《對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用》設(shè)計

《對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用第2課時》教學(xué)設(shè)計【教學(xué)目標(biāo)】1.理解對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)．2.能利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)能解決一些有關(guān)對數(shù)的大小比較和求解對數(shù)不等式．3.能利用對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)研究與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的一些簡單的綜合問題【教學(xué)重點】對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用【教學(xué)難點】與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合應(yīng)用【課時安排】1課時【教學(xué)過程】小試牛刀1．若log3a＜0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b＞1，則()＞1，b＞0＜a＜1，b＞0＞1，b＜0＜a＜1，b＜0D解析：由函數(shù)y＝log3x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的圖像知，0＜a＜1，b＜0.2.設(shè)a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，則()A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜c＜aC．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜cD解析：因為1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，所以1＞a＝log54＞log53＞(log53)2＝b.又因為c＝log45＞log44＝1.所以c＞a＞b.3.滿足不等式log3x＜1的x的取值集合為________；解析：因為log3x＜1＝log33，所以x滿足的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,log3x＜log33，))即0＜x＜3.所以x的取值集合為{x|0＜x＜3}．4．函數(shù)f(x)＝log3(4x－x2)的遞增區(qū)間是________．解析：由4x－x2＞0得0＜x＜4，函數(shù)y＝log3(4x－x2)的定義域為(0,4)．令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，當(dāng)x∈(0,2]時，u＝4x－x2是增函數(shù)，當(dāng)x∈(2,4]時，u＝4x－x2是減函數(shù)．又∵y＝log3u是增函數(shù)，∴函數(shù)y＝log3(4x－x2)的增區(qū)間為(0,2]．答案：(0,2]例題講解與對數(shù)有關(guān)的大小比較【例1】比較下列各組中兩個值的大?。?1)ln，ln2；(2)，(a＞0，且a≠1)；(3)，；(4)log3π，logπ3.【解】(1)因為函數(shù)y＝lnx是增函數(shù)，且＜2，所以ln＜ln2.(2)當(dāng)a＞1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又＜，所以＜；當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又＜，所以＞.(3)法一：因為0＞＞，所以eq\f(1,＜eq\f(1,，即＜.法二：如圖所示．由圖可知＞.(4)因為函數(shù)y＝log3x是增函數(shù)，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.方法總結(jié)比較對數(shù)的大小，主要依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較．(2)若底數(shù)為同一字母，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論．(3)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較，也可以先畫出函數(shù)的圖像，再進(jìn)行比較．(4)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1，0等中間量進(jìn)行比較．當(dāng)堂練習(xí)1(1)設(shè)a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，則()A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．a(chǎn)＞c＞bD．c＞b＞a⑵已知a＝，b＝，c＝，則()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．b＞a＞c D．c＞a＞b解析：C(1)a＝log2π＞1,b＝logπ＜0,c＝π－2∈(0,1)，所以a＞c＞b.B⑵a＝＝，函數(shù)y＝log4x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，＞＞，所以a＞c＞b，故選B.對數(shù)不等式【例2】(1)已知＜(x－1)，則x的取值范圍為________；(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范圍．【解析】(1)∵函數(shù)y＝在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴由＜(x－1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＞0，,x－1＞0，,2x＞x－1，))解得x＞1，即x的取值范圍是(1，＋∞)．(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，當(dāng)a＞1時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,3－x＞0，,x－1≥3－x，))解得2≤x＜3.當(dāng)0＜a＜1時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,3－x＞0，,x－1≤3－x，))解得1＜x≤2.綜上可得，當(dāng)a＞1時，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范圍為[2,3)；當(dāng)0＜a＜1時，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范圍是(1,2]．【答案】(1)(1，＋∞)(2)答案見解析兩類對數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．①當(dāng)0＜a＜1時，可轉(zhuǎn)化為f(x)＞g(x)＞0；②當(dāng)a＞1時，可轉(zhuǎn)化為0＜f(x)＜g(x)．(2)形如logaf(x)＜b的不等式可變形為logaf(x)＜b＝logaab.①當(dāng)0＜a＜1時，可轉(zhuǎn)化為f(x)＞ab；②當(dāng)a＞1時，可轉(zhuǎn)化為0＜f(x)＜ab.方法總結(jié)求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時，除遵循前面已學(xué)習(xí)過的求函數(shù)定義域的方法外，還要對這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；三是按底數(shù)的取值范圍對應(yīng)單調(diào)性，有針對性地解不等式．當(dāng)堂練習(xí)2解下列不等式：又∵x>0，∴0<x<1，∴不等式的解集為{x|0<x<1}．(2)∵logmeq\f(2,3)<1＝logmm，∴當(dāng)m>1時，m>eq\f(2,3)，即m>1；當(dāng)0<m<1時，m<eq\f(2,3)，即0<m<eq\f(2,3).∴不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<m<\f(2,3)或m>1)))).(3)原不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x>0，,2x－1>0，,2－x>2x－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,x>\f(1,2)，,x<1，))∴eq\f(1,2)<x<1，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<1)))).與對數(shù)有關(guān)的函數(shù)的奇偶性判斷【例3】函數(shù)f(x)=是 ()A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【解析】選B.已知函數(shù)的定義域是R,關(guān)于原點對稱,因為所以f(x)是奇函數(shù).方法總結(jié)在判斷含對數(shù)式的函數(shù)的奇偶性時,常常利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡、變形,利用奇偶性的定義進(jìn)行判斷.當(dāng)堂練習(xí)3函數(shù)f(x)=lg(-2x)是 ()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù),也是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)A【解析】因為,所以-2x>0恒成立,所以f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱.又f(-x)=lg(+2x)=lg=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用【例4】求函數(shù)y＝log(1－x2)的單調(diào)增區(qū)間，并求函數(shù)的最小值．【解】要使y＝log(1－x2)有意義，則1－x2＞0，所以x2＜1，即－1＜x＜1，因此函數(shù)y＝log(1－x2)的定義域為(－1，1)．令t＝1－x2，x∈(－1，1)．當(dāng)x∈(－1，0]時，若x增大，則t增大，y＝logt減小，所以x∈(－1，0]時，y＝log(1－x2)是減函數(shù)；同理當(dāng)x∈[0，1)時，y＝log(1－x2)是增函數(shù)．故函數(shù)y＝log(1－x2)的單調(diào)增區(qū)間為[0，1)，且函數(shù)的最小值ymin＝log(1－02)＝0.方法總結(jié)(1)求形如y＝logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，一定要樹立定義域優(yōu)先意識，即由f(x)＞0，先求定義域．(2)求此類型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種思路：①利用定義求證；②借助函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)t＝f(x)和y＝logat在定義域上的單調(diào)性，從而判定y＝logaf(x)的單調(diào)性．當(dāng)堂練習(xí)3⑴若函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和為a，則a的值等于________．⑵若函數(shù)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是解析：⑴當(dāng)0<a<1時，因為y＝ax在[0，1]上為減函數(shù)，y＝loga(x＋1)在[0，1]上也是減函數(shù)，所以f(x)在[0，1]上為減函數(shù)，所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝eq\f(1,2)；同理，當(dāng)a>1時，f(x)在[0，1]上為增函數(shù)，所以f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝eq\f(1,2