θcos λ>－2，λ的取值范圍是找準失分點θ為銳角，故0<cosθ<1，錯解中沒有排除cosθ＝1即共線且同向的情況正 由θ為銳角，有0<cos 又∵cos a·b

，解得

2λ＋1≠5·

∴λ的取值范圍是λ|λ>－2且 答 1．(2014·大綱)已知角α的終邊經(jīng)過點(－4,3)，則cos 答 解 因為角α的終邊經(jīng)過點(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos 2．(2014·大綱)設a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，則( 答 cos解 ∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°＝sincos0<cos已知sinθ＋cos π，則sinθ－cosθ的值為 ＝3B 2 B 3答

解 ∵sinθ＋cos

(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin

sin

＝9

0<θ<4，∴sinθ<cos∴sinθ－cosθ＝－sinθ－cos3＝－1－sin2θ＝－3已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是( A．[2－1，2＋1] B．[2－1，2＋2]C．[1， D．[1，答 ∵a·b＝0，且a，b是單位向量，∴|a|＝|b|＝1.∵|a|＝|b|＝1a·b＝0，∴|a＋b|＝∴c2＋1＝22|c|cosθ(θca＋b的夾角)．又－1≤cosθ≤1，∴0<c2＋1≤22|c|，∴c2－2∴2－1≤|c|≤ 2C．－2答

－解 由題圖可知，函數(shù)的最大值為2，因此 即 得 f(0)＝2sin在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若a2＋b2＝2c2，則cosC的最小值 2

答

解 ∵cos

又∴cos

∴cosC的最小值為 7．(2014·山東)在△ABC中，已知

→＝tanA，當

ABC的面積 答 6解 已知

π

tan

|AB||AC|cos → 所以△ABC 1→ ＝2|AB||AC|sin 點，則φ的值 解 由題意，得

×3＋φ＝cosπ2π2

<φ<2)，其部分圖象如圖所示．若橫坐標分別為－1,1,5M，N，Pf(x)上，記∠MNP＝θ，則cos2θ的值 答 －解 所以 ＝ω＝8

π所以－4<φ＋44即 ＋4＝2f(x)＝πM(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)．

→ |NM|＝5，|NP|＝2→＝則 NM·NP ＝→→cos

cos2θ＝2cos2θ－1＝710．(2014·)已知函數(shù)f(x)＝cos

π－ 3，x∈R.＋＋

π上的最大值和最小值

3 32＋cosx)－3cos2cosx·(2sin 3 3＝2sinx·cosx－2cosx＋ 3 3＝4sin2x－4(1＋cos2x)＋ 3＝4sin2x－4cos

＝2 π]上是減函數(shù)，在區(qū)間 π上是增函數(shù)

高考專題訓 三角函數(shù)(解答題f(x)＝a·ba＝(2cosx,1)，b＝(cosx， f(x)＝1－3x∈－3，3x[0π] (1)依題設得f(x)＝2cosx＋3sin2x＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin

＋6＋1＝1－ 3sin＋6＝－2 ∴－2≤2x＋6≤6

π x0πy232002

a＝(cosx＋3sinx，3sinx)，b＝(cosx－3sinx，2cosx) (2)f(θ)＝5，θ∈6，3sin2θ ＝(cosx＋3sinx)(cosx－3sinx)＋＝cos2x－3sin2x＋2＝cos2x－sin2x－2sin2x＋2＝cos2x＋

由題設 即 ∴2θ＋6∈2，6

3

3

＋6－6＝sin2θ＋6cos6－cos2θ＋6sin6＝5×2－－5×2已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中 (2)f(x)M，N，P的橫坐標分別為－1,1,5sin∠MNP 由 ＝ω＝8 ∴4＋φ＝2.

(2)∵f(－1)＝0，f(1)＝1，f(5)＝sin4∴|MN|＝5，|PN|＝20，|MP|＝

＝25× m＝(2cosx＋23sinx,1)，n＝(cosx，－y)yxf(x)f(x)b＋c＝4，求△ABC (1)由m⊥n，得m·n＝2cos2x＋23sinxcosx－y＝0，即y＝2cos2x＋23sinxcosx＝cos2x＋3sin2x＋1π

∴2sin＋6＋1＝3. π4＝b2＋c2－bc，b＋c＝4，

3△ABC＝2bcsinA＝2×4×2＝

鄰對稱中心的距離為2，且過點在△ABC中，a，b，cA，B，C的對邊，a＝5，S△ABC＝25C π f2－12＝6c (1)f(x)＝ π∵兩個相鄰對稱中心的距離為2 ∴sin3 又 ∴f(x)＝sin π 5.＝ ＝a＝

2

c2＝5＋36－25×6×

＝∴c＝五、立體幾主主左)視圖放在正主(主，寬相等”．在畫一個物體的三視圖時，一定注意實線與虛線要分明．[1]如圖，若一個幾何體的正(主)視圖、側(左) 答案3xy軸的線段平行性不變，長度減半．”[問題2] 2答 2S直棱柱側＝c·h(c為底面的周長，h為高SS

正棱錐側＝2ch′(c為底面周長，h′為斜高1正棱臺側＝2(c′＋c)h′(cc′分別為上、下底面周長，h′為斜高S圓柱側＝2πrl(r為底面半徑，l為母線S圓錐側＝πrl(同上S圓臺側＝π(r′＋r)l(r′、r分別為上、下底的半徑，l為母線V柱＝S·h(S為底面面積，h為高1V錐＝3S·h(S為底面面積，h為高1V臺＝3(S＋SS′＋S′)h(S、S′為上、下底面面積，h為高S球

球＝3πR 的正方形，側(左)1 答

[問題4] 在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點，則直線EG和FH的 答 相 答 充分不必l1l2v1v2θcosθ＝|cos〈v1，v2〉方法一分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩條直線的方向向量 方法一分別在二面角的兩個面內找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向 小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．(2)Aα→

＝|n|[問題6] (1)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側棱長與底面邊長相等，則AB1與側面ACC1A1所 (2)ABCD－A1B1C1D11，OA1B1C1D1O的距離 (1)

(2) 由題意知B1E⊥平面ACC1A1，則∠B1AEAB1ACC1A1所成的角．1，sin∠B

6＝21 ＝AB 21方法 如圖以A1C1中點E為原點建立空間直角坐標系E－xyz，設棱長為1，A1，0，1，B 3，0，， sinθ＝|cos〉 3

3 －2，2，－10，2，02×2 ＝2×2

z＝1，得

又2 2∴OABC

2＝1

4易錯點 例1一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 錯解由三視圖知，該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4，寬為2的矩形；兩個梯形側面垂直于底2444.

找準失分點不能準確把握三視圖和幾何體之間的數(shù)量關系，根據(jù)正視圖可知，側視圖中等44.正解＝17.

(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋8表答

易錯點 例2給出下列四個命題其中正確題 錯解1錯解2找準失分點①是錯誤的，因為棱柱的側棱要都平行且相等；④是錯誤的，因為長方體的側正 易錯點 例3已知m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面．給出下列命題mαmαm、nαm其中正確題序號 錯解找準失分點③是錯誤的；⑤是錯誤的正 ①是錯誤的②A′CA′B′C′D′B′D′平行的無數(shù)條直線．④⑤n⊥α答 m，n，lα，β，γα∥β，l?αm，n為異面直線，m?α，n?β，m∥β，n∥α其中正確命題的個數(shù)是 答 面互相平行，這兩個平面是唯一存在的，因此命題④C.設m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個平面，則下列選項中不 m?α時，“n∥α”是“m∥nm?α時，“m⊥β”是“α⊥βn⊥α時，“n⊥β”是“α∥βm?α時，“n⊥α”是“m⊥n答 解 是“m∥n”的既不充分也不必要條件，答案選A. 答 解析所以 ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點，給出以下四個結論：③A1CPM④NC與PM異面．其中不正確的結論是( 答 M，N，P，QC1D1SABR，如圖所示中的六邊形MNSPQR，顯然點A1，C分別位于這個平面的兩側，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能故結論② A．2＋2 B．3＋22 2答 該幾何體的底面是邊長為1的正方形，故S1＝12＝1.故

PD⊥DC，CB⊥PBPB＝PD＝

＝22所以該幾何體的表面積為 2

2＝2＋2. PDABC答 解析PB⊥ADAD⊥ABADAB60°角，A錯誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B錯誤；BCAE是相交直線，所以BC一定不與平PAE平行，CPDABC所成角為∠PDARt△PAD中，AD＝PA，∴∠PDA＝45°，D其中正確的 答 解 取線段BC的中點E，連接∴BC⊥∵AD?OABCD上的射影，OB，OC，OD，∴O為△BCDABCD中，AB＝1，AD＝2角A－BC－D的大小

