第3章拉壓 材料力學(xué)

第3章軸向拉伸和壓縮3.2拉伸與壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力——軸力

3.1軸向拉伸與壓縮的概念3.3軸向拉伸與壓縮時(shí)橫截面上的應(yīng)力3.5拉伸與壓縮時(shí)的變形3.7材料的力學(xué)性質(zhì)3.8軸向拉伸與壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

3.6靜定結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的位移計(jì)算

3.4拉伸與壓縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力3.9拉（壓）桿的超靜定問題3.10應(yīng)力集中的概念3.11軸向拉伸與壓縮的變形能受力特點(diǎn)：外力（或其合力）的作用線沿桿軸線變形特點(diǎn)：桿件沿軸線方向伸長或縮短

拉桿壓桿FFFF3.1軸向拉伸與壓縮的概念軸向拉伸和壓縮FF3.2.1橫截面上的內(nèi)力——軸力

FIFFIIIFIIFNxSFX=0：+FN-F=0

FN=FxSFX=0：-FN’+F=0

FN’=FFN’單位：N(牛頓)或kN(千牛)軸力規(guī)定：軸力拉為正，軸力壓為負(fù)。軸向拉伸和壓縮3.2拉伸與壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力——軸力計(jì)算圖示桿件指定截面的軸力FN1=2FFN2=F3.2.2軸力圖集中外力多于兩個(gè)時(shí)，分段用截面法求軸力，作軸力圖。

軸力只與外力有關(guān)，截面形狀變化不會(huì)改變軸力大小。軸力圖中：橫坐標(biāo)代表橫截面位置，縱軸代表軸力大小。標(biāo)出軸力值及正負(fù)號(hào)（一般：正值畫上方，負(fù)值畫下方）。軸向拉伸和壓縮軸力圖:軸力隨橫截面變化的圖線。150kN100kN50kNFN

+-軸向拉伸和壓縮作圖示桿件的軸力圖，并指出|FN|maxIIIIII|FN|max=100kNFN2=-100kN100kNIIIIFN2FN1=50kNIFN1I50kN50kN100kN例3-1試?yán)L出圖3-3所示桿的軸力圖。已知F1=10kN,F2=30kN，F(xiàn)3=50kN。

ABCDF1F2F3FR解（1）計(jì)算支座反力軸向拉伸和壓縮∑Fx=0，-F1+F2-F3+FR=0

得FR=F1-F2+F3=10-30+50=30kN

（2）分段計(jì)算軸力

F1FN1FN1=F1=10kNF1F2FN2FN2=F1-F2=10-30=-20kNFN3FRFN3=FR=30kN⑶畫軸力圖xFN10kN20kN30kN++一|FNmax|=30kN軸向拉伸和壓縮例3-2豎柱AB如圖（3-4a）所示，其橫截面為正方形，邊長為a，柱高為h，材料的體積密度為ρ；柱頂受載荷P作用。試作出其內(nèi)力圖。

解：對(duì)任意截面取上段為研究對(duì)象是該段研究對(duì)象的自重

軸力圖如圖

結(jié)論(外力法)：桿的軸力等于截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和，其中離開截面的外力取正號(hào)，指向截面的外力取負(fù)號(hào)

ABaFFNFhxGaFFN圖F+ρa(bǔ)2h-FF1122假設(shè)：

平面假設(shè)變形前為平面的橫截面，變形后仍為平面，且仍與桿的軸線垂直。軸向拉伸和壓縮正應(yīng)力的符號(hào)：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。

對(duì)于等直桿

當(dāng)有多段軸力時(shí)，最大軸力所對(duì)應(yīng)的截面-----危險(xiǎn)截面。危險(xiǎn)截面上的正應(yīng)力----最大工作應(yīng)力FF3.3.1實(shí)驗(yàn)觀察與假設(shè)3.3軸向拉伸與壓縮時(shí)橫截面上的應(yīng)力橫截面上各點(diǎn)處僅存在正應(yīng)力并沿截面均勻分布。3.3.2橫截面上的應(yīng)力例3-3

