數(shù)值分析課件第一章-誤差

數(shù)值計算方法主講教師:姜海燕姓名：姜海燕Email:hyjiang@辦公電話：68912131-15辦公室：中心教學(xué)樓628課件下載公共郵箱地址：mathjhy@(password:971106)答疑時間：周三下午：2：00----4：00教師信息3教材丁麗娟，程杞元，《數(shù)值計算方法》，高等教育出版社參考資料各工科院校相應(yīng)教材

《Numericalrecipes》,下載數(shù)學(xué)軟件包：LAPACK，下載教材及參考書熟悉一種數(shù)學(xué)軟件MATLABMAPLESCILABMATHEMATICAGAUSS考核方法平時成績20%期末考試成績80%平時成績計算：數(shù)值實踐作業(yè)20分科研活動理論分析實驗計算提煉、檢驗指導(dǎo)、預(yù)言檢驗、對比輔助、對比指導(dǎo)定量化《數(shù)值計算方法》課程作用數(shù)值計算求各種數(shù)學(xué)問題近似解的方法和理論計算機數(shù)學(xué)模型實際問題近似解《數(shù)值計算方法》課程的特點與實際工程問題緊密相連：計算數(shù)學(xué)、計算物理、計算化學(xué)、計算材料學(xué)、計算生物學(xué)等（統(tǒng)稱：計算科學(xué)）各個部分獨立性強、內(nèi)容具體，易理解。實踐性強主要內(nèi)容數(shù)值代數(shù)線性方程組求解(第二章,第三章)

特征值計算(第四章)數(shù)值逼近插值法(第五章)

函數(shù)逼近(第六章)數(shù)值微分數(shù)值積分(第七章)非線性方程求解(第八章)常微分方程數(shù)值解法(第九章)第一章誤差§1誤差的來源與分類從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型

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模型誤差通過測量得到模型中參數(shù)的值

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觀測誤差求近似解——

截斷誤差機器字長有限——

舍入誤差§2絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字2.1絕對誤差與相對誤差1314例：

比一般的四舍五入的更科學(xué)、精確：1.舍入后絕對誤差限不超過末位數(shù)的半個單位四舍六入五成雙原則：1.被修約的數(shù)字等于或小于4時，該數(shù)字舍去；

2.被修約的數(shù)字等于或大于6時，則進位；

3.被修約的數(shù)字等于5時，要看5前面的數(shù)字，若是奇數(shù)則進位，若是偶數(shù)則將5舍掉，即修約后末尾數(shù)字都成為偶數(shù)；若5的后面還有不為“0”的任何數(shù)，則此時無論5的前面是奇數(shù)還是偶數(shù)，均應(yīng)進位。

16例：0.7135,0.7765,0.73251分別取三位小數(shù)0.714,0.776,0.733例：測得會議室的長為30m寬為10m，長的誤差不超過5cm,寬的誤差不超過2cm,如何表示？哪一個精度高？兩種誤差限的關(guān)系：20例：是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，則2.2有效數(shù)字

例如準確到小數(shù)點后第位，則其準確到小數(shù)點后第位，24有效數(shù)字另一等價定義

問題：有效數(shù)字的位數(shù)和精確度的關(guān)系？考慮相對誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系反之解:（用絕對誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系）取三位有效數(shù)字.要使絕對誤差限滿足問題：假定1.21及運算過程精確到兩位小數(shù)，

誤差的傳播§3數(shù)值計算中誤差的傳播3.1基本運算中的誤差傳播絕對誤差的傳播相對誤差的傳播特別地，和、差、積、商的誤差公式為：34

即和、差的絕對誤差限不超過各數(shù)的絕對誤差限之和，積、商的相對誤差限不超過各數(shù)的相對誤差限之和.例假定運算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，試求的絕對誤差限和相對誤差限，計算結(jié)果有幾位有效數(shù)字?解：

計算結(jié)果有2位有效數(shù)字.3.2算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法：設(shè)計由已知數(shù)據(jù)計算問題結(jié)果的運算順序穩(wěn)定性：在算法的計算過程中，數(shù)據(jù)誤差和舍入誤差在計算過程中不增長，則稱算法是數(shù)值穩(wěn)定的；否則稱算法是數(shù)值不穩(wěn)定的.40算法Ⅰ41n(算法Ⅰ)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831算法Ⅱ由于取按公式計算例如44n(算法Ⅰ)(算法Ⅱ)00.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580.0431387340.034302080.0343063350.028489580.0254683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-0.645697260.01301636138.305409380.0118412714-41.455618310.01222222分析原因：由算法Ⅰ結(jié)論：算法Ⅰ數(shù)值不穩(wěn)定，算法Ⅱ數(shù)值穩(wěn)定。對算法Ⅱ§4數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題1.避免兩個相近的數(shù)相減

解.若取則一般地，當(dāng)x充分大時，應(yīng)作變換：當(dāng)x接近零時，應(yīng)作變換2.避免大數(shù)“吃”小數(shù).計算機浮點數(shù)運算導(dǎo)致絕對值差異很大的數(shù)做加減運算時，絕對值小的數(shù)被吃掉.52533.避免除數(shù)絕對值遠小于被除數(shù)的絕對值4.簡化計算，減少運算次數(shù)，提高效率如計算n次多項式的值需次乘法運算，次加法運算.需次乘法運算，

次加法運算.565.選