自動(dòng)控制原理課件(第版)

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

本章概述在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，必須首先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，它是進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的首要任務(wù)。

所謂控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是指表示系統(tǒng)內(nèi)部物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型的種類很多，常用的有：微分方程、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖和頻率特性等。建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法一般有分析法和實(shí)驗(yàn)法兩種

。

第一節(jié)微分方程一、微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式特點(diǎn)描述：（1）微分方程只含有輸入量和輸出量，不含其它中間變量。（2）含有輸出量的項(xiàng)寫在等號(hào)左邊，含有輸出量的項(xiàng)寫在等號(hào)右邊。（3）等號(hào)兩邊各項(xiàng)均按微分降次排列。二、建立微分方程的步驟（1）確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量以及必要的中間變量。（2）建立系統(tǒng)的微分方程式組。根據(jù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，列寫出各變量之間的約束關(guān)系式，構(gòu)成微分方程式組。（3）消除中間變量，得到系統(tǒng)的微分方程，并化成標(biāo)準(zhǔn)形式。舉例－－建立微分方程例2-1：下圖所示的RC電路，以為輸入量，以為輸出量，試建立該電路的微分方程。解：（1）確定輸入量、輸出量及中間變量ur為輸入量，uc為輸出量，以電路的電流i為中間變量。（2）列寫微分方程組根據(jù)電阻元件和電容元件的電壓、電流約束關(guān)系及基爾霍夫定律可得（3）消去中間變量，得到微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式例2-2：圖2-2所示的RLC混聯(lián)電路，以為輸入量，以為輸出量，試建立該電路的微分方程。圖2-2解：（1）取為輸入量，為輸出量，電流為中間變量。（2）建立微分方程組（3）消去中間變量可得思考：微分方程組包括幾個(gè)方程？列寫微分方程時(shí)，輸入量和輸出量是由要求確定的，而中間變量往往要先對(duì)所給電路（或系統(tǒng)環(huán)節(jié)）進(jìn)行初步分析，根據(jù)列寫方程的需要而選定的，中間變量選取可能不是唯一的，電路（或環(huán)節(jié)）越復(fù)雜，中間變量選取的靈活性越大，但得出的微分方程是相同的。一般地，若選取m個(gè)中間變量，則列出的方程組包含個(gè)m+1獨(dú)立的方程。共有三個(gè)中間變量，需要列出四個(gè)獨(dú)立的微分方程例2-4如圖2-4所示的濾波電路，列寫出該無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。為輸入量，為輸出量。三、微分方程的求解直接求解微分方程特別是解高階微分方程是很麻煩的。工程上常采用拉普拉斯變換的方法求解線性微分方程。第二節(jié)拉普拉斯變換應(yīng)用拉普拉斯變換可將微分方程的求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解，使線性系統(tǒng)的分析大大簡(jiǎn)化。拉普拉斯變換是分析線性定常系統(tǒng)的有力的數(shù)學(xué)工具。自動(dòng)控制系統(tǒng)的其它數(shù)學(xué)模型都是建立在拉普拉斯變換基礎(chǔ)之上的。一、拉普拉斯變換的定義二、常見函數(shù)的拉氏變換拉普拉斯變換表拉氏變換表（常用函數(shù)）11二、拉氐變換的性質(zhì)1、比例定理：若則拉氏變換具有如下性質(zhì)：2、疊加定理：3、相似定理：方法一：直接變換方法二：相似定理4、位移定理：5、微分定理：6、終值定理：解：小結(jié)－－拉氐變換的性質(zhì)1、比例定理：2、疊加定理：3、相似定理：4、位移定理：5、微分定理：6、終值定理：若則拉氏變換具有如下性質(zhì)：三、拉氏反變換－－部分分式展開法拉氏反變換：由F(s)求f(t)的運(yùn)算，稱為拉氏反變換。解：則所以求其拉氏反變換結(jié)果檢查:【隨堂練習(xí)】求其拉氏反變換結(jié)果檢查:【隨堂練習(xí)】其中

