2015年高考數(shù)學(xué)模擬題沖刺

一、選擇題的解 .-3選擇提分專練(1)..................................................................................................................-9選擇提分專練(2)................................................................................................................-12選擇提分專練(3)................................................................................................................-15二、填空題的解法.................................................................................................................-18填空提分專練(1)................................................................................................................-24填空提分專練(2)................................................................................................................-25填空提分專練(3)................................................................................................................-26三、解答題的八個(gè)答題模板.................................................................................................-27四、三角函數(shù)、解三角形、平面向量.................................................................................-47高考專題訓(xùn)練三角函數(shù)(解答題55高考專題訓(xùn)練立體幾何(解答題)(理66--高考專題訓(xùn)練概率與統(tǒng)計(jì)(解答題79-七、數(shù)列、不等式.................................................................................................................-82數(shù)-高考專題訓(xùn)練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(解答題105-高考專題訓(xùn)練解析幾何(解答題116-十、專題訓(xùn)練.......................................................................................................................-119專題練習(xí)二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)123專題練習(xí)三三角變換與解三角形、平面向量127專題練習(xí)四數(shù)列與不等式131專題練習(xí)五立體幾 .-135專題練習(xí)九集合與邏輯用語、框圖、復(fù)數(shù)、幾何證明、坐標(biāo)系與參數(shù)方程151一、選擇題的解方法 直接例 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知 1，且對任意正整

m、n

Sn<a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為 3 解

＝a·am＝1

＝a

m

n1?an

1＝2(1－3n)<2Sn<a11答

y＝sin2x(x∈R)m(m>0)n(n>0)個(gè)單位所得到的圖象都與函數(shù)

B. D.答 3 3π

66

π 33方法 特例2(1)等差數(shù)列{an}m302m1003m項(xiàng)和為( (2)如圖，在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動點(diǎn)P、Q滿足A1P＝BQ，過P、Q、C三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為( D.D. 差數(shù)列，進(jìn)而a3＝110，故S3＝210，選C. VABCAB＝ 1113答 O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A＝60°

cosB

cosC→ →，sinC·AB＋sinB

則m的值為 22A. 22答 解 如圖，當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)，A＝B＝C＝60°，取D為BC的中點(diǎn)→21→1 33AB＋31 2∴ →4∴＝2方法 例3函數(shù)y＝xsinx在[－π，π]上的圖象是 解 容易判斷函數(shù)y＝xsinx為偶函數(shù)，可排除π0<x<2時(shí)，y＝xsinx>0x＝π時(shí)，y＝0C答 可以是 答案解析y＝2|x|，發(fā)現(xiàn)它是偶函數(shù)，x≥0x＝0時(shí)函數(shù)取得最小1，而當(dāng)x＝±4時(shí)，函數(shù)值為16，故一定有0∈[a，b]4∈[a，b]或者－4∈[a，b]，從而a＝－4時(shí)，0≤b≤4，b＝4時(shí)，－4≤a≤0b＝g(a)B.方法四數(shù)形(圖解法例 函數(shù)f(x)＝1|x－1|＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零點(diǎn)之和等于 由f(x)＝1|x－1|＋2cosπx＝0，得1|x－1|h(x)＝－2cos

g(x)＝1|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤g(x)＝1|x－1|x＝1x＝1h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤g(x)＝1|x－1|(－2≤x≤4)h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)x＝1對稱，且6答 ±過點(diǎn)(2，0)引直線l與曲線y＝1－x2相交于AB兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于( ±A.

B．－B

D．－答 由y＝1－x2，得x2＋y2＝1(y≥0)，其所表示的圖形是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的上lA，C選項(xiàng)．當(dāng)其斜率為－3l方程為3x＋y－6＝0O到其距離為|－6|＝

D

2方法五例 若A為不等式組

a從－21x＋y＝a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為 44

4解 如圖知區(qū)域的面積是△OAB去掉一個(gè)小直角三角形41

2×2＝2C答

關(guān)鍵在于所求值應(yīng)該比△AOB的面積小且大于其面積的一半．sinθ

4－2m ＝

，cos

1

答 2 試根據(jù)答案的數(shù)值特征分析．由于受條件sin2θ＋cos2θ＝1的制約，m為一確定的值，進(jìn)而2

πθ 選擇提分專練 是純虛數(shù)，則實(shí)i 是純虛數(shù)，則實(shí)i

1

＋5i

5設(shè)全集 解 由圖中陰影部分表示集合A∩(?UB)A＝{x|x(x答 pqp，則q0p?x0∈Rx2＋1<0，則p：?x∈R0p，q，若“p∨qpq b 若“p∨q”為假，則命題p與q均假，錯(cuò)誤；D中，a＝b＝0D/a＝－1錯(cuò)誤．b答 某校200名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間 2解析由直方圖知[90,100]內(nèi)的頻率為：1[1－(0.02＋0.03＋0.04)×10]＝0.05，所以成績在2答 故選A.答 5 C．5

PCDABCD，PC＝PDAB、CDM、

4×5＝2

P－ABCD答 若直線y＝kx與圓(x－2)2＋y2＝1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2x＋y＋b＝0對稱，則k，b 解 依題意知直線y＝kx與直線2x＋y＋b＝0垂直，且直線2x＋y＋b＝0過圓心，＝ ＝以 即答 解 loga＋loga＋…＋log

＝log(aa

)＝log(a

2 2答

2

21

25已知△ABCA，B，Ca，b，c，若

則△ABC的面積為

6A.6C.

B.＝解 由正弦定理 c ＝及 得 4sinB＝1－cos2B＝154

△ABC＝2acsinB＝2×1×2×4＝4答 已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋a，其中a≥16，則下列說法正確的是( f′(x)＝3x2－12，令f′(x)>0得x>2或x<－2，令f′(x)<0得－2<x<2.a≥16.∴f(2)≥0，答 →橢圓36＋9＝1上有兩個(gè)動點(diǎn)P，Q，E(3,0)，EP⊥EQ，則EP·QP的最小值為 B．3－3 3 解 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，則36＋9∴|PE|＝ 3 ∴|PE|的最小值為∴→ → → → → →EP·QP＝EP·(EP－EQ)＝EP－EP·EQ＝|EP|，故EP·QP答 f(x，y)＝0f(x，y)＝0的④|x|＋1＝ 選擇提分專練A＝{x|0≤x＋3≤8}，B＝{x|x2－3x－4>0}A∩B等于()A．{x|－3≤x＜－14＜x≤5}解析A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|x<－1x>4}A∩B＝{x|－3≤x＜－1答

＝＝

解 答

解 答 x 當(dāng)log2x≥0，即x≥1時(shí)，f(x)＝2log2x＝x；當(dāng)log2x<0，即0<x<1時(shí)，f(x)＝2－log2x＝1，x0<x<1答

＝x

x≥1y＝x a其中所有正確結(jié)論的序號是 C．①③④解

?ac<0，故c>cac<0知，y＝xc在(0，＋∞)上是減函數(shù)，ac<bc，故②正確．a(chǎn)－c>b－c>1.a>b>1，答 已知雙曲線259＝1MF218，NMF2點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|ON|等于 3 3解 ON為△MF1F222答 如圖所示的程序框圖，輸出的S的值為 B． 2解 k＝1時(shí)

k＝2

k＝3k＝4k＝2016時(shí)，S＝－1.答案C若由不等式組x－的圓心在x軸上，則實(shí)數(shù)m的值為

33C.

