電磁學(xué)通論 Chapter2 靜電場中的導(dǎo)體 電介質(zhì)

電磁學(xué)通論第2章

靜電場中的導(dǎo)體

電介質(zhì)2.1導(dǎo)體靜電平衡條件

2.2若干實(shí)例及其典型意義2.3空腔導(dǎo)體&靜電屏蔽

2.4電容器&電容2.5介質(zhì)的極化&極化強(qiáng)度矢量2.6介質(zhì)的極化規(guī)律

2.7電位移矢量2.8靜電場的邊值關(guān)系

2.9靜電場的能量本章概述在第1章中確立的靜電場基本規(guī)律是普遍的，它的成立與電荷的來源和機(jī)制無關(guān)。正如第0章導(dǎo)言中所述，源電荷通常來自金屬導(dǎo)體上的自由電荷和絕緣介質(zhì)上的極化電荷，當(dāng)然還有一種空間電荷，它不依賴任何載體。另一方面，當(dāng)導(dǎo)體或介質(zhì)進(jìn)入業(yè)已存在的電場（外場），它們身上出現(xiàn)的自由電荷或極化電荷又將影響全空間的電場分布。那么，在外場作用下，導(dǎo)體或電介質(zhì)身上將有怎樣的電荷分布，進(jìn)而如何求得最終的電場分布，正是本章主題。換言之，本章論述的內(nèi)容系導(dǎo)體與靜電場的相互作用，以及電介質(zhì)與靜電場的相互作用。無論從理論上或?qū)嵱蒙峡矗芯窟@種相互作用是靜電學(xué)必須面對的問題。2.1導(dǎo)體靜電平衡條件導(dǎo)體中自由電子氣概念■導(dǎo)體中自由電子氣概念■導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡的過程描述■導(dǎo)體靜電平衡條件

■幾點(diǎn)說明■討論——導(dǎo)體表面處的場強(qiáng)和導(dǎo)體表面受力面密度導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡的過程描述在外場

E0作用下

體內(nèi)自由電荷定向遷移

自由電荷重新分布

產(chǎn)生附加場

E’在導(dǎo)體內(nèi)部

E’場反抗外場

E0

最終總場

過程終止。這個(gè)達(dá)到靜電平衡過程的響應(yīng)時(shí)間是很短的，約

τ=10-4s量級。對導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡的過程描述尚有兩點(diǎn)說明:在導(dǎo)體外部，由外場

E0(in)和附加場

E’(out)疊加而成的總場

E(out)，一般呈現(xiàn)復(fù)雜的分布，這相當(dāng)程度上源于附加場

E’(out)的復(fù)雜性。導(dǎo)體靜電平衡特性達(dá)到靜電平衡的導(dǎo)體其內(nèi)部場強(qiáng)必定為零，即Ein=0據(jù)此并結(jié)合靜電場通量定理和環(huán)路定理，得到如下幾個(gè)推論：靜電導(dǎo)體是一等勢體，其表面是一等勢面。靜電導(dǎo)體內(nèi)部無電荷，其體電荷密度處處為零，即

ρin=0。一個(gè)帶電的或電中性的導(dǎo)體，其電荷均分布于表面，其自由電荷面密度

σ0

的分布，隨導(dǎo)體表面形狀和環(huán)境而變，以保證

Ein=0，或保證其表面為一等勢面。導(dǎo)體表面外側(cè)的場強(qiáng)

Eos，其方向與表面正交，其數(shù)值與該處面電荷密度

σ0之間有一確定的比例關(guān)系，

這里，n表示該面元外法線方向的單位矢量。證明第（4）條特性:

在表面元

ΔS兩側(cè)作一個(gè)甚薄扁盒子

(ΔΣ)，其內(nèi)、外兩側(cè)的底面積均為

ΔS，而兩者間隔無線靠近，接著對這扁盒子

(ΔΣ)應(yīng)用通量定理，幾點(diǎn)說明在這一系列平衡特性中，Ein=0是根本，它是無條件成立的，即，它的成立與導(dǎo)體形狀、大小、帶電量以及與四周環(huán)境皆無關(guān)。它是憑借導(dǎo)體自身自由電荷的重新分布而得以實(shí)現(xiàn)的。導(dǎo)體靜電問題相當(dāng)靈活，這是因?yàn)樵趯?dǎo)體與靜電場相互作用過程中扮演主角的是自由電荷。導(dǎo)體表面的電荷分布是不能事先人為給定的，雖然其總電量可以事先給定。導(dǎo)體靜電問題活而不亂，靜電平衡特性、通量定理和環(huán)路定理，這三者的結(jié)合是解決導(dǎo)體靜電問題的理論基礎(chǔ)。疊加原理和唯一性定理，也是解決導(dǎo)體靜電問題的兩個(gè)有力工具。所謂靜電導(dǎo)體的唯一性定理，可簡單地表述為，在給定條件下，滿足導(dǎo)體

Ein=0的面電荷分布是唯一的，不可能有兩種不同的面電荷分布皆滿足平衡條件?！居懻摗繉?dǎo)體表面處的場強(qiáng)和導(dǎo)體表面受力面密度

凡經(jīng)過面電荷處其兩側(cè)場強(qiáng)Es將有突變，就目前靜電導(dǎo)體表面而言，亦是如此。那么，在導(dǎo)體表面元

(ΔS,σ0)處是否存在場強(qiáng)

Es。這個(gè)問題不僅有概念意義，且有實(shí)用意義，它涉及這表面元所受靜電力。須知，任何電荷所受電力只能是其它電荷產(chǎn)生的電場即外場施予的，一電荷的場不可能使自身受力，況且目前

Δq=σ0ΔS在自身所在處的場強(qiáng)為零。如果求得在

(ΔS,σ0)處的

Es不為零，則這

Es必定是外場，于是該面元受力為

Δf=(σ0ΔS)Es

結(jié)果：導(dǎo)體表面元(ΔS,σ0)處的場強(qiáng)公式為正是除(ΔS,σ0)

外其它所有導(dǎo)體的面電荷分布在該處的場強(qiáng)。導(dǎo)體表面元(ΔS,σ0)

所受電力為

故其受力面密度為無論σ0<0，或

σ0

>0，面元受力總是沿n方向即總是擴(kuò)張力2.2若干實(shí)例及其典型意義■給定導(dǎo)體電勢求出空間電勢場■給定導(dǎo)體總電量求出面電荷分布■半定量分析----中性導(dǎo)體進(jìn)入一均勻場所帶來的變化■半定量分析----中性導(dǎo)體接近一帶電導(dǎo)體所引起的變化■單一導(dǎo)體表面不可能出現(xiàn)異號電荷給定導(dǎo)體電勢求出空間電勢場

一個(gè)導(dǎo)體球連接一直流電源，以維持自身的電勢值為

U0

，試求出全空間的電勢場

U(r)。

設(shè)分布于導(dǎo)體球表面的總電量為

Q0

，球?qū)ΨQ，Q0

均勻分布于球面，借用均勻帶電球殼的電勢場公式，其中并未事先給定的電量

Q0

，可由邊界條件，最終得本題全空間電勢場為：這是一個(gè)質(zhì)樸的例子，卻體現(xiàn)了導(dǎo)體靜電問題中無源空間邊值定解這一重要物事。當(dāng)然，若是其它非球形導(dǎo)體，則求解由該導(dǎo)體電勢值U0

所決定的空間電勢場U(r)，在數(shù)學(xué)上可能變得相當(dāng)復(fù)雜，這時(shí)人們求助于數(shù)學(xué)物理方法，可以獲得幾類特定邊界的定解。給定導(dǎo)體總電量求出面電荷分布

兩個(gè)面積很大的平行平板導(dǎo)體

A和

B，分別被充以電量

QA

和

QB，面積均為

S，試求出其四個(gè)表面的面電荷密度

(σ1,σ2)和

(σ3

,σ4)。

由導(dǎo)體靜電平衡條件可知，這四個(gè)面電荷取值必然使兩個(gè)導(dǎo)體板內(nèi)部場強(qiáng)為零，即再由孤立導(dǎo)體電荷守恒律，有可見，有四個(gè)未知數(shù)且有四個(gè)獨(dú)立方程，其解是唯一的。得到兩個(gè)重要關(guān)系式，最后求出面電荷密度值分別為

這是一個(gè)質(zhì)樸的例子，卻體現(xiàn)了導(dǎo)體靜電問題中一個(gè)重要定理，即，唯一性定理。雖然在導(dǎo)體問題中，電荷分布是不能人為地事先被給定，但在總電量給定條件下，滿足靜電平衡條件的電荷分布是唯一的，原則上它們可以由平衡條件以及其它關(guān)系而求得。半定量分析----中性導(dǎo)體進(jìn)入一均勻場所帶來的變化

