第10章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算基礎(chǔ)

基本要求：熟練掌握單自由度體系自由振動(dòng)的計(jì)算(微分方程的建立、求解、自振周期和自振頻率的計(jì)算）；了解單自由度體系強(qiáng)迫振動(dòng)的計(jì)算；了解兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)的計(jì)算。教學(xué)內(nèi)容：﹡動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度

﹡單自由度體系的自由振動(dòng)

﹡單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)

﹡兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)

第10章

結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算基礎(chǔ)1.動(dòng)力荷載與靜力荷載靜力荷載是指大小、方向和作用位置不隨時(shí)間變化或變化很小的荷載。這類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力較小因而可以忽略不計(jì)，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定的。動(dòng)力荷載是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力較大因而不能忽略，由它所引起的內(nèi)力和變形都是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。§10.1

動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度一、動(dòng)力荷載的概念及分類區(qū)別：靜力荷載只與作用位置有關(guān)，而動(dòng)力荷載的變化是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。

（1）周期荷載——隨時(shí)間作周期性變化2.動(dòng)力荷載的分類確定性非確定性（隨機(jī)荷載）周期荷載非周期荷載P(t)t簡(jiǎn)諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）Pt一般周期荷載簡(jiǎn)諧荷載：最簡(jiǎn)單的周期荷載，隨時(shí)間按正弦或余弦規(guī)律變化。如機(jī)器轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)就會(huì)產(chǎn)生這種荷載。非簡(jiǎn)諧荷載：按其它規(guī)律周期性變化的荷載。如平穩(wěn)情況下波浪對(duì)堤壩的動(dòng)水壓力；輪船螺旋槳產(chǎn)生的推力等。突加荷載：突然施加在結(jié)構(gòu)上并保持不變的荷載，如施工中吊起重物的卷?yè)P(yáng)機(jī)突然開動(dòng)時(shí)施加于鋼絲繩上的荷載。沖擊荷載：短時(shí)間內(nèi)劇增或劇減P(t)ttrPtrP(t)tPP(t)tP突加荷載（2）非周期荷載沖擊荷載：在很短時(shí)間內(nèi)，荷載值急劇增大或減小，如各種爆炸荷載、打樁機(jī)的錘頭對(duì)樁柱的沖擊等。（3）隨機(jī)荷載——荷載有很大的隨意性，任一時(shí)刻的數(shù)值無(wú)法確定，如地震荷載、風(fēng)荷載、海浪對(duì)堤岸、碼頭的沖擊等。1.地震作用下建筑結(jié)構(gòu)的震動(dòng)；二、常見的動(dòng)力問題2.風(fēng)荷載作用下大型橋梁、高層結(jié)構(gòu)的振動(dòng)；3.機(jī)器轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的不平衡力引起的大型機(jī)器基礎(chǔ)的振動(dòng)；4.車輛運(yùn)行中由于路面不平順引起的車輛振動(dòng)及車輛引起的路面振動(dòng)；5.爆炸荷載作用下防護(hù)工事的沖擊動(dòng)力反應(yīng)；6.海洋工程結(jié)構(gòu)在波浪、冰凌、臺(tái)風(fēng)等動(dòng)力荷載作用下的反應(yīng)等等，量大而面廣。三、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)1.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的主要特征由于荷載隨時(shí)間變化較快，所產(chǎn)生的慣性力不容忽視。因此，考慮慣性力的影響是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的最主要特征。

