第一章幾何光學的近軸理論

第一章

幾何光學的近軸理論幾何光學的基本定律費馬定理成像

球面成像

薄透鏡成像光學儀器1.1幾何光學的基本定律一

、幾何光學三個基本實驗定律1.光的直線傳播定律在真空或均勻介質中，光沿直線傳播。PQ如果介質是非均勻的，則光的傳播將會發(fā)生偏折，即不再沿著一條直線傳播。但是，總可以設法發(fā)現(xiàn)光傳播的路徑，這條路徑是折線或曲線。根據(jù)這一事實，也可以得出這樣的結論，既然在媒質中，光總是沿直線、折線、或曲線傳播，那么就可以用一條幾何上的線來描述和研究光的傳播，這就是“光線”。2.光的獨立傳播定律自不同方向或不同物體發(fā)出的光線相交，對每一光線的獨立傳播不發(fā)生影響。3.光的反射律和折射定律物觀察者（接收器）平面鏡擋板光的反射定律反射光在入射面內(nèi)界面入射面光的反射定律1）反射光在入射面內(nèi)2）反射角等于入射角光的折射定律介質2介質1分界面物像只與兩種介質有關，折射率折射光在入射面內(nèi)Snell定律界面入射面光的色散一束平行的白光（復色光）從一種媒質（例如真空或空氣）射入另一種媒質時，只要入射角不等于0，不同顏色的光在空間散開來。說明不同顏色的光具有不同的折射角，即不同的折射率。二、光路可逆原理上述實驗定律都反映了光路的可逆性光線如果沿原來反射和折射方向入射時，則相應的反射和折射光將沿原來的入射光的方向。如果物點Q發(fā)出的光線經(jīng)光學系統(tǒng)后在Q′點成像，則Q′點發(fā)出的光線經(jīng)同一系統(tǒng)后必然會在Q點成像。即物像之間是共軛的。QQ′三、全反射有可能但所以，當時，折射光實際上不存在，只有反射光這種情況就是全反射，也稱全內(nèi)反射

全反射臨界角光線從光密介質射向光疏介質，折射角比入射角大入射角滿足就會出現(xiàn)全反射出現(xiàn)全反射的最小入射角稱作全反射臨界角

全反射棱鏡倒轉棱鏡屋脊形五棱鏡波羅組合棱鏡光纖定義：光線路徑的幾何長度與所經(jīng)過的

介質折射率的乘積。變折射率介質：同一均勻介質：光具組：1.2Fermat原理一、光程費馬（Fermat）原理：兩點間光的實際路徑，是光程平穩(wěn)的路徑。（1679年）二、費馬原理平穩(wěn)值的三種基本的含義：極小值常見情況，常數(shù)成像系統(tǒng)的物像關系極大值個別現(xiàn)象*費馬原理的數(shù)學表達式路徑積分：是路徑（l）的函數(shù)，平穩(wěn)值要求變分為零，原理與定律可以由Fermat原理導出幾何光學的實驗定律所以可以說，F(xiàn)ermat原理是更基本的一般來說，任何一門學科，都有著無法證明的（指從理論上無法證明）最基本的假設，這就是原理，是這一學科所建立的基礎。三、由費馬原理推導三個實驗定律1、光在均勻介質中直線傳播要點：反射光線在入射面，反射角等于入射角，光程最短。QQ’MM’PM”2、反射定律一、同心光束從同一點發(fā)出（更多的情形是由于反射或散射出）的或匯聚到同一點的光線束，稱為同心光束。