一對平行導(dǎo)體板

A和

B，其上均勻分布的面電荷為

(σ0,-σ0

)，它產(chǎn)生了一均勻場

E0，現(xiàn)有一中性導(dǎo)體小塊進(jìn)入這

E0場區(qū)，它將引致整個(gè)場空間的場強(qiáng)變化和電勢變化。試(1)粗略描繪出空間場線圖像和空間等勢線圖像，(2)比較場強(qiáng)

Ee、Ef和

E0三者數(shù)值之大小(排序)。

本題結(jié)果卻表明了一個(gè)具有普遍意義的重要物事，即，一旦有一導(dǎo)體進(jìn)入電場，即便它是不帶電的，也將引起空間等勢面形態(tài)發(fā)生顯著變化，似有牽一發(fā)而動(dòng)全身之效應(yīng)，這里，起決定性作用的是導(dǎo)體的形狀、大小、位置及其電勢值。

在電子光學(xué)領(lǐng)域，比如電子顯像管和電子顯微鏡的設(shè)計(jì)，其核心問題是關(guān)于電極組作為一導(dǎo)體系其形狀、大小、布局以及電勢取值的選擇，這將直接決定著運(yùn)行于其間的電子徑跡、偏轉(zhuǎn)和聚焦，這是一項(xiàng)專門的學(xué)問。

半定量分析-----中性導(dǎo)體接近一帶電導(dǎo)體所引起的變化

一導(dǎo)體球

A帶有電量

Q，其產(chǎn)生的電場線為球?qū)ΨQ輻射狀?，F(xiàn)將一個(gè)中性導(dǎo)體塊

B從遠(yuǎn)處移近導(dǎo)體球

A，這將引起整個(gè)空間電場的變化。試(1)粗略而正確地描繪出空間電場線圖像和等勢線圖像。(2)比較電勢

UA、UB、U地

和

UA0

這四者數(shù)值之大小(排序)，這里UA0

為球A

原先電勢。在

QA產(chǎn)生的電場力驅(qū)動(dòng)下，B塊中自由電荷的遷移所造成的面電荷積累

(-q,q)，只可能是左負(fù)右正，唯此方能反抗外場以至體內(nèi)；另一方面，這新出現(xiàn)的電荷分布

(-q,q)

反過來影響

A球上原本均勻的電荷分布，其趨勢是左邊的部分正電荷向右邊遷移，亦即向

B塊方向遷移，否則

A球若依然保持電荷均勻分布，由于

(-q,q)的存在其內(nèi)部的場強(qiáng)就不為零了，這是不滿足靜電平衡條件的。據(jù)以上分析所得兩者面電荷的重新分布，可粗略而正確的描繪出空間電場線圖像，如圖中帶箭頭的曲線。再根據(jù)導(dǎo)體

A或

B皆為等勢體，以及電場線處處與等勢面正交，可粗略地描繪出二維等勢線，如圖中那些粗黑的閉合曲線。以下分析中關(guān)于正、負(fù)、左、右的措詞皆以

QA>0為前提。

根據(jù)電場線

E方向總是指向電勢降落方向這一性質(zhì)，立馬可以判斷出電勢

UA

>UB>

U地

=0

?？剂垦巯码妱?/p>

UA與原先電勢

UA0數(shù)值大小之比較，就是考量球

A電量右遷和

(-q,q)出現(xiàn)對球

A電勢之影響，為此選擇位于球

A左側(cè)的場點(diǎn)

P作為考察對象是明智的，顯然那正電量右遷引致

P點(diǎn)電勢增量

ΔU1(p)<0，而

(-q,q)出現(xiàn)引致

P點(diǎn)電勢增量

ΔU2(p)<0，綜合這兩個(gè)負(fù)效應(yīng)，得即最終得那四個(gè)電勢值之排序?yàn)?/p>

結(jié)果表明，一個(gè)不帶電的中性導(dǎo)體靠近一個(gè)帶正電的導(dǎo)體，則將導(dǎo)致后者電勢降低，而自身的電勢提升為正。特別值得注意的是，當(dāng)一個(gè)中性導(dǎo)體比如人體，接近一個(gè)高壓靜電器比如20萬伏，雖然它并未直接觸摸后者，但它已處于高電勢比如1萬伏，這將招致人身安全危險(xiǎn)。遠(yuǎn)離高壓帶電體或高壓電器，應(yīng)當(dāng)成為人們的一個(gè)安全須知。單一導(dǎo)體表面不可能出現(xiàn)異號電荷分布

單一導(dǎo)體指稱其周圍無其他帶電體的導(dǎo)體，如圖所示。如果一個(gè)單一導(dǎo)體被充以

Q電量設(shè)為正值，則其上面電荷分布與曲率半徑有關(guān)，曲率半徑越小之處其面電荷密度越大，如圖(a)所示。在表面凹陷處即曲率半徑為負(fù)之處，其面電荷密度甚小，但絕不可能出現(xiàn)異號電荷，如圖(b)所示。試普遍地論證：單一導(dǎo)體表面不可能出現(xiàn)異號電荷。單一導(dǎo)體表面曲率半徑越小處，則其表面電荷密度越大，因而其外側(cè)場強(qiáng)就越強(qiáng)，以致其數(shù)值超過周圍介質(zhì)比如空氣的擊穿場強(qiáng)。一旦周圍空氣被擊穿即被電離，就有異號電荷比如負(fù)離子，流向該處，從而中和了其上的電荷，或者說，導(dǎo)體表面尖端處易于最先放電，使其上感應(yīng)電荷的積累受限，亦即其電勢受限。這就是人們常說的導(dǎo)體尖端放電原理或尖端放電效應(yīng)。高大建筑物頂層裝有一避雷針，以防止在雷電天氣時(shí)被雷擊，其依據(jù)的就是尖端放電原理。對導(dǎo)體表面尖端放電效應(yīng)稍加詳細(xì)說明:2.3空腔導(dǎo)體&靜電屏蔽

■一類空腔導(dǎo)體的靜電特性■靜電屏蔽的第一種含義■靜電高壓起電■二類空腔導(dǎo)體的靜電特性■靜電屏蔽的第二種含義■關(guān)于導(dǎo)體靜電平衡的唯一性定理■討論----導(dǎo)體身上是否有足夠的自由電量以實(shí)現(xiàn)靜電屏蔽■討論----試估算導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡的響應(yīng)時(shí)間一類空腔導(dǎo)體的靜電特性

一類空腔導(dǎo)體指稱其空腔內(nèi)沒有電荷或其它帶電體。設(shè)其腔體內(nèi)表面為

(Σi

)，其外表面為(Σs)，其空腔區(qū)域?yàn)?/p>

(V0

)。當(dāng)這空腔導(dǎo)體被充以電量

Q，且達(dá)到靜電平衡后，則它具有以下三點(diǎn)特性：內(nèi)表面不帶電，其上面電荷密度處處為零，即全部電量分布于其外表面(Σs)，即在空腔(V0

)區(qū)域，場強(qiáng)E0

恒為零，即若腔壁

(Σi)上部分表面帶電量為

q，則其另一部分表面必帶電

(-q)，這是因?yàn)榍惑w內(nèi)部

Ein=0，故腔體內(nèi)任何一個(gè)將腔壁包圍其中的閉合面其電通量為零，而據(jù)靜電通量定理，其內(nèi)部電荷之代數(shù)和為零，q+(-q)=0滿足這一要求。雖然存在

(q,-q)不違背這一方面的通量定理，可是正電荷

q的存在，必定從此處發(fā)出電場線（這也是通量定理的一種形象表述），這些電場線不可能中斷于無源空間

(V0

)，它們將繼續(xù)延伸而終止于對方

(-q)處；顯然，沿這些電場線的場強(qiáng)積分值不為零，這意味著其頭尾兩點(diǎn)之間存在電勢場，這違背了靜電導(dǎo)體是一個(gè)等勢體這一平衡條件。于是，其結(jié)論是一類空腔導(dǎo)體其內(nèi)表面處處無電荷。靜電屏蔽的第一種含義

換言之，若在實(shí)心導(dǎo)體中挖除一個(gè)空腔，不論空腔大小、形狀和位置如何，不會(huì)改變面電荷

σs分布。即便這空腔導(dǎo)體外部有了其它帶電體比如

qA，這將立馬引起面電荷

σs的重新分布，以保證

(Σs

)所包圍的區(qū)域中總場強(qiáng)為零，即

在一類空腔導(dǎo)體內(nèi)部，不僅導(dǎo)體中場強(qiáng)

Ein=0，且腔內(nèi)

E0=0，這是依賴其外表面

(Σs)上面電荷的特定分布（σs分布）來實(shí)現(xiàn)的，與無空腔的實(shí)心導(dǎo)體無異。

如果外部電荷

qA

移動(dòng)至另一處，則，面電荷立馬響應(yīng)一個(gè)新的分布，以完全抵消

qA產(chǎn)生的場強(qiáng)，而依然保證

E0=0，且

Ein=0。這一圖景宛如老鷹抓小雞，表面上大量的自由電荷扮演一群母雞的角色，總能完全抵擋住

qA

這只老鷹的侵襲。簡言之，一類空腔導(dǎo)體通過自身外表面自由電荷的重新分布，而屏蔽了空間其它帶電體對空腔內(nèi)部場強(qiáng)的影響，使總場強(qiáng)為零得以保證。如果用一金屬罩罩住電場中不存在電荷的某局部空間，則該空間中將不再有電場。這個(gè)起屏蔽作用的金屬罩稱為法拉第罩。靜電高壓起電

不斷向一空腔導(dǎo)體內(nèi)表面?zhèn)魉碗娏?/p>

q，于是表面就一次次獲得電量

q，持續(xù)地積累最終獲得大電量、高電勢。

假如，那個(gè)攜帶電量

q的小球直接地與空腔導(dǎo)體外表面接觸，以試圖將

q轉(zhuǎn)移到導(dǎo)體身上，此種方式下空腔導(dǎo)體表面所能積累的最高電量是受限的，即它有一個(gè)飽和值QM

。設(shè)小球與大球直接密合時(shí)，大球分到電量百分比為p比如，令

p=90%，則

QM

=9q；p=95%，則

QM=19q.