一橫截面為正方形的磚柱分上下兩段，所受之力為軸力，各段長度及橫截面尺寸如圖所示。已知F=50kN，試求載荷引起的最大工作應(yīng)力。

軸向拉伸和壓縮300400FFFABC240370一-130kN-50kN解：（1）畫軸力圖（2）求各段應(yīng)力

50軸向拉伸和壓縮作圖示桿件的軸力圖，并求1-1、2-2、3-3截面的應(yīng)力。f30f20f3550kN60kN40kN30kN1133222060+例圖示階梯形圓截面桿，F(xiàn)1=20kN，F(xiàn)2=50kN，d1=20mm，d2=30mm，計(jì)算桿內(nèi)橫截面上最大正應(yīng)力。解：1.支反力計(jì)算2.軸力分析3.應(yīng)力分析最大正應(yīng)力軸向拉伸和壓縮橫截面----是指垂直桿軸線方向的截面；斜截面----是指任意方位的截面。FFF①全應(yīng)力：②正應(yīng)力：③切應(yīng)力：1）

α=00時(shí)，σmax＝σ2）α＝450時(shí)，τmax=σ/2

軸向拉伸和壓縮

3.4拉伸與壓縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力(3)當(dāng)=900時(shí)，和均為零，這表明軸向拉（壓）桿在平行于桿軸的縱向截面上沒有任何應(yīng)力。符號(hào)規(guī)定：例等截面桿A=400mm2，F(xiàn)=50kN，試求斜截面m-m上的正應(yīng)力與切應(yīng)力解：桿橫截面上的正應(yīng)力斜截面m-m上的正應(yīng)力與切應(yīng)為軸向拉伸和壓縮桿原長為l，直徑為d。受一對(duì)軸向拉力F的作用，發(fā)生變形。變形后桿長為l1，直徑為d1。其中：拉應(yīng)變?yōu)檎瑝簯?yīng)變?yōu)樨?fù)。軸向(縱向)應(yīng)變：3.5拉伸與壓縮時(shí)的變形橫向應(yīng)變：

軸向拉伸和壓縮3.5.1變形和應(yīng)變的概念1.絕對(duì)變形縱向絕對(duì)變形

Δl=

l1-l

橫向絕對(duì)變形Δd=d1-d

2.相對(duì)變形

線應(yīng)變（相對(duì)變形）:單位長度的變形ldd1FFl1EA----桿的抗拉（壓）剛度。軸向拉壓變形的胡克定律

實(shí)驗(yàn)表明，橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比為一常數(shù)μ----稱為橫向變形系數(shù)（泊松比）軸向拉伸和壓縮比例常數(shù)E為材料的彈性模量單位為MPa，常用GPa胡克定律3.5.2胡克定律

實(shí)驗(yàn)表明，在比例極限內(nèi)，

例圖示等直桿的橫截面積為A、彈性模量為E，試計(jì)算D點(diǎn)的位移。

解：解題的關(guān)鍵是先準(zhǔn)確計(jì)算出每段桿的軸力，然后計(jì)算出每段桿的變形，再將各段桿的變形相加即可得出D點(diǎn)的位移。這里要注意位移的正負(fù)號(hào)應(yīng)與坐標(biāo)方向相對(duì)應(yīng)。軸向拉伸和壓縮P3P++D點(diǎn)的位移為：例3-4

變截面鋼桿受軸向載荷F1=30kN,F2=10kN。桿長l1=l2=l3=100mm，桿各橫截面面積分別為A1=500mm2,A2=200mm2,彈性模量E=200GPa。試求桿的總伸長量。解：⑴計(jì)算各段軸力AB段和BC段的軸力分別為