從光線的性質看，物上的每一個物點都發(fā)出同心光束，而像點都由同心光束會聚得到。1.3成像物和像都是由一系列的點構成的，物點

和像點一一對應（幾何光學上稱作物像

共軛）成像的最基本條件是要滿足同心光束的

不變性。從整個物和像的對應關系看，還必須要

滿足物像間的相似性?？臻g上，各個點之間的相互位置要一一

對應，同時每一對物像點的顏色要一一

對應。要求成像的光學系統(tǒng)不產(chǎn)生畸變，沒有

像差、色差、像散、慧差，……等等。在平面反射的情形下，物與像點點對應，所以平面鏡可以嚴格成像。平面鏡是唯一可以嚴格成像的光學元件。二、光具組若干反射面或折射面組成的光學系統(tǒng)。光軸：光具組的對稱軸理想光具組精確成像的必要條件是物上一點與像上一點對應。使同心光束保持其同心性不變的光具組為理想光具組理想光具組是成像的必要條件三、實物與虛物，實像與虛像發(fā)出同心光束的物點，為實物點；物方同心光束延長后匯聚所成的點，為虛物點。光具組物方像方實物虛物實物光具組光具組經(jīng)過光具組后的同心光束，匯聚在像方形成的點，為實像點；像方發(fā)散的同心光束反向延長后匯聚的點，為虛像點。像方物方實像虛像光具組光具組實物成實像實物成虛像虛物成實像虛物成虛像光具組光具組光具組光具組“虛光線”與“虛像”光線并沒有進入平面的下方所以，像點并不是真實光線匯聚而成的而是視覺上將反射光線反向延長后匯聚形成的因而，反射光線的反向延長線就是“虛光線”，這樣形成的像就是“虛像”。虛光程按照費馬原理，物像之間應該是等光程的上式對任意方向光線成立的條件為等式的值為0則平面下方的折射率為虛光線的光程稱作虛光程

四、物方和像方物點所在的空間為物方空間像點所在的空間為像方空間物像物方空間像方空間物與像的共軛性物方與像方不僅一一對應，而且根據(jù)光路可逆原理，如果將發(fā)光點從物點移到像點，并使光線從反方向入射光具組，他的像將成在原來的物點上。這樣一一對應的物點和像點，稱為共軛點五、物像之間的等光程性

物點Q與像點Q′之間的光程總是平穩(wěn)的，即不管光線經(jīng)何路徑，凡是由Q通過同樣的光學系統(tǒng)到達Q′的光線，都是等光程的。等光程與成像：嚴格等光程嚴格成像近似等光程近似成像非等光程不成像1.4近軸光在單球面上的成像從Q點發(fā)出的光線QM折射后變?yōu)镸Q′一、軸上物點成像

在△QMC1和△Q′MC1中分別應用余弦公式Φ不同，s′不同，即從Q點發(fā)出的同心光束不能保持同心性欲使折射光線保持同心性，必須(1)滿足近軸（傍軸）條件，即折射球面的光焦度

或者(2)沒有意義只有這就是平面鏡平行光入射

像方焦距，像點Q′所在位置為像方焦點

折射光為平行光

物方焦距，物點Q所在位置為物方焦點

Gauss公式

二、軸外物點成像相當于光軸繞球心旋轉滿足近軸條件時，圓弧變?yōu)橹本€。像的橫向放大率焦點與焦平面

平行于光軸的入射光線經(jīng)過球面折射后，匯聚于像方焦點。由于單球面有無數(shù)個光軸，所以，凡是相互平行的入射光線，經(jīng)折射后，都匯聚于與入射光線平行的光軸的像方焦點上。所有這些像方的焦點構成一個球面。在傍軸條件下，上述像方焦點可以看作是處于一個平面上，這就是折射球面的像方焦平面即：相互平行的入射光線都匯聚于像方焦平面上的同一點。同樣，可以得到并定義物方焦平面，從該平面上一點發(fā)出的所有光線，經(jīng)折射后，在像方為相互平行的光線物方焦平面像方焦平面折射球面的光學參數(shù)物方焦距像方焦距物方焦點像方焦點物方焦平面像方焦平面折射球面的光學性質根據(jù)這些光學參數(shù)，可以得到任意一條光線的共軛光線光焦度與焦距的討論顯然，上述三個物理量既可以是正值，也可以是負值。若r>0，n′<n，f，f′<0；r<0，n′>n，f，f′<0?？梢钥闯觯叫泄馊肷?，折射光發(fā)散。反向延長后，會聚點在物方，即f′<0表示像方焦點位于物方。由于物、像間的共軛關系，f<0表示物方焦點位于像方。焦距為負值，表示像方焦點實際上在物方，物方焦點實際上在像方。由于焦距也是像距或物距，所以，如果物點位于像方（虛物），則其物距為負值；像點在物方（虛像），則其像距為負值。虛物，物距為負值虛像，像距為負值例題一束匯聚光射向折射球面，如果將入射光線延長，則匯聚在P點處，求這束光經(jīng)球面折射后實際的匯聚點。解法1，用作圖法。解法二，用計算法將物距以P點到球面的距離的負值帶入即可（1）物方和像方：以光線入射的方向作為物方，另一方為像方。（2）球面曲率中心在像方，其曲率半徑r>0；球面曲率中心物方，r<0。（3）物點在物方，物距s>0；物點像方，物距s<0。（4）像點在像方，像距s′>0；像點在物方，像距s′<0。三、幾何光學的符號約定（5）線段在主光軸之上，y>0；線段在主光軸之下，y<0。（6）角度自主光軸或球面法線算起，逆時針方向為正，順時針方向為負。（8）對于反射球面，其物方和像方位于球面同一側。（7）圖中所標均為絕對值，對于是負值的參數(shù)，應在其前面加上負號。由折射球面物像公式推導反射球面物像公式折射球面Gauss公式