嚴(yán)格閉合的球腔，等效于其

p100%，故

QM∞。實(shí)際上的空腔導(dǎo)體非嚴(yán)密閉合而開有一個(gè)小孔。這使其最大電量及相應(yīng)的最高電勢受到了一定程度的限制。不過，靜電高壓球的最高電勢值，主要受限于其周圍空氣的擊穿場強(qiáng)。對于干冷空氣，EM≈3kV/mm。

某一科技館有一個(gè)靜電高壓球（帽），觀其半徑約為

15cm，便可估算出其所能獲得的最高電勢值

UM：據(jù)以

R≈15cm，EM≈3kV/mm代入，得

UM

≈450kV，若在夏日濕熱空氣中，其

UM值顯著下降，以致該科技館原計(jì)劃表演的高壓靜電實(shí)驗(yàn)多遭失靈，這是因?yàn)樗魵獾膿舸﹫鰪?qiáng)

EM’

值明顯地小于純凈空氣的

EM值，溫濕空氣

EM’值約為

2

kV/mm。二類空腔導(dǎo)體的靜電特性

第二類空腔導(dǎo)體指稱其空腔內(nèi)有電荷或帶電體，如圖所示。其導(dǎo)體外殼有厚度，設(shè)這外殼內(nèi)表面為

(Σi

)，其外表面為

(Σs)，而腔內(nèi)有電荷

q.

當(dāng)這導(dǎo)體殼被充以電量

Q，則達(dá)到靜電平衡以后，這類空腔導(dǎo)體具有以下特性。導(dǎo)體殼內(nèi)表面

(Σi

)帶有電量

(-q)，相應(yīng)地外表面

(Σs

)帶有電量

(Q+q)。這是殼內(nèi)場強(qiáng)必為零、靜電場通量定理和電荷守恒定理導(dǎo)致的結(jié)果。內(nèi)表面

(Σi

)上

(-q)電量的面分布與腔內(nèi)帶電體

q的位置有關(guān)；當(dāng)腔內(nèi)

q的位置有變動(dòng)，則牽動(dòng)

(-q)電量的面分布，從而牽動(dòng)腔內(nèi)電場的分布。導(dǎo)體殼外表面

(Σs

)上電荷

(Q+q)的面分布，在導(dǎo)體內(nèi)部包括空腔區(qū)域所貢獻(xiàn)的電場為零，這一結(jié)論與空腔內(nèi)無電荷的一類空腔導(dǎo)體無異，也與無空腔的實(shí)心導(dǎo)體無異，即

(Q+q)分布

E1(p)=0

(場點(diǎn)

p

在殼內(nèi))腔內(nèi)電荷與導(dǎo)體殼內(nèi)表面分布，共同決定腔內(nèi)電場和腔外電場，

(q,-q

分布)E2(腔內(nèi))，一般較為復(fù)雜；(q,-q

分布)E2(腔外)=0

。上圖顯示了以上電荷分布的疊加，以及相應(yīng)的場強(qiáng)疊加，即靜電屏蔽的第二種含義在上述第二類空腔導(dǎo)體的靜電特性中，最值得關(guān)注的一點(diǎn)是，當(dāng)空腔內(nèi)存在電荷

q，則導(dǎo)體殼的內(nèi)表面

(Σi

)便感應(yīng)到一個(gè)(

-q)

電荷的面分布，以抵消電荷

q在腔外產(chǎn)生的電場；當(dāng)電荷

q的位置和數(shù)值有所變動(dòng)，則內(nèi)表面立馬策應(yīng)一個(gè)新的電荷分布，依然

(q,(-q)

分布)使在腔外的場強(qiáng)為零，簡言之，第二類空腔導(dǎo)體憑借其內(nèi)表面

(Σi

)自由電荷的分布或重新分布，而屏蔽了腔內(nèi)帶電體及其變化對腔外空間電場的影響。所謂內(nèi)部不影響外部，就是這個(gè)內(nèi)容，此乃靜電屏蔽這一流行術(shù)語的第二種含義。

以上對于兩類空腔導(dǎo)體的兩種靜電屏蔽效應(yīng)的論述，展現(xiàn)了這樣一幅圖景，一個(gè)其體內(nèi)場強(qiáng)為零的閉合導(dǎo)體殼，將全空間分割為兩部分，即殼內(nèi)空間與殼外空間，兩者彼此隔離，互不影響或互不干擾。這對電磁測量實(shí)驗(yàn)，特別對精密電磁測量實(shí)驗(yàn)尤其重要。關(guān)于導(dǎo)體靜電平衡的唯一性定理關(guān)于導(dǎo)體靜電問題，有兩種基本提法：給定各個(gè)導(dǎo)體的電量，求出空間的電場

E(r)和

U(r)。給定各個(gè)導(dǎo)體的電勢，求出空間的電場

E(r)和

U(r)。相應(yīng)的唯一性定理可有兩種表述：當(dāng)導(dǎo)體系中各導(dǎo)體的電量被給定，則滿足導(dǎo)體平衡條件的電荷分布是唯一的，從而空間電場分布也是唯一的。當(dāng)導(dǎo)體系中各導(dǎo)體的電勢被給定，則滿足導(dǎo)體平衡條件的各電量分布是唯一的，從而空間電場分布也是唯一的。現(xiàn)以單一導(dǎo)體為對象，證明唯一性定理的第一種表述，給定該導(dǎo)體總電量為

Q，假定它有兩個(gè)不同的面電荷分布

σ1(P)與

σ2(P)，均能使該導(dǎo)體分別處于平衡態(tài)

(I)與平衡態(tài)

(II)，即σ1(P)平衡態(tài)

(I)，σ2(P)

平衡態(tài)

(II)這兩個(gè)平衡態(tài)相減，應(yīng)是一個(gè)新的平衡態(tài)

(III)，即(I)

態(tài)-

(II)

態(tài)

=

(III)

態(tài)，系一新平衡態(tài)，（推論一）；相應(yīng)的新的面電荷分布為

σ3(P)，它應(yīng)滿足且這勢必導(dǎo)致，該導(dǎo)體部分表面σ3(P)

>0，另一部分表面

σ3(P)<0。（推論二）單一導(dǎo)體表面不可能出現(xiàn)異號電荷，表明推論一與推論二是不相容的，或是自相矛盾的，可是，兩者均是以

σ1(P)≠σ2(P)為前提的邏輯必然。這就反證了唯一性定理的第一種表述。這一論證方式可以推廣到兩個(gè)或多個(gè)導(dǎo)體的情形。各導(dǎo)體身上也不可能出現(xiàn)異號電荷分布，否則必違背導(dǎo)體靜電平衡條件。同任何數(shù)學(xué)上或物理上的唯一性定理一樣，導(dǎo)體靜電唯一性定理僅指明其解是唯一的，并不回答這唯一解是什么，這有賴于導(dǎo)體平衡條件及其它相關(guān)的物理定理而求得，說到底，這要憑借關(guān)于無源空間電勢的拉普拉斯方程和導(dǎo)體邊界條件來定解。也可以憑借經(jīng)驗(yàn)和對稱性分析而給出一試探解，看其是否滿足導(dǎo)體內(nèi)部

Ein=0，如是，則試探解是唯一正確的解。我們對于第二類空腔導(dǎo)體屏蔽效應(yīng)的論述，就是采取了這一思維方式?！居懻摗繉?dǎo)體身上是否有足夠的自由電量以實(shí)現(xiàn)靜電屏蔽

空腔導(dǎo)體通過其表面自由電荷的分布或重新分布以產(chǎn)生靜電屏蔽效應(yīng)，那么，當(dāng)腔外或腔內(nèi)存在帶有巨大電量的荷電體時(shí)，導(dǎo)體身上是否有足夠的自由電量，可以被調(diào)動(dòng)起來以抵消前者的電場。為此，首先讓我們估算金屬內(nèi)存的自由電量的體密度ρ0(C/cm3)，對于金、銀、銅、鐵和鋁，其摩爾質(zhì)量為取平均值約為，上述金屬的比重約為兩者之比值就是在1cm3