B．－3D3D．－x軸上，x＝my＋nx－3y＝0垂直， 1∴m×3m＝－3x x

＋＋

解 令x＝1，可得4x＋1n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為

＝Cr·(4x)3－r·x－r＝Cr43－r

x2令2＝033答 10．(理)某研究性學(xué)組有4名同學(xué)要在同一天的上、下午到做A、B、C、D、E實(shí)驗(yàn)，其余實(shí)驗(yàn)都各做一個(gè)，則不同的安排方式共有()A．144 B．192C．216 D．264解 A、B、C4 32EA、B、C三個(gè)實(shí)驗(yàn)C1×3＝924×(2＋9)＝264D.3答 10．(文)已知函數(shù)f(x)＝cosx(x∈(0,2π))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2且f(x)＝mx3，x4.若把這四個(gè)數(shù)按從小到大排列構(gòu)m的值為()2 2C.

D．－D解 假設(shè)方程f(x)＝m的兩個(gè)實(shí)根

的零點(diǎn)為22 可得2<x3<x42 2266所以 3cos6＝－2答 22

ω的值為 ＝2 故A＝2，由f(0)＝2可得sinφ ＝2而 2，故π

f12＝2sin12 故12T 又4>12T>3，∴0<ω<6答 x0451221x∈[－1，t]時(shí)，f(x)2t④當(dāng)1<a<2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－a有4個(gè)零點(diǎn)． 選擇提分專練 解 全稱命題的否定是特稱命題，即“存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)答 已知集合M＝{1,2，zi}，i為虛數(shù)單位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，則復(fù)數(shù)z＝( 解

答

＝i＝i2若直線(a＋1)x＋2y＝0與直線x－ay＝1互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值等于 解 答 “m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的( A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D 1解 mx＋ny＝1可以變形為1＋1 答 C．y＝ 解 答 閱讀程序框圖(如圖)，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[1,3]上，那么輸入的實(shí)數(shù)x的取值 C．{x∈R|0≤x≤log23x＝2}解 依題意及框圖可得

0≤x≤log23答

A.＋3，kπ＋6

C. 解 根據(jù)已知得 ＝ω由不等式

π

解得

π 答

x，y，z∈Sx≠yxz≠yz①a，b，c，d②a，b，c，dx∈Sxy＝1其中正確論斷的個(gè)數(shù)是 解 答 變化的圖象可能是 解 33r＝htanθ(θ為圓錐軸截面兩母線夾角的一半∴V＝1πh3tan2θ＝tV0h＝kt1(k為常數(shù)) 答 M，N①M(fèi)，Ny＝f(x)已知函數(shù)

此函數(shù)的“友好點(diǎn)對”有 A．0 B．1 C．2對D．3 由題意，當(dāng)x>0時(shí)，將f(x)＝log3x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱后可知g(x)＝－log3(－x)(x<0)的圖象與x<0時(shí)f(x)＝－x2－4x存在兩個(gè)交點(diǎn)，故“友好點(diǎn)對”的數(shù)量為2.答 定義兩個(gè)實(shí)數(shù)間的一種新運(yùn)算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.對任意實(shí)數(shù)a，b，c給出如下結(jié)論：其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 解 因?yàn)榇?x2＝f(x1)x2≤257x3＝f(x2)xn－1≤257xn＝f(xn－1)，否則停止賦值．已知賦值k(k∈N*)次后該過程停止，則x0的取值范圍是( 于是xn－1＝2n(x0－1)，即xn＝2n(x0－1)＋1.答 解析①顯然錯(cuò)誤；③容易造成錯(cuò)覺，tmax＝5；④錯(cuò)誤，f(2)f′(x)<0答 答 二、填空題的解由于填空題不需要寫出具體的推理、計(jì)算過程，因此要想“快速”解答填空題，則千萬不可方法 直接 例 PC→解 由橢圓方程知c＝4－3＝1，所以F2(1,0)CAAF2⊥F1F2A(1，y0)y2＝9 22則 →3≤y1≤3→的最大值為3 2332已知復(fù)數(shù)z＝a＋(a－1)i(a∈R，i為虛數(shù)單位)為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面上所對應(yīng) 答 因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝a＋(a－1)i(a∈R，i為虛數(shù)單位)為實(shí)數(shù)，所以a－1＝0，zi在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為方法 特例例 解 方法 ∵→ →

→→→

＝→→→ → →∵AP⊥BD，∴→→又∵→ → →AP·AB＝|AP||AB|cos∠BAP＝|AP|∴→ →AP·AC＝2|AP|方法 把平行四邊形ABCD看成正方形，則P點(diǎn)為對角線的交點(diǎn)，AC＝6，則→→答 3如圖，在△ABC中，AD⊥AB3

＝1，則

→ 答

33解 則 |BC|＝2∴→ → → →＝2 0＝

3方法 迅速作出判斷，簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果，Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方例3已知函數(shù)f(x)＝x|x－2|，則不等式f(2－x)≤f(1)的解集 解 函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，由不等式f(2－x)≤f(1)知，2－x≤2＋1，從而得到不等f(2－x)≤f(1)的解集為答 (2013·)設(shè)D為不等式組

D 225解 作不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示(△OAB及其內(nèi)部)，P(1,0)2x－y＝0225方法 構(gòu)造

例4(1)如圖，已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面＝BC＝2，則球O的體積等 (2)16，25，36(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大小關(guān)系 (1)如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，方體的體對角線長即為球O的直徑，所以22＋222＋22＋＝2RR＝2OV＝3＝

而 ，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在e4e5e4e5答 (1) 已知a＝ln1 1，b＝1－1，c＝1 1，則a 大小關(guān)系

2

2

2

2

2

2在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的序號 答 解 (1)令f(x)＝lnx－x，則

0<x<1

＝x－＝x∵11∵ 201320142(2)用正方體ABCD—A1B1C1D1實(shí)例說明A1D1與BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1與BC1ABCD上的投影互相垂直，BC1DD1ABCD上的投影是一條直線及其外方法五例5 觀察下列算式：13＝1,23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若某數(shù)m3按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2015”這個(gè)數(shù)，則m＝ 由題意可得第n個(gè)算式的左邊是n3，右邊是n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，設(shè)第n個(gè)算式的第一a

a＝n2－n＋1

，故

2015453答 n

1nnkN(n，k)(k≥3) ＝2n三角形 ＝2正方形 五邊形 ＝2六邊形 按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“”圖需要火柴棒的根數(shù) 答 (1)1 解 (1)由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推測：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)

k－2

＝2n＋

＝1100－100＝1列，所以，第n個(gè)“”圖需要火柴棒的根數(shù)為6n＋2.填空提分專練1．某產(chǎn)品的費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表3456yab根據(jù)上表可得回歸方程^＝^＋^中的^為7.據(jù)此模型預(yù) 費(fèi)用為10萬元時(shí)銷售額yab

