江蘇2023高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-直線與圓

直線與圓第1講直線的斜率與方程考試要求1.直線的傾斜角和斜率的概念，過兩點的直線斜率的計算公式，B級要求；2.確定直線位置的幾何要素，直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，C級要求；3.斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系，A級要求．知識梳理1．直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；②規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0；③范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π)．(2)直線的斜率①定義：當(dāng)直線l的傾斜角α≠eq\f(π,2)時，其傾斜角α的正切值tanα叫做這條直線的斜率，斜率通常用小寫字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點式過兩點eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線3．線段的中點坐標(biāo)公式若點P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點M的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式為線段P1P2的中點坐標(biāo)公式．診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．()(2)直線的斜率為tanα，則其傾斜角為α.()(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等．()(4)經(jīng)過點P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()解析(1)當(dāng)直線的傾斜角α1＝135°，α2＝45°時，α1＞α2，但其對應(yīng)斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)當(dāng)直線斜率為tan(－45°)時，其傾斜角為135°.(3)斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等．(4)當(dāng)直線的斜率不存在時，不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．(2023·衡水金卷)直線x－y＋1＝0的傾斜角為________．解析由題得，直線y＝x＋1的斜率為1，設(shè)其傾斜角為α，則tanα＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°.答案45°3．如果A·C<0，且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過第________象限．解析由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－eq\f(C,A)>0，在y軸上的截距－eq\f(C,B)>0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．答案三4．(必修2P73練習(xí)3改編)已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三點共線，則x＝______.解析∵A，B，C三點共線，∴kAB＝kAC，∴eq\f(7－5,4－3)＝eq\f(x－5,－1－3)，∴x＝－3.答案－35．過點P(2,3)且在兩軸上截距相等的直線方程為________________．解析當(dāng)縱、橫截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5.所以直線方程為x＋y－5＝0.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0考點一直線的傾斜角與斜率(典例遷移)【例1】(1)直線2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的傾斜角的取值范圍是________．(2)直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．解析(1)直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2·cosα∈[1，eq\r(3)]．設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[1，eq\r(3)]．又θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).(2)如圖，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴直線l的斜率k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．答案(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))(2)(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)【遷移探究1】若將題(2)中P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍．解∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，eq\r(3))，∴kAP＝eq\f(1－0,2－－1)＝eq\f(1,3)，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－－1)＝eq\r(3).如圖可知，直線l斜率的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))).【遷移探究2】將題(2)中的B點坐標(biāo)改為B(2，－1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的范圍．解如圖：直線PA的傾斜角為eq\f(π,4)，直線PB的傾斜角為eq\f(3π,4)，由圖象知直線l的傾斜角的范圍為[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4)，π)．規(guī)律方法直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．由正切函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，斜率k∈[0，＋∞)；當(dāng)α＝eq\f(π,2)時，斜率不存在；當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，斜率k∈(－∞，0)．【訓(xùn)練1】(2023·常州期末)直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________．解析設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ＝－sinα.因為sinα∈[－1,1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ<π.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))考點二直線方程的求法【例2】根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(－4,0)，傾斜角的正弦值為eq\f(\r(10),10)；(2)直線過點(－3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12；(3)直線過點(5,10)，且到原點的距離為5.解(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式．設(shè)傾斜角為α，則sinα＝eq\f(\r(10),10)(0≤α<π)，從而cosα＝±eq\f(3\r(10),10)，則k＝tanα＝±eq\f(1,3).故所求直線方程為y＝±eq\f(1,3)(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由題設(shè)知縱橫截距不為0，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,12－a)＝1，又直線過點(－3,4)，從而eq\f(－3,a)＋eq\f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)當(dāng)斜率不存在時，所求直線方程為x－5＝0滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)其為k，則所求直線方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由點線距離公式，得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4).