體積中所含

mol數(shù)，即

mol數(shù)體密度為即使一個(gè)金屬原子僅提供一個(gè)自由電子其電量

e=1.6×10-19C，則得到一般金屬所含自由電量的體密度（數(shù)量級）為

這是一個(gè)很大的電量體密度值。試用曾計(jì)算過的靜電高壓金屬球?yàn)槔宰鞅容^，一個(gè)半徑為

R=15cm的金屬球，所能獲得的最高電壓UM=45萬伏，則其表面總電量為而這靜電高壓球體中含有自由電量為（設(shè)厚度

ΔR=6mm）兩者之比值竟達(dá)

如此巨大的比值，給出了一個(gè)令人寬慰的結(jié)論：導(dǎo)體內(nèi)存足夠的自由電量可用以實(shí)現(xiàn)靜電屏蔽。【討論】試估算導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡的響應(yīng)時(shí)間

這個(gè)問題的實(shí)際意義是，對于變化的外電場，導(dǎo)體屏蔽效應(yīng)在多高的頻段以上將要失靈，雖然它對靜電屏蔽是完全的。

誠如前述，空腔導(dǎo)體是通過其表面自由電荷的分布或重新分布來實(shí)現(xiàn)靜電屏蔽的，而自由電荷的分布及其調(diào)整是需要時(shí)間的，因?yàn)樽杂呻姾傻倪w移速度

v是有限的。

當(dāng)腔外或腔內(nèi)的帶電體反復(fù)不斷地變更其位置或帶電量時(shí)，就有可能出現(xiàn)自由電荷跟不上作及時(shí)調(diào)整，以致不能屏蔽外電場，或不能完全屏蔽外電場。

設(shè)導(dǎo)體尺寸及其幾何線度為

l，自由電荷從導(dǎo)體這一側(cè)漂移到另一側(cè)的時(shí)間

τ，則合理地被定義為導(dǎo)體上自由電荷對電場變化的響應(yīng)時(shí)間，即

現(xiàn)在讓我們專注于估算導(dǎo)體中自由電子的定向遷移速度

v。這可以憑借以下三個(gè)公式：得到一個(gè)估算金屬中自由電子遷移率公式，取σ

為107

/(

Ωm)

，而

ρ0

約為1010

C/m3，得μ

≈

10-3

m2/V·S

代入v=μE

得一反比律公式以l=0.3m

，μ

=

10-3

m2/V·S

代入，得τE

=

300V·S/m.

取EM≈3kV/mm，即干空氣的擊穿場強(qiáng)，得τ

≈

10-4s.

響應(yīng)時(shí)間的倒數(shù)

1/τ具有特定頻率

fM

的意義，即

fM=10kHz姑且稱

fM為導(dǎo)體動(dòng)電屏蔽的截止頻率，意指當(dāng)外電場變化頻率

f>fM

時(shí)，空腔導(dǎo)體的屏蔽效應(yīng)將失靈，或者說，對這頻段以上的電訊號，空腔導(dǎo)體的屏蔽是不完全的。最后，似應(yīng)申明一點(diǎn)，以上對那響應(yīng)時(shí)間

τ的估算方式也許是不唯一的方式。若從電磁場理論的高度認(rèn)識，當(dāng)一個(gè)交變的電磁波入射于空腔導(dǎo)體，將出現(xiàn)電磁波在金屬表面的高反射，以及電磁波進(jìn)入金屬體內(nèi)的趨膚效應(yīng)，這類內(nèi)容本課程不予深究。不過，通過以上討論認(rèn)識到。空腔導(dǎo)體對靜電屏蔽是完全的，而對動(dòng)電屏蔽是不完全的。如果認(rèn)為，外電場變化的頻率越高，則此時(shí)導(dǎo)體屏蔽效應(yīng)越弱，這也未必正確。明確地說，以上對于導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡的響應(yīng)時(shí)間的考慮，以及相聯(lián)系的對于空腔導(dǎo)體屏蔽效應(yīng)失靈的截止頻率的估算，適用于低頻段。2.4電容器&電容

■電容器&電容■三種簡單電容器的電容公式■電容器的并聯(lián)和串聯(lián)■電容器儲能公式■電容概念的擴(kuò)展電容器&電容

電容器是一種特殊的空腔導(dǎo)體，它由兩個(gè)導(dǎo)體殼組成，內(nèi)導(dǎo)體殼

A被外導(dǎo)體殼

B所包圍，其間存在一個(gè)空間

(V0)。當(dāng)

A被充以電量

Q，則內(nèi)表面感應(yīng)了一個(gè)電量

(-Q)，于是，在

(V0)區(qū)域中形成一個(gè)獨(dú)立的電場空間。

在

A、B形狀、大小和間隔給定的條件下，這電場

E的形態(tài)隨之被確定，而其數(shù)值正比于電量，即

E∝Q，因此，導(dǎo)體殼

A與

B之電勢差，或者說，電容器極板電量

Q∝UAB，實(shí)際上通常將一直流電源的正、負(fù)極分別接在這電容器的兩極板

A與

B，以提供一電勢差

UAB。在此引入一個(gè)比例常數(shù)

C

而將上述正比關(guān)系寫成一等式，即

這比例常數(shù)

C

稱為電容，電容器的電容定義為，產(chǎn)生兩極板間之單位電勢差所需的電量?？梢灶A(yù)料，各種電容器的電容公式中，必然包含極板形狀、大小和間隔等結(jié)構(gòu)參數(shù)。

關(guān)于電容的單位和符號說明如下：稱為“法拉”，記作

F

，即

電容

1F是一個(gè)很大的電容值。比如，地球作為一個(gè)導(dǎo)體球形電容器，其電容

C≈1.7×10-4F。常用的輔助單位有三種簡單電容器的電容公式同心球殼電容器，其電容公式為若令

R∞，便得到單一導(dǎo)體球殼的電容公式為

這里

d為兩個(gè)平行導(dǎo)體平板之間距，S為導(dǎo)體板的面積。此電容公式是憑借無限大均勻帶電面的場強(qiáng)公式而得到的，故當(dāng)

得以滿足時(shí)，這實(shí)際平行板電容器的電容就接近于上式給出的結(jié)果，姑且稱上式為理想平行板電容器的電容公式。平行板電容器，其電容公式為共軸圓筒電容器，其電容公式為這里，r為內(nèi)筒的外徑，R為外筒的內(nèi)徑，兩者的軸向長度為

l。此電容公式是憑借無限長均勻帶電圓筒的場強(qiáng)公式而得到的，故在

l>>R條件下的實(shí)際電容值，就比較接近上式給出的結(jié)果。姑且稱上式為理想共軸圓筒電容器的電容公式。電容器的并聯(lián)和串聯(lián)

作為一種電器件，電容器的性能指標(biāo)有兩個(gè)，一是其電容

C，二是其耐壓

UM。當(dāng)電容器兩個(gè)極板間的電勢差即電壓過高，以致其內(nèi)部空腔的場強(qiáng)超過空氣或介質(zhì)的擊穿場強(qiáng)時(shí)，該電容器將被擊穿而造成短路，使電路無法正常工作。

在選購和使用電容器時(shí)，必須考量其所能承受的最高電壓值

UM，在電容器的商標(biāo)中也必定標(biāo)明其電容

C和耐壓

UM這兩個(gè)主要的性能參數(shù)。當(dāng)單個(gè)電容器的電容值過小，擬可將兩個(gè)或多個(gè)電容器并聯(lián)，并聯(lián)時(shí)，多個(gè)電容器的電壓是共同的，皆為

U，它們各自所帶電量分別為故這組合電容器件所帶總電量為其相應(yīng)的等效電容或總電容為

即，并聯(lián)電容器的總電容等于各分電容之和。

當(dāng)單個(gè)電容器的耐壓值過小，擬可將電容器串聯(lián)，以提高總耐壓。串聯(lián)時(shí)，這多個(gè)電容器所帶的電量均為(Q,-Q)，而總電壓

Utot

等于各分電壓之和，即且

于是相應(yīng)的其等效電容或總電容Ctot

滿足以下方程，即，串聯(lián)電容器的總電容之倒數(shù)等于各分電容倒數(shù)值之和，其結(jié)果是總電容值減少了，比其中最小的電容值還要小，而其耐壓值卻提高了。電容器儲能公式電容器是存儲電量的元件，也是集中電場的元件。從能量角度考量，無論積累電量

(Q,-Q)或是建立電場，均需要從外部輸入能量，這通常由外接直流電源來承擔(dān)。擬可采取搬運(yùn)電荷而做功的方式，導(dǎo)出電容器儲能公式。試搬運(yùn)電荷

dq從負(fù)極

B至正極

A，而克服電場力做功為uAB

系建立電場過程中任意中間態(tài)的電勢差，此時(shí)它對應(yīng)的極板電量為

(q,-q)。

電容C是一個(gè)集中反映電容器結(jié)構(gòu)參量的特征常數(shù)，它與極板電量的多少無關(guān)，也與極板間的電壓大小無關(guān)。故于是，那元功dA改寫為在這全過程中，搬運(yùn)電荷而造成終態(tài)

