第3章力系平衡方程及應(yīng)用

第3章力系平衡方程及其應(yīng)用

yyyy年M月d日主講人:3.1

平面力系平衡方程3.2

平面物體系平衡問題3.3

靜定和超靜定概念3.4空間力系平衡方程

小結(jié)第3章力系平衡方程及其應(yīng)用由第2章力系簡(jiǎn)化結(jié)果可知：任意力系平衡的充要條件是該力系的主矢和主矩皆為零，即引言得投影式

此即空間任意力系的平衡方程。式(c)是式(a)的充要條件。必有

(a)

(b)

(c)

3.1

平面力系平衡方程3.1.1

平面任意力系平衡方程的基本形式3.1.2

平面任意力系平衡方程的其他形式3.1.3

平面平行力系平衡方程3.1.4

平面匯交力系平衡方程3.1.5

平面力偶系平衡方程3.1平面力系平衡方程

當(dāng)力系中的所有力的作用線位于同一平面時(shí)，該力系稱為平面任意力系。若Oxy平面為力系作用面，則顯然有式中,

x

和y

是直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，而點(diǎn)

O

是力系作用平面內(nèi)的任意一點(diǎn)。因此,平面任意力系的平衡方程為平面任意力系平衡方程的基本式3.1.1

平面力系平衡方程的基本形式這是

注：式中，

投影軸x

和y

可不正交，但不得平行。n3.1平面力系平衡方程【例3-1】

已知

q（單位長(zhǎng)度載荷)，a

，

，，，3.1平面力系平衡方程簡(jiǎn)支梁的載荷和尺寸如圖。求：A，B處約束力?！纠?-1】解以梁為研究對(duì)象，畫出受力圖：

F1，F(xiàn)2構(gòu)成一個(gè)力偶，對(duì)任意點(diǎn)的力矩等于力偶矩，對(duì)任意軸的投影為零。

F1=qa

，M=qa2分布力(均布載荷)合力作用線位于AB中點(diǎn)。3.1平面力系平衡方程【例3-1】解3.1平面力系平衡方程已知【例3-2】圖示直角彎桿，A端固定，載荷如圖。3.1平面力系平衡方程已知:

q，F(xiàn)，M，a，b，q

；求：支座A處的約束力?！纠?-2】解以直角彎桿為研究對(duì)象，畫出受力圖：3.1平面力系平衡方程【例3-2】解列平衡方程(坐標(biāo)系如圖)3.1平面力系平衡方程3.1平面力系平衡方程

3.1.2平面任意力系平衡方程的其他形式（兩矩式）（三矩式）A，B

連線不垂直于軸xA，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上3.1.3

平面平行力系平衡方程若作用在平面Oxy內(nèi)的所有力均平行于軸y，顯然有3.1平面力系平衡方程平面任意力系的平衡方程：則平面平行力系的平衡方程為圖示為行動(dòng)式起重機(jī)，已知b=3m，W1=500kN，e=1.5m，起重機(jī)的最大載荷W=250kN

，l=10m。欲使起重機(jī)滿載和空載時(shí)不傾倒，

求:

平衡重W2，設(shè)a=6m?！纠?-3】3.1平面力系平衡方程【例3-3】解以起重機(jī)為研究對(duì)象，畫出受力圖

(注：對(duì)于單體研究對(duì)象，在不引起混淆的情況下允許在題圖上畫受力圖，此時(shí)應(yīng)理解為約束已解除，從而畫出其相應(yīng)的約束力。)（1）滿載保證機(jī)身不向右傾倒，臨界情況:3.1平面力系平衡方程【例3-3】解（2）空載時(shí)W=0，保證機(jī)身不向左傾倒，臨界情況:因此，平衡重W2之值應(yīng)滿足以下關(guān)系：

361kN

≤W2≤375kN

注：平衡穩(wěn)定問題除滿足平衡條件外，還要滿足限制條件。所得關(guān)系式中等號(hào)是臨界狀態(tài)。工程上為了安全起見，一般取上、下臨界值的中值，本例可取:

3.1平面力系平衡方程3.1.4平面匯交力系平衡方程3.1平面力系平衡方程設(shè)作用在平面Oxy內(nèi)的平面匯交力系之匯交點(diǎn)為O，則因此，平面匯交力系平衡方程為此方程常用于第4章平面桁架的節(jié)點(diǎn)法?！纠?-4】求圖示粱的A，B處的約束力。3.1平面力系平衡方程【例3-4】解