FN1=F1-F2=30-10=20kN

FN2=-F2=-10kN軸力圖如圖所示⑵計(jì)算各段變形

⑶求總變形即整個(gè)桿縮短了0.015mm軸向拉伸和壓縮例3-5圖所示連接螺栓，內(nèi)徑d1=15.3mm，被連接部分的總長度l=54mm，擰緊時(shí)螺栓AB段的伸長Δl=0.04mm，鋼的彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。試求螺栓橫截面上的正應(yīng)力及螺栓的橫向變形。解：螺栓的縱向變形為

螺栓橫截面上的正應(yīng)力為

螺栓的橫向應(yīng)變?yōu)?/p>

螺栓的橫向變形為

軸向拉伸和壓縮例圖示結(jié)構(gòu)中①桿是直徑為32mm的圓桿，②桿為2×No.5槽鋼。材料均為Q235鋼，E=210GPa。已知F=60kN，試計(jì)算B點(diǎn)的位移。1.8m2.4mCABF①②F軸向拉伸和壓縮解：1、計(jì)算各桿上的軸力2、計(jì)算各桿的變形3、計(jì)算B點(diǎn)的位移（以切代?。〣4B33.6靜定結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的位移計(jì)算例3-6

圖為一簡單托架。BC桿為圓鋼，橫截面直徑d=20mm。BD桿為8號(hào)槽鋼。求B點(diǎn)的位移。設(shè)F=60kN。

解：根據(jù)B點(diǎn)的平衡方程，求得BC桿和BD桿的軸力分別為

（拉）

（壓）

BC桿圓截面的面積為A1=3.14×10-6m2。BD桿為8號(hào)槽鋼，由附錄查得截面面積為A2=1020×10-6m2

。根據(jù)虎克定律，求出和兩桿的變形分別為

求位移作節(jié)點(diǎn)位移圖軸向拉伸和壓縮FFFN1FN2例3-7鋼桿AB、AC在A點(diǎn)用一鉸鏈連接，桿AB和桿AC的直徑分別為d1=12mm，d2=15mm，鋼的彈性模量E=210GPa，若在A點(diǎn)作用垂直向下的力F=35kN，試求A點(diǎn)的鉛垂方向的位移。解：取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，計(jì)算軸力AB桿和AC桿的伸長分別為FBC

1mA0.8md1d2FFNABFNACxyABCA′F

NAB=18.1kNFNAC=25.6kNΔlAcEΔlABD作結(jié)點(diǎn)位移圖節(jié)點(diǎn)A垂直位移為軸向拉伸和壓縮例

3-8圖所示結(jié)構(gòu)，桿AB和BC的抗拉剛度EA相同，在節(jié)點(diǎn)B承受集中載荷F，試求節(jié)點(diǎn)B的水平及鉛垂位移。

解（1）各桿的軸力

以節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，

（2）各桿的變形

（伸長）

(3)節(jié)點(diǎn)B的位移計(jì)算

變形的相容條件:結(jié)構(gòu)變形后兩桿仍相交于一點(diǎn)，作結(jié)構(gòu)的變形圖

節(jié)點(diǎn)B的位移圖

軸向拉伸和壓縮BCAaaFBCAFB1B2B'BFN1FN2FBB1B2B'B"Δl1Δl2材料力學(xué)性能：材料在外力作用下，強(qiáng)度和變形方面所表現(xiàn)出的性能。3.7材料的力學(xué)性質(zhì)軸向拉伸和壓縮一、拉伸實(shí)驗(yàn)與應(yīng)力-應(yīng)變圖Oσεσeσpσsσb彈性階段屈服階段強(qiáng)化階段頸縮階段工作段長度l試件應(yīng)力-應(yīng)變（σ-ε）圖σp----比例極限σe----彈性極限σs----屈服極限σb----強(qiáng)度極限拉伸圖二、低碳鋼的拉伸力學(xué)性能拉伸過程大致可分為四個(gè)階段:1.彈性階段階段。Oa段應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即材料滿足虎克定律