(Q,-Q)所做的總功為這也正是電容器儲能的數(shù)值。即，電容器儲能公式為

一平行板電容器，其極板面積為

100cm2，兩極板間距為

0.1mm，耐壓

200V，試求出其最大儲能。首先算出其電容例題:并取其中電壓值為耐壓值

UM，得此電容器的最大儲能為

最后尚需強(qiáng)調(diào)指出，基于功能原理而得到的電容器儲能公式是普遍成立的，它適用于任何結(jié)構(gòu)的電容器，即適用于那三種閉合式的理想電容器，亦適用于開放式的實(shí)際電容器，這是因?yàn)樵趦δ芄街胁⑽聪薅娙?/p>

C的具體樣式。這一點(diǎn)倒給予人們一種啟發(fā)，擬可以通過測量一電容器儲能的方式，而得到其電容

C值，當(dāng)電壓

UAB

已知。電容器概念的擴(kuò)展

電容

C概念并不局限于電容器。對于完全開放的多個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成的導(dǎo)體系，其中任意兩個(gè)導(dǎo)體之間均可以引入電容一量，用以反映兩者帶電量與其電勢差彼此響應(yīng)的程度。該導(dǎo)體系中有

A、B和

C三個(gè)導(dǎo)體，其帶電量

(QA,QB,QC)以形式示之，根據(jù)導(dǎo)體靜電平衡條件和唯一性定理，以及疊加原理，可以寫出當(dāng)

(Q,0,0)，有

UAB’∝Q，寫成

UAB’=K1Q；當(dāng)

(0,-Q,0)，有

UAB’’∝(-Q)，寫成

UAB’’=K2Q；當(dāng)

(Q,-Q,0)，有

UAB=(UAB’+UAB’’)=K1Q+K2Q∝Q。

可見，電勢差

UAB

與電量Q

之間呈正比關(guān)系，有理由在此引入電容或稱之為電容系數(shù)CAB，它定義為即，導(dǎo)體系中兩個(gè)特定導(dǎo)體之間的電容定義為，在其它導(dǎo)體帶電量為零條件下，造成這兩者之單位電勢差所需的電量值?？梢灶A(yù)料，這電容值決定于導(dǎo)體系中各導(dǎo)體的形狀、大小和相對位置，并非僅僅決定于、兩者的幾何參量，第三者的存在及其身上出現(xiàn)的感應(yīng)電荷必然影響著電勢差。由此可見，開放式導(dǎo)體系中各個(gè)電容系數(shù)的確定，遠(yuǎn)比閉合式理想電容器電容公式的導(dǎo)出要困難。相對簡單的兩個(gè)典型半徑相等的兩個(gè)導(dǎo)體球的電容公式為當(dāng)d>>R，忽略(R/d)2

項(xiàng)，半徑相等的雙導(dǎo)線之電容公式為

對于單一導(dǎo)體或一段導(dǎo)線，其表面積累的電量

Q與其電勢

U值之間顯然也是一種正比關(guān)系，即

Q∝U，據(jù)此定義其電容為綜上所述，電容概念并不受限于閉合式電容器，它廣泛地存在于任意導(dǎo)體系中。這種廣義電容器概念自有其認(rèn)識價(jià)值，比如在電子線路的分析中時(shí)而提及的分布電容，指的就是上述的雙導(dǎo)線之電容或單導(dǎo)線之電容。2.5

電介質(zhì)的極化&極化強(qiáng)度矢量■

介質(zhì)極化圖像■

分子的極性■

介質(zhì)的極化機(jī)制■

極化強(qiáng)度矢量■

極化強(qiáng)度矢量與極化電荷的關(guān)系■

介質(zhì)表面極化面電荷密度公式■

極化強(qiáng)度矢量場的散度方程■

均勻極化的介質(zhì)球及其電場■

討論——對均勻極化介質(zhì)球電場的進(jìn)一步考量介質(zhì)極化圖像這里所謂的電介質(zhì)，指稱置于電場中的絕緣物質(zhì)，諸如陶瓷、玻璃、聚乙烯、環(huán)氧樹脂、橡膠、云母、大理石，還有干木材、松香、紙、石蠟、煤油、硅和變壓器油，等等。它們的導(dǎo)電性能極弱，其體內(nèi)沒有足夠的自由電荷，其體內(nèi)各分子中的電子處于束縛態(tài)。然而，當(dāng)這類介質(zhì)體進(jìn)入電場后仍將改變空間電場分布。我們已知悉，當(dāng)一導(dǎo)體置于外電場

E0

中，憑借其自身的自由電荷分布而產(chǎn)生一附加電場，以完全抵消體內(nèi)的外電場，致使體內(nèi)電場Ein=0。當(dāng)一介質(zhì)球置于外電場中，也將產(chǎn)生一附加電場以削弱體內(nèi)的外電場，但其體內(nèi)的總電場一般不為零，Ein≠0；這附加電場是由介質(zhì)體表面的束縛電荷所產(chǎn)生的，而這表面束縛電荷源于外場作用下介質(zhì)的極化，或者說，介質(zhì)表面出現(xiàn)束縛電荷乃是介質(zhì)極化的一種宏觀后果。分子的極性介質(zhì)分子劃分為兩類，一類為無極分子，其正電中心與負(fù)電中心重合；另一類為有極分子，其正電中心與負(fù)電中心分離，形成了一個(gè)偶極矩

p子，稱其為分子固有偶極矩。分子固有偶極矩

p子=0的分子為無極分子，p子≠0的分子為有極分子。比如，四氯化碳為無極分子，而水分子為有極分子。有極分子固有偶極矩

p子數(shù)量級，按

p子=ql，選取

q≈10e，l

=1nm（分子尺度），估算為

p子=10-27C·m。介質(zhì)的極化機(jī)制無外場時(shí)的情形

在介質(zhì)體內(nèi)任一體積元

ΔV中，含有大量分子。對于有極分子組成的介質(zhì)，雖然其中每個(gè)分子具有偶極矩

p子

，由于這大量分子熱運(yùn)動(dòng)的無規(guī)性，在此體現(xiàn)為這大量p子的取向是雜亂無序，且各向同性，以致其矢量和為零，即(ΔV):Σp子

=0此式也適用于無極分子組成的介質(zhì)，其每個(gè)分子原本無固有偶極矩。有外場時(shí)的情形

無極分子中的正電極與負(fù)電極將沿相反方向而位移，從而形成一偶極子，體積元ΔV中這大量分子偶極矩p子

的方向是一致的，故Σp子

≠0，這一極化機(jī)制稱為位移極化。對于有極分子，在外電場力矩作用下p子將會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，且其轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢均為順向外場，即p子

//E，不論p子

的最初取向如何，順向外場的狀態(tài)是電偶極子的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，以致其宏觀效果也是Σp子

≠0。這一極化機(jī)制稱為取向極化?？傊瑹o極分子的位移極化與有極分子的取向極化，兩者的宏觀效果是一樣的，即(ΔV):Σp子

≠0相應(yīng)地，在局域

ΔV中出現(xiàn)了分子偶極矩的有序取向。同時(shí)，在一宏觀介質(zhì)體中，那大量的一定取向的分子偶極矩矢量，首尾相接，一正電極與另一負(fù)電極相重，以致電量抵消，唯有臨近表面的那些

p子，貢獻(xiàn)出來未被抵消的凈電荷，出現(xiàn)于介質(zhì)體的表面層。這種場合出現(xiàn)的電荷稱為極化電荷或束縛電荷，以區(qū)別于導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷。介質(zhì)體內(nèi)

Σ

p子

≠0，與介質(zhì)表面出現(xiàn)極化電荷，兩者互為表里極化強(qiáng)度矢量

P

為了定量地反映介質(zhì)體內(nèi)的極化狀態(tài)，引入一物理量——極化強(qiáng)度矢量

P，它定義為即，介質(zhì)體內(nèi)任意處的極化強(qiáng)度矢量，定義為該處單位體積中分子偶極矩的矢量和。顯然，真空中處處

P=0.

極化強(qiáng)度

P不僅是一個(gè)矢量，而且也是場點(diǎn)位置的函數(shù)，即

P(r)或P(x,y,z)。換言之，在介質(zhì)區(qū)域內(nèi)P(r)也是一個(gè)矢量場。若

P(r)與位置

r無關(guān)而保持為一常矢量，則稱其為均勻極化；若P

的方向或數(shù)值隨r而變化，則稱其為非均勻極化。實(shí)際上，即使在均勻外電場中，那樣一個(gè)形狀的介質(zhì)體，其最終達(dá)到平衡的極化狀態(tài)系非均勻極化。極化強(qiáng)度矢量的單位為

[P]=C·m/m3=C/m2=[σ].

