經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)建模

第二章微分方程與差分方程模型模型一利率模型一、單利模型設(shè)年利率為r,初始資金量為S0,n年后資金量為Snn年后的本利和為二、復(fù)利模型1、離散型復(fù)利模型每年結(jié)算一次，n年后的本利和為每年結(jié)算m次，n年后的本利和為2、連續(xù)型復(fù)利模型連續(xù)結(jié)算（瞬時(shí)結(jié)算），n年后的本利和為三、現(xiàn)值模型1、單利現(xiàn)值模型若n年后的資金量是Sn,則初期的資金量為在現(xiàn)值模型中，年利率r也稱為折現(xiàn)率2、復(fù)利現(xiàn)值模型每年折現(xiàn)一次，若n年后的資金是Sn,則初期的資金為每年折現(xiàn)m次，若n年后的資金量是Sn,則初期的資金量為連續(xù)折現(xiàn),若n年后的資金量是Sn,則初期的資金量為模型二生豬出售問(wèn)題飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)使當(dāng)前80千克重的生豬每天增加2公斤。問(wèn)題市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售。如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤(rùn)20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價(jià)格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤(rùn)Q=R-C=pw-C生豬的增長(zhǎng)速度r=2，若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640收購(gòu)價(jià)格降低速度g=0.1敏感性分析研究r,g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響估計(jì)r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對(duì)r的（相對(duì)）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時(shí)間推遲3%。rt敏感性分析估計(jì)r=2，g=0.1研究r,g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響設(shè)r=2不變t對(duì)g的（相對(duì)）敏感度生豬價(jià)格每天的降低量g增加1%，出售時(shí)間提前3%。gt模型三森林救火問(wèn)題森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用可能更大。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問(wèn)題分析問(wèn)題記隊(duì)員人數(shù)x,失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,時(shí)刻t森林燒毀面積B(t).

損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù),由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小

關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問(wèn)題分析失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,畫出時(shí)刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費(fèi)）1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢(shì)蔓延速度）2）t1tt2,降為-x

(為隊(duì)員的平均滅火速度）4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2,一次性費(fèi)用c3假設(shè)1）的解釋rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計(jì),

c3,x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費(fèi),c2~每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi),c3~每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用,t1~開始救火時(shí)刻,~火勢(shì)蔓延速度,~每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.

,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)量x

c1,t1,

x模型四產(chǎn)品銷售問(wèn)題（擴(kuò)展）一、獨(dú)家耐用產(chǎn)品銷售模型

一種耐用新產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)后，一般會(huì)經(jīng)過(guò)一個(gè)銷售量先增加，然后下降的過(guò)程，稱為產(chǎn)品的生命周期，簡(jiǎn)記為PLC。PLC曲線可能有若干種情況，其中有一種為鐘型，建立數(shù)學(xué)模型分析此現(xiàn)象。問(wèn)題分析商品信息傳播一般有兩個(gè)途徑：消費(fèi)者外部信息:廣告、親眼看到商品等。消費(fèi)者內(nèi)部信息:部分人使用并有所評(píng)價(jià),使周圍人了解到有關(guān)產(chǎn)品信息。

由于是耐用消費(fèi)品，所以一般不會(huì)重復(fù)購(gòu)買，故產(chǎn)品累計(jì)銷售量可以認(rèn)為是購(gòu)買者人數(shù)。建模與求解

設(shè)K為潛在的消費(fèi)者總數(shù)。n(t)為t時(shí)刻購(gòu)買該產(chǎn)品的人數(shù)，在[t,t+Δt]中，Δn由兩部分組成，Δn1是由來(lái)自消費(fèi)者外部的產(chǎn)品信息導(dǎo)致的購(gòu)買者增量；Δn2

是由來(lái)自消費(fèi)者內(nèi)部傳播的產(chǎn)品信息導(dǎo)致的購(gòu)買者增量。

⊿n1應(yīng)與未購(gòu)買者人數(shù)成正比，即

⊿n2應(yīng)與已購(gòu)買者人數(shù)、未購(gòu)買者人數(shù)之積成正比，即

（a，b>0為比例系數(shù)）

在[t,t+Δt]中，Δn總數(shù)為所以銷售量的數(shù)學(xué)模型為:其曲線即為PLC曲線，它的圖形為鐘型。

二、兩家競(jìng)爭(zhēng)的銷售模型假設(shè)1、兩家企業(yè)銷售同一種商品，而市場(chǎng)容量是有限的，設(shè)t時(shí)刻的市場(chǎng)容量為M(t).2、設(shè)N(t)是t時(shí)刻市場(chǎng)的潛在銷量，分別是甲廠和乙廠的銷量。3、甲、乙兩廠銷量的變化率都與潛在的市場(chǎng)銷量N(t)成正比。建立模型將（1）、（2）兩式相除并兩端積分：將上式代入（3），再代入（1），得不妨假設(shè)市場(chǎng)容量函數(shù)為tt0M(t)解得其中都是常數(shù)。由此可見，甲、乙兩廠的銷售模型是同一類型。同理模型五最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c,每臺(tái)電視機(jī)的銷售價(jià)格為p,銷售量為x。假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量。根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),銷售量x與銷售價(jià)格p之間有如下關(guān)系：其中M為市場(chǎng)最大需求量，a是價(jià)格系數(shù)。同時(shí)，生產(chǎn)部門根據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對(duì)每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本c有如下測(cè)算：其中c0是只生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本,k是規(guī)模系數(shù)。根據(jù)上述條件，應(yīng)該如何確定電視機(jī)的銷售價(jià)格p,

才能使該廠獲得最大利潤(rùn)？分析：在生產(chǎn)和銷售商品過(guò)程中，商品銷售量、生產(chǎn)成本與銷售價(jià)格是相互影響的。廠商只有選擇合理的銷售價(jià)格最優(yōu)價(jià)格,才能獲得最大利潤(rùn)。設(shè)廠家獲得的利潤(rùn)為u,每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本為c,銷售價(jià)格為p,銷售量為x,則利潤(rùn)函數(shù)為

u=(p-c)x(3)問(wèn)題變化為在條件(1)(2)下求