—

x ，y b＝7，把點(diǎn)(4.5,35)代入回歸方程得^得 y＝7x＋3.5x＝10答 算，則輸出n 的值為 ．解析由數(shù)列遞推

＝2，an＝2－nSn＝(2＋2＋…＋2)

n＝11

－2－66＝4028>2014n＝10＝211－2－55<2014答 3、如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADC＝75°，則AD的長 解 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2由余弦定理得：AD2＝CD2＋AC2－2CD×AC×cosC＝8－4∴AD＝6－答 6－4m，nα，βm，n是兩條異面直線，m?α，n?β，m∥β，n∥α 5、在極坐標(biāo)中，圓ρ=4cosθ的圓心C到直線的距離為 解：由ρ=4cosθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x=0，其圓心是A（2，0由得： ①C②C③Ct＜1或④若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則． 解：由圓的定義可知：當(dāng)4﹣t=t﹣1時(shí)，即t=時(shí)方程表示圓，故①錯(cuò)由雙曲線的定義可知：當(dāng)（4﹣t（t﹣1）＜0t＜1或t＞4時(shí)方程由橢圓定義可知（1）當(dāng)橢圓在x軸上時(shí)，當(dāng)滿足 時(shí)，即 表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故④正確．（2） 時(shí)，即＜t＜4時(shí)方y(tǒng)軸上的橢圓，故②錯(cuò)誤．填空提分專練若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓 解 設(shè)圓心坐標(biāo)為則|b|＝1 由1故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是答 不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集 8x≥8.∴原不等式的解集為答 在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)部任取一點(diǎn)M. 解 (1)以AB為直徑作圓，當(dāng)M在圓與正方形重合形成的半圓內(nèi)時(shí)π M位于正方形與圓重合形成的弓形內(nèi)時(shí)，∠AMB>135°， 4×2

＝8答 (2)在△ABCA，B，Ca，b，ca＝23，c＝2

＝b，則 解 由

＋tanB＝b由正弦定理得，23＝2 2＝ 2＝答 5、若函數(shù)f(x)＝|logax|(0<a<1)在區(qū)間(a,3a－1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析：由于f(x)＝|logax|在(0,1]上遞減，在(1，＋∞)上遞增，所以0<a<3a－1≤1，

a 6、已知定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，對于滿足0<x1<x2<1x1、x2，給出下列結(jié)論f(x1)＋f(x2) 2

解析：由f(x2)－f(x1)>x2－x1，可

>1，即兩點(diǎn)(x1，f(x1))與(x2，f(x2))連線f(x1)xx斜率大于1，顯然①不正確；由x2f(x1)>x1f(x2) ，即表示兩點(diǎn)(x1，f(x1))、xx 填空提分專練 線的離心率等于5，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 由題意知

5a＝5，b2＝20 方程為5 答案5若直線y＝2x＋m是曲線y＝xlnx的切線，則實(shí)數(shù)m的值 解 設(shè)切點(diǎn)為y′＝(xlnx)′＝lnx＋

y＝(lnx0＋1)x－x0y＝2x＋m比較得

，2，n＝3，0P(x，y)y＝sinx的圖象上運(yùn)動．Qy＝f(x)足 OQ＝m?OP＋n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則函數(shù)y＝f(x)的值域 解

OQ＝m?OP＋n＝33 消去x得d＝sinc－22

∴y＝f(x)＝2sin2 答 是

3232

y 1y【答案】(2)x>0時(shí)，f(x)＝|x－a|－2af(x)R上的“2013a 解 由題意得，當(dāng)x>0時(shí)a≥0f(x)的圖象如圖(1)f(－a)＝2a，5a－(－a)＝6a<2

＜a<0f(x)的圖象如圖(2)所示，f(x)為增函數(shù)，∵x＋22f(x＋2013)>f(x)．2 答 －∞，2解 ①錯(cuò)誤，②③④正確．答 6、函數(shù)f(x)3sin(2xπ)的圖象為C，如下結(jié)論中正確的 （3出所有正確結(jié)論的編號①圖象Cx11π②圖象C的所有對稱中心都可以表示為(k，0)(kZ6f

π5π

在區(qū)間 ，內(nèi)是增函數(shù)1212y3cos2x個(gè)單位長度可以得到圖象Cf(x在[0上的最小值是32三、解答題的八個(gè)答題模模板 f(x)＝2cosx·sin＋3－3sinx＋sinxcos審題路線 解f(x)＝2cos x＋cosx－3sin2x＋sinxcos ＝2sinxcosx＋3(cos2x－sin2x)＋1＝sin2x＋3cos 函數(shù) 2 ∴當(dāng) 2kπ，k∈Z，即x＝π＋kπ，k∈Z時(shí)，f(x) 2x＋3＝－2＋2kπ，k∈Zx＝－12＋kπ，k∈Z kπ≤x≤π kπ，π＋kπ 般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即 整體代換：將ωx＋φ看作一個(gè)整體，利用y＝sinx，y＝cosx的性質(zhì)確 求解：利用ωx＋φ的范圍求條件解得函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性 (2014·福建)已知函數(shù)f(x)＝cosx(sinx＋cos ＝(1)若0<α sin ＝解:方法一(1)

sin 2＝ 2＝所以cos 2

f(α)＝

( 2

＝2 2×2＋2＝(2)因?yàn)閒(x)＝sinxcos

1sin

1＋cos

1sin2x＋1cos＝2

π

－2

＝2由

k∈Z－2≤ —8

π—8，方法 f(x)＝sinxcos

1sin

1＋cos

1sin

1cos＝2

π

sin 2 ＝＝f(α)＝

2 ＝

2

4＝2由

k∈Z－2≤ —8

π—8，模板 在△ABC中，若 2(1)求證：a，b，c(2)B

審題路線 證 因?yàn)閍cos2C＋ccos2A＝a1＋cos 1＋cos a＋c＋(acosC＋ccos 故 a＋c＝2ba，b，c成等差數(shù) 2 cos ≥ 第一步定條件：即確定三角形中的已知和 第四步再：在實(shí)施邊角互化的時(shí)候應(yīng)＝2，cos b＝3.

