2023年高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考（2月）檢測(cè)模擬試卷含解析

2023年高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考（2月）模擬試卷(時(shí)間：120分鐘，分值：150分，范圍：選擇性必修一+選擇性必修二第一章)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知平面向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2．已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線平行，則（

）A．2 B．1 C． D．3．坐標(biāo)平面內(nèi)有相異兩點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．已知實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足，，，則的最大值是（

）A．6 B．8 C． D．125．已知數(shù)列滿(mǎn)足，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最小值為C．過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為7．已知點(diǎn)，圓，若在圓上存在唯一的點(diǎn)使得，則可以為（

）A． B．68 C．2或或或 D．或或548．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)是，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知方程表示的曲線為，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)或時(shí)，曲線是雙曲線B．當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓C．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則10．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的（）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，則12．如圖，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且互相垂直的兩條直線和與圓相交于四點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．線段長(zhǎng)度的最大值為；B．弦長(zhǎng)度的最小值為；C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；D．四邊形面積的取值范圍為.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．正方體的棱長(zhǎng)為2，若動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是___________．14．若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線斜率的取值范圍是___________15．如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為Q，若，則雙曲線的離心率是______.16．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知對(duì)任意的，，且存在，，則的取值集合為_(kāi)_____（用列舉法表示）四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．(10分)已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)．(1)若圓心C到直線l的距離為，求k的值.(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦？若存在，求出直線與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．(12分）如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A,B的點(diǎn),平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E,F分別是PC,PB的中點(diǎn),記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.(1)證明：l⊥平面PAC；(2)直線l上是否存在點(diǎn)Q，使得直線PQ與平面AEF所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.（12分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為2．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，若，求直線的方程．21．（12分）記數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為.若對(duì)于且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（12分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且時(shí)，求直線l的方程.高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考（2月）模擬試卷(時(shí)間：120分鐘，分值：150分，范圍：選擇性必修一+選擇性必修二第一章)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知平面向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，設(shè)與的夾角為，由求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，設(shè)與的夾角為，則，又因?yàn)椋?故選：A2．已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線平行，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)切線方程，再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑列式解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榍芯€與直線平行，所以切線方程可設(shè)為因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P(2，2)，所以因?yàn)榕c圓相切，所以故選：C3．坐標(biāo)平面內(nèi)有相異兩點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用斜率公式求出，再利用三角函數(shù)求出的范圍，利用斜率與傾斜角的關(guān)系求出傾斜角的范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，是相異兩點(diǎn)，，且，設(shè)直線的傾斜角為，則當(dāng)，傾斜角的范圍為．當(dāng)，傾斜角的范圍為．故選：B【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查直線的傾斜角的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意是相異的兩個(gè)點(diǎn)，利用求出斜率的范圍，再利用傾斜角與斜率的關(guān)系求出傾斜角的范圍，屬于易錯(cuò)題.4．已知實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足，，，則的最大值是（

）A．6 B．8 C． D．12【答案】D【分析】采用數(shù)形結(jié)合法，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到直線的距離和的倍，結(jié)合梯形中位線性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可求.【詳解】由，，，可知，點(diǎn)在圓上，由，即為等腰直角三角形，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可理解為點(diǎn)到直線的距離，變形得，即所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到直線的距離和的倍，作于于，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由梯形中位線性質(zhì)可得，，作于，于，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)與重合，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，由點(diǎn)到直線距離公式可得，由幾何性質(zhì)可得，，此時(shí)，故的最大值為.故選：D5．已知數(shù)列滿(mǎn)足，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目信息以及數(shù)列的遞推關(guān)系式，將表示成的表達(dá)式，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意可知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)為偶數(shù)，則，所以，即，所以，即，即.故選：B.6．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最小值為C．過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為【答案】B【分析】根據(jù)面面平行無(wú)交線可判斷A；由面面平行的性質(zhì)得出DP所在的平面，即可分析最小值P點(diǎn)的位置，求解即可；用向量法根據(jù)平行的坐標(biāo)表示，求出過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面，即可計(jì)算周長(zhǎng)；根據(jù)三棱錐的外接球半徑公式和球體的表面積公式求解即可.【詳解】解：對(duì)于A，延長(zhǎng)，，，，有兩個(gè)交點(diǎn)I，J，代表平面平面，兩平面不平行，A選項(xiàng)錯(cuò)誤對(duì)于B，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則，，且，，平面，平面，所以平面平面，已知點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)P在上時(shí)，平面，滿(mǎn)足平面，在中，，，則為等腰三角形，點(diǎn)P在的中點(diǎn)時(shí)，有最小值，在中，，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，，則，解得，截面周長(zhǎng)為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.7．已知點(diǎn)，圓，若在圓上存在唯一的點(diǎn)使得，則可以為（