凸面鏡凹面鏡對于實物，總是在焦點內(nèi)側成正立縮小虛像可以成實像或放大的虛像四、符號約定下像的橫向放大率公式五、Lagrange-Helmhotz恒等式對光線的角放大率為

Lagrange-Helmhotz恒等式

由于可得到1.5薄透鏡成像一、

薄透鏡由兩個折射球面組成，過兩球面圓心的直線為光軸，頂點間距d。就是薄透鏡，通?？梢钥梢哉J為，兩球面頂點重合，稱為光心，記為O。如果滿足二、薄透鏡成像公式1．用逐次成像法推導

薄透鏡的光焦度物在像方，虛物第一次成像第二次成像物方焦距

像方焦距

2．薄透鏡的焦點與焦平面磨鏡者公式

空氣中的薄透鏡物方焦距物方焦點像方焦距像方焦點物方焦平面像方焦平面光心光軸兩側折射率相等，通過光心的光線方向不變薄透鏡的光學參數(shù)與光學特性三、正透鏡與負透鏡焦距為正值的透鏡是正透鏡；焦距為負值的透鏡是負透鏡。正透鏡的像方焦點在像方；負透鏡的像方焦點在物方。正透鏡使入射的平行光匯聚在像方焦點；負透鏡使入射的平行光發(fā)散?？諝庵?，中間厚邊緣薄的透鏡是正透鏡；中間薄邊緣厚的透鏡是負透鏡。從Fermat原理看，這是很自然的結果。圖示Gauss物像公式距離從光心算起Newton物像公式