(1)ac (1)由→→＝2得c·acoscos

1

a2＋c2＝b2＋2accos

(2)在△ABC1－1sinB＝1－1得sinC＝csin

＝32 4b

3＝9C1－49cosC＝1－49cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsin

7 2 4

3×9模板 bbn

得得解(1)anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，所以 －cbn 所以數(shù)列{cn}c1＝1d＝2的等差cn＝2n－1.(2)bn＝3n－1于是數(shù)列{an}n第一步找遞推：根據(jù)已知條件確定數(shù)列相第二步求通項(xiàng)：根據(jù)數(shù)列遞推公式轉(zhuǎn)化為 第四 寫步驟：規(guī)范寫出求和步驟

f(n)－c.數(shù)列{bn}(bn>0)cnSnSn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2)． 1(2)若數(shù)列bb＋nTnTn>2012nnn

由題意知 a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－24 ∴a1＝ ＝－＝ ∴c＝1.q＝2＝ －

∴an＝－2·1n－1＝－2·1n3 ∵Sn－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋＝Sn＋Sn－1bn>0，Sn>0，∴Sn－∴數(shù)列{Sn}11n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，n＝1時(shí)，b1＝1也適合此通項(xiàng)公式．∴bn＝2n－1(2)Tn＝1＋1＋1＋…＋

1 1 1 ————

1

1 n

由Tn＝ >1001，得n>12n＋12 ∴

1Tn>2012n模板 是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，MAB(2)CD1ABCDCD1＝3C1D1M審題路線

CD∥AMCD∥AMM是AB中點(diǎn)，四邊形ABCDC1MC1M∥平面求平面ABCD 求平面ABCD(1)證明ABCDMABCD∥MA第一步找垂直：找出(或作出)第二步C1M?A1ADD1，D1A?A1ADD1C1M∥(2)解方法 第三步由(1)CD∥AM第四步AMCD第五步的角AB＝2BC＝2，CA＝C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖(2)C－xyzA(3，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0， 因此M 0，所以→1＝－，－，32，2， －，，0 C1D1M 由 得 可得平面C1D1M的 3x＋y－2n＝(1，3，1)＝(0,0，3)ABCD→ 5法向量，因此cos〈→1，n〉＝ ＝.所以平面C1D1M和 ABCD所成的角(銳角)的余弦值為5方法二由(1)D1C1M∩ABCD＝CABABD1N⊥AB，因此∠D1NCC1－AB－C的平面角．Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°CN＝3ND1＝CD2＋CN2＝2 2所以 中，cos∠DNC＝CN＝2＝ 15 2C1D1MABCD所成的角(銳角)的余弦值為5BC(1)A1BC1D (1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以→，→，→為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐

所以 →cos〉＝ 3

＝10A1BC1D所成角的余弦值為3(2)由題意，知＝(0,2,0)ABA1的一個(gè)法向量．ADC1m＝(x，y，z)，因?yàn)? ADC1ABA1θ，5 5|所以|cosθ|＝|cos〈AC，m〉|＝AC·m |＝，得sinθ＝|→

3ADC1ABA1所成二面角的正弦值為3模板 橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，短軸長為 2，直線l與yP(0，m)CA，B，且→＝ (1)求橢圓C的方程 (2)求m的取值范圍 →＝ →＝設(shè) 解(1)C的方程為設(shè)c>0，c2＝a2－b2，由題意，知2b＝ 2，a＝ a＝1，b＝c＝2.Cy1＝1y＋2x2(2)ly＝kx＋m(k≠0)，lC 得 所以 所以 當(dāng) 1時(shí)，上式不成立 當(dāng)m≠4時(shí)，k＝ 4m 又k≠0，所以k＝ >0.解得－1<m<－2或4m即所求m的取值范圍為 2，第一步提關(guān)系：從題設(shè)條件第二步找函數(shù)：用一個(gè)變量第三步得范圍：通過求解含第四步再回顧：注意目標(biāo)變 l的距離與點(diǎn)(－1,0)l

4ce 設(shè)直線

1的方程為a>1，得到點(diǎn)(1,0)l

同理可得點(diǎn)(－1,0)l于是s＝d1＋d2＝

由

≥5c

c≥5c

≥2c5e2－1≥2e2 解得4≤ee>1e的取值范圍是5， 模板 C(－1,0)x2＋3y2＝5CA，B兩點(diǎn)．

ABxMM

審題路線 → → (1)依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝y(tǒng)＝k(x＋1)x2＋3y2＝5y整理得 .3k 由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－2，得 ＝－3k2＋＝－2，1k＝±3，適合ABx－3y＋1＝0x＋(2)xM(m,0)·MA(ⅰ)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，由(1)知x1＋x2＝－2 3kx1x2＝ .3k所以→ MA·MB＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k將③代入，整理得·MA 第一步先假定：假設(shè)結(jié)論成第二步再推理：以假設(shè)結(jié)論第三步下結(jié)論：若推出合理第四步再回顧：查看關(guān)鍵 6m＋14注意到·kMA7，此時(shí)·→ MA(ⅱ)ABxA、B－1，2、－1，－ 當(dāng) →→綜上，在x軸上存在定點(diǎn) 7，0，使→·→為常數(shù) MA (1)E在第一、四象限)，且△OAB8.lEE (1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為

所 ＝2，故c從而雙曲線E的離心率 由(1)知，雙曲線E的方程為lxl⊥xlE有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，又因?yàn)椤鱋AB E的方程為4

若存在滿足條件的雙曲線 則E的方程只能為4lx E4－16＝1ly＝kx＋m得k>2或k<－2，則

—k由

y1＝

y2＝2m

由 1|OC|·|y－y|， m 2m2－k 由 44－k2<0，m2＝4(k2－4)，Δ＝0lE lEE的方程為4 方法 由(1)知，雙曲線E的方程為l

由 得

同理，得 lxC由

＋

由

得4m2－1<0lEΔ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－即4m2a2＋t2－a2＝0， l E的方程為4方法 當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)l2 依題意，得k>2或 得(4－k)x－2kmx－m

2又因?yàn)椤鱋AB的面積為 2又易知 2x2＋y2·＝5，所以

2＝4，得m＝4(k 由(1)E的方程為由 得4－k2<0lE E的方程為4l⊥x軸時(shí)，由△OAB8 l：x＝2E4－16＝1

lEE的方程為4ξ12P1545ξ12P1545模板 甲、乙兩人參加某舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一364道題，乙答對每道題的概率都是3(2)ξξ審題路線 確定ξ 確定ξ (1)設(shè)甲、乙闖關(guān)成功分別為事件A、B，則P(A) ＝43 ＝ P(B 2)3＋C1 2)2＝1＋2＝7 3·3 1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B(2)ξ P(ξ＝1)＝42＝，P(ξ＝2)＝4 4＝ξ 第五 列表：列出分布列 1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)2nA，Bn個(gè)(1)n＝3ξ(2)C表示事件“ξηC (1)當(dāng)n＝3時(shí)，ξ的所有可能取值為66A，BC3＝20(種)ξ6ξ2345P153315

