行列式的定義

線性代數(shù)安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系A(chǔ)LGEBRA線性代數(shù)是研究自然現(xiàn)象數(shù)量關(guān)系規(guī)律的學(xué)科,理論嚴(yán)謹(jǐn),應(yīng)用廣泛,發(fā)展迅速.目前,不僅高等學(xué)校很多專業(yè)都要設(shè)這門課程,而且從上世紀(jì)末開始，這門課程特意被國(guó)家教委定為本科生考研的數(shù)學(xué)課程之一，希望大家能認(rèn)真學(xué)好這門不易學(xué)好又不得不學(xué)好的重要課程.

《線性代數(shù)》前言

教材

《線性代數(shù)》主要教學(xué)參考書

范愛華編

中科大出版社國(guó)內(nèi)有關(guān)經(jīng)典教材1.《線性代數(shù)》

同濟(jì)大學(xué)著高等教育出版社

1999年版2.《線性代數(shù)》解國(guó)瑞著高等教育出版社1998年版國(guó)外有關(guān)經(jīng)典著作1.《LinearAlgebra》P.-S.拉普拉斯著

2001年版線性代數(shù)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門中.尤其是計(jì)算機(jī)日益普及的今天,求解線性方程組等問題已成為研究科技問題經(jīng)常遇到的課題.例如:1.國(guó)民經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出理論2.提高產(chǎn)品質(zhì)量——數(shù)學(xué)在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用本學(xué)科的應(yīng)用3.信息處理線性代數(shù)的學(xué)習(xí)方法因人而異在學(xué)習(xí)中注意以下幾個(gè)環(huán)節(jié)

1.課前預(yù)習(xí)(3節(jié))2.認(rèn)真聽講3.復(fù)習(xí)鞏固本學(xué)科的學(xué)習(xí)基本方法

4.作業(yè)5.答疑6.融會(huì)貫通第1.1節(jié)行列式的定義

線性代數(shù)二階、三階行列式定義及計(jì)算

一、二階與三階行列式1.二階行列式二元線性方程組：由消元法，得得同理，得于是，當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解.為便于記憶，引進(jìn)記號(hào)稱記號(hào)為二階行列式.其中，數(shù)稱為元素為行標(biāo)，表明元素位于第行為列標(biāo)，表明元素位于第列注:(1)二階行列式算出來是一個(gè)數(shù)。(2)記憶方法：對(duì)角線法則主對(duì)角線上兩元素之積－副對(duì)角線上兩元素之積.因此，上述二元線性方程組的解可表示為綜上，令則，稱D為方程組的系數(shù)行列式。例1：解方程組解：因?yàn)樗?.三階行列式類似地，為討論三元線性方程組引進(jìn)記號(hào)稱之為三階行列式.其中，數(shù)稱為元素為行標(biāo)，為列標(biāo)。(2)對(duì)角線法則注意

:

紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．說明:

1.對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式．2.三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列三個(gè)元素的乘積,其中三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù).例：

如果三元線性方程組的系數(shù)行列式

利用三階行列式求解三元線性方程組:可以驗(yàn)證，方程組有唯一解，其中，例2:解:方程左端解得由例3:

解線性方程組解:由于方程組的系數(shù)行列式同理可得故方程組的解為:1、概念的引入引例用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個(gè)位1232種放法1種放法種放法.共有1.2全排列及其逆序數(shù)2、全排列及其逆序數(shù)問題定義把個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)元素的全排列（或排列）.個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用表示.由引例同理在一個(gè)排列中，若數(shù)則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.例如排列32514中，定義我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序,n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.排列的逆序數(shù)32514逆序逆序逆序定義

一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如排列32514中，32514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.計(jì)算排列逆序數(shù)的方法方法1分別計(jì)算出排在前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出這個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).方法2例1

求排列32514的逆序數(shù).解在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)3,故逆序數(shù)為1;32514于是排列32514的逆序數(shù)為5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;1的前面比1大的數(shù)有3個(gè),故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個(gè),故逆序數(shù)為1;例2

計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.解此排列為偶排列.解當(dāng)時(shí)為偶排列；當(dāng)時(shí)為奇排列.解當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列.三、n階行列式的定義由n行n列元素組成,稱之為n階行列式(determinantofordern)行列式這個(gè)詞是Cauchy（柯西）把它用于已經(jīng)

出現(xiàn)在十八世紀(jì)著作中的行列式的．把元素排成方陣并采用雙重足標(biāo)的記法也是屬于他的.（兩個(gè)豎條線是Cayley（凱萊）在１８４１年引進(jìn)的）．n階行列式的定義1：定義

由n階階行列式D中劃去第i行第j列元素后剩下的n-1行n-1列元素組成的n-1階行列式，即:

稱為元素的余子式,稱為元素的代數(shù)余子式.n階行列式的定義定義1.1注：上式歸納地定義了任意n階行列式的值.注意:在n階行列式展開式中(1)共有n!項(xiàng);(2)每項(xiàng)由來自不同行不同列的n個(gè)元素相乘而得到;(3)展開式中正負(fù)號(hào)各一半，即各n!/2項(xiàng);(4)與定義1比較例4:

計(jì)算上三角行列式(uppertriangulardeterminant)分析這是一個(gè)n階行列式，但它的第一列除所以利用定義展開時(shí)只有一項(xiàng)不為零，于是解:都是零，例5:定理1.1

設(shè)D是n階行列式，則對(duì)任意

同理可得下三角行列式(lowert