）A． B．68 C．2或或或 D．或或54【答案】C【分析】若在圓上存在唯一的點(diǎn)使得，存在幾種情況：（1）圓內(nèi)切于以為直徑的圓；（2）以為直徑的圓內(nèi)切于圓時(shí)；（3）當(dāng)點(diǎn)A在圓上；（4）點(diǎn)在圓上，每種情況分別求出的值即可.【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑若在圓上存在唯一的點(diǎn)使得，當(dāng)以為直徑的圓和圓相切時(shí)，以為直徑的圓的圓心，半徑為，兩圓的圓心距，①當(dāng)圓內(nèi)切于圓時(shí)，圓的半徑，解得，②當(dāng)圓內(nèi)切于圓時(shí)，圓的半徑，解得，當(dāng)以為直徑的圓和圓相交時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)A在圓上時(shí)，將代入中，解得：.②當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，將代入中，解得.綜上可得或或或，故選：C.8．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)是，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】設(shè)出線段的長(zhǎng)度，用余弦定理求得的長(zhǎng)度，利用拋物線的定義以及梯形的中位線長(zhǎng)度的計(jì)算，從而轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，再結(jié)合不等式即可求得其最小值.【詳解】設(shè)，，過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，如下所示：則，，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，根據(jù)梯形中位線定理可得，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)?，所以在中，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，（顯然存在），所以，則的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線中的最值問(wèn)題，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用拋物線的定義，還要注意到不等式的應(yīng)用。二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知方程表示的曲線為，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)或時(shí)，曲線是雙曲線B．當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓C．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則【答案】AD【分析】根據(jù)雙曲線、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依次構(gòu)造不等式求得每種曲線對(duì)應(yīng)的的范圍即可.【詳解】對(duì)于A，若曲線為雙曲線，則，解得：或，A正確；對(duì)于B，若曲線為橢圓，則，解得：或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得：，D正確.故選：AD.10．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為【答案】CD【分析】選項(xiàng)A，因?yàn)?，直線的方向向量與平面的法向量垂直，直線可能在平面內(nèi)，也可能與平面平行；選項(xiàng)B，根據(jù)空間向量四點(diǎn)共面條件即可判斷B；選項(xiàng)C，根據(jù)平面向量基底的定義可判斷C；選項(xiàng)D，根據(jù)投影向量的公式即可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A，由已知直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，所以，所以直線或，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，根?jù)空間向量四點(diǎn)共面條件可知，四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，三個(gè)不共面的向量可以成為空間的一個(gè)基底，兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線，故C正確；選項(xiàng)D，由，，在上的投影向量為，故D正確.故選：CD.11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的（）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，則【答案】BC【分析】對(duì)于A，求出，,即可判斷；對(duì)于B，利用求出通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證是否滿(mǎn)足2，即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可得，即可判斷．【詳解】解：對(duì)于A，若，則，，，則不是等差數(shù)列，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足2，所以，則是等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，是等差數(shù)列，則，C正確；對(duì)于D，若是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則，D錯(cuò)誤.故選：BC．12．如圖，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且互相垂直的兩條直線和與圓相交于四點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．線段長(zhǎng)度的最大值為；B．弦長(zhǎng)度的最小值為；C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；D．四邊形面積的取值范圍為.【答案】BCD【分析】根據(jù)方程寫(xiě)出已知圓的圓心和半徑，由長(zhǎng)度表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即可判斷A；由圓的性質(zhì)判斷B；若分別是的中點(diǎn)，圓心到直線和的距離且，易證為矩形且其中心對(duì)角線長(zhǎng)度恒定，即可確定的軌跡判斷C；根據(jù)得到四邊形面積關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求范圍判斷D.【詳解】由題設(shè)圓的方程為，設(shè)圓心為，則，半徑，由三角形兩邊之和大于第三邊可知，且，所以當(dāng)長(zhǎng)度最大時(shí)圓心與共線且在它們中間，此時(shí)錯(cuò)誤；由圓的性質(zhì)知當(dāng)即圓心與直線距離最大時(shí)長(zhǎng)度的最小，此時(shí)圓心與直線距離為，故正確；若分別是的中點(diǎn)，則且且，又，易知：為矩形，而，若圓心到直線的距離且，所以，則，故，所以在以為直徑，交點(diǎn)為圓心的圓上，C正確；由上分析：，而，所以，令，則，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)或5，即或時(shí)，；所以，D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)在于CD選項(xiàng)，選項(xiàng)C：證明分別是的中點(diǎn)所形成的四邊形為矩形且對(duì)角線長(zhǎng)度及中心恒定，判斷軌跡形狀；選項(xiàng)D：利用得到四邊形面積關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．