2022屆河北南和一中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則（）A．2 B．3 C．-2 D．-32．《周易》是我國(guó)古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化．如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中“”表示一個(gè)陽(yáng)爻，“”表示一個(gè)陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為（）A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位4．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．5．一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，構(gòu)成新的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若存在使得，則（）A．10 B．11 C．12 D．137．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C．-1 D．08．函數(shù)在上的圖象大致為()A． B．C． D．9．已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)11．黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長(zhǎng)點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過(guò)社會(huì)化平臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門(mén)進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫(huà)出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門(mén)的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．12．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為_(kāi)_____.14．已知雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.15．從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，要求男生中的甲和乙不能同時(shí)參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）16．某校高三年級(jí)共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)（滿分分），已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)均不低于分，將這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分組如下：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是________（填序號(hào)）．①；②這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠韵碌娜藬?shù)為；③這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)約為；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書(shū)九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為“鱉臑”.在如圖所示的陽(yáng)馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點(diǎn)O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點(diǎn)D），交PC于N（異于點(diǎn)C）.（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫(xiě)出它每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知關(guān)于的不等式有解.（1）求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，，均為正實(shí)數(shù)，且滿足.證明：.19．（12分）已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a20．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且，．（1）求的值；（2）若求的面積．21．（12分）已知橢圓，左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使成立，說(shuō)明理由.22．（10分）2019年6月，國(guó)內(nèi)的運(yùn)營(yíng)牌照開(kāi)始發(fā)放.從到，我們國(guó)家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時(shí)間，完成了技術(shù)上的飛躍，躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對(duì)的消費(fèi)意愿，2019年8月，從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，樣本中各類(lèi)用戶分布情況如下：用戶分類(lèi)預(yù)計(jì)升級(jí)到的時(shí)段人數(shù)早期體驗(yàn)用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學(xué)生升級(jí)時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為套餐支付更多的費(fèi)用作比較，可得出下圖的關(guān)系（例如早期體驗(yàn)用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的）.（1）從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率；（2）從樣本的早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）2019年底，從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐，能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用戶的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上，求出b的值，即得解.【詳解】因?yàn)?，所以所以，又也在直線上，所以，解得所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2．C【解析】

分類(lèi)討論，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦中取一個(gè)，再取沒(méi)有陽(yáng)爻的坤卦，計(jì)算滿足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數(shù)是；僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦，沒(méi)有陽(yáng)爻的是坤卦，此時(shí)取兩卦滿足條件的種數(shù)是，于是所求的概率．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類(lèi)討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到，結(jié)合圖像變換知識(shí)得到答案.【詳解】由圖象知：，∴.又時(shí)函數(shù)值最大，所以.又，∴，從而，，只需將的圖象向左平移個(gè)單位即可得到的圖象，故選C.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求，一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求．4．A【解析】

先利用最高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A，再根據(jù)求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結(jié)合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問(wèn)題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問(wèn)題要注意結(jié)合五點(diǎn)法作圖求解.屬于中檔題.5．D【解析】

試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個(gè)角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點(diǎn)：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算.6．D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由，，構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得：又所以時(shí)，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

由函數(shù)，求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由題意函數(shù)，則，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問(wèn)題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以，在直角中，因?yàn)?，所以，設(shè)外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計(jì)算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.10．C【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.【詳解】由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2，0)上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示．令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，則結(jié)合圖象可知，解得a∈[－3，0)，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的最值，屬于?？碱}型.11．D【解析】根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門(mén)的發(fā)展有顯著效果，故選D．12．A【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得和的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得，由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，.由題意知，所以，.因?yàn)?所以,所以.所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過(guò)三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖：此四棱錐的高為，底面是長(zhǎng)為，寬為2的矩形，所以體積.所以本題答案為.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體與三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力.解決本類(lèi)題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷.14．【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，右準(zhǔn)線方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求解即可．【詳解】解：雙曲線的右準(zhǔn)線，漸近線，雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)，交點(diǎn)在拋物線上，可得：，解得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查，屬于基礎(chǔ)題．15．1【解析】