比例極限σe：材料的應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最大應(yīng)力值

材料的彈性模量E

材料在外力撤除后仍能恢復(fù)原有形狀和尺寸的性質(zhì)稱為彈性外力撤除后能夠消失的這部分變形稱為彈性變形

彈性極限σe:材料產(chǎn)生彈性變形的最大應(yīng)力值

2.屈服階段：

bc段材料的屈服或流動(dòng)：應(yīng)力變化不大而變形顯著增加的現(xiàn)象。材料暫時(shí)失去了抵抗變形的能力。材料的屈服極限σs：屈服階段的最低應(yīng)力值塑性變形（也稱為永久變形或殘余變形）:卸去載荷，試件的變形不能完全恢復(fù)，而殘留下的一部分變形?；凭€：屈服階段時(shí)，在試件表面出現(xiàn)的與軸線成450的傾斜條紋。

強(qiáng)化：材料重新恢復(fù)抵抗變形的能力的現(xiàn)象。3.強(qiáng)化階段：cd段強(qiáng)度極限σb：材料所能承受的最大應(yīng)力值4.頸縮階段

頸縮：試件某一薄弱的橫截面處發(fā)生急劇的局部收縮現(xiàn)象

衡量塑性材料的兩個(gè)重要強(qiáng)度指標(biāo)：σs

和σb衡量材料的兩個(gè)重要彈性指標(biāo)：σe

和E軸向拉伸和壓縮卸載與再加載規(guī)律（冷作硬化現(xiàn)象）在強(qiáng)化階段卸載后，如重新加載曲線將沿卸載曲線上升。如對(duì)試件預(yù)先加載，使其達(dá)到強(qiáng)化階段，然后卸載；當(dāng)再加載時(shí)試件的線彈性階段將增加，而其塑性降低。----稱為冷作硬化現(xiàn)象Oσε應(yīng)力-應(yīng)變（σ-ε）圖冷作硬化延伸率斷面收縮率d≥5%—塑性材料d＜5%—脆性材料材料的塑性l1----試件拉斷后的長度A1----試件拉斷后斷口處的最小橫截面面積軸向拉伸和壓縮123OseA0.2%Ss0.24102030e(%)0100200300400500600700800900s(MPa)1、錳鋼2、硬鋁3、退火球墨鑄鐵4、低碳鋼特點(diǎn)：d較大，為塑性材料。

3.7.2其它塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)無明顯屈服階段的，規(guī)定以塑性應(yīng)變es=0.2%所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為名義屈服極限，記作s0.2

軸向拉伸和壓縮3.7.3鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)OPDL強(qiáng)度極限：Pb

①

sb—拉伸強(qiáng)度極限，脆性材料唯一拉伸力學(xué)性能指標(biāo)。

②應(yīng)力應(yīng)變不成比例，無屈服、頸縮現(xiàn)象，變形很小且sb很低。軸向拉伸和壓縮3.7.4材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)比例極限spy，屈服極限ssy，彈性模量Ey基本與拉伸時(shí)相同。低碳鋼壓縮實(shí)驗(yàn)：s(MPa)200400e0.10.2O低碳鋼壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線低碳鋼壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線軸向拉伸和壓縮seOsbL灰鑄鐵的拉伸曲線sby灰鑄鐵的壓縮曲線