×5＋

×10＋(2)ξηξηn－12ξηn2ξηn＋k(k＝1,2，…，n－2)(n≥3)2Ck所以當(dāng)n＝2時(shí) 22＋Ckn≥3

C C模板 已知函數(shù)f(x)＝ (1)a＝1y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))(2)a≠0f(x)x x 1aa—0＋0—xa111＋0—0＋ (1)當(dāng)a＝1時(shí) ，f(2)＝ 又 a≠0，以下分兩種情況討論．①a＞0f′(x)＝01x變化時(shí)，f′(x)，f(x) 在區(qū)間 －a， f－1＝－a2.f(x)x＝af(a) 1②a＜0f′(x)＝0x變化時(shí)，f′(x)，f(x) 1 f(x)x1＝af(a) 1處取得極小值 第一步f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)．注意f(x)的定義域.第二步f′(x)＝第三 列表格：利用＝0的根將f(x)定義域分成若 觀察f(x)的間斷點(diǎn)及步驟規(guī)范y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))4－c.a，bf(x)c c＝3時(shí)，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，f(x)R上為增函數(shù)．由(1)f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4x＝0時(shí)等號成立．c±c2－16tc<4x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0f(x)無極值；c＝4x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c±c2－16t根

x1＝1lnt1，x2＝1lnt2.x1<x<x2 x>x2時(shí)，f′(x)>0f(x)x＝x2f(x)c的取值范四、三角函數(shù)、解三角形、平面向αθ終邊相同(αθ終邊所在的射線上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的α是任意一個(gè)角，P(x，y)α的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn)它與原點(diǎn)的距離是r＝x2＋y2>0，那么sin

cos tan P

已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3，－4)，則sinα＋cosα的值 1答 cos商數(shù)關(guān)系：tanα＝sincos誘導(dǎo)公式口訣：奇變偶不變、符號看象－sinsin－sin－sincoscos－cos－coscossin cos4＋tan－6＋sin21π的值 答案2－ 對稱軸：y＝sin

k∈Z；y＝cos

y＝sinx

減區(qū)間：2＋2kπ2

y＝cosx的增區(qū)間：[－π＋2kπ，2kπ]減區(qū)間：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；

y＝tanx

y＝sinx2π，為奇函數(shù)；y＝cosx2π，為偶函數(shù)；y＝tanx的π，為奇函數(shù)．求ω忘掉寫＋2kπ，或＋kπ

5答 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ令α＝βsin2α＝2sinαcosα.cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ令α＝βcostan(α±β)＝tanα±tanβ1?tanαtan

1＋cos

1－cos

2tantan ，sin ，tan2α＝1－2tan1 α＋4＝(α＋β)－

已知α，β∈4，π，sin(α＋β)＝－5，sinβ－4＝13，則 答 a b c正弦定理 ＝2R(R為三角形外接圓的半徑sin sin sin注意：①正弦定理的一些變式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinsinA＝a，sinB＝b，sinC＝c a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2Rsin要結(jié)合具體情況進(jìn)行取舍．在△ABCA>B?sinA>sinB.

在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝60°，則 答 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.0[問題6] 下列四個(gè)命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|；④若a＝0，則－a＝0.其中正確命題是 答 a·b＝|a||b|cos cos a·b

x2＋y2 ab上的投影＝|a|cos〈

〉＝|b|

注意a，b〉為銳角?a·b>0且a、b不同向〈a，b〉為直角?a·b＝0a、〈a，b〉為鈍角?a·b<0a、b不反向易錯(cuò)警示： 已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，則向量a在向量b上的投影 答 5a·b＝0a⊥ba⊥b時(shí)，a·b＝0；a·b＝c·ba＝c，消去律不成立；(a·b)ca(b·c)不一定相等，(a·b)cca(b·c)a平行． 下列各命題：①若a·b＝0，則a、b中至少有一個(gè)為0；②若a≠0，a·b＝a·c，則．答 ①→ PA＋PB＋PC＝0?P為△ABC的重心②→→→ →PA·PB＝PB·PC＝PC·PA?P為△ABC的垂心 λABAC)(λ≠0)所在直線過△ABC→④

→|PA|＝|PB|＝|PC|?P為△ABC的外心易錯(cuò)點(diǎn) ＝例 2(cos3x－sin3x)的圖象向 平 ＝錯(cuò)解 找準(zhǔn)失分點(diǎn)y＝2(cos3x－sin＝sin－3x－π 正 y＝2(cos3x－sin＝sin－3x－π y＝要由y＝sin－3x－π得到y(tǒng)＝sin(－3x)只需對 2 y＝

π

2(cos 左π易錯(cuò)點(diǎn) 例 已知cos

sin(α＋β)＝5

cos 錯(cuò)解

π

14

由cos sin 4 ＝7cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sin

＝98或3找準(zhǔn)失分點(diǎn)由0<α＋β<π，且 53

＋β<πcos

＝14 1β<33

∴3<α<2α＋β∈3正 cos 1<cos 2 3 53∴3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝14 ∴3∴cos(α＋β)＝－＝7sinα＝ 4＝7∴cos＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sin

1易錯(cuò)點(diǎn) 例3已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍 錯(cuò)解∵cos a·b 2λ θcos λ>－2，λ的取值范圍是找準(zhǔn)失分點(diǎn)θ為銳角，故0<cosθ<1，錯(cuò)解中沒有排除cosθ＝1即共線且同向的情況正 由θ為銳角，有0<cos 又∵cos a·b

，解得

2λ＋1≠5·

∴λ的取值范圍是λ|λ>－2且 答 1．(2014·大綱)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，則cos 答 解 因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos 2．(2014·大綱)設(shè)a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，則( 答 cos解 ∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°＝sincos0<cos已知sinθ＋cos π，則sinθ－cosθ的值為 ＝3B 2 B 3答

解 ∵sinθ＋cos

(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin

sin

＝9

0<θ<4，∴sinθ<cos∴sinθ－cosθ＝－sinθ－cos3＝－1－sin2θ＝－3已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是( A．[2－1，2＋1] B．[2－1，2＋2]C．[1， D．[1，答 ∵a·b＝0，且a，b是單位向量，∴|a|＝|b|＝1.∵|a|＝|b|＝1a·b＝0，∴|a＋b|＝∴c2＋1＝22|c|cosθ(θca＋b的夾角)．又－1≤cosθ≤1，∴0<c2＋1≤22|c|，∴c2－2∴2－1≤|c|≤ 2C．－2答

－解 由題圖可知，函數(shù)的最大值為2，因此 即 得 f(0)＝2sin在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若a2＋b2＝2c2，則cosC的最小值 2

答

解 ∵cos

又∴cos

∴cosC的最小值為 7．(2014·山東)在△ABC中，已知

→＝tanA，當(dāng)

ABC的面積 答 6解 已知

π

tan

|AB||AC|cos → 所以△ABC 1→ ＝2|AB||AC|sin 點(diǎn)，則φ的值 解 由題意，得

×3＋φ＝cosπ2π2

<φ<2)，其部分圖象如圖所示．若橫坐標(biāo)分別為－1,1,5M，N，Pf(x)上，記∠MNP＝θ，則cos2θ的值 答 －解 所以 ＝ω＝8

π所以－4<φ＋44即 ＋4＝2f(x)＝πM(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)．

→ |NM|＝5，|NP|＝2→＝則 NM·NP ＝→→cos

cos2θ＝2cos2θ－1＝710．(2014·)已知函數(shù)f(x)＝cos

π－ 3，x∈R.＋＋

π上的最大值和最小值

3 32＋cosx)－3cos2cosx·(2sin 3 3＝2sinx·cosx－2cosx＋ 3 3＝4sin2x－4(1＋cos2x)＋ 3＝4sin2x－4cos