達(dá)朗伯原理：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)上的所有的主動(dòng)力、約束反力與虛加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上構(gòu)成一平衡力系（即主動(dòng)力、約束反力和質(zhì)點(diǎn)的慣性力的矢量和等于零）。動(dòng)靜法：根據(jù)達(dá)朗伯原理，動(dòng)力計(jì)算問題可以轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題來(lái)求解，這種方法稱為動(dòng)靜法。2.結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的原理和方法靜力計(jì)算靜力平衡方程荷載、約束力、內(nèi)力、位移是不隨時(shí)間變化的常量動(dòng)力計(jì)算動(dòng)力平衡方程荷載、約束力、內(nèi)力、位移是隨時(shí)間變化的函數(shù)引進(jìn)慣性力（達(dá)朗伯原理）瞬時(shí)的靜力平衡問題3.靜力計(jì)算與動(dòng)力計(jì)算的區(qū)別動(dòng)力平衡的特點(diǎn)：與靜力平衡不同，動(dòng)力平衡只是形式上的平衡，是在引進(jìn)慣性力條件下的平衡。（1）在所考慮的力系中要包括慣性力；（2）所謂的平衡是瞬間的平衡，荷載、內(nèi)力、位移、速度、加速度等都是時(shí)間的函數(shù)。慣性力：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受力作用而改變其原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，由于質(zhì)點(diǎn)的慣性產(chǎn)生對(duì)外界反抗的反作用力稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力。慣性力的方向與加速度方向相反，大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積。注意：質(zhì)點(diǎn)的慣性力并不是質(zhì)點(diǎn)本身受到的力，而是質(zhì)點(diǎn)作用于施力物體上的力。m運(yùn)動(dòng)方程施力物體慣性力m形式上的平衡方程，實(shí)質(zhì)上的運(yùn)動(dòng)方程。由牛頓第二定律可得牛頓第二定律：質(zhì)點(diǎn)受外力作用時(shí)，將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)加速度，加速度的方向與外力合力方向一致，其大小與合力的大小成正比，與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比。即在動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)（動(dòng)內(nèi)力、動(dòng)位移等）都隨時(shí)間變化，它除與動(dòng)力荷載的變化規(guī)律有關(guān)外，還與結(jié)構(gòu)的固有特性（自振頻率、振型和阻尼）有關(guān)。不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下具有相同的反應(yīng)?？梢?，結(jié)構(gòu)的固有特性能確定動(dòng)力荷載下的反應(yīng)，故稱之為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。4．動(dòng)力反應(yīng)的特點(diǎn)5．結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的目的

研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的反應(yīng)規(guī)律，找出動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)內(nèi)力和最大動(dòng)位移，為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1940年美國(guó)西海岸華盛頓州建成了一座當(dāng)時(shí)位居世界第三的Tacoma大橋，大橋中央跨距為853米，為懸索橋結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)可以抗60米/秒的大風(fēng)，但不幸的是大橋剛建成四個(gè)月就在19米/秒的小風(fēng)吹拂下整體塌毀。其根本原因在于風(fēng)旋渦脫落的頻率與懸索橋板的固有頻率一致，從而產(chǎn)生了強(qiáng)烈的共振。因此盡管橋塌毀的這天風(fēng)并不是很大，但卻吹垮了整座大橋。強(qiáng)迫振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。研究結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動(dòng)，可得到結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)。四、自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在沒有動(dòng)荷載作用時(shí)，由初速度、初位移所引起的振動(dòng)。研究結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)，可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。五、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度1.動(dòng)力自由度的定義確定體系運(yùn)動(dòng)過程中任一時(shí)刻全部質(zhì)量位置所需的獨(dú)立幾何參數(shù)數(shù)目，稱為體系的動(dòng)力自由度。動(dòng)力問題的基本特征是需要考慮慣性力，根據(jù)達(dá)朗伯原理，慣性力與質(zhì)量和加速度有關(guān)，這就要求分析質(zhì)量分布和質(zhì)量位移，所以，動(dòng)力學(xué)一般將質(zhì)量位移作為基本未知量。2.動(dòng)力自由度簡(jiǎn)化方法嚴(yán)格意義上講，實(shí)際結(jié)構(gòu)都是具有分布質(zhì)量的彈性體，是無(wú)限自由度體系。實(shí)際結(jié)構(gòu)動(dòng)力自由度簡(jiǎn)化方法有：應(yīng)用中存在的問題：（1）計(jì)算復(fù)雜，有時(shí)甚至無(wú)法求解；