解 由

＝2 BA與CDθA－BC－D又 → → →AD＝AB＋BC＋CD，∴AD＝→ →→ →AB＋BC2＋CD因此→→

2AB·CD＝(23)－1－3－2

l，mα，βl⊥α，m?β其中為真命題的 答 解 對命題①，則l⊥α，α∥β得對命題②，l⊥mD?/l⊥βl⊥mD?/α∥β，故②對命題③α⊥β時，lm也可能相交或異面或平行，故③錯誤．對命題④l⊥α，l∥mm⊥αm?β，∴α⊥β，故④正確．三棱錐D－ABC及其三視圖中的正(主)視圖和側(左)視圖如圖所示，則棱BD 2答 2 由正(主)視圖知CD⊥平面ABC，設AC中點為E，則BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由側(左)視圖知CD＝4，BE＝23，Rt△BCE中，BC＝BE2＋EC2＝232＋22＝4，Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝42＋42＝42.42.高考專題訓 立體幾何(解答題)(理BC(2)AB＝BB1＝2A1DAC1D解 A1CAC1OOA1C的中點，DBC的中點，如圖．∴在△A1BC∴A1B(2)因為△ABC是等邊三角形，DBC(0,0)，A1(3，0,2)，C1(0，－1,2)．則→則DA＝(→AC1D 由 3x＝0，又→又DA1＝(

277

5×＝35A1DADC1

2

＝35A1DADC1所成角的正弦值為2如圖，ACOBO⊥ACACM，EAABC，F(xiàn)C∥EA，AC＝4，EA＝3，F(xiàn)C＝1.(2)BEFABC (1)證明：∵AC是⊙O的直徑∴FC∴AB(2)由題設可得，AB＝AC·cos30°＝2∴AM＝ABcos30°＝23× 2AACEAC，AEx，y，z軸建立空間直角坐標系．→BF＝(－BEF

BE＝(－由 n·BE＝0n·BF＝0－－x＝3∴n＝(EAABC的法向量為BEFABC則cosθ＝|cos〈n，→〉 3×0＋1×0＋2×3 22＝ 2＝

＝22BEFABC所成的銳二面角的余弦值為22ABCD為矩形，PD2若二面角Q－BP－C的余弦值為 3，求AB的值 (1)證明：設AD＝1，則DQ＝2，DP＝2，在△DPQPQ＝(2)D為坐標原點，DA，DP，DCx軸，y軸，z軸，建立空間直角D－xyz.D則 n1＝(x1，y1，z1)PBC 則 n2＝(x2，y2，z2)PBQ 則 Q－BP－C的余弦值為－5 ∴|cos〈n1，n2〉|＝ 3 m2＋4· ＝5mm2＋4·因此，所求AB求證：EF

BFCD

證明：由已知∴EF，當

1

FPC → →BFCD 32×2×

＝33BFCD所成角的余弦值為3則 又 ∴→∴AFD 則 PCD 則

2

S－ABCDABCDSAADBC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.MSB求證：AMSCDSABNCD上的動點，MNSABθsinθ (1)證明：以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(0,2,0)，則 SCD

則

∵→∵∴→∴∴AMSABn1＝(1,0,0)．SCDSABφ，易知

＝＝則|cosφ|＝n1·n＝2 6 6.＝＝6 6

3， 3SCDSAB所成二面角的余弦值為3N(x,2x－2,0)，則SAB110×12110×12－12×x151x－577 7

53當x＝53

時 ：高考資源網(wǎng) [問題1]某社區(qū)現(xiàn)有480個住戶，其等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高 答案 解 由抽樣比例可知 ，則[問題2]從某校高三年級隨機抽取一個班，對該班50名學生的高校招生體檢表中視力情況進行統(tǒng)計，其結果的頻率分布直方圖如圖所示．若某高校A專業(yè)對視力的要求在0.9以上，則該班學生中能報A專業(yè)的人數(shù)為 答案n平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即x＝1(x1＋x2＋…＋xn)．nns2＝1[(x1x)2＋(x2x)2＋…＋(xnxn簡化計算公式 1[(x2＋x2＋…＋x2)－nx2]，或寫成s2＝1(x2＋x2＋…＋x2)－x2，即

n 本的眾數(shù)、中位數(shù)分別 答

nxi－xyi－y

xiyi－n nn其 x－x

nx2－nx

^^a＝y(tǒng)－bx^^ 回歸直線方程y＝bx＋a必經(jīng)過 答 (x，yabcd 量

k的值越大，說明“XY有關系”成立的可能性越大，可以利用數(shù)據(jù)來確定“XY有[問題5] 到了如下的2×2列聯(lián)表：5則至少 的把握認為喜愛打籃球與有關．(請用百分數(shù)表示 附：K答 (1)AB互斥．P(A 拋擲一枚，觀察擲出的點數(shù)，設事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B為出現(xiàn)2點，知

