2023年全國碩士研究生考試考研數(shù)學(xué)一試題真題（含答案詳解）

年全國碩士研究生招生考試《數(shù)學(xué)一》真題試卷【完整版】一、選擇題：1～10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請將所選選項前的字母填在答題卡指定位置。1．曲線的漸近線方程為（）。A．y＝x＋eB．y＝x＋1/eC．y＝xD．y＝x－1/e2．已知微分方程式y(tǒng)′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，則（）。A．a(chǎn)＜0，b＞0B．a(chǎn)＞0，b＞0C．a(chǎn)＝0，b＞0D．a(chǎn)＝0，b＜03．設(shè)函數(shù)y＝f（x）由確定，則（）。A．f（x）連續(xù)，f′（0）不存在B．f′（0）存在，f′（x）在x＝0處不連續(xù)C．f′（x）連續(xù)，f′′（0）不存在D．f′′（0）存在，f′′（x）在x＝0處不連續(xù)4．已知an＜bn（n＝1，2，...），若級數(shù)與均收斂，則“級數(shù)絕對收斂”是“絕對收斂”的（）。A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件5．已知n階矩陣A，B，C滿足ABC＝0，E為n階單位矩陣，記矩陣，，的秩分別為γ1，γ2，γ3，則（）。A．γ1≤γ2≤γ3B．γ1≤γ3≤γ2C．γ3≤γ1≤γ2D．γ2≤γ1≤γ36．下列矩陣中不能相似于對角矩陣的是（）。A．B．C．D．7．已知向量，若γ既可由α1，α2線性表示，也可由與β1，β2線性表示，則γ＝（）。A．B．C．D．8．設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則E（|X－EX|）＝（）。A．1/eB．1/2C．2/eD．19．設(shè)X1，X2，...，Xn為來自總體N（μ1，σ2）的簡單隨機樣本，Y1，Y2，...，Ym為來自總體N（μ2，2σ2）的簡單隨機樣本，且兩樣本相互獨立，記，則（）。A．B．C．D．10．設(shè)X1，X2為來自總體N（μ，σ2）的簡單隨機樣本，其中σ（σ＞0）是未知參數(shù)，若為σ的無偏估計，則a＝（）。A．B．C．D．二、填空題：11～16小題，每小題5分，共30分。11．當(dāng)x→0時，函數(shù)f（x）＝ax＋bx2＋ln（1＋x）與是等價無窮小，則ab＝.12．曲面z＝x＋2y＋ln（1＋x2＋y2）在點（0，0，0）處的切平面方程為.13．設(shè)f（x）為周期為2的周期函數(shù)，且f（x）＝1－x，x∈[0，1]，若，則＝.14．設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f（x＋2）－f（x）＝x，，則＝.15．已知向量，γ＝k1α1＋k2α2＋k3α3，若γTαi＝βTαi（i＝1，2，3），則k12＋k22＋k33＝.16．設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X～B（1，1/3），Y～B（2，1/2）則P{X＝Y(jié)}＝.三、解答題：17～22小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本題滿分10分）設(shè)曲線y＝y(tǒng)（x）（x＞0）經(jīng)過點（1，2），該曲線上任一點P（x，y）到y(tǒng)軸的距離等于該點處的切線在y軸上的截距.（1）求y（x）；（2）求函數(shù)在（0，＋∞）上的最大值.18．（本題滿分12分） 求函數(shù)f（x，y）＝（y－x2）（y－x3）的極值.19．（本題滿分12分） 設(shè)空間有界區(qū)域Ω中，柱面x2＋y2＝1與平面z＝0和x＋z＝1圍成，Σ為Ω邊界的外側(cè)，計算曲面積分.20．（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)f（x）在[－a，a]上具有2階連續(xù)倒數(shù)，證明：（1）若f（x）＝0，則存在ξ∈（－a，a）使得；（2）若f（x）在（－a，a）內(nèi)取得極值，則存在η∈（－a，a），使得.21．（本題滿分12分） 已知二次型f（x1，x2，x3）＝x12＋2x22＋2x32＋2x1x2－2x1x3，g（y1，y2，y3）＝y(tǒng)12＋y22＋y32＋2y2y3。