sby>sbL，鑄鐵抗壓性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于抗拉性能，斷裂面為與軸向大致成45o～55o的滑移面破壞。鑄鐵壓縮實(shí)驗(yàn)：軸向拉伸和壓縮塑性材料的特點(diǎn)：斷裂前變形大，塑性指標(biāo)高，抗拉能力強(qiáng)。常用指標(biāo)---屈服極限，一般拉和壓時(shí)的sS相同。脆性材料的特點(diǎn)：斷裂前變形小，塑性指標(biāo)低。常用指標(biāo)是sb、sbc且sb《sbc。軸向拉伸和壓縮一般情況：材料的強(qiáng)度及彈性指標(biāo)等隨溫度的升高而降低，而塑性指標(biāo)增大。蠕變：金屬在一定溫度和靜載長期作用下，發(fā)生緩慢塑性變形的現(xiàn)象應(yīng)力松弛：在一定溫度下，零件或材料的總變形保持不變，但零件內(nèi)的應(yīng)力出現(xiàn)隨時(shí)間增加而自發(fā)地逐漸下降的現(xiàn)象。3.7.5復(fù)合材料的力學(xué)性能

復(fù)合材料：一般是指有兩種或兩種以上性質(zhì)不同的材料復(fù)合而成的一類多相材料。它在性能上具有所選各材料的優(yōu)點(diǎn)，克服或減少了各單一材料的弱點(diǎn)

比強(qiáng)度和比模量高

強(qiáng)度和彈性模量與密度的比值分別稱為比強(qiáng)度和比模量，是度量材料承載能力的一個(gè)重要指標(biāo)。由于復(fù)合材料超輕質(zhì)、超高強(qiáng)度，因而可使構(gòu)件重量大大降低。

(2)抗疲勞性能好一般材料在交變載荷作用下容易發(fā)生疲勞破損，而復(fù)合材料抗疲勞性能好，因而可延長構(gòu)件的使用壽命。(3)減震性好復(fù)合材料具有高的自振頻率，因而不易引起工作時(shí)的共振，這樣就可避免因共振而產(chǎn)生的破壞。同時(shí)，復(fù)合材料的震動(dòng)阻尼很高，可使振動(dòng)很快減弱，提高了構(gòu)件的穩(wěn)定性。(4)破損安全好對(duì)于纖維增強(qiáng)復(fù)合材料制成的構(gòu)件，一旦發(fā)生超載出現(xiàn)少量斷裂時(shí)，載荷會(huì)重新迅速地分配到未破壞的纖維上，從而使這類構(gòu)件不致于在極短的時(shí)間內(nèi)有整體破壞的危險(xiǎn)，提高了構(gòu)件的安全性。耐熱性好

一些復(fù)合材料能在高溫下保持較高的強(qiáng)度、彈性模量等力學(xué)性質(zhì)，克服了一些金屬和合金在高溫下強(qiáng)度等性能降低的缺陷。

成型工藝簡單靈活及材料結(jié)構(gòu)的可設(shè)計(jì)性可用一次成型來制造各種構(gòu)件，減少了零部件的數(shù)目及接頭等緊固件，減輕了構(gòu)件的重量，節(jié)省了材料和工時(shí)，改善并提高了構(gòu)件的耐疲勞和穩(wěn)定性。同時(shí)，可根據(jù)不同的要求，通過調(diào)整復(fù)合材料的成分、比例、結(jié)構(gòu)及分配方式和穩(wěn)定性，來滿足構(gòu)件在不同方面的強(qiáng)度、剛度、耐蝕、耐熱等特殊性能的要求，提高了可設(shè)計(jì)性及功能的復(fù)合性。另外，某些復(fù)合材料還具有耐腐蝕、耐沖擊、耐絕緣性好及特殊的電、磁、光等特性。

軸向拉伸和壓縮3.8.1極限應(yīng)力、許用應(yīng)力和安全系數(shù)塑性材料：脆性材料：材料的許用應(yīng)力：材料安全工作條件下所允許承受的最大應(yīng)力，記為材料的極限應(yīng)力或危險(xiǎn)應(yīng)力：材料喪失正常工作能力時(shí)的最小應(yīng)力軸向拉伸和壓縮3.8軸向拉伸與壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算材料的工作應(yīng)力：分析計(jì)算所得應(yīng)力。（構(gòu)件實(shí)際應(yīng)力）確定安全系數(shù)要兼顧經(jīng)濟(jì)與安全，考慮以下幾方面：①理論與實(shí)際差別：材料非均質(zhì)連續(xù)性、超載、加工制造不準(zhǔn)確性、工作條件與實(shí)驗(yàn)條件差異、計(jì)算模型理想化②足夠的安全儲(chǔ)備：構(gòu)件與結(jié)構(gòu)的重要性、塑性材料n小、脆性材料n大。

