直角三角形的邊角關(guān)系

數(shù)學(xué)中的某些定理具有這樣的特性:它們極易從事實(shí)中歸納出來(lái),但證明卻隱藏極深.——高斯從梯子的傾斜程度談起在直角三角形中,若一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比值是一個(gè)定值,那么這個(gè)角的值也隨之確定.正切直角三角形中邊與角的關(guān)系:銳角的三角函數(shù)--正切函數(shù)在Rt△ABC中,銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tanA,即tanA=ABC∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊┌斜邊如圖,當(dāng)Rt△ABC中的一個(gè)銳角A確定時(shí),它的對(duì)邊與鄰邊的比便隨之確定.此時(shí),其它邊之間的比值也確定嗎?結(jié)論:在Rt△ABC中,如果銳角A確定時(shí),那么∠A的對(duì)邊與斜邊的比,鄰邊與斜邊的比也隨之確定.ABC∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊┌斜邊在Rt△ABC中,銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA,即在Rt△ABC中,銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cosA,即銳角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的三角函數(shù).ABC∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊┌斜邊sinA=cosA=結(jié)論:梯子的傾斜程度與sinA和cosA有關(guān):sinA越大,梯子越陡;cosA越小,樣子越陡.如圖,梯子的傾斜程度與sinA和cosA有關(guān)嗎?例1如圖:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的長(zhǎng).200ACB┌求:AB,sinB.怎樣思考？10┐ABC如圖:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,1.如圖:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB.求:△ABC的周長(zhǎng).556ABC┌D2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,┐ABC3.如圖,在Rt△ABC中,銳角A的對(duì)邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)大100倍,sinA的值（）A.擴(kuò)大100倍B.縮小100倍C.不變D.不能確定4.已知∠A,∠B為銳角(1)若∠A=∠B,則sinA

sinB;(2)若sinA=sinB,則∠A

∠B.ABC┌5.如圖,∠C=90°CD⊥AB.6.在上圖中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.┍┌ACBD()()()()()()7.如圖,分別根據(jù)圖(1)和圖(2)求∠A的四個(gè)三角函數(shù)值.8.在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)AC=3,AB=6,求sinA和cosB(2)BC=3,sinA=,求AC和AB.┌ACB34┌ACB34(1)(2)10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=,求AC和BC.11.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.ACB┌D12.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)AC=25.AB=27.求sinA,cosA,tanA,cotA和sinB,cosB,tanB,cotB.(2)BC=3,sinA=0.6,求AC和AB.(3)AC=4,cosA=0.8,求BC.13.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.求:sinB,cosB,tanB,cotB.ACBDF┌E┌定義中應(yīng)該注意的幾個(gè)問(wèn)題:小結(jié)拓展1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定義的,∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA

是一個(gè)完整的符號(hào),表示∠A的正切,習(xí)慣省去“∠”號(hào)；3.sinA,cosA,tanA

是一個(gè)比值.注意比的順序,且sinA,cosA,tanA均﹥0,無(wú)單位.4.sinA,cosA,tanA的大小只與∠A的大小有關(guān),而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).5.角相等,則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等,則這兩個(gè)銳角相等.小結(jié)拓展1.銳角三角函數(shù)定義:請(qǐng)思考:在Rt△ABC中,sinA和cosB有什么關(guān)系?tanA=ABC∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊┌斜邊sinA=cosA=30°、45°、60°角的三角函數(shù)值例1計(jì)算：（1）sin30°+cos45°；（2）（3）（4）例2填空（1）已知∠A是銳角，且cosA=，則∠A=

°，sinA=

；（2）已知∠B是銳角，且2cosA=1，則∠B=

°；（3）已知∠A是銳角，且3tanA=0，則∠A=

°例3一個(gè)小孩蕩秋千，秋千鏈子的長(zhǎng)度為2.5m，當(dāng)秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，擺角恰好為60°，且兩邊的擺動(dòng)角相同，求它擺至最高位置時(shí)與其擺至最低位置時(shí)的高度之差。例4在Rt△ABC中，∠C=90°，，求，∠B、∠A。四、反饋練習(xí)1．已知α為銳角，tan（90°－α）=，則α的度數(shù)為（）A.30° B.45° C.45° D.30°3.三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算

(2)由三角函數(shù)值求角的度數(shù)直角三角形兩銳角的關(guān)系:兩銳角互余∠A+∠B=900.直角三角形的邊角關(guān)系直角三角形三邊的關(guān)系:勾股定理a2+b2=c2.

