第五節(jié) 定積分

第五節(jié)定積分一、引例二、定積分的定義三、存在定理五、定積分的性質(zhì)四、定積分的幾何意義abxyo實例1

（求曲邊梯形的面積）一、引例曲邊梯形由連續(xù)曲線abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為實例2

（求變速直線運動的路程）思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值．（1）分割部分路程值某時刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值二、定積分的定義定義設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個分點把區(qū)間分成個小區(qū)間，各小區(qū)間的長度依次為在各小區(qū)間上任取作乘積并作和，如果怎樣的分法，也不論在小區(qū)間上點怎樣的取法,確定的極限

，我們稱這個極限

I

為函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上的定積分.記為極限存在，即不論對我們稱這個極限

I

為函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上的定積分.記為被積函數(shù)被積表達式積分變量積分上限積分下限積分和積分號注意(1)積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的字母無關(guān).(2)定義中區(qū)間的分法和的取法是任意的.(3)當函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上的定積分存在時,稱

f(x)在區(qū)間

[a,b]上(黎曼)可積

.定理1三、存在定理若函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上連續(xù)

,則

f(x)在區(qū)間

[a,b]上可積

.（證明參考數(shù)學分析）定理2若函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]上有界

,且只有有限個第一類間斷點，則

f(x)在

[a,b]上可積

.定理1和定理2均為函數(shù)

f(x)可積的充分條件.可積的必要條件:可積函數(shù)在積分區(qū)間上必有界曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值四、定積分的幾何意義幾何意義：例1

利用定義計算定積分解例2

利用定義計算定積分解例3利用定積分表示下列極限解證明利用對數(shù)的性質(zhì)得極限運算與對數(shù)運算換序得故對定積分的補充規(guī)定:說明在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。?、定積分的性質(zhì)證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1證性質(zhì)2(為常數(shù))

(為常數(shù))

定積分的線性性質(zhì)證:

當時,因在上可積,所以在分割區(qū)間時,可以永遠取

c

為分點,于是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例若（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則其他情形證性質(zhì)4性質(zhì)5如果在區(qū)間上，則有性質(zhì)5的推論：證（1）解例1(1)比較積分值和的大小.

(2)比較積分值和的大小.解解令于是例2

比較積分值和的大小.證說明：

性質(zhì)5的推論：（2）證（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)6解例3

估計積分的值.解例4

估計積分的值.解令例5

證明由得證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式使即積分中值公式的幾何解釋：函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值積分中值公式的推廣.解由積分中值定理知有使例6求解由積分中值定理知有使例7設(shè)可導，且，求.解由積分中值定理知有使例8設(shè)在內(nèi)連續(xù)，求證明由積分中值定理知有使例9設(shè)且，證明至少存在使六、小結(jié)１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限3．定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）4．典型問題(1)估計積分值；(2)不計算定積分比較積分大?。伎碱}將和式極限：表示成定積分.思考題解答原式解答例練習題練習題答案練習題練習題答案觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形