Newton物像公式距離從焦平面算起四、像的橫向放大率

總放大率為兩次成像的放大率的乘積

第二次成像，是虛物成像五、Lagrange-Helmhotz恒等式

Lagrange-Helmhotz恒等式依然成立

三對共軛的特殊光線平行于光軸的入射光線←→經(jīng)過像方焦點的光線經(jīng)過物方焦點的光線←→平行于光軸的像方光線經(jīng)過透鏡光心的入射光線←→經(jīng)過透鏡光心的像方光線1.6薄透鏡作圖法物方平行光線，匯聚于像方焦平面同一點一、正透鏡作圖法來自物方焦平面上同一點的光線，在像方為平行光線利用經(jīng)過透鏡光心的光線像方焦點物方焦點像方焦平面物方焦平面平行于光軸的入射光線←→經(jīng)過像方焦點的光線經(jīng)過物方焦點的光線←→平行于光軸的像方光線經(jīng)過透鏡光心的入射光線←→經(jīng)過透鏡光心的像方光線二、負透鏡作圖法像方焦點物方焦點像方焦平面物方焦平面平行入射光匯聚于像方焦平面同一點像方焦點物方焦點像方焦平面物方焦平面經(jīng)過物方焦點的光線在像方平行于光軸像方焦點物方焦點像方焦平面物方焦平面經(jīng)過物方焦平面同一點的光線，在像方相互平行將物經(jīng)第一個透鏡的所成的像作為第二個透鏡的物，再次進行成像，逐個進行。三、透鏡組的逐次成像作圖法只要第一鏡的像處于第二鏡的物方，對于第二鏡來說都是實物經(jīng)過L1成虛像，但對于L2來說，是實物逐次成像法過程中物和像的虛實性像本身的虛實性，與作為物的虛實性，沒有關系L1的實像，對于L2來說，是虛物只要第一鏡的像處于第二鏡的像方，對于第二鏡來說都是虛物。如果將上述第一透鏡的像作為第二透鏡的實物處理，則會得到錯誤的結果另一種作法虛像作為物在第二鏡的物方則為實物，在第二鏡的像方則為虛物。四、透鏡組的逐次成像計算法對第一個透鏡用成像公式計算，確定像的位置將該像作為第二個透鏡的物，再次進行成像，依次逐個進行。如果像是下一個透鏡的實物，則直接應用公式進行計算；如果是虛物，則其物距是負值。例：

L1和L2為薄透鏡，L1的焦距為4cm，L2材料的折射率為1.5，球面半徑為12cm，球面上鍍有反射膜。L1和L2間距為10cm，物在前5.6cm處，求Q點最后成像的位置。L2的焦距為(1)經(jīng)L1，像距為(2)再經(jīng)L2成像共有5次成像10cm凹面鏡焦距為(3)經(jīng)球面反射鏡(4)反射光經(jīng)L2成像(5)再經(jīng)L1成像1.7幾何光學儀器一、人眼明視距離人眼所見的，都是視網(wǎng)膜上所成的實像無論是實物、實像、還是虛像，經(jīng)過眼睛后，都在視網(wǎng)膜上成實像。示意眼空氣角膜晶狀體視網(wǎng)膜玻璃液水狀液d(mm)n角膜0.51.376水狀液3.11.336晶狀體3.61.386玻璃液17.21.336r(mm)7.76.810.0-6.0-9.7

簡化眼等效于一個可變焦距的凸透鏡。視網(wǎng)膜到光心的距離等于眼睛對無窮遠處聚焦時的像方焦距。二、放大鏡是一種目鏡，作用是成一放大的虛像，便于眼睛觀察?？梢酝ㄟ^比較y′與y得到放大鏡對物體的放大率，也可以比較它們對眼睛張角的變化得到角放大率三、目鏡目鏡用在光學儀器上，作用與放大鏡相似，都是成一個眼睛可直接觀察的虛像。通常都與物鏡結合使用，觀察物鏡所成的實像?；莞鼓跨R冉斯登目鏡接目鏡向場鏡四、顯微鏡具有高放大倍數(shù)的光學儀器由物鏡組和目鏡組構成RobertHooke'smicroscopemicroscope物鏡目鏡顯微鏡光路與原理顯微鏡的角放大率顯微鏡的角放大率An1879CarlZeissJenaOpticalmicroscopeStereomicroscopeScientistusingastereomicroscopeoutfittedwithadigitalimagingpick-upSoviet-mademiniature2.5×17.5monocular.The100inch(2.5m)HookerreflectingtelescopeatMountWilsonObservatorynearLosAngeles,California.TheHubbleSpaceTelescopeasseenfromSpaceShuttleDiscoveryduringitssecondservicingmission五、望遠鏡用于觀察遠處物體，將物體對眼睛的張角擴大，相當于在近處成一縮小的實像，再通過目鏡觀察?！尢幬?，對物鏡的張角ω很小Kepler望遠鏡Galileo望遠鏡Parameterslistedontheprismcoverplatedescribinga7powermagnificationbinocularwitha50mmObjectivediameteranda372footFieldofviewat1000yards.波羅組合棱鏡，使實像倒轉為正像目鏡物鏡雙筒望遠鏡波羅組合棱鏡Abbe-Koenig"roofprism"designDoublePorroprismdesign六、照相機單鏡頭反光照相機Single