信號(hào)與系統(tǒng)-課后答案

系統(tǒng)的時(shí)域分析線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)卷積積分及其性質(zhì)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)卷積和及其性質(zhì)單位沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)用N階常系數(shù)微分方程描述ai、

bi為常數(shù)。離散時(shí)間系統(tǒng)用N階常系數(shù)差分方程描述ai、

bi為常數(shù)。線性時(shí)不變系統(tǒng)的特點(diǎn)LTI系統(tǒng)除具有線性特性和時(shí)不變特性外，還具有:1）微分特性與差分特性：若T{f(t)}=y(t)則若T{f[k]}=y[k]則T{f[k]

-f[k-1]}=y[k]

-y[k-1]2）積分特性與求和特性：若T{f(t)}=y(t)則若T{f[k]}=y[k]則連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)經(jīng)典時(shí)域分析方法卷積法

零輸入響應(yīng)求解 零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)響應(yīng)求解方法1.經(jīng)典時(shí)域分析方法:求解微分方程2.卷積法:系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)求解齊次微分方程得到零輸入響應(yīng)利用卷積積分可求出零狀態(tài)響應(yīng)一、經(jīng)典時(shí)域分析方法 微分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng),由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成齊次解yh(t)的形式由齊次方程的特征根確定特解yp(t)的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確定齊次解yh(t)的形式(1)特征根是不等實(shí)根s1,s2,,sn(2)特征根是相等實(shí)根s1=s2==sn(3)特征根是成對(duì)共軛復(fù)根常用激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式例1已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程

初始條件y(0)=1,y’(0)=2,輸入信號(hào)f(t)=e-t

u(t)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)。特征根為齊次解yh(t)解(1)求齊次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齊次解yh(t)特征方程為2)求非齊次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)解得A=5/2，B=-11/6由輸入f(t)的形式，設(shè)方程的特解為yp(t)=Ce-t將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)C=1/3。3)求方程的全解討論1)若初始條件不變，輸入信號(hào)f(t)=sint

u(t)，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)=？2)若輸入信號(hào)不變，初始條件y(0)=0,y’(0)=1,則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)=？經(jīng)典法不足之處若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無(wú)法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。二卷積法系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)1.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。數(shù)學(xué)模型:求解方法：根據(jù)微分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式，再由初始條件確定待定系數(shù)。[解]系統(tǒng)的特征方程為例2已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為:系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-)=1，y'(0-)=3，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。系統(tǒng)的特征根為

y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1y'(0-)=y'x(0-)=-2K1-3K2=3解得K1=6，K2=-5例3已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-)=2，y'(0-)=-1，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。[解]系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為（兩相等實(shí)根）y(0-)=yx(0-)=K1=1;y'(0-)=y'x(0-)=-2K1+K2=3解得K1=1,K2=5例4已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-)=1，y'(0-)=3，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。[解]系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為y(0-)=yx(0-)=K1=1y'(0-)=y'x(0-)=-K1+2K2=3解得K1=1，K2=22、系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)方法：

1)直接求解初始狀態(tài)為零的微分方程。2)卷積法：利用信號(hào)分解和線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性求解。當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵(lì)f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yf(t)表示。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的思路1)將任意信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)的線性組合。2)求出單位沖激信號(hào)作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng)—單位沖激響應(yīng)h(t)。3)利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，求出單位沖激信號(hào)線性組合作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)，即系統(tǒng)在任意信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)推導(dǎo)由時(shí)不變特性由均勻特性由積分特性例5已知某LTI系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為y′(t)+3y(t)=2f(t)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=2e-3t

u(t),f(t)=3u(t),試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。[解]連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的定義沖激平衡法求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的定義 在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下，以單位沖激信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，以符號(hào)h(t)表示。N階連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)滿足沖激平衡法求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)由于t>0+后,方程右端為零,故n>m時(shí)nm時(shí),為使方程兩邊平衡,h(t)應(yīng)含有沖激及其高階導(dǎo)數(shù),即將h(t)代入微分方程，使方程兩邊平衡,確定系數(shù)Ki，

Ai例1已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：當(dāng)f(t)=d(t)時(shí),y(t)=h(t),即動(dòng)態(tài)方程式的特征根s=-3,且n>m,故h(t)的形式為解得A=2例2已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：當(dāng)f(t)=d(t)時(shí),y(t)=h(t),即動(dòng)態(tài)方程式的特征根s=-6,且n=m,故h(t)的形式為解得A=-16,B=3沖激平衡法小結(jié)1)由系統(tǒng)的特征根來(lái)確定u(t)前的指數(shù)形式.2)由動(dòng)態(tài)方程右邊d(t)的最高階導(dǎo)數(shù)與方程左邊h(t)的最高階導(dǎo)數(shù)確定d(j)(t)項(xiàng).連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)求解方法:1)求解微分方程2)利用單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系例3求例1所述系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g(t)。例1系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為解：利用單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系，可得h(t)=2e-3t

u(t)卷積積分的計(jì)算和性質(zhì)卷積積分的計(jì)算卷積積分的性質(zhì)