故所求直線方程為3x－4y＋25＝0.綜上知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0.規(guī)律方法根據(jù)各種形式的方程，采用待定系數(shù)的方法求出其中的系數(shù)，在求直線方程時凡涉及斜率的要考慮其存在與否，凡涉及截距的要考慮是否為零截距以及其存在性．【訓(xùn)練2】求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點P(4,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)經(jīng)過點A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍；(3)經(jīng)過點B(3,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形．解(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(0,0)和(4,1)，∴l(xiāng)的方程為y＝eq\f(1,4)x，即x－4y＝0.若a≠0，則設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l過點(4,1)，∴eq\f(4,a)＋eq\f(1,a)＝1，∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0.綜上可知，直線l的方程為x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知：設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α，則所求直線的傾斜角為2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).又直線經(jīng)過點A(－1，－3)，因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由題意可知，所求直線的斜率為±1.又過點(3,4)，由點斜式得y－4＝±(x－3)．所求直線的方程為x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.考點三直線方程的綜合應(yīng)用【例3】已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過定點；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程．(1)證明直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(－2,1)．(2)解由方程知，當(dāng)k≠0時直線在x軸上的截距為－eq\f(1＋2k,k)，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k>0；當(dāng)k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞)．(3)解由題意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0.∵S＝eq\f(1,2)·OA·OB＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(1＋2k2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的條件是k>0且4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)，∴Smin＝4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.規(guī)律方法在求直線方程的過程中，若有以直線為載體的求面積、距離的最值問題，則可先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．【訓(xùn)練3】已知直線l過點P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，如圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時直線l的方程．解法一設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，點P(3,2)代入得eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝1≥2eq\r(\f(6,ab))，得ab≥24，從而S△ABO＝eq\f(1,2)ab≥12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,a)＝eq\f(2,b)時等號成立，這時k＝－eq\f(b,a)＝－eq\f(2,3)，從而所求直線方程為2x＋3y－12＝0.法二依題意知，直線l的斜率k存在且k＜0.則直線l的方程為y－2＝k(x－3)(k＜0)，且有Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)，0))，B(0,2－3k)，∴S△ABO＝eq\f(1,2)(2－3k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋－9k＋\f(4,－k)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋2\r(－9k·\f(4,－k))))＝eq\f(1,2)×(12＋12)＝12.當(dāng)且僅當(dāng)－9k＝eq\f(4,－k)，即k＝－eq\f(2,3)時，等號成立，即△ABO的面積的最小值為12.故所求直線的方程為2x＋3y－12＝0.[思想方法]1．直線的傾斜角和斜率的關(guān)系：(1)任何直線都存在傾斜角，但并不是任意直線都存在斜率．(2)直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<02.在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件．用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點的直線．故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．[易錯防范]1．求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率．2．根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性．3．截距為一個實數(shù)，既可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)，還可以為0，這是解題時容易忽略的一點.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：30分鐘)1．直線eq\r(3)x－y＋a＝0(a為常數(shù))的傾斜角為________．解析直線的斜率為k＝tanα＝eq\r(3)，又因為0°≤α＜180°，所以α＝60°.答案60°2．(2023·福建卷改編)已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則直線l的方程為________．解析圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為點(0,3)，又因為直線l與直線x＋y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率k＝1.由點斜式得直線l：y－3＝x－0，化簡得x－y＋3＝0.答案x－y＋3＝03．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍為________．解析∵直線的斜率k＝－eq\f(1,a2＋1)，∴－1≤k＜0，則傾斜角的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))4．(2023·揚(yáng)州期中)經(jīng)過拋物線y2＝2x的焦點且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程為________．解析因為拋物線y2＝2x的焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，直線3x－2y＋5＝0的斜率為eq\f(3,2)，所以所求直線l的方程為y＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，化為一般式，得6x－4y－3＝0.答案6x－4y－3＝05．已知三角形的三個頂點A(－5,0，)，B(3，－3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為________．解析BC的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，∴BC邊上中線所在直線方程為eq\f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq\f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.