2點的概率之和 答 3

＝6 m其中，n為一次試驗中可能出現(xiàn)的結果總數(shù)，mA＝n數(shù)[問題 若將一枚質地均勻的先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率 答案DdA

d

.DDD 在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方ABCD—A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為 B．1－ 答 解 記“點P到點O的距離大于1”為

Am＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝n！m，n∈N*，m≤n.m＝nn1)·……·2·1＝n

AmCm＝nAm ＝ ＝Cm＝Cn－m，Cm＋Cm－1＝CmC0＝1 (1)將5封信投入3個郵筒，不同的投法共 種453不同的取法共 種答 定理：(a＋b)n＝C0an＋C1an－1b＋…＋Cran－rbr＋…＋Cn－1abn－1＋Cnbn 通項(r＋1項)：Tr＋1＝CrnanrbrCr(r＝0,1，…，n)n—n

設x－26的展開式中x3的系數(shù)為A，二項式系數(shù)為B，則 答 6解 6

＝Crx6－r(－1)r26＝Cr(－1)r2r6

632

P(A|B)A，B發(fā)生有時間上的差異，BAP(AB)A，B同時發(fā) 設A、B為兩個事件，若事件A和B同時發(fā)生的概率為3，在事件A發(fā)生的條

A發(fā)生的概率 答 5nPn(k)＝Ckpk·(1－p)n－k.n 若隨量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的值 ξ012345Px答 9解

1則 ＝9一般地，如果對于任意實數(shù)a<b，隨量X滿足P(a<X≤b)＝?bφ，(x)dx，則稱X的aμXX～N(μ，σ2)．滿足正態(tài)分布的三個基本概率的值是：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 已知隨量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于 答 由題意知圖象的對稱軸為直線x＝2，

易錯點 例1如圖所示是某公司(共有員工300人)2012年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此知，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的大約 人錯解由頻率分布直方圖，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的頻率為1－(0.02＋0.08＋∴1.4萬元～1.6300×0.62＝186(人找準失分點本題主要頻率分布直方圖與條形圖縱軸的意義，頻率分布直方圖中，縱軸 正 由所給圖形可知，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的頻率為1.4萬元～1.6300×0.24＝72(人答 易錯點 例2如圖所示，在等腰Rt△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部任意作一條射線CM，與ABMAM<AC的概率．錯解記AM<AC為事件E，設CA＝CB＝a，因為△ABC是直角所以，AB＝AD＝AC＝aAM<AD因此AM<AC的概率為

2＝＝AB＝ 找準失分點據(jù)題意，過直角頂點C在∠ACB內部作一條射線CM，射線CM在∠ACB內部MAB上的分布不是均勻的．正 在AB上取一點D，使AD＝AC，因為

所以 ＝8

＝∠ACB＝π2易錯點 錯解A4 44找準失分點沒有分清是排列還是組合正 由題意可能有兩種結構，如圖第一種：，第二種444 4易錯點 例44個不同的小球放入編號為1234的4個盒中則恰有1個空盒的放法共有 錯解找準失分 沒有考慮均勻分組42 正 把4個球分成3組，每組至少1個，即分的小球個數(shù)分別為2,1,1的3組，有42A2A2A43A3種，因此，放法共有42A144(種答

21．在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應相同的是( C．中位 答 x345678y 得到的線性回歸方程為y＝bx＋a，則 答 解 作出散點圖如下 觀察圖象可知，回歸直線

x＝0時，y＝a>0.故

確 答 區(qū)域OACD，易知

1 P＝

＝2

2)(2x－2y)的展開式中xy的系數(shù)是 答 解

r1

展開式的通項公式為 ·(－2y)r1

r5－r

·(－2) ·yr＝3

31

C5(2)點Q取自△ABE內部的概率等于( 答

22

矩形解 這是一道幾何概型的概率問題，點Q取自△ABE內部的概率為矩形.1.2

＝|AB|·|AD|陰影部分的概率 2答案22解 000故由幾何概型的概率公式可得所求概率為27．(2014·江西)10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概 答 2解 從10件產(chǎn)品中取4件，共有C4種取法，取到1件次品的取法為C1C3種，由古典概