（2）從工程角度沒有必要。故，為計(jì)算方便，實(shí)際結(jié)構(gòu)通常簡(jiǎn)化為有限自由度體系。集中質(zhì)量法廣義坐標(biāo)法有限單元法根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為單自由度體系，多自由度體系和無(wú)限自由度體系。將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定的力學(xué)原則集中到若干幾何點(diǎn)上，使結(jié)構(gòu)只在這些點(diǎn)上有質(zhì)量，除這些點(diǎn)之外物體是無(wú)質(zhì)量的。從而把一個(gè)無(wú)限自由度問題簡(jiǎn)化為有限自由度問題。（1）集中質(zhì)量法本章主要討論集中質(zhì)量法。

（2）廣義坐標(biāo)法---廣義坐標(biāo)---滿足位移邊界條件的形狀函數(shù)

（3）有限元法綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法的特點(diǎn),將實(shí)際結(jié)構(gòu)離散為有限個(gè)單元的集合，以結(jié)點(diǎn)位移作為廣義坐標(biāo)，將無(wú)限自由度問題化為有限自由度問題。廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)即為自由度個(gè)數(shù)結(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)即為自由度個(gè)數(shù)m>>m梁my(t)1個(gè)質(zhì)點(diǎn)1個(gè)自由度廠房排架水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖EIEI2EImy(t)1個(gè)質(zhì)點(diǎn)1個(gè)自由度2個(gè)質(zhì)點(diǎn)2個(gè)自由度1個(gè)質(zhì)點(diǎn)2個(gè)自由度說明：自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)數(shù)目不一定相等?？偨Y(jié)：動(dòng)力計(jì)算中的自由度數(shù)目與結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目和結(jié)構(gòu)的幾何組成無(wú)關(guān)。y(x,t)x無(wú)限自由度體系y1y23.自由度的確定1)平面上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)W=22)

W=2彈性支座不減少動(dòng)力自由度3)

計(jì)軸變時(shí)W=2不計(jì)軸變時(shí)W=1為減少動(dòng)力自由度，梁與剛架不計(jì)軸向變形。4)

W=15)

W=2W=1自由度數(shù)與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，但不大于質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍。6)W=28)平面上的一個(gè)剛體W=39)彈性地面上的平面剛體W=3W=210)

7)

θW=111)

13)

W=13自由度為1的體系稱作單自由度體系；自由度大于1的體系稱作多（有限）自由度體系;自由度無(wú)限多的體系為無(wú)限自由度體系。W=312)

y1y2y3結(jié)論：

①結(jié)構(gòu)動(dòng)力自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)②結(jié)構(gòu)動(dòng)力自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無(wú)關(guān)考慮軸向變形后各計(jì)算簡(jiǎn)圖的動(dòng)力自由度數(shù)是多少？思考：

自由振動(dòng)的概念：體系在振動(dòng)過程中沒有動(dòng)荷載的作用。自由振動(dòng)產(chǎn)生原因：體系在初始時(shí)刻（t=0）受到外界的干擾，由初位移或初速度引起。1）很多實(shí)際的動(dòng)力問題都可按單自由度體系進(jìn)行動(dòng)力分析或進(jìn)行初步估算。hy(t)§10.2單自由度體系的自由振動(dòng)（不計(jì)阻尼）

單自由度體系的自由振動(dòng)分析的必要性：2）單自由度體系自由振動(dòng)的分析是單自由度體系受迫振動(dòng)和多自由度振動(dòng)分析的基礎(chǔ)。要掌握單自由度體系的動(dòng)力反應(yīng)的規(guī)律，必須首先建立其運(yùn)動(dòng)方程。下面介紹建立在達(dá)朗伯原理基礎(chǔ)上的“動(dòng)靜法”。

分析自由振動(dòng)的目的：確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（自振頻率、自振周期）。一、自由振動(dòng)微分方程的建立單自由度體系的自由振動(dòng)及相應(yīng)的彈簧-質(zhì)量模型如圖示。以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，在t時(shí)刻，質(zhì)量m的位移為y(t)。1.剛度法建立平衡方程：（以質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象）取質(zhì)量m為隔離體，作用在隔離體上的力：慣性力與加速度方向相反。動(dòng)平衡方程：彈性力-ky(t)與位移方向相反；（10-1）y(t)mk(a)my(t)mky(t)(b)(c)2.柔度法建立位移方程：（以結(jié)構(gòu)整體為研究對(duì)象）質(zhì)量m在t

