浙江省名校新高考研究聯(lián)盟(Z20)2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(解析版)

浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20）2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一：選擇題。1.已知集合，，則A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化簡集合,再由交集的定義求解即可.【詳解】集合，，．故選C．【點(diǎn)睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則A.B.iC.D.1【答案】B【解析】【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)，從而可得結(jié)果.【詳解】由，得．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.3.設(shè)函數(shù)，則的值為A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】由分段函數(shù)，先求=ln2，然后根據(jù)判斷范圍再由分段函數(shù)另一段求出值【詳解】，=ln2，ln2，即=【點(diǎn)睛】本題主要考察分段函數(shù)求函數(shù)值，這類題目，需要判斷自變量所在范圍，然后帶入相應(yīng)的解析式解答即可4.已知是空間中兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A.若，，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】利用與相交或平行判斷；根據(jù)與相交、平行或判斷；根據(jù)或判斷；由面面垂直的判定定理得．【詳解】由，是空間中兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，得：若，，，，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；若，，則與相交、平行或，故錯(cuò)誤；若，，則或，故錯(cuò)誤；若，，，則由面面垂直的判定定理得，故正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題．空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，除了利用定理、公理、推理判斷外，還常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).5.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為A.1B.4C.2D.【答案】B【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】作出實(shí)數(shù)滿足約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)最大由解得．代入目標(biāo)函數(shù)得．即目標(biāo)函數(shù)的最大值為4．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.6.已知雙曲線：，則“”是“雙曲線的焦點(diǎn)在軸上”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合總表示焦點(diǎn)在軸上判斷即可．【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上或，或，或推不出，“”是“雙曲線的焦點(diǎn)在軸上”的充分不必要條件．故選A．【點(diǎn)睛】判斷充分條件與必要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題；對(duì)于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.7.函數(shù)的圖象可能是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法,由是奇函數(shù)排除；排除；排除；從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋傻檬瞧婧瘮?shù)排除；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在軸的上方，排除；當(dāng)時(shí)，，排除；故選A．【點(diǎn)睛】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除.8.已知，是橢圓與的左、右焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且滿足，，則該橢圓的離心率是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，，利用橢圓的定義，求得，，，可得，，由二倍角公式列方程可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，，可得，，，，，，,可得，可得．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用以及橢圓的離心，屬于難題．離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．9.已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的最小值是A.10B.9C.D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求得，則，展開后再利用基本不等式可求得的最小值．【詳解】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，且，時(shí)，的最小值為9，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.10.已知三棱錐的所有棱長為是底面內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)包括邊界，且到三個(gè)側(cè)面，，的距離，，成單調(diào)遞增的等差數(shù)列，記與，，所成的角分別為，，，則下列正確的是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用公式將問題轉(zhuǎn)化為：比較與，，夾角的大小，然后判斷到，，的距離，在中確定所在區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合可以解決．【詳解】依題意知正四面體的頂點(diǎn)在底面的射影是正三角形的中心，則，，其中，表示直線、的夾角，，，其中，表示直線、的夾角，，，其中，表示直線的夾角，由于是公共的，因此題意即比較與，，夾角的大小，設(shè)到，，的距離為，，

則，其中是正四面體相鄰兩個(gè)面所成角，所以，，成單調(diào)遞增的等差數(shù)列，然后在中解決問題由于，結(jié)合角平分線性質(zhì)可知在如圖陰影區(qū)域不包括邊界從圖中可以看出，、所成角小于所成角，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線及其所成角，以及公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題．若直線與其在平面內(nèi)的射影所成的角為，平面內(nèi)任意直線與、成的角為，則.二：填空題。11.已知隨機(jī)變量的分布如表所示，則______，______．1Pm【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用分布列中概率之和為1求解，利用期望公式求解期望，再利用方差公式求解方差即可．【詳解】由隨機(jī)變量的分布可得，可得，所以．．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，熟記期望、方差的公式是解題的關(guān)鍵．12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______，表面積為______【答案】(1).24(2).60【解析】【分析】由三視圖還原幾何體，可知原幾何體為直三棱柱，底面為直角三角形，從而根據(jù)三視圖中數(shù)據(jù)，結(jié)合棱柱的體積與表面積公式可求幾何體的體積和表面積．【詳解】由三視圖還原幾何體如圖：該幾何體為直三棱柱，底面為直角三角形，則其體積為．表面積為．故答案為：24；60．【點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定幾何體的形狀.13.