正方體的棱長(zhǎng)為2，若動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可求出，再根據(jù)的范圍，求出的取值范圍．【詳解】解：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，．，，．點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，，且．，，∵，∴，即，故答案為：．14．若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線斜率的取值范圍是___________【答案】【分析】由圓的方程可求得其圓心和半徑，當(dāng)圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，只需要找出臨界位置使圓心到直線距離為即可求出斜率的取值范圍.【詳解】將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心坐標(biāo)為,半徑；若圓上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則需滿(mǎn)足圓心到直線的距離為，即，解得.此時(shí)直線如下圖中兩條虛線所示，當(dāng)直線被夾在第一象限的兩虛線之間時(shí)，有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，所以，當(dāng)圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，需滿(mǎn)足，即直線斜率的取值范圍是.故答案為：15．如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為Q，若，則雙曲線的離心率是______.【答案】3【分析】先利用切線長(zhǎng)定理求得雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)，再由求得雙曲線的半焦距長(zhǎng)，進(jìn)而求得雙曲線的離心率【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為，則，又由，可得，則，則，又，則，即，由，可得，即，則雙曲線的離心率，故答案為：316．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知對(duì)任意的，，且存在，，則的取值集合為_(kāi)_____（用列舉法表示）【答案】【分析】先計(jì)算得到，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算求解即可．【詳解】解：為偶數(shù)時(shí)，，∴，或19，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴．綜上：的取值集合．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是理解：如果一個(gè)數(shù)列成等差，則相同間隔構(gòu)造的新數(shù)列也成等差數(shù)列．譬如成等差，則也成等差數(shù)列．四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（12分）已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)．(1)若圓心C到直線l的距離為，求k的值.(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦？若存在，求出直線與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)或(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可知圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式即可求得k的值；（2）假設(shè)存在直線，根據(jù)垂直平分線方程和的位置即可得出矛盾，即不存在過(guò)點(diǎn)D的直線.【詳解】（1）由圓可知，圓心，半徑圓心C到直線l的距離，化簡(jiǎn)得，解得或．（2）解法一：直線過(guò)定點(diǎn)．因?yàn)橹本€l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以，解得．若存在直線垂直平分弦，則直線必過(guò)圓心C．因?yàn)橹本€的斜率，所以直線的斜率．因?yàn)?，所以不存在過(guò)點(diǎn)D的直線垂直平分弦．解法二：直線過(guò)定點(diǎn)．若存在直線垂直平分弦，則直線必過(guò)圓心C．因?yàn)橹本€的斜率，所以直線的方程為，即．因?yàn)橹本€垂直于直線l，所以直線l的斜率為3，直線l的方程為．聯(lián)立解得所以直線與直線l的交點(diǎn)為．而，所以點(diǎn)不在圓C內(nèi)，即不存在過(guò)點(diǎn)D的直線垂直平分弦．18．（12分）如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A,B的點(diǎn),平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E,F分別是PC,PB的中點(diǎn),記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.(1)證明：l⊥平面PAC；(2)直線l上是否存在點(diǎn)Q，使得直線PQ與平面AEF所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)存在，且【分析】（1）先作出輔助線，找到平面AEF與平面ABC的交線，再由AB為直徑，得到AC⊥AS，結(jié)合面面垂直得到線面垂直，證明出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角，列出方程，求出的值.【詳解】（1）連接CO并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)S，連接AS，SB，SF，則，四邊形為矩形，BCAS，因?yàn)镋FBC，所以EFAS，故平面AEF與平面ABC的交線為AS所在直線，即AS所在直線為直線l，因?yàn)镃S為直徑，所以AC⊥AS，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，交線為AC，AS平面ABC，所以AS⊥平面PAC，即l⊥平面PAC；（2）在AS上取點(diǎn)Q，連接PQ，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，垂直CA，CB的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻A=PC=AC=2，BC=4，所以，設(shè)平面AEF的法向量為，則，解得：，令，則，故，，故，解得：，故，即直線l上存在點(diǎn)Q，使得直線PQ與平面AEF所成的角的正弦值為，且.19．．（12分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合與的關(guān)系式即可求得與，從而得解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，求得的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法即可求得.【詳解】（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，由得，解得，當(dāng)時(shí)，，，則，即，，.（2）由（1）得，，，，.20．．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為2．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）