安全系數(shù)的取值：安全系數(shù)是由多種因素決定的。各種材料在不同工作條件下的安全系數(shù)或許用應(yīng)力，可從有關(guān)規(guī)范或設(shè)計(jì)手冊(cè)中查到。在一般靜載下，對(duì)于塑件材料通常取為1.5～2.2；對(duì)于脆性材料通常取為3.0～5.0，甚至更大。軸向拉伸和壓縮2、安全因數(shù)----極限應(yīng)力與許用應(yīng)力的比值，是構(gòu)件工作的安全儲(chǔ)備。根據(jù)強(qiáng)度條件可進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算：①強(qiáng)度校核(判斷構(gòu)件是否破壞)②選擇截面尺寸(構(gòu)件截面多大時(shí)，才不會(huì)破壞)③確定承載(構(gòu)件最大承載能力)[σ]----許用應(yīng)力σ0----

極限應(yīng)力n----安全因數(shù)軸向拉伸和壓縮強(qiáng)度條件3.8.2拉（壓）桿的強(qiáng)度計(jì)算

在強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，如工作應(yīng)力超過許用應(yīng)力，但超過量在5%以內(nèi)，則在設(shè)計(jì)規(guī)范中是允許的例3-9

外徑D為32mm，內(nèi)徑d為20mm的空心鋼桿，如圖所示，設(shè)某處有直徑d1=5mm的銷釘孔，材料為Q235A鋼，許用應(yīng)力[σ]=170MPa，若承受拉力F=60kN，試校核該桿的強(qiáng)度。解：未被削弱的圓環(huán)面積為

被削弱的面積為

危險(xiǎn)截面面積為

強(qiáng)度校核

故此桿安全可靠

例3-10

一懸臂吊車，如圖所示。已知起重小車自重為G=5kN，起重量F=15kN，拉桿BC用Q235A鋼，許用應(yīng)力[σ]=170MPa。試選擇拉桿直徑d。

解：(1)計(jì)算拉桿的軸力,取B點(diǎn)為研究對(duì)象

(2)選擇截面尺寸

可取

d=21mm軸向拉伸和壓縮例3-11

如圖所示，起重機(jī)BC桿由繩索AB拉住，若繩索的截面面積為5cm2，材料的許用應(yīng)力[σ]=40MPa，求起重機(jī)能安全吊起的載荷大小。

解：(1)求繩索所受的拉力FNAB與F的關(guān)系。

（2）

根據(jù)繩索AB的許用內(nèi)力求起吊的最大載荷為

即起重機(jī)安全起吊的最大載荷為33.4kN軸向拉伸和壓縮

例圖示空心圓截面桿，外徑D＝20mm，內(nèi)徑d＝15mm，承受軸向荷載F＝20kN作用，材料的屈服應(yīng)力σs＝235MPa，安全因數(shù)n=1.5。試校核桿的強(qiáng)度。