時(shí)刻的位移y(t)是由此時(shí)作用在質(zhì)量上的慣性力產(chǎn)生的，位移方程為：

(a)單自由度體系：

(b)式（10－1）或（a）稱為單自由度體系自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程（微分方程）。y(t)mk=mk×將（b）代入（a）整理后，即為（10-1）式。對(duì)單自由度體系來(lái)說：上式可用功的互等定理加以證明：mkmk根據(jù)功的互等定理，有：二、自由振動(dòng)微分方程的解單自由度體系自由振動(dòng)微分方程寫為：

（10－2）式中：

其通解為：

當(dāng)初始條件二階齊次線性常微分方程式（10－3）還可寫成：（10－4）式中：（10－5）不計(jì)阻尼時(shí)，單自由度體系的自由振動(dòng)是由初位移和初速度引起的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。方程的解：（10－3）三、結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率

由式（10－4）：y(t)是周期函數(shù)－自振周期（固有周期）－自振頻率（固有頻率）1.結(jié)構(gòu)自振周期和自振頻率的各種等價(jià)計(jì)算公式

理解這些公式各符號(hào)的含義，由其中一個(gè)公式便可得到其他公式。自振頻率和周期的計(jì)算方法：(1)利用計(jì)算公式(2)利用機(jī)械能守恒（能量法）2.結(jié)構(gòu)自振周期T（或自振頻率ω）的性質(zhì)

（1）自振周期只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外部干擾因素?zé)o關(guān)，它是結(jié)構(gòu)本身固有的特性；干擾力的大小只能影響振幅。（2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，與剛度的平方根成反比，改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度可改變其自振周期。（3）自振周期是結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)很重要的數(shù)量標(biāo)志。不管實(shí)際結(jié)構(gòu)是否相同，若自振周期相同，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)也相同。3.簡(jiǎn)諧自由振動(dòng)的特性

位移：

加速度：

慣性力：

位移與慣性力作同頻同步振動(dòng)。1mEIla—位移幅值（最大值）maω2—慣性力最大值4.算例

例1.求圖示體系的自振頻率和自振周期。解：圖示結(jié)構(gòu)體系雖有兩個(gè)質(zhì)量，但它們沿同一直線（水平方向）運(yùn)動(dòng)，故仍為單自由度體系。如圖（b）示，作圖柔度系數(shù)自振頻率

自振周期例2．圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為m，柱質(zhì)量不計(jì),求其自振頻率。解：不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。作圖，求出剛度系數(shù)自振頻率

例3．求圖示體系的自振頻率。

解：（1）求各質(zhì)點(diǎn)處的慣性力幅值，作體系的受力圖

設(shè)該體系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角的幅值為。當(dāng)位移達(dá)到幅值時(shí)，質(zhì)量2m

和m上的慣性力也同時(shí)達(dá)到幅值。（2）在幅值處列出動(dòng)平衡方程，求體系自振頻率由此求得

慣性力：

在質(zhì)點(diǎn)2m處最大慣性力：

在質(zhì)點(diǎn)m處最大慣性力：

例4.求圖示體系的自振頻率和周期.解:mlmmlllkk1.能量法2.列幅值方程A例5.求圖示體系的自振頻率和周期。mEIlEIl=1=1ll/2l解:例6.質(zhì)點(diǎn)重W，求體系的頻率和周期.解:EIkl1k§10.3單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)（不計(jì)阻尼）強(qiáng)迫振動(dòng)——結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)，也叫受迫振動(dòng)。一.強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程mEIlP(t)運(yùn)動(dòng)方程或（10－11）式中結(jié)構(gòu)的自振頻率式（10－11)為單自由度體系強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。單自由度體系在動(dòng)荷載下的振動(dòng)及相應(yīng)的振動(dòng)模型如圖示:二階線性非齊次常微分方程通解：mEIlP(t)P