回顧與思考1駛向勝利的彼岸bABCa┌c互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系:sinA=cosB.特殊角300,450,600角的三角函數(shù)值.直角三角形邊與角之間的關(guān)系:銳角三角函數(shù)同角之間的三角函數(shù)關(guān)系:sin2A+cos2A=1.數(shù)學(xué)源于生活的需求如圖,為了方便行人，市政府在10m高的天橋.兩端修建了40m長(zhǎng)的斜道.這條斜道的傾斜角是多少?

想一想P172那么∠A是多少度呢?要解決這問(wèn)題,我們可以借助科學(xué)計(jì)算器.請(qǐng)與同伴交流你是怎么做的?如圖,在Rt△ABC中,知識(shí)在于積累已知三角函數(shù)值求角度,要用到

鍵的第二功能和鍵.

做一做P183例如,駛向勝利的彼岸由于計(jì)算器的型號(hào)與功能的不同,按相應(yīng)的說(shuō)明書(shū)使用.sincostan按鍵的順序顯示結(jié)果SinA=0.9816CosA=0.8607tanA=0.1890tanA=56.782ndfSin0.Sin-1=0.9816=78.991840392ndfcos0.coS-1=0.8607=30.604730072ndftan0.tan-1=0.1890=10.702657492ndftan56.78tan-1=56.78=88.99102049981=Sin-1cos-1tan-12ndf816=607=890=熟能生巧1根據(jù)下列條件求∠θ的大小:(1)tanθ=2.9888;(2)sinθ=0.3957;(3)cosθ=0.7850;(4)tanθ=0.8972.

隨堂練習(xí)P204駛向勝利的彼岸怎么解?老師提示:上表的顯示結(jié)果是以度為單位的,再按鍵即可顯示以“度,分,秒”為單位的結(jié)果.dms洞察力與內(nèi)秀例1如圖,工件上有一V型槽,測(cè)得它的上口寬20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(結(jié)果精確到10).

例題欣賞P195駛向勝利的彼岸咋辦∴∠ACD≈27.50.∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50=550.數(shù)學(xué)化呀!∴V型角的大小約550.真知在實(shí)踐中誕生2一輛汽車沿著一山坡行駛了1000m,其鉛直高度上升了50m.求山坡與水平面所成的銳角的大小.

隨堂練習(xí)P207駛向勝利的彼岸咋辦?老師期望:你具有成功的把握.行家看“門道”例2如圖,一名患者體內(nèi)某重要器官后面有一腫瘤.在接受放射性治療時(shí),為了最大限度地保證療效,并且防止傷害器官,射線必需從側(cè)面照射腫瘤.已知腫瘤在皮下6.3cm的A處,射線從腫瘤右側(cè)9.8cm的B處進(jìn)入身體,求射線的入射角度.

例題欣賞P195駛向勝利的彼岸解:如圖,在Rt△ABC中,AC=6.3cm,BC=9.8cm,?怎樣解答∴∠B≈32044′13″.因此,射線的入射角度約為32044′13″.知識(shí)的運(yùn)用

隨堂練習(xí)P206怎樣做？駛向勝利的彼岸1.已知sinθ=0.82904,求∠θ的大小.老師期望:先將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化,然后運(yùn)用所學(xué)知識(shí)予以解答.2.

一梯子斜靠在一面墻上,已知梯子長(zhǎng)4m,梯子位于地面上的一端離墻壁2.5m,求梯子與地面所成的銳角.真知在實(shí)踐中誕生3.圖中的螺旋形由一系列直角三角形組成.每個(gè)三角形都以點(diǎn)O為一頂點(diǎn).(1)求∠A0OA1,∠A1OA2,∠A2OA3,的大小.(2)已知∠An-1OAn,是一個(gè)小于200的角,求n的值.

隨堂練習(xí)P207駛向勝利的彼岸咋辦?老師期望:你能獨(dú)立獲得成功.回味無(wú)窮由銳角的三角函數(shù)值反求銳角小結(jié)拓展填表:已知一個(gè)角的三角函數(shù)值,求這個(gè)角的度數(shù)(逆向思維)駛向勝利的彼岸∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=4.船有觸礁的危險(xiǎn)嗎

(1)三角函數(shù)的應(yīng)用直角三角形兩銳角的關(guān)系:兩銳角互余∠A+∠B=900.直角三角形的邊角關(guān)系直角三角形三邊的關(guān)系:勾股定理a2+b2=c2.

