數(shù)值模擬第二講桿單元

桿單元

目標(biāo)：通過桿單元特性方程的建立，初步掌握有限元法單元分析的過程和原理，了解桿系結(jié)構(gòu)分析的原理。2.1、一維等截面桿單元及其剛度矩陣L—桿長A—截面積E—彈性模量考慮一個(gè)2節(jié)點(diǎn)一維等截面桿單元：單元上的力學(xué)量和基本關(guān)系如下：

——桿單元位移——桿單元應(yīng)變——桿單元應(yīng)力2.1.1直接法導(dǎo)出單元特性(方法一)桿單元伸長量：應(yīng)變—位移關(guān)系：應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系：下面通過二種方法研究桿單元的單元特性。應(yīng)變：應(yīng)力：桿內(nèi)力：則桿的軸向剛度：軸向拉壓變形模式下，該桿單元的行為與彈簧單元相同，因此桿單元的剛度矩陣為：比照彈簧元的剛度方程，寫出桿單元的剛度方程為：2.1.2公式法導(dǎo)出單元特性(方法二)步驟1)：

假設(shè)單元上近似位移函數(shù)——位移模式假設(shè)單元上的位移為簡單多項(xiàng)式函數(shù)。有限元中用插值法通過節(jié)點(diǎn)位移（待定參數(shù)）定義單元位移函數(shù)。對(duì)桿單元，引入局部坐標(biāo)：則單元近似位移函數(shù)（線性位移模式）：定義2個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)（形函數(shù)）：矩陣形式：由于該桿單元只有2個(gè)未知位移分量，因此單元上假設(shè)的簡單位移函數(shù)采用一次多項(xiàng)式。故對(duì)單元的節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行線性插值。

該式是有限元法中最重要的關(guān)系式之一，通過該式把單元上的近似位移分布函數(shù)用節(jié)點(diǎn)位移來表示，為進(jìn)行單元層次上的分析打下了基礎(chǔ)。單元應(yīng)變：——單元應(yīng)變矩陣單元應(yīng)力：用虛位移原理導(dǎo)出單元?jiǎng)偠确匠烫撐灰圃恚ㄌ摴υ恚?/p>

彈性體受力平衡時(shí)，若發(fā)生虛位移，則外力虛功等于彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能。步驟2)：單元應(yīng)變與單元應(yīng)力步驟3)：彈性體的虛位移：假想在彈性體上發(fā)生的，滿足位移許可條件（內(nèi)部連續(xù)，邊界協(xié)調(diào)）的微小、任意位移場?？梢岳斫鉃槟硞€(gè)位移場的微小擾動(dòng)（變分）。虛位移的特征：1）假想的，與真實(shí)位移無關(guān)；2）幾何上是許可的：連續(xù)、協(xié)調(diào)；3）微小、任意大小。對(duì)于桿單元，定義虛位移如下：節(jié)點(diǎn)虛位移：單元虛位移分布：節(jié)點(diǎn)力（外力）虛功：單元虛應(yīng)變能：則單元虛應(yīng)變：對(duì)桿單元應(yīng)用虛位移原理，可得到：考慮到的任意性，立刻得到：這就是剛度矩陣的一般形式，可推廣到其他類型的單元?！獥U單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)于上面的桿單元：與前面直接法得到的公式相同！2.1.3關(guān)于桿單元的討論1）在單元局部坐標(biāo)系下，每個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)未知位移分量和一個(gè)自由度，單元共有2個(gè)自由度。2）單元?jiǎng)偠染仃囋氐奈锢硪饬x剛度方程中令：則：單元?jiǎng)偠染仃嚨牡趇（i=1,2)列元素表示當(dāng)維持單元的第i個(gè)自由度位移為１，其它自由度位移為０時(shí)，施加在單元上的節(jié)點(diǎn)力分量。（也可以用此方法直接導(dǎo)出桿單元的剛度矩陣元素）３）單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)稱、奇異、主對(duì)角元素恒正。單元?jiǎng)偠确匠?.1.4舉例例1