——荷載幅值——荷載頻率運(yùn)動(dòng)方程先求方程特解：

代入方程,可得二、簡(jiǎn)諧荷載作用下的受迫振動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)方程的建立及求解齊次解：通解為：荷載幅值作為靜荷載所引起的最大靜位移積分常數(shù)由初始條件確定，設(shè)在t=0時(shí)的初位移和初速度均為零，則得運(yùn)動(dòng)方程的解為：（10－12）式（10-12）中第一項(xiàng)為動(dòng)荷載引起的振動(dòng);第二項(xiàng)為初始條件引起的自由振動(dòng)。實(shí)際上，由于阻尼的存在，自由振動(dòng)部分都很快衰減掉。自由振動(dòng)消失前的振動(dòng)階段稱為過渡階段。后來(lái)只按荷載頻率進(jìn)行的振動(dòng)階段為振動(dòng)的平穩(wěn)階段，稱為純受迫振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。2.穩(wěn)態(tài)振動(dòng)分析穩(wěn)態(tài)振動(dòng)階段運(yùn)動(dòng)方程的解：最大動(dòng)位移：動(dòng)力系數(shù)：（10－13）（1）動(dòng)位移的討論動(dòng)力系數(shù)是頻率比的函數(shù),它反映了干擾力與動(dòng)位移之間的關(guān)系。

當(dāng)時(shí)，即動(dòng)位移與干擾力指向一致；當(dāng)時(shí)，即動(dòng)位移與干擾力指向相反。1）

干擾力產(chǎn)生的動(dòng)力作用不明顯，因此可當(dāng)作靜荷載處理。當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)。極限情況，即或，則。意味著結(jié)構(gòu)為剛體或荷載不隨時(shí)間變化，因此不存在振動(dòng)問題。

2）共振為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率,使或。體系處于靜止?fàn)顟B(tài)3）為減函數(shù)通過改變頻比可增加或減小振幅。若要使振幅降低,應(yīng)采取何種措施?應(yīng)使頻率比減小，增加結(jié)構(gòu)的自振頻率，增大剛度，減小質(zhì)量；（2）降低振幅的措施：

－頻率比應(yīng)使頻率比增大，減小結(jié)構(gòu)的自振頻率，減小剛度，增大質(zhì)量。3.動(dòng)位移幅值（振幅）和動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算（1）計(jì)算動(dòng)力系數(shù)；（2）計(jì)算動(dòng)荷載幅值作為靜荷載作用時(shí)引起的位移和內(nèi)力；（3）將位移和內(nèi)力分別乘以動(dòng)力系數(shù)得動(dòng)位移幅值和動(dòng)內(nèi)力幅值。計(jì)算步驟：例1.求圖示體系振幅和動(dòng)彎矩幅值圖，已知mEIEIlPl/4解：

Pl/3動(dòng)彎矩幅值圖例2.求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移。解：

Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4最大動(dòng)位移最大動(dòng)彎矩跨中最大彎矩跨中最大位移4.動(dòng)荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)的計(jì)算m=1=1令P運(yùn)動(dòng)方程穩(wěn)態(tài)解（2）列幅值方程求最大動(dòng)內(nèi)力（動(dòng)內(nèi)力幅值）同頻同步變化仍是位移動(dòng)力系數(shù)是內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)嗎?（1）求振幅——最大動(dòng)位移（動(dòng)位移幅值A(chǔ)）根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅，算出慣性力。然后，將慣性力幅值和干擾力幅值同時(shí)作用在體系上，按靜力學(xué)計(jì)算方法便可求得動(dòng)內(nèi)力幅值。——最大靜位移解:例1.求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖.已知mEIl/2l/2PP=1=1P動(dòng)彎矩幅值圖解:例2.求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅。mlmkllAPo(a)(b)(c)例3.求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖.已知解：(1)計(jì)算動(dòng)力系數(shù)

(2)簡(jiǎn)支梁的振幅(d)l/4(e)3l/16(3)作動(dòng)彎矩的幅值圖。(f)l/4(d)l/4(e)3l/16采用沖量方法首先討論瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)，在此基礎(chǔ)上討論一般動(dòng)力荷載下的動(dòng)力反應(yīng)。1.瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。由于荷載作用時(shí)間極短，可以認(rèn)為在沖擊荷載作用完畢的瞬間，體系的位移仍為零。但沖擊荷載有沖量，可以使處于靜止?fàn)顟B(tài)的質(zhì)點(diǎn)獲得速度而引起自由振動(dòng)。