回顧與思考1駛向勝利的彼岸bABCa┌c互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系:

sinA=cosB.特殊角300,450,600角的三角函數(shù)值.直角三角形邊與角之間的關(guān)系:銳角三角函數(shù)同角之間的三角函數(shù)關(guān)系:sin2A+cos2A=1.船有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)如圖,海中有一個(gè)小島A,該島四周10海里內(nèi)暗礁.今有貨輪四由西向東航行,開(kāi)始在A島南偏西550的B處,往東行駛20海里后到達(dá)該島的南偏西250的C處.之后,貨輪繼續(xù)向東航行.

想一想P212駛向勝利的彼岸要解決這個(gè)問(wèn)題,我們可以將其數(shù)學(xué)化,如圖:請(qǐng)與同伴交流你是怎么想的?怎么去做?你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎?ABCD北東真知在實(shí)踐中誕生解:要知道貨輪繼續(xù)向東航行途中有無(wú)觸礁的危險(xiǎn),只要過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,如果AD>10海里,則無(wú)觸礁的危險(xiǎn).根據(jù)題意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=20海里.設(shè)AD=x,則

隨堂練習(xí)P213駛向勝利的彼岸數(shù)學(xué)化?答:貨輪繼續(xù)向東航行途中沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn).D┌ABCD北東550250古塔究竟有多高如圖,小明想測(cè)量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂,測(cè)得仰角為300,再往塔的方向前進(jìn)50m至B處,測(cè)得仰角為600,那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計(jì),結(jié)果精確到1m).

想一想P214駛向勝利的彼岸要解決這問(wèn)題,我們?nèi)孕鑼⑵鋽?shù)學(xué)化.請(qǐng)與同伴交流你是怎么想的?準(zhǔn)備怎么去做?現(xiàn)在你能完成這個(gè)任務(wù)嗎?行家看“門道”這個(gè)圖形與前面的圖形相同,因此解答如下:

例題欣賞P225駛向勝利的彼岸?這樣解答DABC┌50m300600答:該塔約有43m高.解:如圖,根據(jù)題意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.設(shè)CD=x,則∠ADC=600,∠BDC=300,老師期望:這道題你能有更簡(jiǎn)單的解法.樓梯加長(zhǎng)了多少某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能,把傾角由原來(lái)的400減至350,已知原樓梯的長(zhǎng)度為4m,調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)多少?樓梯多占多長(zhǎng)一段地面?(結(jié)果精確到0.01m).

做一做P226現(xiàn)在你能完成這個(gè)任務(wù)嗎?駛向勝利的彼岸請(qǐng)與同伴交流你是怎么想的?準(zhǔn)備怎么去做?ABCD┌聯(lián)想的功能

隨堂練習(xí)P227這樣做駛向勝利的彼岸解:如圖,根據(jù)題意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的長(zhǎng),(2)AD的長(zhǎng).ABCD┌4m350400答:調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)約0.48m.聯(lián)想的功能

隨堂練習(xí)P228這樣做駛向勝利的彼岸解:如圖,根據(jù)題意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(2)AD的長(zhǎng).ABCD┌4m350400答:樓梯多占約0.61m一段地面.鋼纜長(zhǎng)幾何如圖,一燈柱AB被一鋼纜CD固定.CD與地面成400夾角,且DB=5m.現(xiàn)再在CD上方2m處加固另一根鋼纜ED,那么,鋼纜ED的長(zhǎng)度為多少?(結(jié)果精確到0.01m).

隨堂練習(xí)P229駛向勝利的彼岸怎么做?我先將它數(shù)學(xué)化!EBCD2m4005m真知在實(shí)踐中誕生解:如圖,根據(jù)題意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE的長(zhǎng).

隨堂練習(xí)P2210駛向勝利的彼岸就這樣?∴∠BDE≈51.12°.EBCD2m4005m答:鋼纜ED的長(zhǎng)度約為7.97m.大壩中的數(shù)學(xué)計(jì)算2如圖,水庫(kù)大壩的截面是梯形ABCD,壩頂AD=6m,坡長(zhǎng)CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.(1)求坡角∠ABC的大小;(2)如果壩長(zhǎng)100m,那么修建這個(gè)大壩共需多少土石方(結(jié)果精確到0.01m3).

隨堂練習(xí)P2211駛向勝利的彼岸咋辦先構(gòu)造直角三角形!ABCD解答問(wèn)題需要有條有理解:如圖,(1)求坡角∠ABC的大小;

隨堂練習(xí)P2212駛向勝利的彼岸有兩個(gè)直角三