答案x＋13y＋5＝06．若直線l的斜率為k，傾斜角為α，而α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，則k的取值范圍是________．解析當(dāng)eq\f(π,6)≤α<eq\f(π,4)時，eq\f(\r(3),3)≤tanα<1，∴eq\f(\r(3),3)≤k<1.當(dāng)eq\f(2π,3)≤α<π時，－eq\r(3)≤tanα<0，即－eq\r(3)≤k＜0，∴k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))∪[－eq\r(3)，0)．答案[－eq\r(3)，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))7．(2023·南通調(diào)研)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為________．解析依題意，設(shè)點P(a,1)，Q(7，b)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得a＝－5，b＝－3，從而可知直線l的斜率為eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).答案－eq\f(1,3)8．(2023·泰州調(diào)研)在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0有可能是________(填序號)．解析當(dāng)a>0，b>0時，－a<0，－b<0.②符合．答案②9．(2023·衡水一模)已知直線l的斜率為eq\r(3)，在y軸上的截距為另一條直線x－2y－4＝0的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為________．解析∵直線x－2y－4＝0的斜率為eq\f(1,2)，∴直線l在y軸上的截距為2，∴直線l的方程為y＝eq\r(3)x＋2.答案y＝eq\r(3)x＋210．過點M(3，－4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為____________．解析①若直線過原點，則k＝－eq\f(4,3)，所以y＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y＝0.②若直線不過原點，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，即x＋y＝a.則a＝3＋(－4)＝－1，所以直線的方程為x＋y＋1＝0.答案4x＋3y＝0或x＋y＋1＝011．(2023·蘇州測試)若直線ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)過點(1,1)，則該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為________．解析∵直線ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)過點(1,1)，∴a＋b＝ab，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時上式等號成立．∴直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.答案412．直線l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，則直線l恒過定點________．解析直線l的方程變形為a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,－2x＋y＋6＝0，))解得x＝2，y＝－2，所以直線l恒過定點(2，－2)．答案(2，－2)能力提升題組(建議用時：15分鐘)13．已知直線l過點(1,0)，且傾斜角為直線l0：x－2y－2＝0的傾斜角的2倍，則直線l的方程為________．解析由題意可設(shè)直線l0，l的傾斜角分別為α，2α，因為直線l0：x－2y－2＝0的斜率為eq\f(1,2)，則tanα＝eq\f(1,2)，所以直線l的斜率k＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(4,3)，所以由點斜式可得直線l的方程為y－0＝eq\f(4,3)(x－1)，即4x－3y－4＝0.答案4x－3y－4＝014．(2023·蘇北四市模擬)設(shè)P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點，且曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則點P橫坐標(biāo)的取值范圍為________．解析由題意知y′＝2x＋2，設(shè)P(x0，y0)，則k＝2x0＋2.因為曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－eq\f(1,2).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))15．已知直線l過坐標(biāo)原點，若直線l與線段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是________．解析設(shè)直線l與線段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共點為P(x，y)．則點P(x，y)在線段AB上移動，且A(2,4)，B(3,2)，設(shè)直線l的斜率為k.又kOA＝2，kOB＝eq\f(2,3).如圖所示，可知eq\f(2,3)≤k≤2.∴直線l的斜率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A是半圓O：x2＋y2＝2(x≥0)上一點，直線OA的傾斜角為45°，過點A作x軸的垂線，垂足為H，過H作OA的平行線交半圓于點B，則直線AB的方程是________．解析直線OA的方程為y＝x，代入半圓方程得A(1,1)，∴H(1,0)，直線HB的方程為y＝x－1，代入半圓方程得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，\f(－1＋\r(3),2))).所以直線AB的方程為eq\f(y－1,\f(－1＋\r(3),2)－1)＝eq\f(x－1,\f(1＋\r(3),2)－1)，即eq\r(3)x＋y－eq\r(3)－1＝0.答案eq\r(3)x＋y－eq\r(3)－1＝0第2講兩條直線的位置關(guān)系考試要求1.根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直，B級要求；2.用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo)，B級要求；3.兩點間的距離、點到直線的距離、兩條平行直線間的距離，B級要求．知識梳理1．兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1＝－eq\f(1,k2)或k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B2C1－B1C2≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A2C1－A1C2≠0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)C2≠0，記為\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)≠\f(C1,C2)))重合k1＝k2且b1＝b2A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)C2≠0，記為\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)＝\f(C1,C2)))2．兩直線相交直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標(biāo)與方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對應(yīng)．相交?方程組有唯一解，交點坐標(biāo)就是方程組的解；平行?方程組無解；重合?方程組有無數(shù)個解．3．距離公式(1)兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別地，原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離OP＝eq\r(x2＋y2).(2)點到直線的距離公式平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.()(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．()(4)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.()(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離．()解析(1)兩直線l1，l2有可能重合．(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，則l2的斜率不存在．