本題可用三力平衡匯交定理確定約束力的作用線(如圖a)也可采用平面任意力系的受力圖(如圖b)建議讀者分別用圖a，圖b進(jìn)行計(jì)算后比較。3.1平面力系平衡方程3.1.5平面力偶系平衡方程對(duì)平面力偶系，其投影方程恒有3.1平面力系平衡方程因此，平面力偶系平衡方程為【例3-5】圓弧桿AB與折桿BDC在B處鉸接，A，C處均為固定鉸支座，結(jié)構(gòu)受力偶M如圖所示，其中r，M已知，l=2r

，

求:

A，C處約束力。3.1平面力系平衡方程【例3-5】解圓弧桿AB為二力構(gòu)件(關(guān)鍵一步判斷)。整體受力圖：

C

處有一個(gè)方向待定的約束力，為保持系統(tǒng)平衡，約束力FC和FA必組成一個(gè)力偶，與主動(dòng)力偶平衡。3.1平面力系平衡方程【例3-5】解負(fù)號(hào)表示實(shí)際方向與圖示假設(shè)方向相反。3.1平面力系平衡方程討論：C處也可用兩個(gè)正交力表示，用平面一般力系平衡方程求解。由兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體組成的系統(tǒng)，稱為物體系。3.2

平面物體系平衡方程物體系平衡：求全部外部約束力或構(gòu)件之間的相互作用力。特點(diǎn)：取整體為研究對(duì)象分析，無法求得全部約束力；

必須從中間鉸處拆開，分別取研究對(duì)象分析。難點(diǎn)：如何拆，即如何取研究對(duì)象？方法：一般先取未知力最少（最好是1個(gè)）的構(gòu)件入手；即從求出的部分待求量或?qū)罄m(xù)求解有用的研究對(duì)象開始?！纠?-6】圖示結(jié)構(gòu)由T字梁與直梁在B處鉸接而成。3.2

平面物體系平衡問題已知:

F=2kN，q=0.5kN/m，M=5kN·m，l=

2m求:

支座C及固定端A

處約束力。【例3-6】解

分別取整體和桿CB為研究對(duì)象畫出受力圖

【整體】

4個(gè)未知量，3個(gè)獨(dú)立方程

【桿CB】

3個(gè)未知量，3個(gè)獨(dú)立方程【基本思路】

桿CB受力圖計(jì)算FC整體受力圖計(jì)算A處的約束力(偶)3.2平面物體系平衡問題[分析]…【例3-6】解

【桿CB】

3.2平面物體系平衡問題【例3-6】解

【整體】

3.2平面物體系平衡問題【例3-7】圖示平面拱架，A為固定端，B為固定鉸鏈，D，C為中間鉸鏈。作用力F1=3kN，F(xiàn)2=6kN；尺寸a=R=2m。

求:

A，B處的約束力。3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）分析：從二力構(gòu)件CD出發(fā)，只有1個(gè)未知力?！纠?-7】解

A處未知力：FAx，F(xiàn)Ay，MA，B處有未知力：FBx，F(xiàn)By，5個(gè)未知量，3個(gè)獨(dú)立方程，不可完全確定。

【整體】

【CD】圖a

二力構(gòu)件

【CGB】圖b

3個(gè)未知量3個(gè)獨(dú)立方程

【AED】圖c

4個(gè)未知量3個(gè)獨(dú)立方程3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-7】解

【CD】圖a

二力構(gòu)件

【CGB】圖b

3個(gè)未知量3個(gè)獨(dú)立方程

【AED】圖c

4個(gè)未知量3個(gè)獨(dú)立方程【基本思路】

桿CGB受力圖計(jì)算FC；AED受力圖計(jì)算A處的約束力(偶)；CGB受力圖計(jì)算B處的約束力。3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-7】解

【CGB】圖b

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-7】解

【桿AED】圖c

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-8】圖示平面構(gòu)架，A，C，D，E處為鉸鏈連接，桿BD上的銷釘B置于桿AC的光滑槽內(nèi)，F(xiàn)=200N，力偶矩M=100N·m

求:

A，B，C處受力。3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-8】分析

【整體】

4個(gè)未知量3個(gè)獨(dú)立方程但若對(duì)點(diǎn)E取矩方程可解出FAy

【桿ABC】

5個(gè)未知量3個(gè)獨(dú)立方程

【桿BD】

3個(gè)未知量3個(gè)獨(dú)立方程【基本思路】

[桿BD]FB

[整體]FAy

[桿ABC]FAx3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-8】解

【整體】

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-8】解

【BD】

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-8】解

【ABC】

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-9】圖示結(jié)構(gòu)尺寸l=3

m，分布載荷的最大值q=8

kN/m

，中間鉸B上作用集中力F=12

kN，

求:

固定鉸A，C處約束力及中間鉸B受力。3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-9】解

【整體】

3個(gè)獨(dú)立方程，4個(gè)未知量?？蓪?duì)點(diǎn)C取矩方程求出FAy，再取y方向的力投影方程求出Fcy。3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-9】解(1)3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-9】解

【半拱AB】(不含載荷F)代入式(1)

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-9】解

【鉸B】3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）

注意：對(duì)力F的處理是難點(diǎn)。靜定問題：能由平衡方程確定全部未知力的問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。超靜定問題：僅由靜力學(xué)平衡方程無法求得全部未知力，需要補(bǔ)充變形條件才能求解的問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。超靜定次數(shù)：未知量的個(gè)數(shù)與獨(dú)立的平衡方程數(shù)目之差。多余約束：與超靜定次數(shù)對(duì)應(yīng)的約束，對(duì)于結(jié)構(gòu)保持靜定是多余的，但工程實(shí)際中，有些多余約束是必要的。3.3靜定和超靜定概念3.3靜定和超靜定概念判斷方法：把結(jié)構(gòu)全部拆成單個(gè)構(gòu)件，比較未知量的總數(shù)與獨(dú)立平衡方程的總數(shù)注意：作用力與反作用力大小相等，因此只計(jì)為一個(gè)未知量；不同力系有不同的獨(dú)立方程數(shù)。超靜定問題的基本解法將在材料力學(xué)課程中介紹。

3.4空間力系平衡方程3.4.1

空間匯交力系平衡方程3.4.2

空間力偶系平衡方程3.4.3

空間平行力系平衡方程3.4.4

空間任意力系平衡方程應(yīng)用舉例3.4空間力系平衡方程由第2章力系簡(jiǎn)化結(jié)果可知：任意力系平衡的必要和充分條件是該力系的主矢和主矩皆為零，即必有

此即空間任意力系的平衡方程。式(c)是式(a)的充要條件。必有

(a)

(b)

(c)

3.4空間力系平衡方程空間力系中所有力作用線匯交于一點(diǎn)的力系稱為空間匯交力系，其獨(dú)立的平衡方程為3.4.1

空間匯交力系平衡方程【例3-10】圖示起重三腳架各桿均長(zhǎng)l=2.5m，兩端為鉸接。鉸D上掛有重量為W=20kN的重物，且知q1=120o，q2=90o，q3=150o，OA=OB=OC=r=1.5m。

求:

各桿受力。3.4空間力系平衡方程【例3-10】解因各桿均為二力桿，可畫出鉸D受力圖由已知條件，可知FAD

，F(xiàn)BD

，F(xiàn)CD與坐標(biāo)平面Oxyz的夾角均為j3.4空間力系平衡方程【例3-10】解以鉸D為研究對(duì)象，設(shè)各桿均受拉聯(lián)列計(jì)算以上三式，得結(jié)果中負(fù)號(hào)表示三桿均受壓。3.4空間力系平衡方程3.4空間力系平衡方程全部由空間力偶組成的力系稱為空間力偶系，其平衡方程為3.4.2

空間力偶系平衡方程*【例3-11】圖示蝸輪箱在A，B兩處各用一個(gè)螺栓安裝在基礎(chǔ)上，鉛直方向的蝸桿力偶矩M1=100N·m

，水平方向的蝸輪力偶矩M2=400N·m

。

3.4空間力系平衡方程不考慮箱底和基礎(chǔ)間的摩擦影響，求:

兩螺栓處沿軸x，z方向的約束力。3.4空間力系平衡方程*【例3-11】解建立圖示坐標(biāo)系，軸x和軸z分別平行于蝸輪軸和蝸桿軸。主動(dòng)力為兩個(gè)力偶M1和M2，力偶矩矢方向分別沿軸z和軸x，螺栓A，B處的兩對(duì)約束力分別組成兩個(gè)力偶與之平衡。3.4空間力系平衡方程空間力系中各力作用線相互平行（設(shè)與軸z平行）的力系稱為空間平行力系，其獨(dú)立的平衡方程為3.4.3

空間平行力系平衡方程【例3-12】圖示圓桌的三條腿成等邊三角形ABC。

3.4.2空間力系平衡方程圓桌半徑r=500mm，重W=600N。在三角形中線CD上點(diǎn)M處作用鉛垂力F=1500N，OM=a

。

求：使圓桌不致翻倒的最大距離a。【例3-12】解桌腿與地面的接觸面摩擦不計(jì)，可視為光滑面。取圓桌為研究對(duì)象，畫受力圖。3.