經(jīng)濟數(shù)學建模

第二章微分方程與差分方程模型模型一利率模型一、單利模型設年利率為r,初始資金量為S0,n年后資金量為Snn年后的本利和為二、復利模型1、離散型復利模型每年結算一次，n年后的本利和為每年結算m次，n年后的本利和為2、連續(xù)型復利模型連續(xù)結算（瞬時結算），n年后的本利和為三、現(xiàn)值模型1、單利現(xiàn)值模型若n年后的資金量是Sn,則初期的資金量為在現(xiàn)值模型中，年利率r也稱為折現(xiàn)率2、復利現(xiàn)值模型每年折現(xiàn)一次，若n年后的資金是Sn,則初期的資金為每年折現(xiàn)m次，若n年后的資金量是Sn,則初期的資金量為連續(xù)折現(xiàn),若n年后的資金量是Sn,則初期的資金量為模型二生豬出售問題飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設備，估計使當前80千克重的生豬每天增加2公斤。問題市場價格目前為每千克8元，但是預測每天會降低0.1元，問生豬應何時出售。如果估計和預測有誤差，對結果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤Q=R-C=pw-C生豬的增長速度r=2，若當前出售，利潤為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640收購價格降低速度g=0.1敏感性分析研究r,g變化時對模型結果的影響估計r=2，g=0.1設g=0.1不變t對r的（相對）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時間推遲3%。rt敏感性分析估計r=2，g=0.1研究r,g變化時對模型結果的影響設r=2不變t對g的（相對）敏感度生豬價格每天的降低量g增加1%，出售時間提前3%。gt模型三森林救火問題森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用可能更大。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。問題分析問題記隊員人數(shù)x,失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,時刻t森林燒毀面積B(t).

損失費f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費f2(x)是x的增函數(shù),由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小

關鍵是對B(t)作出合理的簡化假設.問題分析失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉而討論森林燒毀速度dB/dt.模型假設3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費）1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度）2）t1tt2,降為-x

(為隊員的平均滅火速度）4）每個隊員的單位時間滅火費用c2,一次性費用c3假設1）的解釋rB火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.模型建立b0t1tt2假設1）目標函數(shù)——總費用假設3）4）假設2）模型應用c1,c2,c3已知,t1可估計,

c3,x

結果解釋c1~燒毀單位面積損失費,c2~每個隊員單位時間滅火費,c3~每個隊員一次性費用,t1~開始救火時刻,~火勢蔓延速度,~每個隊員平均滅火速度.

,可設置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)量x

c1,t1,

x模型四產(chǎn)品銷售問題（擴展）一、獨家耐用產(chǎn)品銷售模型

一種耐用新產(chǎn)品進入市場后，一般會經(jīng)過一個銷售量先增加，然后下降的過程，稱為產(chǎn)品的生命周期，簡記為PLC。PLC曲線可能有若干種情況，其中有一種為鐘型，建立數(shù)學模型分析此現(xiàn)象。問題分析商品信息傳播一般有兩個途徑：消費者外部信息:廣告、親眼看到商品等。消費者內部信息:部分人使用并有所評價,使周圍人了解到有關產(chǎn)品信息。

由于是耐用消費品，所以一般不會重復購買，故產(chǎn)品累計銷售量可以認為是購買者人數(shù)。建模與求解

設K為潛在的消費者總數(shù)。n(t)為t時刻購買該產(chǎn)品的人數(shù)，在[t,t+Δt]中，Δn由兩部分組成，Δn1是由來自消費者外部的產(chǎn)品信息導致的購買者增量；Δn2

是由來自消費者內部傳播的產(chǎn)品信息導致的購買者增量。

⊿n1應與未購買者人數(shù)成正比，即

⊿n2應與已購買者人數(shù)、未購買者人數(shù)之積成正比，即

（a，b>0為比例系數(shù)）

在[t,t+Δt]中，Δn總數(shù)為所以銷售量的數(shù)學模型為:其曲線即為PLC曲線，它的圖形為鐘型。

二、兩家競爭的銷售模型假設1、兩家企業(yè)銷售同一種商品，而市場容量是有限的，設t時刻的市場容量為M(t).2、設N(t)是t時刻市場的潛在銷量，分別是甲廠和乙廠的銷量。3、甲、乙兩廠銷量的變化率都與潛在的市場銷量N(t)成正比。建立模型將（1）、（2）兩式相除并兩端積分：將上式代入（3），再代入（1），得不妨假設市場容量函數(shù)為tt0M(t)解得其中都是常數(shù)。由此可見，甲、乙兩廠的銷售模型是同一類型。同理模型五最優(yōu)價格問題設某電視機廠生產(chǎn)一臺電視機的成本為c,每臺電視機的銷售價格為p,銷售量為x。假設該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機的生產(chǎn)量等于銷售量。根據(jù)市場預測,銷售量x與銷售價格p之間有如下關系：其中M為市場最大需求量，a是價格系數(shù)。同時，生產(chǎn)部門根據(jù)對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對每臺電視機的生產(chǎn)成本c有如下測算：其中c0是只生產(chǎn)一臺電視機的成本,k是規(guī)模系數(shù)。根據(jù)上述條件，應該如何確定電視機的銷售價格p,

才能使該廠獲得最大利潤？分析：在生產(chǎn)和銷售商品過程中，商品銷售量、生產(chǎn)成本與銷售價格是相互影響的。廠商只有選擇合理的銷售價格最優(yōu)價格,才能獲得最大利潤。設廠家獲得的利潤為u,每臺電視機的生產(chǎn)成本為c,銷售價格為p,銷售量為x,則利潤函數(shù)為

u=(p-c)x(3)問題變化為在條件(1)(2)下求