思考：體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移還是速度？

三、一般動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)根據(jù)動(dòng)量定律，質(zhì)點(diǎn)在瞬時(shí)沖量F·Δt作用下的動(dòng)量變化為:由于v0=0，

所以有原來(lái)初位移、初速度為零的體系,在沖擊荷載作用后的瞬間,變成了初位移為零,初速度為的自由振動(dòng)問題。由(10-14)得若沖擊荷載不是在t＝0，而是在t=τ時(shí)作用，則上式中的t應(yīng)改為(t-τ)。由式(10-14)可得在t=τ

時(shí)作用瞬時(shí)沖量S引起的動(dòng)力反應(yīng)：(10-14)2.一般動(dòng)力荷載F(t)的動(dòng)力反應(yīng)把整個(gè)加載過程看成是由一系列瞬時(shí)沖量所組成的。在時(shí)刻t=τ

作用的荷載為F(t)，此荷載在微分時(shí)段dτ內(nèi)產(chǎn)生的沖量為dS=F(t)·dτ

。根據(jù)式(10-14)，此微分沖量引起的動(dòng)力反應(yīng)為：對(duì)加載過程中產(chǎn)生的微分反應(yīng)進(jìn)行疊加，得出總反應(yīng)如下：——稱為杜哈梅(Duhamel)積分。

(10-15)§14-5

單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)

（1）基本思路：視為一系列瞬時(shí)沖量連續(xù)作用下響應(yīng)的總和Δttτt't't0t瞬時(shí)沖量tP(t)tτ(Duhamel積分)初始位移y0和初始速度v0不為零t時(shí)刻τ的微分沖量對(duì)t瞬時(shí)(t>τ)引起的動(dòng)力反應(yīng)：微分沖量（2）一般動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng)杜哈梅積分初始位移y0和初始速度v0為零（1）突加荷載P(t)tPoysty(t)ωt0π2π3π質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng)ystyst舉例說明：動(dòng)力系數(shù)：3.幾種常見動(dòng)力荷載下的動(dòng)力反應(yīng)（2）短時(shí)荷載

P(t)tPou

1）方法一：階段Ⅰ

(0﹤t﹤u)同突加荷載：直接采用

Duhamel

積分階段Ⅱ

(t>u)：P(t)tPou階段Ⅱ

(t>u)：體系以作自由振動(dòng)。

2）方法二：利用突加荷載結(jié)論，分段討論。階段Ⅰ

(0﹤t﹤u)同突加荷載：

3）方法三：由兩個(gè)突加荷載疊加而成。P(t)tPP(t)tPu1)當(dāng)0<ｔ<u2)當(dāng)ｔ>uP(t)tPuy(t)ωt0π2π3π討論主要針對(duì)u展開ystT/21）當(dāng)u>T/2，最大動(dòng)位移發(fā)生在階段Ⅰ2）當(dāng)0<u<T/2，最大動(dòng)位移發(fā)生在階段Ⅱβ1/611/22動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜β(T,u)最大動(dòng)反應(yīng)的求解：（3）線性漸增荷載P(t)tP0tr對(duì)于這種線性漸增荷載，其動(dòng)力反應(yīng)與升載時(shí)間tr的長(zhǎng)短有很大的關(guān)系。P(t)tP0tr01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0β動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜β(T，tr)討論：β與tr的關(guān)系例.