即，其單位為庫侖/米2，相同于面電荷密度σ

的單位。之所以沒有采取這一純數(shù)學(xué)上的極限符號

limΔV0，是基于以下的考量。如果讓其分母

ΔV0，同時(shí)要求其分子

Σp子中含有大數(shù)目的

p子，這在邏輯上是不自洽的；

(ΔV)應(yīng)是物理上的體積元，它固然很小，但宏觀小而微觀大，其中含有大數(shù)目的分子，而物質(zhì)分子是有線度的，而不是無窮小，其線度約為

d≈0.1nm–1nm，若取體積元

ΔV=1μm3，則含有約

109

個(gè)分子；從宏觀電磁學(xué)的尺度看，1μm3的體積元可以被看作一個(gè)“點(diǎn)”，雖然它不滿足

limΔV0這一純極限意義上的要求。鑒于此，在定義式后綴一個(gè)括號

(ΔV0)，以示它是物理上的體積元，其實(shí)基于以上考量，將這括號內(nèi)容寫成

(d3<<

ΔV0)更為恰當(dāng)。最后，對極化強(qiáng)度矢量定義式中的符號選擇作個(gè)說明，極化強(qiáng)度矢量與極化電荷的關(guān)系兩者之定量關(guān)系推導(dǎo)，引入一個(gè)分子的有效偶極矩

p0，n為介質(zhì)分子數(shù)的體密度。上式的含義是，將單位體積中的總偶極矩平均分?jǐn)偨o每個(gè)分子，故每個(gè)分子獲得的偶極矩為

p0=P/n，稱其為分子有效偶極矩；或者，反過來認(rèn)識，單位體積中之總偶極矩

P系每個(gè)分子

p0

貢獻(xiàn)所致，即

P=np0。

這里沒有輕易地將分子有效偶極矩與分子偶極矩p子

等同視之，因?yàn)閷τ谟袠O分子而言，其表觀p子含固有偶極矩與取向偶極矩兩部分，前者因其方向上的無序，以致其矢量和為零而對P無貢獻(xiàn)。

換言之，分子有效偶極矩p0

并不等同于表觀上的分子偶極矩。當(dāng)然，對于無極分子而言，p0

等同于p子

是成立的。與p0

對應(yīng)的分子有效偶極間距為l0，它由p0=ql0關(guān)系給出。試考察宏觀區(qū)域

(V)內(nèi)未被抵消的凈電量

q’與極化強(qiáng)度矢量場

P(r)之關(guān)系。

在其閉合面

(Σ)上任取一面元

ΔS，此處極化強(qiáng)度為

P；以

ΔS為中心截面沿l0方向作一小柱體

(ΔV)，其軸向長度為

l0

。凡是在此

(ΔV)中的分子，其有效偶極矩p0均穿越面元ΔS，而對區(qū)域(V)貢獻(xiàn)一電量(-q)；此外，那些遠(yuǎn)離(Σ)面的，或在外邊或在里頭，均無貢獻(xiàn)凈電量于

(V)內(nèi)。據(jù)此計(jì)算：

小柱體積元

ΔV=ΔS·cosθ

·l0=

ΔS

·l0(ΔS=ΔS·n)

內(nèi)含分子數(shù)ΔN=nΔV=nΔS·l0

，(n為分子數(shù)體密度)

貢獻(xiàn)于

(V)內(nèi)的凈電量Δq’=(-q)ΔN=-nqΔS·l0

。注意到，其中

ql0=p0，np0=P，于是再對整個(gè)閉合面

(Σ)積分，便得區(qū)域

(V)內(nèi)可能存在的極化電荷總量的表達(dá)式若以極化電荷體密度

ρ’一量表達(dá)總電量，則這就是極化強(qiáng)度矢量場與極化電荷分布之關(guān)系的普遍表達(dá)式，可稱其為極化強(qiáng)度矢量場

P(r)的通量定理。式中的“-”號：當(dāng)閉合面的

P通量為正值，則出去的p0

數(shù)多于進(jìn)入的，于是留在(V)內(nèi)的電量應(yīng)為負(fù)值；反之，當(dāng)閉合面的P通量為負(fù)值，則進(jìn)入的p0數(shù)多于出去的，顯然這時(shí)積累于(V)內(nèi)的電量應(yīng)為正值。介質(zhì)表面極化面電荷密度公式應(yīng)用極化強(qiáng)度通量定理于如圖所示薄扁盒子(Σ)，一方面是：另一方面，扁盒子

(Σ)所包含的極化電量為:Δq’=σ’ΔS,而

P

通量定理表明

最終得到介質(zhì)表面的極化面電荷密度公式為：

該式表明，當(dāng)P

與n

之間呈銳角，θ

<π/2，則

σ’>0;

當(dāng)P

與n

之間呈鈍角，θ

>π/2，則

σ’<0;

當(dāng)P

沿表面切線方向，θ

=π/2，則

σ’=0;

σ’=

Pn，或

σ’=

Pcos

θ,

或σ’=

P·n極化強(qiáng)度矢量場的散度方程借助數(shù)學(xué)場論中的高斯定理，以及P(r)的通量定理，

遂得

稱為極化強(qiáng)度矢量的散度方程，也稱為極化體電荷密度公式。關(guān)系式均具普遍性，它們與電介質(zhì)的性能無關(guān)，亦與介質(zhì)處于怎樣的極化狀態(tài)無關(guān)。均勻極化的介質(zhì)球及其電場一介質(zhì)球被均勻極化，且當(dāng)外場撤消后仍能保持那極化狀態(tài)于體內(nèi)，設(shè)其體內(nèi)極化強(qiáng)度P

=

P0

為一常矢量。

首先考量其電荷分布。一均勻矢量場的散度處處為零，即，得ρ’=0。惟有面電荷密度σ’

分布于介質(zhì)球上，且具軸對稱性，其對稱軸為Z

軸。如此分布的面電荷分別在內(nèi)部和外部產(chǎn)生電場

Ein’、Eos’。對內(nèi)部電場

Ein’的計(jì)算較為簡單，至少在球心處和軸上的

Ein’是這樣，可借助均勻帶電圓環(huán)軸上場強(qiáng)公式，再積分而求得，

進(jìn)而，再根據(jù)介質(zhì)球體內(nèi)的靜電場通量定理可將軸上均勻電場延拓到軸外，即軸外電場線不可能彎曲?？傊鶆驑O化的介質(zhì)球伴生一均勻電場于體內(nèi)，其方向與極化強(qiáng)度P0相反，故也稱其為退極化場。其球外電場Eos’

較為復(fù)雜，其電場線類似于一電偶極子的情形，即，其球外電場為一偶極場，這之前已予以證認(rèn)：2.6

介質(zhì)的極化規(guī)律■

介質(zhì)靜電學(xué)問題全貌■

各向同性介質(zhì)的線性極化規(guī)律■

相對介電常數(shù)■

充滿介質(zhì)的平行板電容器■

導(dǎo)體/介質(zhì)界面的有效面電荷密度概念■

駐極體＆鐵電體■

討論—均勻線性介質(zhì)體內(nèi)無極化電荷介質(zhì)靜電學(xué)問題全貌靜電場與電介質(zhì)的相互作用，可概括敘述如下：在外場Eo

作用下介質(zhì)被極化，用極化強(qiáng)度矢量

P(r)描述極化狀態(tài)，極化的宏觀后果是出現(xiàn)極化電荷

(σ’,ρ’)，極化電荷同樣地按庫侖定律產(chǎn)生電場

E’(r)，總場由疊加原理給出

E=E0+E’，最終決定極化狀態(tài)的P(r)是總電場

，而不僅是外電場

E0。對于介質(zhì)體內(nèi)的分子而言，其感受到的只有一個(gè)電場力，并作出極化響應(yīng)，它自然不能分辨這一電場力究竟來自外電場，或來自極化電荷的場。如圖所示的介質(zhì)靜電學(xué)問題涉及的四個(gè)環(huán)節(jié)即四個(gè)雙邊關(guān)系，其中，P

--(σ’,ρ’)關(guān)系、(σ’,ρ’)—E’關(guān)系、E—(E0,E’)關(guān)系，業(yè)已明瞭，只留下

P—E關(guān)系尚需研究，這系介質(zhì)極化的動(dòng)力學(xué)問題，可以預(yù)料其結(jié)果即介質(zhì)的極化規(guī)律必定依賴于介質(zhì)的物性。各向同性介質(zhì)的線性極化規(guī)律

圖示為各向同性介質(zhì)其極化強(qiáng)度

P與場強(qiáng)E

的定量關(guān)系。在場強(qiáng)E

不是很大的一區(qū)域內(nèi)，兩者呈現(xiàn)線性關(guān)系，隨后呈現(xiàn)非線性關(guān)系；此后極化達(dá)到飽和狀態(tài)；若再增加場強(qiáng)必將擊穿介質(zhì)，因?yàn)镋