交換律、分配律、結(jié)合律、位移特性、展縮特性

延遲特性、微分特性、積分特性、等效特性奇異信號(hào)的卷積積分一卷積積分的計(jì)算卷積的定義：1）將f(t)和h(t)中的自變量由t改為，成為函數(shù)的自變量；卷積的計(jì)算步驟：2）把其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)、平移；3）將f(t)與h(t-t)相乘；對(duì)乘積后的圖形積分。例1例2：計(jì)算y(t)=p1(t)*p1(t)。a)-<t

-1b)-1

t<0y(t)=0c)0

t<1d)1

t<y(t)=0練習(xí)1：u(t)*u(t)練習(xí)2：計(jì)算y(t)=f(t)*h(t)。=r(t)二卷積的性質(zhì)1)交換律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2)分配律[

f1(t)+f2(t)]*f3(t)=f1(t)*f3(t)+f2(t)*f3(t)3)結(jié)合律[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]4)位移特性

已知f1(t)*f2(t)=y(t)

則:f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1

-t2)5)展縮位移特性證明：展縮特性證明：例：利用位移特性及u(t)*u(t)=r(t)，計(jì)算y(t)=f(t)*h(t)。y(t)=f(t)*h(t)=[u(t)-

u(t-1)]*[u(t)-

u(t-2)]=u(t)*u(t)-

u(t-1)*u(t)-

u(t)*u(t-2)-

u(t-1)*u(t-2)=r(t)-

r(t-2)–r(t-1)+r(t-3)三奇異信號(hào)的卷積1)延遲特性f(t)*(t-T)=f(t-T)

2)微分特性f(t)*

'(t)=f'(t)

3)積分特性4)等效特性例1：已知y(t)=f1(t)*

f2(t)，求y'(t)。解：y'(t)=y(t)*d'(t)=[f1(t)*

f2(t)]*d'(t)例2：已知y(t)=f1(t)*

f2(t)，求y(-1)(t)。解：y(-1)(t)=y(t)*u(t)=[f1(t)*

f2(t)]*u(t)=

f1'(t)*

f2(t)=f1(t)*

f2'(t)=

f1(-1)(t)*

f2(t)=f1(t)*

f2(-1)(t)例3：利用等效特性，計(jì)算y(t)=f(t)*h(t)。f'(t)=d(t)-d(t-1)f'(t)*

h(t)=h(t)-

h(t-1)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)迭代法求系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)典時(shí)域法求系統(tǒng)響應(yīng)卷積法求系統(tǒng)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)求解 零狀態(tài)響應(yīng)求解離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為2.經(jīng)典時(shí)域分析方法:求解差分方程3.卷積法:系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)求解齊次差分方程得到零輸入響應(yīng)yx[k]利用卷積和可求出零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]系統(tǒng)響應(yīng)求解方法:1.迭代法:一、迭代法已知n個(gè)初始條件{y[-1],y[-2],y[-3],????,y[-n]}和輸入f[k]，由差分方程迭代出系統(tǒng)的輸出。迭代法舉例例1一階線性常系數(shù)差分方程y[k]-0.5y[k-1]=u[k],y[-1]=1，用遞推法求解差分方程。解：將差分方程寫成：代入初始條件，可求得依此類推:缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解。二、經(jīng)典時(shí)域分析方法 差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng),由齊次解yh[k]和特解yp[k]組成:齊次解yh[k]的形式由齊次方程的特征根確定特解yp[k]的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確定齊次解的形式(1)特征根是不等實(shí)根r1,r2,,rn(2)特征根是相等實(shí)根r1=r2==rn(3)特征根是成對(duì)共軛復(fù)根常用激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式ak(a不是特征根)ak(a是特征根)例2已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程

初始條件y[0]=0,y[1]=-1,輸入信號(hào)f[k]=2k

u[k]，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]。特征根為齊次解yh[k]解(1)求齊次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=0的齊次解yh[k]特征方程為2)求非齊次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=f[k]

的特解yp[k]解得C1=-3，C2=3由輸入f[k]=2k

u[k]，設(shè)方程的特解形式為將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)A=-2。3)求方程的全解討論1)若初始條件不變，輸入信號(hào)f[k]=sin0

k

u[k]，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]=？2)若輸入信號(hào)不變，初始條件y[0]=1,y[1]=1,則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]=？經(jīng)典法不足之處若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無(wú)法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。三、卷積法系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)1.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。數(shù)學(xué)模型:求解方法：根據(jù)差分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式，再由初始條件確定待定系數(shù)。[解]系統(tǒng)的特征方程為例3已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為:系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=0，y[-2]=1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx[k]。系統(tǒng)的特征根為解得C1=1，C2=-2例4已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=0，y[-2]=-1，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx[k]。[解]系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為（兩相等實(shí)根）解得C1=4,C2=4例5已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=2，y[-2]=-1，y[-3]=8，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx[k]。[解]系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為解得C1=1，C2=0，C3=52.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]的方法：