有一重物Q=2kN從20cm高處落到梁的中點(diǎn)，求梁的最大彎矩。已知梁的自重為W=20kN，I=36×104cm4,E=34×102kN/cm2。20cmQ3m3mW’解：結(jié)構(gòu)在瞬時(shí)沖量作用下的動(dòng)方程：重物與地面接觸時(shí)的速度為：沖量為：1）求沖量：結(jié)構(gòu)的最大位移：其中：2）求頻率：等效靜荷載：將梁的重量一半作用在梁的中間，一半作用在梁的兩邊?？缰凶畲髲澗兀嚎缰凶畲笪灰疲?0cmQ3m3mW’（1）因結(jié)構(gòu)特征必須簡(jiǎn)化為多自由度體系多層房屋、不等高排架等（2）為滿足計(jì)算精度的要求煙囪、高聳建筑物等

基本方法剛度法：柔度法：按結(jié)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)條件建立運(yùn)動(dòng)方程按質(zhì)量的力平衡條件建立運(yùn)動(dòng)方程§10.5雙自由度體系的自由振動(dòng)（不計(jì)阻尼）

一、剛度法(以質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)根據(jù)達(dá)郎伯原理，可列出方程：（a）(c)12y1(t)y2(t)1.建立自由振動(dòng)微分方程是質(zhì)點(diǎn)受到的彈力,與位移方向相反。12y1(t)y2(t)=121×+121×由上圖，可列出方程：（b）把（b）代入（a），可列出自由振動(dòng)微分方程：（10-38）微分方程：設(shè)解為：（1）（2）把（1）式、（2）式代入微分方程：可求得：2.求自振頻率頻率方程或（特征方程）：齊次線性方程組：自振頻率：非零解較小的第一頻率（基頻），為第二頻率。（10-39）（10-40）（10-41）則，用剛度系數(shù)表示的主振型為：兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的頻率相同，二者比值保持不變，即結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式稱為主振型。3.主振型第一振型或基本振型第二振型（1）結(jié)論(1)在多自由度體系自由振動(dòng)問題中，主要問題是確定體系的全部自振頻率及其相應(yīng)的主振型。(2)多自由度體系自振頻率不止一個(gè)，其個(gè)數(shù)與體系自由度的個(gè)數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。(3)每個(gè)自振頻率有自己相應(yīng)的主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度振動(dòng)時(shí)所具有的特定形式。(4)與單自由度體系相同，多自由度體系的自振頻率和主振型也是體系本身的固有性質(zhì)。二、柔度法(以結(jié)構(gòu)整體為研究對(duì)象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)12=×+(c)12×根據(jù)疊加原理，可列出方程如下：（10-44）1.建立自由振動(dòng)微分方程微分方程：設(shè)解為：（1）（2）把（1）式、（2）式代入微分方程：可求得：2.求自振頻率齊次線性方程組：（10-45）即：主振型的位移幅值等于主振型慣性力幅值作用下產(chǎn)生的靜力位移。12Y1Y2式（10-45）還可寫成下式來(lái)表達(dá)：頻率方程或（特征方程）：齊次線性方程組：非零解（10-46）令頻率方程：則自振圓頻率為：較小的第一頻率（基頻），為第二頻率。（10-47）則用柔度系數(shù)表示的主振型為：3.主振型第一振型第二振型（1）（10-48a）（10-48b）三、主振型的正交性m1m2運(yùn)動(dòng)方程：按振動(dòng)時(shí)：位移與加速度同時(shí)達(dá)到最大，因此可以看作是最大慣性力產(chǎn)生的靜位移。1.作自由振動(dòng)時(shí)，體系上承受的是慣性力2.功的互等定理1212在梁上先作用P1,再作用P2,整個(gè)過程中體系做的功為：在梁上先作用P2,再作用P1,整個(gè)過程中體系做的功為：

1號(hào)力在2號(hào)力引起的位移上做的功功的互等定理2號(hào)力在1號(hào)力引起的位移上做的功3.主振型的正交性用功的互等定理來(lái)證明：第一主振型第二主振型功的互等定理整理得：第一正交關(guān)系虛功1虛功2Y1(1)Y2(1)m1m2m1m2Y1(2)Y2(2)如何解釋正交性？利用第一正交關(guān)系1)同乘虛功1＝02)同乘虛功2＝0這表明體系在振動(dòng)過程中，各主振型的能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到其他主振型上，也不會(huì)引起其他主振型的振動(dòng)。因此，各主振型能單獨(dú)存在而不相互干擾。例1.設(shè)圖示剛架橫梁剛度為無(wú)限大，質(zhì)量集中在橫梁上，且m1=m2=m,試求剛架水平振動(dòng)時(shí)的自振動(dòng)