若的展開式中，的系數(shù)為6，則______，常數(shù)項(xiàng)的值為______．【答案】(1).1(2).15【解析】【分析】先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)等于，求出的值，在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令的指數(shù)等于0，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得的系數(shù)為，．令，求得，可得常數(shù)項(xiàng)的值為，故答案為：1；15．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.14.在中，角所對(duì)的邊分別為，，，且外接圓半徑為，則______，若，則的面積為______．【答案】(1).3(2).【解析】【分析】由已知利用正弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求的值，由三角形面積公式即可得結(jié)果．【詳解】，且外接圓半徑為，由正弦定理，可得，，由余弦定理，可得：，解得：，．故答案為：3，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.15.沿著一條筆直的公路有9根電線桿，現(xiàn)要移除2根，且被移除的電線桿之間至少還有2根電線桿被保留，則不同的移除方法有______種【答案】21【解析】【分析】把6根電線桿放好，7個(gè)空選擇兩個(gè)放入需要移除的電線桿，這樣這兩根需要移除的電線桿中間至少有一根，然后再把余下一根放到這兩根中間去，問題得以解決．【詳解】把6根電線桿放好，7個(gè)空，選擇兩個(gè)放入需要移除的電線桿，這樣這兩根需要移除的電線桿中間至少有一根，然后再把余下一根放到這兩根中間去，所以有種方法，故答案為21．【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合在實(shí)際生活中的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題．16.已知向量，滿足，，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)為向量，的夾角，將平方化為，結(jié)合可得，由此得到，從而可得結(jié)果.【詳解】，，又，，，又，設(shè)為向量，的夾角，，又，，，，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)的有界性，屬于中檔題.向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.17.設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，記的最大值為，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由題意可得在的最大值為，，，中之一，可得四個(gè)不等式，相加，再由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，即可得到所求最小值．【詳解】去絕對(duì)值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，在的最大值為，，，中之一，所以可得，，，，上面四個(gè)式子相加可得即有，可得的最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的最值求法、絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題．轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，在解決知識(shí)點(diǎn)較多以及知識(shí)跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，解答本題的關(guān)鍵是將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值不等式問題.三：解答題。18.已知函數(shù)Ⅰ求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；Ⅱ求在區(qū)間上的最大值．【答案】Ⅰ最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間為，；Ⅱ.【解析】【分析】Ⅰ利用二倍角的余弦公式、輔助角公式化簡，由周期公式計(jì)算得的最小正周期，由，可解得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；Ⅱ由的范圍求出的范圍，進(jìn)一步求出的范圍，從而可得結(jié)果．【詳解】Ⅰ．的最小正周期，令，，得，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；Ⅱ時(shí)，，，所以的最大值為2，在區(qū)間上的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性，考查了正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：若,把看作是一個(gè)整體，由求得函數(shù)的減區(qū)間，求得增區(qū)間；19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且．Ⅰ證明：平面平面；Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值．【答案】Ⅰ見證明；（2）(Ⅱ).【解析】【分析】Ⅰ連結(jié)，交于點(diǎn)，推導(dǎo)出，平面，由此能證明平面平面；Ⅱ過作平面的垂線，垂足為，則即為直線與平面所成角，設(shè)為，設(shè)，由，求出，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】Ⅰ連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，則由∽，得，，，平面ABCD，平面ABCD，又平面QBD，平面平面ABCD．Ⅱ過D作平面PBC的垂線，垂足為H，則即為直線QD與平面PBC所成角，設(shè)為，設(shè)，，，即，解得，，直線QD與平面PBC所成角的正弦值．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想與空間想象能力，是中檔題．求線面角的方法：1、傳統(tǒng)法：根據(jù)圖形正確作出線面角是解決問題的關(guān)鍵，這要求學(xué)生必須具有較強(qiáng)的空間想象能力，同時(shí)還應(yīng)寫出必要的作、證、算過程；2、向量法：對(duì)于特殊的幾何體，如長方體、正方體等當(dāng)比較容易建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，也可采用向量法求解.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（且）Ⅰ當(dāng)，時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和：Ⅱ若是等比數(shù)列，證明：．【答案】Ⅰ;Ⅱ證明見解析.【解析】【分析】Ⅰ當(dāng)，時(shí)，，運(yùn)用分組求和方法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和；Ⅱ可得，時(shí)，，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得，的值，進(jìn)而得到，利用裂項(xiàng)相消法求和，結(jié)合放縮法即可得證．【詳解】Ⅰ當(dāng)，時(shí)，，前n項(xiàng)和；Ⅱ可得，時(shí)，，由是等比數(shù)列，可得，且，即，，，則，則，．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的求和方法：分組求和和裂項(xiàng)相消求和，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．利用“分組求和法”求數(shù)列前項(xiàng)和常見類型有兩種：一是通項(xiàng)為兩個(gè)公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加減；二是通項(xiàng)為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和后再相加減.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，且．Ⅰ求拋物線方程；Ⅱ設(shè)是拋物線上的兩點(diǎn)，當(dāng)為的垂心時(shí)，求直線的方程．【答案】.【解析】【分析】Ⅰ由兩點(diǎn)間距離公式列式，求得即可；Ⅱ根據(jù)垂心性質(zhì)得AB的