相似三角形難題集錦

..相似三角形1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,過點(diǎn)B作射線BB1∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H,過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F,G是EF中點(diǎn),連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

〔1當(dāng)t為何值時(shí),AD=AB,并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；〔2當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí),求t的值．

2.如圖,在△ABC中,ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)．同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā),沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),它們都停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．

〔1①當(dāng)t=2.5s時(shí),求△CPQ的面積；②求△CPQ的面積S〔平方米關(guān)于時(shí)間t〔秒的函數(shù)解析式；

〔2在P,Q移動(dòng)的過程中,當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí),求出t的值．

3.如圖1,在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng),DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E,EM⊥BD,垂足為M,EN⊥CD,垂足為N．

〔1當(dāng)AD＝CD時(shí),求證：DE∥AC；〔2探究：AD為何值時(shí),△BME與△CNE相似？

4.如圖所示,在△ABC中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí),Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x．

〔1當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC？

〔2△APQ與△CQB能否相似？若能,求出AP的長(zhǎng)；若不能說明理由．5.如圖,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點(diǎn)P沿AB邊從A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā),用t〔s表示移動(dòng)的時(shí)間〔0＜t＜6。〔1當(dāng)t為何值時(shí),△QAP為等腰直角三角形？

〔2當(dāng)t為何值時(shí),以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為<2,1>,正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°,求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式．

7.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作△ABD,使△ABD為等腰直角三角形,求線段CD的長(zhǎng)．

8.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn),點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn),沿著直線MN折疊,使得點(diǎn)C恰好落在邊AB上的P點(diǎn)．求證：MC：NC=AP：PB．

9.如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形ABCO的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔1,3,將矩形沿對(duì)角線AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置,且AD交y軸于點(diǎn)E．那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為〔

A.B.C.D.10..已知,如圖,直線y=﹣2x＋2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)．以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD,使得矩形的兩邊之比為1﹕2。

求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

11.如圖：△ABC中,D是AB上一點(diǎn),AD=AC,BC邊上的中線AE交CD于F。

求證：

12.四邊形ABCD中,AC為AB、AD的比例中項(xiàng),且AC平分∠DAB。

求證：

13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E為AD邊上的任意一點(diǎn),EF∥AB,且EF交BC于點(diǎn)F,某同學(xué)在研究這一問題時(shí),發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：

<1>當(dāng)時(shí),EF=；<2>當(dāng)時(shí),EF=；

<3>當(dāng)時(shí),EF=．當(dāng)時(shí),參照上述研究結(jié)論,請(qǐng)你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論,并給出證明．

14.已知：如圖,在△ABC中,M是AC的中點(diǎn),E、F是BC上的兩點(diǎn),且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

15.證明：〔1重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長(zhǎng)的．〔注：重心是三角形三條中線的交點(diǎn).〔2角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例．16.如圖,在等邊△ABC中,M、N分別是邊AB,AC的中點(diǎn),D為MN上任意一點(diǎn),BD、CD的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．

求證：．

17.已知：如圖,梯形ABCD中,AB//DC,對(duì)角線AC、BD交于O,過O作EF//AB分別交AD、BC于E、F。

求證：．

18.如圖,在△ABC中,已知CD為邊AB上的高,正方形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在△ABC上。

求證：．19.已知,在△ABC中作內(nèi)接菱形CDEF,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a．求證：．20.〔1如圖1,點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上,一直線過點(diǎn)P分別交BA,BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,S,交于點(diǎn)．求證：

〔2如圖2,圖3,當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線或的延長(zhǎng)線上時(shí),是否仍然成立？若成立,試給出證明；若不成立,試說明理由〔要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說明；

21.如圖,在平行四邊形ABCD中,過點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點(diǎn),且∠AFE＝∠B.求證：△ADF∽△DEC若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的長(zhǎng).22.如圖,已知等腰三角形ABC中,AD,BF分別為BC,AC邊上的高,過D作AB的垂線交AB于E,交BF于G,交AC延長(zhǎng)線于H。求證：DE2=EG?EH23.已知如圖,P為平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn),過P的直線與AD、BC、CD的延長(zhǎng)線、AB的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H.

求證：

24.已知,如圖,銳角△ABC中,AD⊥BC于D,H為垂心〔三角形三條高線的交點(diǎn)；在AD上有一點(diǎn)P,且∠BPC為直角．求證：PD2＝AD·DH。25.已知如圖,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線交CA于F。

求證：

26如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,點(diǎn)M在CD上,DH⊥BM且與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

求證：〔1△AED∽△CBM；〔227.如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

〔1求證：.

〔2若G是BC的中點(diǎn),連接GD,GD與EF垂直嗎？并說明理由.

28.如圖,四邊形ABCD、DEFG都是正方形,連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M,CG與AD相交于點(diǎn)N．求證：．

29.如圖,BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高,過D作DG⊥BC于G,分別交CE及BA的延長(zhǎng)線于F、H。求證：〔1DG2＝BG·CG；〔2BG·CG＝GF·GH30.△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上．

〔1如圖1,設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,求證：△BEM∽△CNE；

〔2如圖2,將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),使得DE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,于是,除〔1中的一對(duì)相似三角形外,能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論．

31.如圖,四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形,點(diǎn)R為DE的中點(diǎn),BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．

〔1請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形〔相似比為1除外；

〔2求BP：PQ：QR．

32.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。求證：

33.如圖,Rt△ABC是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的,連結(jié)CC交斜邊于點(diǎn)E,CC的延長(zhǎng)線交BB于點(diǎn)F．〔1證明：△ACE∽△FBE；〔2設(shè)∠ABC=,∠CAC=,試探索、滿足什么關(guān)系時(shí),△ACE與△FBE是全等三角形,并說明理由．34.在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA＝90o,CB＝3,OA＝6,BA＝3eq\r<5>．分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．〔1求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn),OD＝5,OE＝2EB,直線DE交x軸于點(diǎn)F．求直線DE的解析式；〔3點(diǎn)M是〔2中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N．使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由．SHAPEABDABDEFCOMNxy圖15-2ADOBC21MN圖15-1A圖15-2ADOBC21MN圖15-1ADBMN12圖15-3ADOBC21MNO〔1如圖15-1,若AO=OB,請(qǐng)寫出AO與BD數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；〔2將圖15-1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2,其中AO=OB．求證：AC=BD,AC⊥

BD；〔3將圖15-2中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到圖15-3,求的值．36.如圖,在正方形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),連結(jié)AE,作BF⊥AE,垂足為H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.<1>求證CG=BH;<2>FC2=BF·GF;<3>=.BBACDHEFG37.劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中,用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形,見圖①、②．圖①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm；圖②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4cm．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起,并將△DEF沿AC方向移動(dòng)．在移動(dòng)過程中,D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上<移動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合>．<1>在△DEF沿AC方向移動(dòng)的過程中,劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸▲．<填"不變"、"變大"或"變小"><2>劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究,編制了如下問題：?jiǎn)栴}①：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置,即AD的長(zhǎng)為多少時(shí),F、C的連線與AB平行?問題②：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置,即AD的長(zhǎng)為多少時(shí),以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形?問題③：在△DEF的移動(dòng)過程中,是否存在某個(gè)位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出AD的長(zhǎng)度；如果不存在,請(qǐng)說明理由．請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問題的解答過程．38.已知△ABC中,AB＝2,AC＝4,BC＝6〔1如圖1點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),在線段AC上取點(diǎn)N,使△AMN與△ABC相似,求線段MN的長(zhǎng)；〔2如圖2,是由100個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的10×10正方形網(wǎng)格,設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形,①請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△A1B1C1,使得△A1B1C1與△ABC全等〔畫出一個(gè)即可,不需證明②試直接寫出在所給的網(wǎng)格中與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù),并畫出其中的一個(gè)〔不需證明39.已知直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖,C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為<4,0>,<0,3>.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從A,C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.<1>填空：菱形ABCD的邊長(zhǎng)是、面積是、高BE的長(zhǎng)是；<2>探究下列問題：①若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位,點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位.當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí),求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,以及S的最大值。②若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位,點(diǎn)Q的速度變?yōu)槊棵雓個(gè)單位,在運(yùn)動(dòng)過程中,任何時(shí)刻都有相應(yīng)的k值,使得△APQ沿它的一邊翻折,翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形.請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)t=4秒時(shí)的情形,并求出k的值.40.△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B．〔1如圖〔1當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),DM交AC邊于點(diǎn)E,不添加輔助線,寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．〔2如圖〔2,將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),DM,DN分別交線段AC,AB于E,F點(diǎn)〔點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合,不添加輔助線,寫出圖中所有的相似三角形,并證明你的結(jié)論．〔3在圖〔2中,若AB=AC