答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．(2023·北京卷改編)圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3的距離為________．解析圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心坐標(biāo)為(－1,0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|－1－0＋3|,\r(12＋－12))＝eq\r(2).答案eq\r(2)3．(2023·揚(yáng)州中學(xué)質(zhì)檢)直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m＝________.解析直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則有m(m＋1)＝2×3，故m＝2或－3.答案2或－34．直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是________．解析先將2x＋2y＋1＝0化為x＋y＋eq\f(1,2)＝0，則兩平行線間的距離為d＝eq\f(|2－\f(1,2)|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),4).答案eq\f(3\r(2),4)5．(必修2P77習(xí)題6改編)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝________.解析由題意知eq\f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.答案1考點一兩直線的平行與垂直【例1】(1)已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，則a＝________.(2)已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝________.解析(1)若a＝0，兩直線方程分別為－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此時兩直線相交，不平行，所以a≠0；當(dāng)a≠0時，兩直線平行，則有eq\f(a－1,1)＝eq\f(2,a)≠eq\f(1,3)，解得a＝－1或2.(2)因為l1⊥l2，所以k1k2＝－1.即(－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－1，解得a＝－2.答案(1)－1或2(2)－2規(guī)律方法(1)當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．(2)在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．【訓(xùn)練1】(1)(2023·南京一中檢測)若直線l1：(a－1)x＋y－1＝0和直線l2：3x＋ay＋2＝0垂直，則實數(shù)a的值為________．(2)(2023·西安模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線ax＋by－6＝0與直線2x＋(b－3)y＋5＝0平行，則2a＋3b的最小值為________．解析(1)由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝eq\f(3,4).(2)由兩直線平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝1.又a，b為正數(shù)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(3,b)))＝13＋eq\f(6a,b)＋eq\f(6b,a)≥13＋2eq\r(\f(6a,b)·\f(6b,a))＝25，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝5時取等號，故2a＋3b的最小值為25.答案(1)eq\f(3,4)(2)25考點二兩直線的交點與距離問題【例2】(1)已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－eq\f(1,2)x＋2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是________．(2)直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________．解析(1)法一由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1).))(若2k＋1＝0，即k＝－eq\f(1,2)，則兩直線平行)∴交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).又∵交點位于第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)＞0，,\f(6k＋1,2k＋1)＞0，))解得－eq\f(1,6)＜k＜eq\f(1,2).法二如圖，已知直線y＝－eq\f(1,2)x＋2與x軸、y軸分別交于點A(4,0)，B(0,2)．而直線方程y＝kx＋2k＋1可變形為y－1＝k(x＋2)，表示這是一條過定點P(－2,1)，斜率為k的動直線．∵兩直線的交點在第一象限，∴兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點)，∴動直線的斜率k需滿足kPA＜k＜kPB.∵kPA＝－eq\f(1,6)，kPB＝eq\f(1,2).∴－eq\f(1,6)＜k＜eq\f(1,2).(2)法一當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq\f(1,3).∴直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．法二當(dāng)AB∥l時，有k＝kAB＝－eq\f(1,3)，直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)l過AB中點時，AB的中點為(－1,4)．∴直線l的方程為x＝－1.故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.答案(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))(2)x＋3y－5＝0或x＝－1規(guī)律方法(1)求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為對應(yīng)相等．【訓(xùn)練2】(1)曲線y＝2x－x3在橫坐標(biāo)為－1的點處的切線為l，則點P(3,2)到直線l的距離為________．(2)(2023·蘇州調(diào)研)若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為________．解析(1)曲線y＝2x－x3上橫坐標(biāo)為－1的點的縱坐標(biāo)為－1，故切點坐標(biāo)為(－1，－1)．切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切線l的方程為y－(－1)＝－1×[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.由點到直線的距離公式，得點P(3,2)到直線l的距離為eq\f(|3＋2＋2|,\r(12＋12))＝eq\f(7\r(2),2).(2)因為l1∥l2，所以eq\f(1,a－2)＝eq\f(a,3)≠eq\f(6,2a)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－2＝3，,2a2≠18，,a≠2，,a≠0，))解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1與l2之間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).答案(1)eq\f(7\r(2),2)(2)eq\f(8\r(2),3)考點三對稱問題【例3】已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點A對稱的直線l′的方程．解(1)設(shè)A′(x，y)，再由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點必在m′上．設(shè)對稱點為M′(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)m與l的交點為N，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又∵m′經(jīng)過點N(4,3)，∴由兩點式得直線方程為9x－46y＋102＝0.(3)法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如M(1,1)，N(4,3)，則M，N關(guān)于點A的對稱點M′，N′均在直線l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.