已超過此介質(zhì)的擊穿場強(qiáng)Ed

若無特別聲明，即本課程均以各向同性介質(zhì)遵循線性極化規(guī)律為對象展開討論，即量綱為一的系數(shù)χe

稱為電極化率，因介質(zhì)而異，是反映極化能力的一個(gè)性能參數(shù)。真空的電極化率

χe

=0；空氣，χe

=0.005。相對介電常數(shù)

在隨后的介質(zhì)靜電學(xué)公式中，將不時(shí)地出現(xiàn)因子

(1+χe)，它宛如化學(xué)反應(yīng)中的原子團(tuán)，據(jù)此定義出介質(zhì)的相對介電常數(shù).真空的相對介電常數(shù)

εr=1；空氣

εr≈1.0；相對介電常數(shù)εr

與頻率f

有關(guān)，通常情況下εr

(r)

隨f增加而減少，在靜電條件下即f=0

時(shí)其εr值最大。

定性理解：在交變電場作用下，對于介質(zhì)的位移極化或取向極化，均出現(xiàn)一個(gè)響應(yīng)或弛豫的問題，或者說，反復(fù)交變的分子有效偶極矩在介質(zhì)中受到了一個(gè)阻力或粘滯，從而減弱了宏觀上的極化強(qiáng)度P，以致電極化率

χe

值下降。充滿介質(zhì)的平行板電容器給定外場

E0，或自由電荷面密度

(±σ0)，以及相對介電常數(shù)。試求出：（1）總電場

E、電勢差

ΔU，（2）極化強(qiáng)度矢量

P、極化面電荷密度

(±σ’)，(3)此介電質(zhì)電容器的電容

C，并與其真空電容器的

C0作比較。（忽略邊緣效應(yīng)）

首先，通過定性分析和對稱性分析，可以確認(rèn)在緊貼(±σ0)極板的介質(zhì)表面上出現(xiàn)

(

σ’)極化面電荷，總場

E、外電場E0

和附加場E’三者方向均沿板面法線方向，且

P//E//E0//(-E’)，四者皆為均勻場。從而，可將一般情況下的聯(lián)立方程組（矢量方程組）：簡化為目前情形下的標(biāo)量方程組，

這里有四個(gè)未知數(shù)(

E’,E,σ’,P)，且有四個(gè)獨(dú)立方程，故其解是存在且唯一，結(jié)果為總場強(qiáng)

，電勢差

；極化面電荷密度

，極化強(qiáng)度

；介質(zhì)電容器之電容

以上結(jié)果中某些結(jié)論，具有一定的普遍性并不受限于平行板電容器。凡是充滿一種電介質(zhì)的電容器，其電容值為真空電容器的

εr

倍，即

該式為測量相對介電常數(shù)提供了一種實(shí)驗(yàn)方法，即擬可采取直流法或交流法測定電容比值

C/C0

，從而定下

εr

值。

就是說，此關(guān)系式也適用于球形電容器和柱形電容器。

比如，選擇聚乙烯材料，其

εr

為

2.3，其擊穿電場Ed為

19kV/mm，與其同樣面積和間距的空氣電容器比較，則聚乙烯電容器的電容值增加為2.3倍，尤其是耐壓提高為

6倍。若選擇二氧化鈦電容器，則其電容值增加為

80倍以上，而其耐壓也提高為

3

倍。介質(zhì)電容器的優(yōu)點(diǎn)有二：增加了電容量提高了耐壓。兩者均有利于提高電容器的儲能和增加自由電量，當(dāng)電壓給定時(shí)。或者說，兩者均有利于電容器的小型化。又一例，如圖所示，一片介質(zhì)平板斜置于均勻外場之中。

給定

E0

和

εr

，試求出σ’、E和

P，忽略邊緣效應(yīng)。先將外場

E0

作正交分解，且據(jù)此分析，列出方程組如下，求得：

這結(jié)果同時(shí)表明，P方向亦即

E方向不沿均勻外場

E0

方向，他們與法線方向

n之夾角為

θ’，滿足

可見

θ’>θ，這是因?yàn)楦郊訄?/p>

En’//(-n)，而減弱了

E0

的法向分量，即以致合成矢量

E更偏離法線

n方向。導(dǎo)體

/介質(zhì)界面的有效面電荷密度概念

在介質(zhì)靜電問題中，常出現(xiàn)導(dǎo)體與介質(zhì)密接的界面，如圖所示電容器極板間充滿介質(zhì)導(dǎo)體球之外空間充滿介質(zhì)導(dǎo)體球被同心介質(zhì)球殼所包圍導(dǎo)體球殼之部分表面與介質(zhì)密接而介質(zhì)其它表面的形狀任意。推導(dǎo)σ0

與

σ’

之間有個(gè)確定關(guān)系：解得：考慮到

εr

>1，故上式表明

σ’

與

σ0

符號相反，且|σ’

|<|σ0

|。

從宏觀電磁學(xué)眼光看，σ’

與

σ0

兩者的所有電磁效果由其代數(shù)和予以體現(xiàn)，因?yàn)檫@兩者無限貼近而成為一個(gè)面元。故在此引入有效面電荷概念，其定義為它表明有效面電荷密度與自由面電荷密度之間有一個(gè)簡單的比例關(guān)系，其比例系數(shù)正是與導(dǎo)體密接的那個(gè)介質(zhì)相對介電常數(shù)

εr

。

值得強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，上述關(guān)系式是普遍成立的，它與界面形狀、周圍環(huán)境、帶電量及分布無關(guān)；當(dāng)然它適用于各向同性的線性介質(zhì)，唯有此類介質(zhì)才存在相對介電常數(shù)

εr

。

這關(guān)系式很有用，在某些高度對稱性場合，憑借有效面電荷概念求解問題更為簡捷，而物理圖像也清晰，試看以下例題。

一導(dǎo)體球殼四周充滿介質(zhì)εr，這導(dǎo)體被充以電量Q0，試求其場強(qiáng)

E(r)。

體系具有球?qū)ΨQ性，故自由電荷

Q0均勻分布于球面上，從而極化電荷

Q’和有效電荷

Qe

也系均勻分布，唯此才能滿足導(dǎo)體球殼為等勢面的靜電平衡條件，于是，產(chǎn)生場強(qiáng)

E(r)的源電荷就是一個(gè)有效總電量為

Qe的均勻帶電球殼，且

Qe

=Q0/εr,

其相應(yīng)的場強(qiáng)分布可立馬被寫出，

若此導(dǎo)體球殼之一半表面的外部空間充滿介質(zhì)，且這介質(zhì)與空氣的界面為一個(gè)通過球心的平面

(Σ)，這導(dǎo)體球依然被充以電量

Q0，試求其場強(qiáng)

E(r)。

本題設(shè)定有效面電荷密度

σe分布均勻，在邏輯上是自洽的，是唯一正確的解。σe均勻，則

σ0不均勻；左半球設(shè)為σ10：右半球?yàn)棣?0

：且σe

=

σ10

/εr=σ20遂最終求出:駐極體&鐵電體有一種介質(zhì)，它在外電場作用下被極化，而當(dāng)外場撤銷后其原先的極化狀態(tài)依然凍結(jié)于體內(nèi)，人們稱此類介質(zhì)為駐極體。對駐極體而言，退極化效應(yīng)十分微弱，它從極化態(tài)回歸到無極化平衡態(tài)的弛豫時(shí)間非常長，一般以年為單位計(jì)之。這源于駐極體內(nèi)部，原本存在著大量的自發(fā)極化區(qū)，其極化強(qiáng)度的量級約為μC/cm2，而一般線性介質(zhì)就是在接近其擊穿場強(qiáng)的作用下，它的極化強(qiáng)度僅為10-3

μC/cm2

，即前者是后者的103

倍。

對于駐極體或駐極態(tài)，存在一個(gè)溫度上限Tc，稱為居里溫度，當(dāng)其所處溫度高于

Tc

，則駐極態(tài)不復(fù)存在。

鐵電體是一種非線性介質(zhì)，其極化規(guī)律即P-E極化曲線，表現(xiàn)為復(fù)雜的電滯性，稱該閉合曲線為電滯回線，它類似于鐵磁材料的磁滯回線。鐵電體有鈦酸鋇，鈦酸鉛，鈦酸鍶；鉭酸鋰，鉭酸鉛；鈮酸納。駐極材料也是一種非線性介質(zhì)，其電滯回線呈現(xiàn)矩形。【討論】均勻線性介質(zhì)體內(nèi)無極化電荷提示：根據(jù)以下四條：

極化強(qiáng)度矢量的散度方程▽·P=-ρ’

，

電場強(qiáng)度矢量的散度方程▽·E=ρ’/ε0

，

各向同性線性介質(zhì)的極化規(guī)律P=ε0χeE，

均勻介質(zhì)指稱其電極化率

χe

為一常數(shù)，與場點(diǎn)位置(x,y,z)無關(guān)。

最終導(dǎo)出ρ’=0

【討論】一非均勻且線性介質(zhì)其極化率函數(shù)為

試分析其極化體電荷密度

ρ’(x)將是怎樣的，設(shè)