3 P＝3

2中實線圍成的部分是長方體(1)ABCD是邊11 答 解

h＝3

已知投答

中率為4

4次，至少命中3次的概率 解 該人投籃4次，命中3次的概率 P1＝C4444P2＝C434＝81故至少命中3次的概率是

的200輛汽車進行車速分析分析的結果表示為如圖所示的頻率分布直方圖則估計在這一時段內通過該站的汽車中車速不小于90km/h的約有 高考專題訓 概率與統(tǒng)計(解答題8：00－9：00,9：00－10：00兩個時段內各發(fā)一趟AB城(兩車發(fā)生情況互不影響)，A城發(fā)車時間及其概率如下表所示：3ABA城火車站侯車的時間分別是周8：008：20.(只考慮候車時間，不考慮其他因素)設乙侯車所需時間為隨量X，求X的分布列和數(shù)學期望 (1)X的所有可能取值 、、 、(分鐘)，其概率分布列如XP12X的數(shù)學期望

×18＝(2)10分鐘、30分鐘、50 10＝6，P30＝2，P

10＝2，P30＝3，P所以所求概率 72．(2014·皖南八校聯(lián)考)122ξ條面對角線所成的角(用弧度制表示)2(2)ξ (1)當ξ＝0時，即所選的2條面對角線平行，則 ＝C2C(2)ξ的可能取值為 P(ξ＝0)＝C2＝11，P＝3＝C2＝11，Pξ＝2＝C2 ξξ0P182

3．(2014·廣州調研)PM2.5(單位：μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒PM2.5優(yōu)良從甲城市2014930天中隨機抽取15PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)莖葉圖如(1)2014930(2)152X (1)由莖葉圖可知甲城市在2014年9月份隨機抽取的15天中的空氣質量類別為2014930(2)X

52

52

52 X012PX012P372

×7＋

240210300XX (1)依題意，每場比賽獲得的門票收入組成首項為40，公差為10的等差數(shù)列．設此數(shù)列為{an}，則易知a1＝40，an＝10n＋30，所以 5場． 42(2)隨量X可取的值為S4，S5，S6，S7，即又 2 42 52 62XXP181455XE(X)＝377.5(萬元 變化，y在

545元．而每堵車1小時，需多花汽油費20元．路為了估計CD段平均堵車時間，了100名走甲路線的，得到表2數(shù)據(jù)CDEFGHxy14平均堵車時間(時a2186CDa七、數(shù)列、不等 已知前n項和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，則 Snann＝1 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則 答 an＋1－an＝d(d為常數(shù))等差數(shù)列的通項：an＝a1＋(n－1)d 等差數(shù)列的前n項和 d≠0an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－dndnS

d)nn

m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aqm＋n＝2p 答

＝q(q為常數(shù))，其中q≠0，an≠0或a 一個等比數(shù)列{an}2n＋1100120等比數(shù)列的通項：an＝a1qn－1

nq＝1時，Sn＝na1q≠1

1－q

1－q易錯警示：由于等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q1時，要對qq＝1q≠1兩種情形討論求解．等比中項：若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做ab的等比中項．值得注意的是，不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個，即為±ab.如已知兩個正a，b(a≠b)ABABA>B.m＋n＝p＋qam·an＝ap·aqm＋n＝2p[問題3] (1)在等比數(shù)列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整數(shù)，則a10＝ (2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5·a6＝9，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝ 1

1如 ＝

＝

數(shù)列{a}滿足a 1(n∈N，n≥1)，若a

是{a}nS

值 答 2 不等式－3x2＋5x－2>0的解集 答 已知a，b，c，d為正實數(shù)，且c>d，則“a>b”是“ac>bd” 條件答 充分不必22

ab22

≥2≥ x，y

xypx＝y(tǒng)x＋y24x＋ysx＝y(tǒng)xy有最大值4易錯警示： 答

答案2易錯點 例 設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列的公比q 錯解找準失分點當q＝1時，符合要求．很多考生在做本題時都想當然地認為正 ①當q＝1時②q≠1

得1－q

1－q

答 1或易錯點 例 錯解4an≥0n≤25，即數(shù)列{an}6074找準失分點忽視了k≤6的情況，只給出了k≥7的情況4正 4070.k≤6時，k≥7 所以Sk＝ 易錯點 例 錯解150或找準