法二設(shè)P(x，y)為l′上任意一點，則P(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.規(guī)律方法(1)解決點關(guān)于直線對稱問題要把握兩點，點M與點N關(guān)于直線l對稱，則線段MN的中點在直線l上，直線l與直線MN垂直．(2)如果直線或點關(guān)于點成中心對稱問題，則只需運(yùn)用中點公式就可解決問題．(3)若直線l1，l2關(guān)于直線l對稱，則有如下性質(zhì)：①若直線l1與l2相交，則交點在直線l上；②若點B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對稱點B′在直線l2上．【訓(xùn)練3】光線沿直線l1：x－2y＋5＝0射入，遇直線l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光線所在的直線方程．解法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))∴反射點M的坐標(biāo)為(－1,2)．又取直線x－2y＋5＝0上一點P(－5，0)，設(shè)P關(guān)于直線l的對稱點P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq\f(2,3)＝eq\f(y0,x0＋5).而PP′的中點Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，又Q點在l上，∴3·eq\f(x0－5,2)－2·eq\f(y0,2)＋7＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)x0－5－y0＋7＝0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))根據(jù)直線的兩點式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x－2y＋33＝0.法二設(shè)直線x－2y＋5＝0上任意一點P(x0，y0)關(guān)于直線l的對稱點為P′(x，y)，則eq\f(y0－y,x0－x)＝－eq\f(2,3)，又PP′的中點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)，\f(y＋y0,2)))在l上，∴3×eq\f(x＋x0,2)－2×eq\f(y＋y0,2)＋7＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－y,x0－x)＝－\f(2,3)，,3×\f(x＋x0,2)－y＋y0＋7＝0.))可得P點的橫、縱坐標(biāo)分別為x0＝eq\f(－5x＋12y－42,13)，y0＝eq\f(12x＋5y＋28,13)，代入方程x－2y＋5＝0中，化簡得29x－2y＋33＝0，∴所求反射光線所在的直線方程為29x－2y＋33＝0.[思想方法]1．兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合．對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意．2．對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點與點的對稱．利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法解決問題．[易錯防范]1．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率，要單獨考慮．2．在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))時，一定要注意將兩方程中x，y的系數(shù)分別化為相同的形式.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：30分鐘)1．直線2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置關(guān)系是________．解析直線2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直線x＋2y＋n＝0的斜率為k2＝－eq\f(1,2)，則k1≠k2且k1k2≠－1.答案相交但不垂直2．(2023·鹽城中學(xué)模擬)“a＝－1”是“直線ax＋3y＋3＝0和直線x＋(a－2)y＋1＝0平行”的________條件(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選填一個)．解析依題意得，直線ax＋3y＋3＝0和直線x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－2＝3×1，,a×1≠3×1，))解得a＝－1.答案充要3．點(2,1)關(guān)于直線x－y＋1＝0的對稱點為________．解析設(shè)對稱點為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－1,x0－2)＝－1，,\f(x0＋2,2)－\f(y0＋1,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝3，))故所求對稱點為(0,3)．答案(0,3)4．過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點和原點的直線方程為________．解析法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(19,7)，,y＝\f(3,7)，))則所求直線方程為：y＝eq\f(\f(3,7),－\f(19,7))x＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0.法二設(shè)直線方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直線過點(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－eq\f(4,5)，故所求直線方程為3x＋19y＝0.答案3x＋19y＝05．直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是________．解析設(shè)所求直線上任一點(x，y)，則它關(guān)于直線x＝1的對稱點(2－x，y)在直線x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化簡得x＋2y－3＝0.答案x＋2y－3＝06．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴點(1,2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.答案－97．平面直角坐標(biāo)系中直線y＝2x＋1關(guān)于點(1,1)對稱的直線方程是________．解析在直線y＝2x＋1上任取兩個點A(0,1)，B(1,3)，則點A關(guān)于點(1,1)對稱的點為M(2,1)，點B關(guān)于點(1,1)對稱的點為N(1，－1)．由兩點式求出對稱直線MN的方程為eq\f(y＋1,1＋1)＝eq\f(x－1,2－1)，即y＝2x－3.答案y＝2x－38．(2023·無錫模擬)若直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)與直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為eq\r(10)，則m＝________.解析直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因為它與直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為eq\r(10)，所以eq\f(|2m＋3|,\r(4＋36))＝eq\r(10)，求得m＝eq\f(17,2).答案eq\f(17,2)9．(2023·成都調(diào)研)已知直線l1過點(－2,0)且傾斜角為30°，直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)為________．解析直線l1的斜率為k1＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，因為直線l2與直線l1垂直，所以k2＝－eq\f(1,k1)＝－eq\r(3)，所以直線l1的方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，直線l2的方程為y＝－eq\r(3)(x－2)．兩式聯(lián)立，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\r(3)，))即直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)為(1，eq\r(3))．答案(1，eq\r(3))10．從點(2,3)射出的光線沿與向量a＝(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為________．