解：【隨堂練習(xí)】（1）（2）求下列象函數(shù)的拉氏反變換結(jié)果檢查:（1）（2）實(shí)系數(shù)方程虛根總是成對(duì)出現(xiàn)。當(dāng)特性方程有虛根時(shí)，常采用配方的方法，使F(s)展開式中出現(xiàn)如下形式的部分分式

例2-8求其拉氏反變換。解：例2-8求其拉氏反變換。解：

令同原式相比較，由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，得【隨堂練習(xí)】求其拉氏反變換結(jié)果檢查:四、應(yīng)用Matlab進(jìn)行部分分式展開Matlab中象函F(s)的表示：分子分母同次象函數(shù)的輸入：象函數(shù)的展開式：求展開式函數(shù)：例2-9-1用Matlab求其展開式。執(zhí)行結(jié)果：所以有：用Matlab求其展開式。執(zhí)行結(jié)果：所以有：例2-9-2五、微分方程的求解求解步驟如下：將微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以為變量的代數(shù)方程。解代數(shù)方程，求出輸出量的拉氏變換表達(dá)式，即關(guān)于的有理分式。對(duì)輸出量的拉氏變換式進(jìn)行部分分式展開。再進(jìn)行拉氏反變換，所得時(shí)域表達(dá)式就是微分方程的解。解：對(duì)方程兩邊取拉氏變換得

將初始條件代入上式整理得即令即所以第三節(jié)傳遞函數(shù)1.傳遞函數(shù)（TransferFunction）是在利用拉氏變換求解線性微分方程的基礎(chǔ)上得到的一個(gè)重要概念，它是控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)也是經(jīng)典控制理論中用得最多的一種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。2.傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。一、傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。即(1)圖開表示：(2)零初始條件：是指在t=0時(shí)，輸出量與輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為零。

二、傳遞函數(shù)的求取由微分方程求傳遞函數(shù)：零初始條件下，根據(jù)微分定理，對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換。例如，某RC電路的微分方程為RLC元件的復(fù)阻抗微分方程拉氏變換復(fù)阻抗Z(s)復(fù)域電路模型電阻元件電容元件電感元件三、傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)具有如下性質(zhì)：(1)傳遞函數(shù)為變量s的有理分式，且(2)只適用于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)。(3)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的固有特性，與外加信號(hào)無(wú)關(guān)。

(4)只適用于零初始條件系統(tǒng)。(5)系統(tǒng)的性質(zhì)由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定。五、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)名稱微分方程傳遞函數(shù)階躍響應(yīng)比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)名稱微分方程傳遞函數(shù)階躍響應(yīng)微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延時(shí)環(huán)節(jié)第四節(jié)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖1.控制系統(tǒng)是由典型環(huán)節(jié)組成的，將各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)框圖，根據(jù)系統(tǒng)的物理原理，按信號(hào)傳遞的關(guān)系，依次將各框圖正確地連接起來(lái)，即為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（DynamicBlockDiagram）。2.動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)的又一種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，采用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖便于求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，同時(shí)能形象直觀地表明信號(hào)在系統(tǒng)或元件中的傳遞過(guò)程。一、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖由四種基本符號(hào)構(gòu)成，即信號(hào)線、引出點(diǎn)、綜合點(diǎn)和方框。（1）信號(hào)線：是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在信號(hào)線上可標(biāo)記信號(hào)的復(fù)域名稱。(2)引出點(diǎn)：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。(3)綜合點(diǎn)：表示對(duì)兩個(gè)及兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，“+”號(hào)表示相加，“－”號(hào)表示相減，“+”號(hào)通?？墒÷?。(4)方框：表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。顯然，方框的輸出量等于方框的輸入量與傳遞函數(shù)的乘積，即C(s)=R(s)G(s)。動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本符號(hào)二、環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接方式