求圖示２段桿中的應(yīng)力。解：結(jié)構(gòu)分為２個(gè)桿單元，單元之間在節(jié)點(diǎn)２鉸接。

２個(gè)桿單元的剛度矩陣分別為：參考前面彈簧系統(tǒng)的方法，裝配２桿系統(tǒng)的有限元方程（平衡方程）如下：引入邊界位移約束和載荷：方程化為：上述方程組中刪除第１，３個(gè)方程，得到：解得：即位移解為：單元1應(yīng)力：單元2應(yīng)力：提示：1）本例中單元應(yīng)力的計(jì)算采用了材料力學(xué)中的方法，與采用有限元單元應(yīng)力公式的結(jié)果相同。2）對(duì)錐形桿，單元截面積可用平均值。3）求應(yīng)力之前需要求出節(jié)點(diǎn)位移——有限元位移法。例2：求桿兩端的支反力已知：解：先檢查桿右端與墻壁是否接觸。計(jì)算右端的自由伸長：所以，右端間隙將閉合，即節(jié)點(diǎn)3與剛性墻壁接觸。參照前面的討論，可直接寫出2單元系統(tǒng)平衡方程：載荷與邊界條件：系統(tǒng)平衡方程為：分離出第2個(gè)方程：即：得到：節(jié)點(diǎn)位移列式：

根據(jù)求出的節(jié)點(diǎn)位移，用系統(tǒng)有限元方程中的第1、3個(gè)方程可以求解支反力。由第1個(gè)方程可以得出：由第3個(gè)方程可以得出：2.2、2-D和3-D空間中的桿單元（平面和空間桁架單元）2.2.12-D空間中桿單元1-D空間桿單元2-D空間桿單元

換變標(biāo)坐基本思想原來1-D空間中的桿坐標(biāo)系作為局部坐標(biāo)系局部總體每節(jié)點(diǎn)一個(gè)自由度X，Y每節(jié)點(diǎn)2個(gè)自由度（1）向量的坐標(biāo)變換

節(jié)點(diǎn)的位移分量和節(jié)點(diǎn)力分量在2-D局部坐標(biāo)系x-y下描述。節(jié)點(diǎn)上的位移和節(jié)點(diǎn)力向量在2-D局部坐標(biāo)系與2-D總體坐標(biāo)系下的變換如下：

稱為方向余弦

向量的坐標(biāo)變換矩陣為：顯然是正交陣，即：單元節(jié)點(diǎn)位移向量的變換式如下：或其中：同樣可以得到單元節(jié)點(diǎn)力的變換式為：（2）剛度矩陣的坐標(biāo)變換局部坐標(biāo)系下桿單元的剛度方程為：把該方程擴(kuò)充到2-D局部坐標(biāo)系x-y下的4階形式：寫成矩陣符號(hào)形式：利用前面的向量坐標(biāo)變換式，得：則，總體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?/p>

用單元?jiǎng)偠染仃囇b配結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）剛度矩陣的方法與1-D情況相同。考慮到變換矩陣的正交性，得：（3）單元應(yīng)力即：2.2.2例題平面桁架由2根相同的桿組成（E，A，L）。求：1）節(jié)點(diǎn)2位移2）每根桿應(yīng)力解：求出每個(gè)單元在總體坐標(biāo)下的剛度矩陣。對(duì)于單元1，（i,j）=(1,2)對(duì)于單元2，（i,j）=(2,3)將單元1，2的剛度方程擴(kuò)張到系統(tǒng)規(guī)模（6階），相加后引入節(jié)點(diǎn)平衡條件，即可得出系統(tǒng)平衡方程：再引入邊界約束和載荷：則上面6階有限元方程凝聚為：解出未知位移得：按公式計(jì)算桿應(yīng)力：得：2.2.33-D空間中桿單元1-D空間桿單元3-D空間桿單元

換變標(biāo)坐基本思想局部總體