解析由直線與向量a＝(8,4)平行知：過點(2,3)的直線的斜率k＝eq\f(1,2)，所以直線的方程為y－3＝eq\f(1,2)(x－2)，其與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2)，又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(－2,3)，所以反射光線過點(－2,3)與(0,2)，由兩點式得反射光線所在的直線方程為x＋2y－4＝0.答案x＋2y－4＝011．(2023·南京師大附中)已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2，2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為________．解析顯然直線l的斜率不存在時，不滿足題意；設(shè)所求直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，∴k＝2或k＝－eq\f(2,3).∴所求直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.答案2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝012．(2023·淮安一調(diào))已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________．解析設(shè)點M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，所以所求直線的方程為eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.答案6x－y－6＝0能力提升題組(建議用時：15分鐘)13．(2023·南京模擬)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，過定點P的直線l：ax＋y－1＝0與過定點Q的直線m：x－ay＋3＝0相交于點M，則MP2＋MQ2的值為________．解析由題意知P(0,1)，Q(－3,0)，∵過定點P的直線ax＋y－1＝0與過定點Q的直線x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ為直徑的圓上，∵PQ＝eq\r(9＋1)＝eq\r(10)，∴MP2＋MQ2＝PQ2＝10.答案1014．如圖所示，已知兩點A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是________．解析易得AB所在的直線方程為x＋y＝4，由于點P關(guān)于直線AB對稱的點為A1(4,2)，點P關(guān)于y軸對稱的點為A2(－2,0)，則光線所經(jīng)過的路程即A1(4,2)與A2(－2,0)兩點間的距離，于是A1A2＝eq\r(4＋22＋2－02)＝2eq\r(10).答案2eq\r(10)15．設(shè)m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則PA·PB的最大值是________．解析易知A(0,0)，B(1,3)且兩直線互相垂直，即△APB為直角三角形，∴PA·PB≤eq\f(PA2＋PB2,2)＝eq\f(AB2,2)＝eq\f(10,2)＝5.當(dāng)且僅當(dāng)PA＝PB時，等號成立．答案516．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點的坐標(biāo)是________．解析設(shè)平面上任一點M，因為MA＋MC≥AC，當(dāng)且僅當(dāng)A，M，C共線時取等號，同理MB＋MD≥BD，當(dāng)且僅當(dāng)B，M，D共線時取等號，連接AC，BD交于一點M，若MA＋MC＋MB＋MD最小，則點M為所求．∵kAC＝eq\f(6－2,3－1)＝2，∴直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①又∵kBD＝eq\f(5－－1,1－7)＝－1，∴直線BD的方程為y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))所以M(2,4)．答案(2,4)第3講圓的方程考試要求確定圓的幾何要素，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程，C級要求．知識梳理1．圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：D2＋E2－4F＞0圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)d＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)d＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)d＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi)．診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()解析(2)當(dāng)a＝0時，x2＋y2＝a2表示點(0,0)；當(dāng)a＜0時，表示半徑為|a|的圓．(3)當(dāng)(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜eq\f(1,4)或m＞1時才表示圓．答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．(2023·北京卷改編)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是________．解析由題意得圓的半徑為eq\r(2)，故該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案(x－1)2＋(y－1)2＝23．若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析因為點(1,1)在圓的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.答案(－1,1)4．(2023·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________．解析由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去．當(dāng)a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．答案(－2，－4)55．(必修2P111練習(xí)1(3)改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為________．解析設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)，∵點A(－1,1)和B(1,3)在圓C上，∴CA＝CB，即eq\r(a＋12＋1)＝eq\r(a－12＋9)，解得a＝2，所以圓心為C(2,0)，半徑CA＝eq\r(2＋12＋1)＝eq\r(10)，∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝10考點一圓的方程【例1】(1)過點A(4,1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于點B(2,1)，則圓C的方程為________．(2)已知圓C經(jīng)過P(－2,4)，Q(3，－1)兩點，且在x軸上截得的弦長等于6，則圓C的方程為________．解析(1)法一由已知kAB＝0，所以AB的中垂線方程為x＝3.①過B點且垂直于直線x－y－1＝0的直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②聯(lián)立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0，))所以圓心坐標(biāo)為(3,0)，半徑r＝eq\r(4－32＋1－02)＝eq\r(2)，所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2.法二設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵點A(4,1)，B(2,1)在圓上，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，))又∵eq\f(b－1,a－2)＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝eq\r(2)，故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝2.(2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，將P，Q兩點的坐標(biāo)分別代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，,3D－E＋F＝－10.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④由①，②，④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案(1)(x－3)2＋y2＝2(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0規(guī)律方法求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.