＝2 π]上是減函數(shù)，在區(qū)間 π上是增函數(shù)

高考專題訓(xùn) 三角函數(shù)(解答題f(x)＝a·ba＝(2cosx,1)，b＝(cosx， f(x)＝1－3x∈－3，3x[0π] (1)依題設(shè)得f(x)＝2cosx＋3sin2x＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin

＋6＋1＝1－ 3sin＋6＝－2 ∴－2≤2x＋6≤6

π x0πy232002

a＝(cosx＋3sinx，3sinx)，b＝(cosx－3sinx，2cosx) (2)f(θ)＝5，θ∈6，3sin2θ ＝(cosx＋3sinx)(cosx－3sinx)＋＝cos2x－3sin2x＋2＝cos2x－sin2x－2sin2x＋2＝cos2x＋

由題設(shè) 即 ∴2θ＋6∈2，6

3

3

＋6－6＝sin2θ＋6cos6－cos2θ＋6sin6＝5×2－－5×2已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中 (2)f(x)M，N，P的橫坐標(biāo)分別為－1,1,5sin∠MNP 由 ＝ω＝8 ∴4＋φ＝2.

(2)∵f(－1)＝0，f(1)＝1，f(5)＝sin4∴|MN|＝5，|PN|＝20，|MP|＝

＝25× m＝(2cosx＋23sinx,1)，n＝(cosx，－y)yxf(x)f(x)b＋c＝4，求△ABC (1)由m⊥n，得m·n＝2cos2x＋23sinxcosx－y＝0，即y＝2cos2x＋23sinxcosx＝cos2x＋3sin2x＋1π

∴2sin＋6＋1＝3. π4＝b2＋c2－bc，b＋c＝4，

3△ABC＝2bcsinA＝2×4×2＝

鄰對稱中心的距離為2，且過點(diǎn)在△ABC中，a，b，cA，B，C的對邊，a＝5，S△ABC＝25C π f2－12＝6c (1)f(x)＝ π∵兩個(gè)相鄰對稱中心的距離為2 ∴sin3 又 ∴f(x)＝sin π 5.＝ ＝a＝

2

c2＝5＋36－25×6×

＝∴c＝五、立體幾主主左)視圖放在正主(主，寬相等”．在畫一個(gè)物體的三視圖時(shí)，一定注意實(shí)線與虛線要分明．[1]如圖，若一個(gè)幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左) 答案3xy軸的線段平行性不變，長度減半．”[問題2] 2答 2S直棱柱側(cè)＝c·h(c為底面的周長，h為高SS

正棱錐側(cè)＝2ch′(c為底面周長，h′為斜高1正棱臺側(cè)＝2(c′＋c)h′(cc′分別為上、下底面周長，h′為斜高S圓柱側(cè)＝2πrl(r為底面半徑，l為母線S圓錐側(cè)＝πrl(同上S圓臺側(cè)＝π(r′＋r)l(r′、r分別為上、下底的半徑，l為母線V柱＝S·h(S為底面面積，h為高1V錐＝3S·h(S為底面面積，h為高1V臺＝3(S＋SS′＋S′)h(S、S′為上、下底面面積，h為高S球

球＝3πR 的正方形，側(cè)(左)1 答

[問題4] 在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點(diǎn)，則直線EG和FH的 答 相 答 充分不必l1l2v1v2θcosθ＝|cos〈v1，v2〉方法一分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩條直線的方向向量 方法一分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向 小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．(2)Aα→

＝|n|[問題6] (1)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所 (2)ABCD－A1B1C1D11，OA1B1C1D1O的距離 (1)

(2) 由題意知B1E⊥平面ACC1A1，則∠B1AEAB1ACC1A1所成的角．1，sin∠B

6＝21 ＝AB 21方法 如圖以A1C1中點(diǎn)E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系E－xyz，設(shè)棱長為1，A1，0，1，B 3，0，， sinθ＝|cos〉 3

3 －2，2，－10，2，02×2 ＝2×2

z＝1，得

又2 2∴OABC

2＝1

4易錯(cuò)點(diǎn) 例1一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 錯(cuò)解由三視圖知，該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4，寬為2的矩形；兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底2444.

找準(zhǔn)失分點(diǎn)不能準(zhǔn)確把握三視圖和幾何體之間的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)正視圖可知，側(cè)視圖中等44.正解＝17.

(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋8表答

易錯(cuò)點(diǎn) 例2給出下列四個(gè)命題其中正確題 錯(cuò)解1錯(cuò)解2找準(zhǔn)失分點(diǎn)①是錯(cuò)誤的，因?yàn)槔庵膫?cè)棱要都平行且相等；④是錯(cuò)誤的，因?yàn)殚L方體的側(cè)正 易錯(cuò)點(diǎn) 例3已知m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面．給出下列命題mαmαm、nαm其中正確題序號 錯(cuò)解找準(zhǔn)失分點(diǎn)③是錯(cuò)誤的；⑤是錯(cuò)誤的正 ①是錯(cuò)誤的②A′CA′B′C′D′B′D′平行的無數(shù)條直線．④⑤n⊥α答 m，n，lα，β，γα∥β，l?αm，n為異面直線，m?α，n?β，m∥β，n∥α其中正確命題的個(gè)數(shù)是 答 面互相平行，這兩個(gè)平面是唯一存在的，因此命題④C.設(shè)m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個(gè)平面，則下列選項(xiàng)中不 m?α?xí)r，“n∥α”是“m∥nm?α?xí)r，“m⊥β”是“α⊥βn⊥α?xí)r，“n⊥β”是“α∥βm?α?xí)r，“n⊥α”是“m⊥n答 解 是“m∥n”的既不充分也不必要條件，答案選A. 答 解析所以 ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：③A1CPM④NC與PM異面．其中不正確的結(jié)論是( 答 M，N，P，QC1D1SABR，如圖所示中的六邊形MNSPQR，顯然點(diǎn)A1，C分別位于這個(gè)平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能故結(jié)論② A．2＋2 B．3＋22 2答 該幾何體的底面是邊長為1的正方形，故S1＝12＝1.故

PD⊥DC，CB⊥PBPB＝PD＝

＝22所以該幾何體的表面積為 2

2＝2＋2. PDABC答 解析PB⊥ADAD⊥ABADAB60°角，A錯(cuò)誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B錯(cuò)誤；BCAE是相交直線，所以BC一定不與平PAE平行，CPDABC所成角為∠PDARt△PAD中，AD＝PA，∴∠PDA＝45°，D其中正確的 答 解 取線段BC的中點(diǎn)E，連接∴BC⊥∵AD?OABCD上的射影，OB，OC，OD，∴O為△BCDABCD中，AB＝1，AD＝2角A－BC－D的大小