由排列組合及分類(lèi)討論思想分別討論：①設(shè)甲參加，乙不參加，②設(shè)乙參加，甲不參加，③設(shè)甲，乙都不參加，可得不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，得解．【詳解】①設(shè)甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，②設(shè)乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，③設(shè)甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為5，綜合①②③得：不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合及分類(lèi)討論思想，準(zhǔn)確分類(lèi)及計(jì)算是關(guān)鍵，屬中檔題．16．②③【解析】

由頻率分布直方圖可知，解得，故①不正確；這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠韵碌娜藬?shù)為，故②正確；設(shè)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為，則，解得，故③正確；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為，故④不正確．綜上，說(shuō)法正確的序號(hào)是②③．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）證明見(jiàn)解析，是，，，，；（2）【解析】

（1）根據(jù)是球的直徑，則，又平面，得到，再由線面垂直的判定定理得到平面，，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理得到平面.（2）以A為原點(diǎn)，，，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，解得，得到，從而得到，然后求得平面的一個(gè)法向量，代入公式求解.【詳解】（1）因?yàn)槭乔虻闹睆?，則，又平面，∴，.∴平面，∴，∴平面.根據(jù)證明可知，四面體是鱉臑.它的每個(gè)面的直角分別是，，，.（2）如圖，以A為原點(diǎn)，，，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，.M為中點(diǎn)，從而.所以，設(shè)，則.由，得.由得，即.所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由.取，，，得到.記與平面所成角為θ，則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18．（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意，只需找到的最大值即可；（2），構(gòu)造并利用基本不等式可得，即.【詳解】（1），∴的最大值為4.關(guān)于的不等式有解等價(jià)于，（?。┊?dāng)時(shí)，上述不等式轉(zhuǎn)化為，解得，（ⅱ）當(dāng)時(shí)，上述不等式轉(zhuǎn)化為，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，則實(shí)數(shù)的最大值為3，即.（2）證明：根據(jù)（1）求解知，所以，又∵，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，∴，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式中的能成立問(wèn)題以及綜合法證明不等式問(wèn)題，是一道中檔題.19．(I)an=2n-1，bn=【解析】

(I)直接利用等差數(shù)列，等比數(shù)列公式聯(lián)立方程計(jì)算得到答案.(II)n2【詳解】(I)a1=b解得d=2q=3，故an=2n-1(II)n=14+【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.20．（1）3（2）78【解析】試題分析：（1）由兩角和差公式得到，由三角形中的數(shù)值關(guān)系得到，進(jìn)而求得數(shù)值；（2）由三角形的三個(gè)角的關(guān)系得到，再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.解析：（1）在中，由，得為銳角，所以，所以，所以.（2）在三角形中,由，所以，由，由正弦定理,得，所以的面積.21．（1）（2）存在；詳見(jiàn)解析【解析】

（1）由橢圓的性質(zhì)得，解得后可得，從而得橢圓方程；（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為，代入橢圓方程，整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入＝0由恒成立問(wèn)題可求得．驗(yàn)證斜率不存在時(shí)也適合即得．【詳解】解：（1）由題易知解得，所以橢圓方程為（2）設(shè)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為與橢圓方程聯(lián)立得，顯然所以因?yàn)榛?jiǎn)解得即所以此時(shí)存在定點(diǎn)滿足題意當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然也滿足綜上所述，存在定點(diǎn)，使成立【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問(wèn)題中的定點(diǎn)問(wèn)題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法．設(shè)而不求思想方法是直線與圓錐曲線相交問(wèn)題中常用方法，只要涉及交點(diǎn)坐標(biāo)，一般就用此法．22．（1）（2）詳見(jiàn)解析（3）事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性