E，P方向沿x軸，且為

E(x)、P(x)函數(shù)形式。2.7電位移矢量■引入電位移矢量■電位移矢量的通量定理■各向同性線性介質(zhì)中

D與E關(guān)系■有介質(zhì)時(shí)靜電場規(guī)律的表達(dá)式■極化體電荷密度＆有效體電荷密度概念■多層介質(zhì)電容器■討論—用有效面電荷概念求解多層介質(zhì)電容器引入電位移矢量

在介質(zhì)靜電學(xué)中，關(guān)于靜電場的通量定理和環(huán)路定理無疑是成立的，即

考量到電介質(zhì)的存在及其身上出現(xiàn)的極化電荷，上式通量定理中

Σq可以被看為兩部分，

其中，Σq’是閉合面所包圍區(qū)域中電介質(zhì)的極化電荷，Σq0

是除極化電荷以外的其它電荷。

聯(lián)系到極化強(qiáng)度矢量場的通量定理，即

可將場強(qiáng)

E通量定理中的

Σq’替換為極化強(qiáng)度

P的通量，

乘以

ε0且移項(xiàng)，得

注意到其中被積函數(shù)是一個(gè)由

(E,P)組合而成的物理量，由此定義出，或者說，由此發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的場量，稱其為電位移矢量。其單位相同于面電荷密度的單位，即電位移矢量的通量定理

這新的場量

D的物理意義，首先體現(xiàn)在其通量定理中，電位移矢量對一閉合面的通量等于這區(qū)域中所有非極化電荷的代數(shù)和若僅有電介質(zhì)和導(dǎo)體，則Σq0

就是導(dǎo)體上自由電荷的代數(shù)和；若僅有電介質(zhì)和空間電荷，則Σq0

就該是這空間電荷的代數(shù)和。在D

的通量表達(dá)式中，不出現(xiàn)極化電荷q’，極化電荷被隱藏了。

極化電荷具有束縛性，它不可傳導(dǎo)，因之不可直接測量和控制，它們總是被束縛在介質(zhì)身上；一個(gè)介質(zhì)體上所有極化電荷的代數(shù)和必定為零，即極化電荷的不可分割性。極化電荷品性內(nèi)斂與其在電位移通量定理中不被顯露，兩者倒亦相稱。各向同性線性介質(zhì)中D

與E

的關(guān)系電位移矢量

D的定義式是普遍的，它不受限于電介質(zhì)的性能

在真空中，P=0，故

在各向同性介質(zhì)中，在各向同性線性介質(zhì)中，D與

E之間是一個(gè)簡單的正比關(guān)系，其比例系數(shù)中含該介質(zhì)的相對介電常數(shù)

εr

，而將全系數(shù)稱

ε

=εrε0

為該介質(zhì)的介電常數(shù)。關(guān)系式不適用于非線性介質(zhì)。對于各向異性的線性介質(zhì)而言，其體內(nèi)

D與

E之方向可以不一致，它們的線性關(guān)系由一個(gè)介電張量予以刻畫，而非目前的一個(gè)標(biāo)量（介電常數(shù)）。有介質(zhì)時(shí)靜電場規(guī)律的表達(dá)式

在介質(zhì)靜電學(xué)中靜電場的基本規(guī)律常表達(dá)為:微分方程在某些高度對稱性的場合，憑借電位移通量定理式由

Σq0方便地求解得

D(r)，再立馬求得

E(r)和

U(r)；這一求解途徑避開了對極化電荷

Σq’和極化強(qiáng)度

P的具體分析，顯得簡捷而抽象。極化體電荷密度&有效體電荷密度概念

以均勻各向同性線性介質(zhì)為對象，討論介質(zhì)體內(nèi)極化電荷問題。采取微分方程考量：均勻介質(zhì)，εr

為一常數(shù)，與場點(diǎn)位置

(x,y,z)無關(guān)

，有又根據(jù)場強(qiáng)E的散度方程，最后求出：對于一般電介質(zhì)而言，ρ0

=0，故

ρ’

=0，即，不可能出現(xiàn)極化體電荷，而極化面電荷總是要出現(xiàn)的，即使該介質(zhì)處于非均勻極化

P(x,y,z)，也是如此，ρ’

為零。對于某些摻雜的電介質(zhì)，其體內(nèi)可能存在大量且離散的摻雜離子，則ρ0

就是局域離子電荷體密度，或看作介質(zhì)中離子電荷的平均體密度，此時(shí)介質(zhì)便響應(yīng)一個(gè)與符號相反的極化體電荷ρ’

，以削弱對外部空間的電效應(yīng)，起了一個(gè)部分屏蔽作用，最終以有效體電荷密度ρe

給以體現(xiàn)，其數(shù)值等于

ρ0除以

εr。結(jié)果也可以推廣到點(diǎn)電荷模型，當(dāng)一點(diǎn)電荷

q置于一均勻各向同性線性介質(zhì)

εr中，則其對外部的電效應(yīng)由一電量為

qe=q/εr的點(diǎn)電荷來等效。

ρ’

為該處極化體電荷密度；

ρ0

為該處非極化電荷體密度。多層介質(zhì)電容器

先考量充滿單一介質(zhì)的球形電容器。該體系具有對稱性，即

D(r)或E(r)

方向沿矢徑

r，且數(shù)值僅與

r有關(guān)，于是，應(yīng)用電位移通量定理于半徑為

r的球面，

為了進(jìn)一步提高電容器的耐壓值，可填充多層介質(zhì)。其間電位移

D(r)依然為:

而對于場強(qiáng)

E(r)應(yīng)當(dāng)分區(qū)求其解：【討論】試用導(dǎo)體/介質(zhì)界面有效面電荷概念，求解多層介質(zhì)電容器，并給出R2

球面上的極化電量值。【提示】三個(gè)球面上的電荷分布分別為R1

球面：Q0，

，即;R2

球面：(-Q1’)，

(-Q2’)

，即

R3

球面：(-Q0)，

，即

2.8

靜電場的邊值關(guān)系■邊值關(guān)系的理論地位■界面兩側(cè)的物理圖像■靜電場邊值關(guān)系■場邊值關(guān)系包含的細(xì)致內(nèi)容■例題——駐極體薄片■例題——一個(gè)介質(zhì)球在均勻外場中■小結(jié)——介質(zhì)靜電學(xué)基本規(guī)律■討論——一駐極體球在均勻介質(zhì)中邊值關(guān)系的理論地位

在兩種介質(zhì)交界面之兩側(cè)，其場量

D或

E將有突變，這源于那界面上存在極化面電荷。物理學(xué)上總是將電磁場的積分方程轉(zhuǎn)化為微分方程來求解。然而，對于介質(zhì)分區(qū)均勻這類通常情況，場在界面處的突變，使微商運(yùn)算失靈，即微分方程在邊界失去意義，而代之以邊值關(guān)系。場在界面的邊值關(guān)系與場在體內(nèi)遵循的微分方程，兩者的結(jié)合，再加上可能存在的實(shí)際邊界條件，電磁場才能最終被定解。

場邊值關(guān)系的理論地位是與體內(nèi)場之微分方程平等的，兩者均由普遍的通量定理和環(huán)路定理的積分方程導(dǎo)出。頗有意思的是，在某些場合單憑場邊值關(guān)系就能對問題作出有效的回答，對定解的正誤作出可靠的判斷?？傊斫獠⒄莆請鲞呏店P(guān)系，在理論上和實(shí)用上都有重要意義。界面兩側(cè)的物理圖像

以宏觀電磁學(xué)眼光看，這介質(zhì)界面是一個(gè)無厚度的幾何面，所謂界面兩側(cè)特指無限接近界面且分居兩側(cè)的兩個(gè)場點(diǎn)。設(shè)一外電場

E0

連續(xù)地通過界面，在其作用下，左側(cè)介質(zhì)

ε1r在界面上任一處貢獻(xiàn)極化面電荷

σ1’>0，而右側(cè)介質(zhì)

ε2r在界面上同一處貢獻(xiàn)極化面電荷

σ2’>0。因兩種介質(zhì)有不同的極化能力，以致此處有效面電荷密度

σe

=σ1’

+σ2’≠0

；比如當(dāng)ε1r

>

ε2r，則

σe

<0。這極化面電荷在兩側(cè)產(chǎn)生的附加場是反向突變的，一側(cè)為

E’，另一側(cè)為

(-E’)。于是，按場強(qiáng)疊加原理，這兩處的總場分別為

E1=E0+(-E’)，E2

=E0+(-E’)，兩者方向顯然有異，即經(jīng)界面場強(qiáng)發(fā)生偏折，或者說，界面兩側(cè)場有突變。靜電場邊值關(guān)系

應(yīng)用電位移通量定理，忽略其側(cè)面的電通量：

應(yīng)用電場環(huán)路定理，忽略其窄邊的環(huán)量:

靜電場