【訓(xùn)練1】(1)(2023·天津卷)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，eq\r(5))在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為eq\f(4\r(5),5)，則圓C的方程為________．(2)(2023·武漢模擬)以拋物線y2＝4x的焦點為圓心，與該拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析(1)因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a＞0，所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝eq\f(2a,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2，所以圓C的半徑r＝CM＝eq\r(4＋5)＝3，所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9.(2)拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為2，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4.答案(1)(x－2)2＋y2＝9(2)(x－1)2＋y2＝4考點二與圓有關(guān)的最值問題【例2】已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如圖1)．所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如圖2)．所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3)．又圓心到原點的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).規(guī)律方法把有關(guān)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中以下幾類轉(zhuǎn)化極為常見：(1)形如m＝eq\f(y－b,x－a)的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如t＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題．【訓(xùn)練2】(1)(2023·泰州模擬)圓心在曲線y＝eq\f(2,x)(x＞0)上，與直線2x＋y＋1＝0相切，且面積最小的圓的方程為________．(2)(2023·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,a)))(a＞0)，則半徑r＝eq\f(2a＋\f(2,a)＋1,\r(5))≥eq\f(2\r(2a×\f(2,a))＋1,\r(5))＝eq\r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝eq\f(2,a)，即a＝1時取等號．所以當(dāng)a＝1時圓的半徑最小，此時r＝eq\r(5)，C(1,2)，所以面積最小的圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5.(2)直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑r＝eq\r(1－22＋0＋12)＝eq\r(2).故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2.答案(1)(x－1)2＋(y－2)2＝5(2)(x－1)2＋y2＝2考點三與圓有關(guān)的軌跡問題【例3】設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．解如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，線段MN的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四邊形的對角線互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2).從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y(tǒng)－4.))又N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(點P在直線OM上時的情況)．規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等．【訓(xùn)練3】(2023·全國Ⅰ卷)已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點．(1)求M的軌跡方程；(2)當(dāng)OP＝OM時，求l的方程及△POM的面積．解(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq\o(MP,\s\up6(→))＝(2－x,2－y)．由題設(shè)知eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓．由于OP＝OM，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM.因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－eq\f(1,3)，故l的方程為x＋3y－8＝0.又OM＝OP＝2eq\r(2)，O到l的距離為eq\f(4\r(10),5)，所以PM＝eq\f(4\r(10),5)，S△POM＝eq\f(1,2)×eq\f(4\r(10),5)×eq\f(4\r(10),5)＝eq\f(16,5)，故△POM的面積為eq\f(16,5).[思想方法]1．確定一個圓的方程，需要三個獨立條件．“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式，進(jìn)而確定其中的三個參數(shù)．2．解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，簡化運(yùn)算．[易錯防范]1．求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程．2．求軌跡方程和求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指明軌跡表示什么曲線．基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1．已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程為________．解析AB的中點坐標(biāo)為(0,0)，AB＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，∴圓的方程為x2＋y2＝2.答案x2＋y2＝22．(2023·揚(yáng)州模擬)圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為________．解析已知圓的圓心C(1,2)關(guān)于直線y＝x對稱的點為C′(2,1)，∴圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案(x－2)2＋(y－1)2＝13．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋a)2＝1－a－eq\f(3a2,4)表示圓，則1－a－eq\f(3a2,4)＞0，解得－2＜a＜eq\f(2,3).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))4．(2023·全國Ⅱ卷改編)已知三點A(1,0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為________．解析由點B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，①由點A(1,0)，B(0，eq\r(3))，得線段AB的垂直平分線方程為y－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，②聯(lián)立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))，其到原點的距離為eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(21),3).答案eq\f(\r(21),3)5．若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點和點(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________．解析設(shè)圓心C坐標(biāo)為(2，b)(b<0)，則|b|＋1＝eq\r(4＋b2).解得b＝－eq\f(3,2)，半徑r＝|b|＋1＝eq\f(5