1)直接求解初始狀態(tài)為零的差分方程。2)卷積法：利用信號(hào)分解和線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性求解。 當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵(lì)f[k]產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)，用yf[k]表示。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]的思路1)將任意信號(hào)分解為單位脈沖序列的線性組合2)求出單位脈沖序列作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)。3)利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，求出單位脈沖序列線性組合作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)，即系統(tǒng)在任意信號(hào)f[k]激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]。卷積和求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]推導(dǎo)由時(shí)不變特性由均勻特性由疊加特性例6若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為已知激勵(lì)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf

[k]。解：離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)h[k]定義h[k]的求解

迭代法 等效初始條件法單位階躍響應(yīng)g[k]的求解1.單位脈沖響應(yīng)h[k]定義 單位脈沖序列[k]作用于離散時(shí)間LTI系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng),用符號(hào)h[k]表示。對(duì)N階LTI離散時(shí)間系統(tǒng)，h[k]滿足方程2.h[k]的求解求解方法:2)等效初始條件法 將d[k-j]對(duì)系統(tǒng)的瞬時(shí)作用，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的等效初始條件。

等效初始條件由差分方程和h[-1]=h[-2]==h[-n]=0遞推求出。1)迭代法例1若描述某離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的差分方程為

求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。解：h[k]滿足方程1)求等效初始條件對(duì)于因果系統(tǒng)有h[-1]=h[-2]=0，代入上面方程可推出注意：選擇初始條件的基本原則是必須將d[k]的作用體現(xiàn)在初始條件中可以選擇h[0]和h[1]或h[-1]和h[0]作為初始條件2)求差分方程的齊次解特征方程為特征根為齊次解的表達(dá)式為代入初始條件，有解得C1=-1，C2=23.單位階躍響應(yīng)單位階躍序列u[k]作用在離散時(shí)間LTI系統(tǒng)上產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，用符號(hào)g[k]表示。求解方法：1)迭代法2)經(jīng)典法3)利用單位階躍響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系h[k]=g[k]-g[k-1]例2求例1所述系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g[k]。解:例1所述系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為利用h[k]與g[k]的關(guān)系，可得h[k]=[-(-1)k+2(-2)k]u[k]卷積和的計(jì)算與性質(zhì)圖解法計(jì)算卷積和列表法計(jì)算卷積和卷積和的性質(zhì)

交換律結(jié)合律分配律位移特性 差分與求和特性一.圖解法計(jì)算卷積和計(jì)算步驟:1)將f[k]、h[k]中的自變量由k改為n；2)把其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)，如將h[n]翻轉(zhuǎn)得h[-n]；3)把h[-n]平移k，k是參變量。k>0圖形右移，k<0圖形左移。4)將f[n]與h[k-n]重疊部分相乘；5)對(duì)乘積后的圖形求和。卷積和定義為例1已知f[k]=u[k],h[k]=aku[k],0<a<1,計(jì)算y[k]=f[k]*h[k]k

<0,f[n]與h[k-n]圖形沒有相遇k

>0,f[n]與h[k-n]圖形相遇y[k]=0例2計(jì)算y[k]=RN[k]*RN[k]。k

<0時(shí),RN

[n]與RN

[k-n]圖形沒有相遇y[k]=00

k

N-1時(shí),重合區(qū)間為[0，k]N-1

k2N-2時(shí),重合區(qū)間為[-(N-1)+k，N-1]k>2N-2時(shí),RN

[n]與RN

[k-n]圖形不再相遇y[k]=0二.列表法計(jì)算序列卷積和設(shè)f[k]和h[k]都是因果序列，則有當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)k=1時(shí)，當(dāng)k=2時(shí)，當(dāng)k=3時(shí)，以上求解過(guò)程可以歸納成列表法。列表法將h[k]的值順序排成一行，將f[k]的值順序排成一列，行與列的交叉點(diǎn)記入相應(yīng)f[k]與h[k]的乘積，對(duì)角斜線上各數(shù)值就是

f[n]h[k-n]的值。對(duì)角斜線上各數(shù)值的和就是y[k]各項(xiàng)的值。例3計(jì)算與的卷積和。三.卷積和的性質(zhì)交換律:f[k]*h[k]=h[k]*f[k]f[k]*{h1[k]*

h2[k]}={f[k]*h1[k]}*

h2[k]f[k]*{h1[k]+h2[k]}=f[k]*h1[k]+f[k]*

h2[k]結(jié)合律:分配律:卷積和的性質(zhì)（續(xù)）位移特性：f[k]*d[k-n]=f[k-n]推論：若f[k]*h[k]=y[k]，則f[k-n]*h[k-l]=y[k-(n+l)]差分與求和特：若f[k]*h[k]=y[k]例4計(jì)算與的卷積和解：利用位移特性單位沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)并聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)因果系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)1.級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)根據(jù)卷積積分的結(jié)合律性質(zhì)，有h(t)結(jié)論:1)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。2)交換兩個(gè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的先后連接次序不影響系統(tǒng)總的沖激響應(yīng)。兩個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)也有同樣