解 由

＝2 BA與CDθA－BC－D又 → → →AD＝AB＋BC＋CD，∴AD＝→ →→ →AB＋BC2＋CD因此→→

2AB·CD＝(23)－1－3－2

l，mα，βl⊥α，m?β其中為真命題的 答 解 對命題①，則l⊥α，α∥β得對命題②，l⊥mD?/l⊥βl⊥mD?/α∥β，故②對命題③α⊥β時(shí)，lm也可能相交或異面或平行，故③錯(cuò)誤．對命題④l⊥α，l∥mm⊥αm?β，∴α⊥β，故④正確．三棱錐D－ABC及其三視圖中的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示，則棱BD 2答 2 由正(主)視圖知CD⊥平面ABC，設(shè)AC中點(diǎn)為E，則BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由側(cè)(左)視圖知CD＝4，BE＝23，Rt△BCE中，BC＝BE2＋EC2＝232＋22＝4，Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝42＋42＝42.42.高考專題訓(xùn) 立體幾何(解答題)(理BC(2)AB＝BB1＝2A1DAC1D解 A1CAC1OOA1C的中點(diǎn)，DBC的中點(diǎn)，如圖．∴在△A1BC∴A1B(2)因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，DBC(0,0)，A1(3，0,2)，C1(0，－1,2)．則→則DA＝(→AC1D 由 3x＝0，又→又DA1＝(

277

5×＝35A1DADC1

2

＝35A1DADC1所成角的正弦值為2如圖，ACOBO⊥ACACM，EAABC，F(xiàn)C∥EA，AC＝4，EA＝3，F(xiàn)C＝1.(2)BEFABC (1)證明：∵AC是⊙O的直徑∴FC∴AB(2)由題設(shè)可得，AB＝AC·cos30°＝2∴AM＝ABcos30°＝23× 2AACEAC，AEx，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．→BF＝(－BEF

BE＝(－由 n·BE＝0n·BF＝0－－x＝3∴n＝(EAABC的法向量為BEFABC則cosθ＝|cos〈n，→〉 3×0＋1×0＋2×3 22＝ 2＝

＝22BEFABC所成的銳二面角的余弦值為22ABCD為矩形，PD2若二面角Q－BP－C的余弦值為 3，求AB的值 (1)證明：設(shè)AD＝1，則DQ＝2，DP＝2，在△DPQPQ＝(2)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DP，DCx軸，y軸，z軸，建立空間直角D－xyz.D則 n1＝(x1，y1，z1)PBC 則 n2＝(x2，y2，z2)PBQ 則 Q－BP－C的余弦值為－5 ∴|cos〈n1，n2〉|＝ 3 m2＋4· ＝5mm2＋4·因此，所求AB求證：EF

BFCD

證明：由已知∴EF，當(dāng)

1

FPC → →BFCD 32×2×

＝33BFCD所成角的余弦值為3則 又 ∴→∴AFD 則 PCD 則

2

S－ABCDABCDSAADBC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.MSB求證：AMSCDSABNCD上的動點(diǎn)，MNSABθsinθ (1)證明：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(0,2,0)，則 SCD

則

∵→∵∴→∴∴AMSABn1＝(1,0,0)．SCDSABφ，易知

＝＝則|cosφ|＝n1·n＝2 6 6.＝＝6 6

3， 3SCDSAB所成二面角的余弦值為3N(x,2x－2,0)，則SAB110×12110×12－12×x151x－577 7

53當(dāng)x＝53

時(shí) ：高考資源網(wǎng) [問題1]某社區(qū)現(xiàn)有480個(gè)住戶，其等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高 答案 解 由抽樣比例可知 ，則[問題2]從某校高三年級隨機(jī)抽取一個(gè)班，對該班50名學(xué)生的高校招生體檢表中視力情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示．若某高校A專業(yè)對視力的要求在0.9以上，則該班學(xué)生中能報(bào)A專業(yè)的人數(shù)為 答案n平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x＝1(x1＋x2＋…＋xn)．nns2＝1[(x1x)2＋(x2x)2＋…＋(xnxn簡化計(jì)算公式 1[(x2＋x2＋…＋x2)－nx2]，或?qū)懗蓅2＝1(x2＋x2＋…＋x2)－x2，即

n 本的眾數(shù)、中位數(shù)分別 答

nxi－xyi－y

xiyi－n nn其 x－x

nx2－nx

^^a＝y(tǒng)－bx^^ 回歸直線方程y＝bx＋a必經(jīng)過 答 (x，yabcd 量

k的值越大，說明“XY有關(guān)系”成立的可能性越大，可以利用數(shù)據(jù)來確定“XY有[問題5] 到了如下的2×2列聯(lián)表：5則至少 的把握認(rèn)為喜愛打籃球與有關(guān)．(請用百分?jǐn)?shù)表示 附：K答 (1)AB互斥．P(A 拋擲一枚，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn)，知

2點(diǎn)的概率之和 答 3

＝6 m其中，n為一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，mA＝n數(shù)[問題 若將一枚質(zhì)地均勻的先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率 答案DdA

d

.DDD 在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方ABCD—A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為 B．1－ 答 解 記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為

Am＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝n！m，n∈N*，m≤n.m＝nn1)·……·2·1＝n

AmCm＝nAm ＝ ＝Cm＝Cn－m，Cm＋Cm－1＝CmC0＝1 (1)將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共 種453不同的取法共 種答 定理：(a＋b)n＝C0an＋C1an－1b＋…＋Cran－rbr＋…＋Cn－1abn－1＋Cnbn 通項(xiàng)(r＋1項(xiàng))：Tr＋1＝CrnanrbrCr(r＝0,1，…，n)n—n

設(shè)x－26的展開式中x3的系數(shù)為A，二項(xiàng)式系數(shù)為B，則 答 6解 6

＝Crx6－r(－1)r26＝Cr(－1)r2r6

632

P(A|B)A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，BAP(AB)A，B同時(shí)發(fā) 設(shè)A、B為兩個(gè)事件，若事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率為3，在事件A發(fā)生的條

A發(fā)生的概率 答 5nPn(k)＝Ckpk·(1－p)n－k.n 若隨量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的值 ξ012345Px答 9解

1則 ＝9一般地，如果對于任意實(shí)數(shù)a<b，隨量X滿足P(a<X≤b)＝?bφ，(x)dx，則稱X的aμXX～N(μ，σ2)．滿足正態(tài)分布的三個(gè)基本概率的值是：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 已知隨量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于 答 由題意知圖象的對稱軸為直線x＝2，

易錯(cuò)點(diǎn) 例1如圖所示是某公司(共有員工300人)2012年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此知，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的大約 人錯(cuò)解由頻率分布直方圖，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的頻率為1－(0.02＋0.08＋∴1.4萬元～1.6300×0.62＝186(人找準(zhǔn)失分點(diǎn)本題主要頻率分布直方圖與條形圖縱軸的意義，頻率分布直方圖中，縱軸 正 由所給圖形可知，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的頻率為1.4萬元～1.6300×0.24＝72(人答 易錯(cuò)點(diǎn) 例2如圖所示，在等腰Rt△ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任意作一條射線CM，與ABMAM<AC的概率．錯(cuò)解記AM<AC為事件E，設(shè)CA＝CB＝a，因?yàn)椤鰽BC是直角所以，AB＝AD＝AC＝aAM<AD因此AM<AC的概率為