環(huán)節(jié)之間的基本聯(lián)接方式有三種：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋聯(lián)接。

1、

環(huán)節(jié)的串聯(lián)串聯(lián)環(huán)節(jié)的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。

前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入。環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接方式2.環(huán)節(jié)的并聯(lián)幾個(gè)環(huán)節(jié)同時(shí)受一個(gè)輸入信號(hào)的作用，而輸出信號(hào)又匯合在一起，環(huán)節(jié)的這種聯(lián)接方式稱為并聯(lián)。并聯(lián)環(huán)節(jié)的總傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接方式3.反饋聯(lián)接首尾相聯(lián)，形成一個(gè)閉合回路，這種聯(lián)接方式稱為反饋聯(lián)接。

R(s)為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，C(s)為系統(tǒng)的輸出信號(hào)；B(s)為系統(tǒng)的反饋信號(hào)。前向通道中的環(huán)節(jié)G(s)稱為前向環(huán)節(jié)；反饋通道中的H(s)稱為反饋環(huán)節(jié)。反饋方式分為正反饋和負(fù)反饋兩類

環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接方式3.反饋聯(lián)接三、結(jié)構(gòu)圖的等效等效變換同一信號(hào)線上引出量都一樣分析：首先要通過(guò)綜合點(diǎn)或引出點(diǎn)的移動(dòng)，消除交叉連接。解：【課堂練習(xí)】：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

結(jié)果檢查解：化簡(jiǎn)過(guò)程如下第五節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、開環(huán)傳遞函數(shù)在反饋控制系統(tǒng)中，定義前向通路的傳遞函數(shù)與反饋通路的傳遞函數(shù)的乘積為開環(huán)傳遞函數(shù)，通常記為G(s)，它等于此時(shí)B(s)與R(s)的比值。即二、閉環(huán)傳遞函數(shù)1.給定信號(hào)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù)2.擾動(dòng)信號(hào)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

三、誤差傳遞函數(shù)1.閉環(huán)系統(tǒng)在輸入信號(hào)和干擾作用時(shí)，以誤差信號(hào)E(s)作為輸出量時(shí)的傳遞函數(shù)稱為誤差傳遞函數(shù)。2.規(guī)定系統(tǒng)的誤差為E(s)=R(s)-B(s)。3.R(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)，是取D(s)=0時(shí)的E(s)/R(s)

4.D(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)，是取R(s)=0時(shí)的E(s)/D(s)

R(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)取D(s)=0時(shí)的E(s)/R(s)，其結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。

D(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)取R(s)=0時(shí)的E(s)/D(s)，其結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。

本章小結(jié)1.描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為數(shù)學(xué)模型。常用的數(shù)學(xué)模型有：微分方程、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖和頻率特性。在分析系統(tǒng)之前必須建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2.微分方程是控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型，也是系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型。建立系統(tǒng)的微分方程一般分為三步：（1）確定輸入量、輸出量及中間變量；（2）列寫微分方程式組；（3）消去中間變量，得到微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。3.拉氏變換是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學(xué)工具，應(yīng)用拉氏變換可將解微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解代數(shù)方程，拉氏變換是傳遞函數(shù)和頻率特性的理論基礎(chǔ)。熟練掌握常用函數(shù)的拉氏變換是進(jìn)行拉氏變換和反變換基礎(chǔ)。4.傳遞函數(shù)是零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。傳遞函數(shù)適用于單輸入單輸出系統(tǒng)、線性定常系統(tǒng)、零狀態(tài)系統(tǒng)；傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的固有特性，即只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與外加輸入量或擾動(dòng)量無(wú)關(guān)；傳遞函數(shù)一般為真分式。傳遞函數(shù)是自動(dòng)控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型，也是最常用的數(shù)學(xué)模型。5.動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖是將傳遞函數(shù)與方框圖相結(jié)合在