哈爾濱理工大學高數(shù)競賽題

哈爾濱理工大學2002年高等數(shù)學試題姓名：學號：專業(yè)：一二三四五——八七八九十總分一、填空(每小題4分，共計32分)1、已知f(x)在(-3,+3)內(nèi)可導，且limf'(x)=e2x—3lim(X+a)x=limf(x)-f(x一1)],則a=x—3x一a x—3V2、 設(shè)函數(shù)V=v(x)是由x3+V3-3axy=0(a>0)確定，0lim—=x—+3x3、 設(shè)圓錐面的頂點在原點，且三個坐標軸的正半軸都在其上，則圓錐面的方程為。4、已知y〃+(x+e2y)(y')3=0，則方程的通解為。5、 已知級數(shù)切un的一般項氣與前n項的和s有如下關(guān)系：n=1(n>2)，且"]=22s(n>2)，且"]=2則級數(shù)切unn=16、，則f(x)+f(1-x)+Inx-ln(1-6、，則f(x)+f(1-x)+Inx-ln(1-x)=n=17、z=\x2+y2一2x一4y+9+yx2+y2一6x+2y+11的最小值為7、8、設(shè)Q是由z=xy，x+y+z=1與z=0圍成的區(qū)域，則如xdV=<8、QTOC\o"1-5"\h\z二、(7分)設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(1)=1，且對x>1時，有f'(x)= -，x2+f2(x)n證明：(1)limf(x)存在，(2)limf(x)<1+-0x—3 x—3 4三、 (8分)設(shè)f(x)在［0,1］上連續(xù)，且j'f(x)dx=0，f1xf(x)dx=0，……，0…0J1xn-1f(x)dx=0，J1xnf(x)dx=1，證明：存在&e［0,1］，使0 0If(提|>2n(n+1)四、 (8分)證明：內(nèi)切于一給定正方形的所有橢圓中，以圓的周長為最大。

五、設(shè)f3,y)有二階連續(xù)偏導數(shù)，u=j2兀f(rcos0,rsin0)d0，且0—=j2f(rcos0,rsin0)d0,^-^=j2f(rcos0,rsin0)d0dr0dr dr2 0dr2f"+f"=1，求rd2U+半的值。11 12r dr2dr六、 (8分)設(shè)f(x)在[1,+8)上有連續(xù)的二階導數(shù)，f(1)=0，f'(1)=1,且, 、一 、 合2Z合2Z二元函數(shù)z=(X2+y2)f(x2+y2)滿足—+—=0，求f(x)在[1,+8)的最大值。七、 (7分)計算曲面積分jjyz(y—z)dydz+xz(z—x)dzdx+xy(x—y)dxdy， -一，3、 ■其中￡是曲面z=,,：4Rx—x2—y2(R>1)在柱面(x—^)2+y2=1之內(nèi)部分的上側(cè)。八、（7分）設(shè)區(qū)域D為x2+y2<1，證明八、（7分）-^-n<jjsin"x2+y2)3dxdy<—n165 5D九、（8分）設(shè)f(x)=一1——，a=1f(n)(0)，證明級數(shù)黃""+九、（8分）并求其和。十、（8分）1—x—x2 nn! 0并求其和。十、（8分）計算曲線積分j(x2+y2dx+y[xy+ln(x+^x2+y2)]dy其中L是曲線y=5+1從點A(1,2)到點C(0,1)的部分。7、判別級數(shù)的斂散性8 3n⑵z云―74n—2nn=18、求解微分