2＝＝AB＝ 找準(zhǔn)失分點(diǎn)據(jù)題意，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，射線CM在∠ACB內(nèi)部MAB上的分布不是均勻的．正 在AB上取一點(diǎn)D，使AD＝AC，因?yàn)?/p>

所以 ＝8

＝∠ACB＝π2易錯(cuò)點(diǎn) 錯(cuò)解A4 44找準(zhǔn)失分點(diǎn)沒有分清是排列還是組合正 由題意可能有兩種結(jié)構(gòu)，如圖第一種：，第二種444 4易錯(cuò)點(diǎn) 例44個(gè)不同的小球放入編號為1234的4個(gè)盒中則恰有1個(gè)空盒的放法共有 錯(cuò)解找準(zhǔn)失分 沒有考慮均勻分組42 正 把4個(gè)球分成3組，每組至少1個(gè)，即分的小球個(gè)數(shù)分別為2,1,1的3組，有42A2A2A43A3種，因此，放法共有42A144(種答

21．在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是( C．中位 答 x345678y 得到的線性回歸方程為y＝bx＋a，則 答 解 作出散點(diǎn)圖如下 觀察圖象可知，回歸直線

x＝0時(shí)，y＝a>0.故

確 答 區(qū)域OACD，易知

1 P＝

＝2

2)(2x－2y)的展開式中xy的系數(shù)是 答 解

r1

展開式的通項(xiàng)公式為 ·(－2y)r1

r5－r

·(－2) ·yr＝3

31

C5(2)點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于( 答

22

矩形解 這是一道幾何概型的概率問題，點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率為矩形.1.2

＝|AB|·|AD|陰影部分的概率 2答案22解 000故由幾何概型的概率公式可得所求概率為27．(2014·江西)10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概 答 2解 從10件產(chǎn)品中取4件，共有C4種取法，取到1件次品的取法為C1C3種，由古典概

3 P＝3

2中實(shí)線圍成的部分是長方體(1)ABCD是邊11 答 解

h＝3

已知投答

中率為4

4次，至少命中3次的概率 解 該人投籃4次，命中3次的概率 P1＝C4444P2＝C434＝81故至少命中3次的概率是

的200輛汽車進(jìn)行車速分析分析的結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖則估計(jì)在這一時(shí)段內(nèi)通過該站的汽車中車速不小于90km/h的約有 高考專題訓(xùn) 概率與統(tǒng)計(jì)(解答題8：00－9：00,9：00－10：00兩個(gè)時(shí)段內(nèi)各發(fā)一趟AB城(兩車發(fā)生情況互不影響)，A城發(fā)車時(shí)間及其概率如下表所示：3ABA城火車站侯車的時(shí)間分別是周8：008：20.(只考慮候車時(shí)間，不考慮其他因素)設(shè)乙侯車所需時(shí)間為隨量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 (1)X的所有可能取值 、、 、(分鐘)，其概率分布列如XP12X的數(shù)學(xué)期望

×18＝(2)10分鐘、30分鐘、50 10＝6，P30＝2，P

10＝2，P30＝3，P所以所求概率 72．(2014·皖南八校聯(lián)考)122ξ條面對角線所成的角(用弧度制表示)2(2)ξ (1)當(dāng)ξ＝0時(shí)，即所選的2條面對角線平行，則 ＝C2C(2)ξ的可能取值為 P(ξ＝0)＝C2＝11，P＝3＝C2＝11，Pξ＝2＝C2 ξξ0P182

3．(2014·廣州調(diào)研)PM2.5(單位：μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒PM2.5優(yōu)良從甲城市2014930天中隨機(jī)抽取15PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)莖葉圖如(1)2014930(2)152X (1)由莖葉圖可知甲城市在2014年9月份隨機(jī)抽取的15天中的空氣質(zhì)量類別為2014930(2)X

52

52

52 X012PX012P372

×7＋

240210300XX (1)依題意，每場比賽獲得的門票收入組成首項(xiàng)為40，公差為10的等差數(shù)列．設(shè)此數(shù)列為{an}，則易知a1＝40，an＝10n＋30，所以 5場． 42(2)隨量X可取的值為S4，S5，S6，S7，即又 2 42 52 62XXP181455XE(X)＝377.5(萬元 變化，y在

545元．而每堵車1小時(shí)，需多花汽油費(fèi)20元．路為了估計(jì)CD段平均堵車時(shí)間，了100名走甲路線的，得到表2數(shù)據(jù)CDEFGHxy14平均堵車時(shí)間(時(shí)a2186CDa七、數(shù)列、不等 已知前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，則 Snann＝1 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，則 答 an＋1－an＝d(d為常數(shù))等差數(shù)列的通項(xiàng)：an＝a1＋(n－1)d 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 d≠0an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－dndnS

d)nn

m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aqm＋n＝2p 答

＝q(q為常數(shù))，其中q≠0，an≠0或a 一個(gè)等比數(shù)列{an}2n＋1100120等比數(shù)列的通項(xiàng)：an＝a1qn－1

nq＝1時(shí)，Sn＝na1q≠1

1－q

1－q易錯(cuò)警示：由于等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q1時(shí)，要對qq＝1q≠1兩種情形討論求解．等比中項(xiàng)：若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做ab的等比中項(xiàng)．值得注意的是，不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)，即為±ab.如已知兩個(gè)正a，b(a≠b)ABABA>B.m＋n＝p＋qam·an＝ap·aqm＋n＝2p[問題3] (1)在等比數(shù)列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整數(shù)，則a10＝ (2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5·a6＝9，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝ 1

1如 ＝

＝

數(shù)列{a}滿足a 1(n∈N，n≥1)，若a

是{a}nS

值 答 2 不等式－3x2＋5x－2>0的解集 答 已知a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，且c>d，則“a>b”是“ac>bd” 條件答 充分不必22

ab22

≥2≥ x，y

xypx＝y(tǒng)x＋y24x＋ysx＝y(tǒng)xy有最大值4易錯(cuò)警示： 答

答案2易錯(cuò)點(diǎn) 例 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列的公比q 錯(cuò)解找準(zhǔn)失分點(diǎn)當(dāng)q＝1時(shí)，符合要求．很多考生在做本題時(shí)都想當(dāng)然地認(rèn)為正 ①當(dāng)q＝1時(shí)②q≠1

得1－q

1－q

答 1或易錯(cuò)點(diǎn) 例 錯(cuò)解4an≥0n≤25，即數(shù)列{an}6074找準(zhǔn)失分點(diǎn)忽視了k≤6的情況，只給出了k≥7的情況4正 4070.k≤6時(shí)，k≥7 所以Sk＝ 易錯(cuò)點(diǎn) 例 錯(cuò)解150或找準(zhǔn)