（1）求可逆變換x＝Py，將f（x1，x2，x3）化為g（y1，y2，y3）；（2）是否存在正交變換x＝Qy，將f（x1，x2，x3）化為g（y1，y2，y3）。22．（本題滿分12分） 設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為（1）求X與Y的方差；（2）求X與Y是否相互獨立；（3）求Z＝X2＋Y2的概率密度.答案及解析一、選擇題：1～10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請將所選選項前的字母填在答題卡指定位置。1．【答案】B【解析】所以斜漸近線方程為y＝x＋1/e．2．【答案】C【解析】微分方程y′′＋ay′＋by＝0的特征方程為λ2＋aλ＋b＝0，當(dāng)Δ＝a2－4b＞0時，特征方程有兩個不同的實根λ1，λ2，則λ1，λ2至少有一個不等于零，若C1，C2都不為零，則微分方程的解在（－∞，＋∞）無界；當(dāng)Δ＝a2－4b＝0時，特征方程有兩個相同的實根λ1，2＝－a/2，若C2≠0，則微分方程的解在（－∞，＋∞）無界；當(dāng)Δ＝a2－4b＜0時，特征方程的根為，則通解為，此時，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，則a＝0，再由Δ＝a2－4b＜0，知b＞0.3．【答案】C【解析】t≥0時，，得；t＜0時，，得y＝－xsinx；綜上，，從而由，得y′（0）＝0；于是，得y′連續(xù)；又由，得y′′（0）不存在.4．【答案】A【解析】由條件知為收斂的正項級數(shù)，進而絕對收斂；設(shè)絕對收斂，則由|bn|＝|bn－an＋an|≤|bn－an|＋|an|與比較判別法，得絕對收斂；設(shè)絕對收斂，則由|an|＝|an－bn＋bn|≤|bn－an|＋|bn|與比較判別法，得絕對收斂.5．【答案】B【解析】因初等變換不改變矩陣的秩，，，，故選（B）.6．【答案】D【解析】選項（A）矩陣的特征值為三個不同特征值，所以必可相似對角化；選項（B）矩陣為實對稱矩陣，所以必可相似對角化；選項（C）矩陣特征值為1，2，2，二重特征值的重數(shù)2＝3－r（C－2E），所以必可相似對角化；選項（D）矩陣特征值為1，2，2，二重特征值的重數(shù)2≠3－r（D－2E），所以不可相似對角化.故選（D）.7．【答案】D【解析】設(shè)r＝x1α1＋x2α2＝y(tǒng)1β1＋y2β2則x1α1＋x2α2－y1β1－y2β2＝0又故（x1，x2，y1，y2）T＝c（－3，1，－1，1）T，c∈R所以r＝－cβ1＋cβ2＝c（－1，－5，－8）T＝－c（1，5，8）T＝k（1，5，8）T，k∈R8．【答案】C【解析】由題可知EX＝1，所以，故故選（C）.9．【答案】D【解析】X1，X2，...，Xn的樣本方差Y1．Y2，...，Yn的樣本方差則，兩個樣本相互獨立所以，故選（D）.10．【答案】A【解析】由題可知X1－X2～N（0，2σ2）.令Y＝X1－X2，則Y的概率密度.，.由為σ的無偏估計，有E（σ）＝σ，得.故選（A）.二、填空題：11～16小題，每小題5分，共30分。11．【答案】－2【解析】，可得a＋1＝0，b－1/2＝3/2，即a＝－1，b＝2，故ab＝－2.12．【答案】x＋2y－z＝0【解析】F（x，y，z）＝x＋2y＋ln（1＋x2＋y2）－z，，即在點（0，0，0）處的法向量為（1，2，－1），即切平面方程為x＋2y－z＝0.13．【答案】0【解析】由f（x）展開為余弦級數(shù)知，f（x）為偶函數(shù).由傅里葉系數(shù)計算公式有故14．【答案】1/2【解析】15．【答案】11/9【解析】γTα1＝βTα1＝1?k1α1Tα1＋k2α2Tα2＋k3α3Tα3＝1?k1·3＋k2·0＋k3·0＝1?k1＝1/3.同理k2＝－1，k3＝－1/3.所以，k12＋k22＋k33＝11/9.16．【答案】1/3【解析】因為X～B（1，1/3），所以X＝0，1；Y～B（2，1/2），所以Y＝0，1，2.又因為X與Y相互獨立，所以三、解答題：17～22小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本題滿分10分）設(shè)曲線y＝y(tǒng)（x）（x＞0）經(jīng)過點（1，2），該曲線上任一點P（x，y）到y(tǒng)軸的距離等于該點處的切線在y軸上的截距.