第一次課矩陣初等變換

主講教師理學(xué)院呂建聚E-mail:Tel性代數(shù)線性代數(shù)

教材《線性代數(shù)》江龍程林鳳等高教出版社

主要參考書《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社地點(diǎn)：教1-C300(答疑室)

時(shí)間：第2~12周（除第五周），周三7-8節(jié)課答疑安排考前安排集中答疑（時(shí)間另行通知，地點(diǎn)不變）成績(jī)?cè)u(píng)定辦法平時(shí)成績(jī)30%+期末考試70%平時(shí)成績(jī)包括：課堂點(diǎn)名+作業(yè)+課堂小測(cè)驗(yàn)+實(shí)驗(yàn)課實(shí)驗(yàn)課5分/100分，由實(shí)驗(yàn)老師評(píng)定小測(cè)驗(yàn)15分/100分，上課時(shí)隨機(jī)進(jìn)行，每缺一次，扣分不低于5分/100分，期望大家保證出勤點(diǎn)名、作業(yè)10分/100分，缺一次扣4分/100分第一章線性方程組1.1線性方程組

1.2矩陣及其初等變換

1.3線性方程組的矩陣解法

一、引例煉鐵廠使用不同的含鐵原料，不同原料含有鐵（Fe）、二氧化硅（SiO2)、氧化鈣（CaO)、硫（S),磷（P）、鋁（AL2O3)、鋅、鎳、銅等多種元素，在冶煉之前進(jìn)行配比中和，達(dá)到一定的成份要求。1.1線性方程組

原料信息原料原料成份信息%序號(hào)產(chǎn)地名稱TFeSiO2CaOMgOAl2O3SPTiO21巴西巴粗57.055.020.410.242.480.010.050.062澳洲PB粉53.6690.410.242.480.020.070.073印度印粉54.466.85.890.170.0740.0744巴西卡粉652.5500.8210.020.050.065明達(dá)精粉654.381.010.330.0250.086本地精粉652.431.40.190.0227太平精粉652.961.024.581.710.360.010.078安徽安徽塊5392.480.2040.1319馬來(lái)塊馬來(lái)塊53.3414.464.060.0510.020.05410阿里奇礦粉57.85.862.020.0360.06111馬來(lái)礦馬來(lái)粉46.0313.59005.230.0760.0970.08612澳洲揚(yáng)迪粉57.855.591.440.080.0413澳洲火箭特粉57.055.022.550.0310.0414澳洲麥克粉61.3342.20.0370.08215澳洲紐曼粉62.864.072.370.0110.08216澳洲PB粉61.54.562.430.0170.087原料信息原料原料成份信息序號(hào)比例名稱TFeSiO2CaOMgOAl2O3SPTiO21x1巴粗57.055.020.410.242.480.010.050.062x2PB粉53.6690.410.242.480.020.070.073x3印粉54.466.85.890.170.0740.0744中和要求5560.06如果僅使用前三種原料，中和效果見表格最下一行可以列方程組增加一個(gè)成分要求，增加一個(gè)約束增加一種原料方程組17個(gè)未知量，9個(gè)方程增加一個(gè)方程增加一個(gè)未知量這里大家也看到，方程的個(gè)數(shù)同未知數(shù)的個(gè)數(shù)并不要求相同，這點(diǎn)同中學(xué)階段完全不同采用17種原料，8種成分均有要求的情況，列出的方程組是工程師在解決實(shí)際問題中經(jīng)常遇到的，對(duì)方程組要解決兩方面的問題：一是，方程組的求解問題二是，如果未知量非常多，方程個(gè)數(shù)也非常多，表達(dá)不方便，尋找復(fù)雜數(shù)學(xué)表達(dá)式的表達(dá)方法----矩陣這兩個(gè)問題就構(gòu)成了本課程的核心內(nèi)容。n元線性方程組的一般形式:齊次線性方程組:非齊次線性方程組:線性方程組的解集:方程組解的全體二.基本概念(1)如何判別方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？(2)如何求方程組的通解？要解決的問題：例1.1解線性方程組

消元法是解方程組的基本方法簡(jiǎn)單的回憶一下加減消元法三解法例1.1解線性方程組

解

回代

加減消元法實(shí)質(zhì)是對(duì)線性方程組進(jìn)行三種同解變換

（1）交換任意兩個(gè)方程的位置；（2）任一個(gè)方程的兩邊同乘一個(gè)非零的實(shí)數(shù)；（3）任一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上

例1.2解方程組

解

觀察線性方程組

實(shí)質(zhì)是同一個(gè)方程，決定方程組的是方程的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)可看做是一個(gè)數(shù)表一定義1.2矩陣及其初等變換思考題：四個(gè)1字可以構(gòu)造多少個(gè)矩陣？強(qiáng)調(diào)：矩陣除了元素之外，重要的是數(shù)字的排列方式，也就是今后常說(shuō)的矩陣的結(jié)構(gòu)(1)1×1的矩陣就是一個(gè)數(shù)。

(2)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A，稱為n階方陣或n階矩陣。

(3)只有一行的矩陣稱為行矩陣或n

維行向量。ai稱為A的第i個(gè)分量。稱為列矩陣或m

維列向量。(4)只有一列的矩陣【注】幾種特殊矩陣(5)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O

。(6)矩陣(約定未寫出元素全為零)稱為單位矩陣。(7)矩陣稱為對(duì)角矩陣。記作二兩個(gè)矩陣相等設(shè)，如果則稱A與B相等，記作A=B。問：與相等嗎？強(qiáng)調(diào)矩陣相等：結(jié)構(gòu)相同、對(duì)位元素相同(3)把矩陣的某一行乘上一個(gè)數(shù)加到另一行上，矩陣的三種初等行變換（習(xí)慣上行用r標(biāo)示，列用C標(biāo)示）(1)交換矩陣的某兩行，記為(2)以不等于０的數(shù)乘矩陣的某一行，記為記為類似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換三矩陣的初等變換矩陣的初等行變換舉例?！咀?】初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．初等列變換也有類似的結(jié)果…逆變換逆變換逆變換初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(jiǎn)(階梯)形矩陣(行最簡(jiǎn)形就是所謂的最簡(jiǎn)單的“代表”)書P9定義1.4行階梯形矩陣行最簡(jiǎn)階梯形矩陣（1）臺(tái)階左下方元素全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階上只有一行；（3）每個(gè)臺(tái)階上第一個(gè)元素不為零。行階梯形矩陣：行最簡(jiǎn)階梯形(1)(2)(3)+(4)臺(tái)階上的第一個(gè)元素為1,且其所在列其它元素全為零。矩陣(2)稱為行階梯形矩陣，矩陣(4)稱為行最簡(jiǎn)(階梯)形矩陣下面矩陣也是行階梯形矩陣下面矩陣是行最簡(jiǎn)階梯形矩陣定義…定義…【定理1.1】

每個(gè)非零矩陣都可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行階梯形矩陣,進(jìn)而化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣.

例1【問題】如果可以利用初等列變換，矩陣B可以化簡(jiǎn)成的最簡(jiǎn)單形式是什么？加注：階梯形不唯一，最簡(jiǎn)階梯形唯一接例1形狀為等價(jià)具有下列性質(zhì)：如果矩陣B可以由矩陣A經(jīng)過(guò)一系列行初等變換得到，則稱A與B行等價(jià)，記為。如果矩陣B可以由矩陣A經(jīng)過(guò)一系列初等列變換得到，則稱A與B列等價(jià)，記為。（1）自反性

AA（2）對(duì)稱性若AB，則B