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文檔簡介
3.3.2
簡單的線性規(guī)劃問題第1課時簡單的線性規(guī)劃問題某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h,該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件,按每天工作8h計算,該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么?設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件,由已知條件可得二元一次不等式組:將上述不等式組表示成平面上的區(qū)域,區(qū)域內(nèi)所有坐標(biāo)為整數(shù)的點時,安排生產(chǎn)任務(wù)都是有意義的.yOx4348簡單線性規(guī)劃問題及有關(guān)概念進一步,若生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品獲利2萬元,生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品獲利3萬元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大?設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件時,工廠獲得的利潤為z,則z=2x+3y.上述問題就轉(zhuǎn)化為:當(dāng)x、y滿足不等式組并且為非負整數(shù)時,z的最大值是多少?yOx4348上述問題中,不等式組是一組對變量
x、y的約束條件,這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式,所以又稱為線性約束條件.1.線性約束條件我們把要求最大值的函數(shù)z=2x+3y稱為目標(biāo)函數(shù).又因為z=2x+3y是關(guān)于變量x、y的一次解析式,所以又稱為線性目標(biāo)函數(shù).2.線性目標(biāo)函數(shù)3.線性規(guī)劃一般的,在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.
滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解.
由所有可行解組成的集合叫做可行域.
使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解.4.可行解、可行域、最優(yōu)解yOx4348(1)在上述問題中,如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬元,又當(dāng)如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤?(2)由上述過程,你能得出最優(yōu)解與可行域之間的關(guān)系嗎?設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件乙產(chǎn)品y件時,工廠獲得的利潤為z,則z=3x+2y.Ox4348y最大值為的交點時,截距的值最大,即的最大值為所以,每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件,乙產(chǎn)品2件時,工廠獲得最大利潤16萬元.簡單線性規(guī)劃問題的圖解方法
例1設(shè)z=2x+y,式中變量x、y滿足下列條件:求z的最大值和最小值.分析:作可行域,畫平行線,解方程組,求最值.42246yxOCAB解:作出如圖所示的可行域,作及當(dāng)直線經(jīng)過點B時,對應(yīng)的最小,當(dāng)直線經(jīng)過點A時,對應(yīng)的最大.解線性規(guī)劃問題的步驟:
(2)移:在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中,利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線;
(3)求:通過解方程組求出最優(yōu)解;(4)答:作出答案.(1)畫:畫出線性約束條件所表示的可行域;最優(yōu)解一般在可行域的頂點處取得.分析:對應(yīng)無數(shù)個點,即直線與邊界線重合.作出可行域,結(jié)合圖形,看直線與哪條邊界線重合時,可取得最大值.解:當(dāng)直線與邊界線重合時,有無數(shù)個點使函數(shù)值取得最大值,此時有yxOCBA且z=2x+4y的最小值為-6,則常數(shù)k等于().1.已知x、y滿足D求的最大值和最小值.2.已知滿足解:作出如圖所示的可行域,351xOB(1.5,2.5)A(-2,-1)Cy當(dāng)直線l經(jīng)過點B時,對應(yīng)的z最小,當(dāng)直線l經(jīng)過點C時,對應(yīng)的z最大.∴z最小值=1.5-2×2.5=-3.5z最大值=3-0=3.2.線性目標(biāo)函數(shù)的最值的圖解法及其步驟
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