（1）求y（x）；（2）求函數(shù)在（0，＋∞）上的最大值.【解析】（1）設(shè)點（x，y）處的切線方程為Y－y＝y(tǒng)′（X－x），故y軸的截距為y－y′x，則x＝y(tǒng)－y′x，解得y＝x（C－lnx），其中C為任意常數(shù).由y（1）＝C＝2，故y（x）＝x（2－lnx）.（2）由（1）知，故f′（x）＝x（2－lnx）＝0，則駐點為x＝e2.當(dāng)0＜x＜e2時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞e2時，f′（x）＜0，故f（x）在x＝e2處取得極大值，同時也取得最大值，且最大值為.18．（本題滿分12分） 求函數(shù)f（x，y）＝（y－x2）（y－x3）的極值.【解析】，得駐點為（0，0），（1，1），（2/3，10/27）.f′′xx＝－（2y＋3xy－5x3）－x（3y－15x2），f′′xy＝－x（2＋3x），f′′yy＝2.代入（0，0），，則AC－B2＝0，故充分條件失效，當(dāng)x→0時，取y＝x2＋kx3（k＞0），f（x，y）＝（y－x2）（y－x3）＝kx3[x2＋（k－1）x3]＝kx5＋o（x5），則，由極限的局部保號性：存在δ＞0，當(dāng)x∈（－δ，0）時，，f（x，y）＜0＝f（0，0），當(dāng)x∈（0，δ）時，，f（x，y）＞0＝f（0，0），故（0，0）不是極值點；代入（1，1），，則AC－B2＜0，故（1，1）不是極值點；代入（2/3，10/27），，則AC－B2＞0且A＞0，故（2/3，10/27）是極小值點；故f（2/3，10/27）＝－4/729為極小值.19．（本題滿分12分） 設(shè)空間有界區(qū)域Ω中，柱面x2＋y2＝1與平面z＝0和x＋z＝1圍成，Σ為Ω邊界的外側(cè)，計算曲面積分.【解析】由高斯公式可得：20．（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)f（x）在[－a，a]上具有2階連續(xù)倒數(shù)，證明：（1）若f（x）＝0，則存在ξ∈（－a，a）使得；（2）若f（x）在（－a，a）內(nèi)取得極值，則存在η∈（－a，a），使得.【解析】（1）證明：，η介于0與x之間，則①②①＋②得：③又f′′（x）在[η2，η1]上連續(xù)，則必有最大值M與最小值m，即m≤f′′（η1）≤M；m≤f′′（η2）≤M；從而；由介值定理得：存在ξ∈[η2，η1]?（－a，a），有，代入③得：f（a）＋f（－a）＝a2f′′（ξ）即（2）證明：設(shè)f（x）在x＝x0∈（－a，a）取極值，且f（x）在x＝x0可導(dǎo)，則f′（x0）＝0.又，γ介于0與x之間，則從而又|f′′（x）|連續(xù)，設(shè)M＝max{|f′′（γ1）|，|f′′（γ2）|}，則又x0∈（－a，a）則|f（a）－f（－a）|≤M（a2＋x02）≤2Ma2，則即存在η＝γ1或η＝γ2∈（－a，a），有.21．（本題滿分12分） 已知二次型f（x1，x2，x3）＝x12＋2x22＋2x32＋2x1x2－2x1x3，g（y1，y2，y3）＝y(tǒng)12＋y22＋y32＋2y2y3（1）求可逆變換x＝Py，將f（x1，x2，x3）化為g（y1，y2，y3）；（2）是否存在正交變換x＝Qy，將f（x1，x2，x3）化為g（y1，y2，y3）.【解析】（1）利用配方法將f（x1，x2，x3）和g（y1，y2，y3）化為規(guī)范形，從而建立兩者的關(guān)系先將f（x1，x2，x3）化為規(guī)范形f（x1，x2，x3）＝x12＋2x22＋x32＋2x1x2－2x1x3＝（x1＋x2－x3）2＋x22＋x32＋2x2x3 ＝（x1＋x2－x3）2＋（x2＋x3）2令，則f（x1，x2，x3）＝z12＋z22.即，使得f（x1，x2，x3）＝z12＋z22.再將g（y1，y2，y3）化為規(guī)范形.g（y1，y2，y3）＝y(tǒng)12＋y22＋y32＋2y2y3＝y(tǒng)12＋（y2＋y3）2令，則g（y1，y2，y3）＝z12＋z22.即，使得g（y1，y2，y3）＝z12＋z22.從而有，于是可得，其中為所求矩陣，可將f（x1，x2，x3）化為g（y1，y2，y3）.（2）二次型f（x1，x2，x3）和g（y1，y2，y3）的矩陣分別為，.由題意知，若存在正交變換x＝Qy，則QTAQ＝Q－1AQ＝B，可得A和B相似.易知tr（A）＝5，tr（B）＝3，從而A和B