解：桿件橫截面上的正應(yīng)力為:材料的許用應(yīng)力為:可見，工作應(yīng)力小于許用應(yīng)力，說明桿件能夠安全工作。FFDd軸向拉伸和壓縮例圖示吊環(huán)，圓截面斜桿AB、AC許用應(yīng)力[σ]=120MPa，吊環(huán)吊重F=500kN，夾角，確定斜桿直徑解：1.斜桿軸力分析2.截面設(shè)計(jì)取斜桿直徑為d=53mm軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮例圖示結(jié)構(gòu)中①桿是直徑為32mm的圓桿，②桿為2×No.5槽鋼。材料均為Q235鋼，E=210GPa。求該拖架的許用荷載[F]。1.8m2.4mCABF①②F解：1、計(jì)算各桿上的軸力2、按AB桿進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算3、按BC桿進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算4、確定許用荷載例圖示結(jié)構(gòu)，載荷可沿剛性桿AC水平移動(dòng)，試問為使斜撐桿BD的重量最輕，夾角θ應(yīng)取何值？軸向拉伸和壓縮解：斜撐桿軸力x=l時(shí)軸力最大斜撐桿所需最小截面面積斜撐桿體積為使重量最輕，應(yīng)使即得夾角θ最佳值為例

圖示圓截面桿，F(xiàn)=4kN，l1=l2=100mm，彈性模量E=200

GPa，為保證構(gòu)件正常工作，要求其總伸長不超過0.10mm，試確定桿徑d。解：桿二軸力分別為軸向變形分別為桿的總伸長為按要求總伸長不超過0.10mm，即解得：取d=9mm軸向拉伸和壓縮3.9拉（壓）桿的超靜定問題

3.9.1超靜定問題的概念與解法靜定問題與靜不定問題，靜不定問題次數(shù)1、靜力平衡方程（1個(gè)），未知量三個(gè)，一次超靜定2、變形協(xié)調(diào)方程（關(guān)系）：各桿變形所應(yīng)滿足的關(guān)系（1個(gè)），即為超靜定次數(shù)3、物理方程：表示變形與軸力關(guān)系（方程個(gè)數(shù)等于變形量個(gè)數(shù)）4、補(bǔ)充方程：將物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程所得（1個(gè)）5、聯(lián)列靜力平衡與補(bǔ)充方程，解未知量軸向拉伸和壓縮ABCF12βαABCF12βαD3ABCF12αD3αΔl3Δl1lFFN1FN2FN3A例3-12在圖所示的結(jié)構(gòu)中，設(shè)橫梁AB的變形可以省略，1、2兩桿的橫截面面積相等，材料相同。試求1、2兩桿的內(nèi)力

解：AB桿的平衡方程，變形協(xié)調(diào)方程

物理方程補(bǔ)充方程聯(lián)列平衡方程與補(bǔ)充方程解出

軸向拉伸和壓縮aaal12ABFΔl1Δl2例3-13一超靜定桿系如圖所示。已知1桿和2桿的剛度、桿長相同，即E1A1=E2A2，l1=l2，3桿的剛度為E3A3，桿長l3=l1cosα，載荷為F。試求各桿的軸力。

解：（1）靜力平衡關(guān)系（2）變形幾何關(guān)系

（3）物理關(guān)系補(bǔ)充方程

聯(lián)立求解軸向拉伸和壓縮ABCDF123ααABCDF123ααCFααFN1FN2FN3CααΔl1Δl3例圖示桿兩端固定，受一軸向載荷F作用，拉壓剛度EA為常數(shù)，試求桿端支反力軸向拉伸和壓縮解：1.靜力學(xué)關(guān)系2.幾何關(guān)系3.物理關(guān)系4.支反力計(jì)算，得補(bǔ)充方程聯(lián)立解得例圖示結(jié)構(gòu)，桿1與桿的彈性模量均為E，橫截面各均為A，梁BD為剛體，載荷F=50kN，許用拉應(yīng)力[σt]=160MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=120MPa，試確定各桿橫截面積。軸向拉伸和壓縮解：1.問題分析2.建立平衡方程3.建立補(bǔ)充方程變形協(xié)調(diào)方程胡克定律（物理方程））補(bǔ)充方程4.軸力計(jì)算與截面設(shè)計(jì)聯(lián)解得所需截面因截面積相同，故取A1=A2=247mm2例圖示桁架，桿3實(shí)際長度比設(shè)計(jì)長度l稍短δ，分析裝配后各桿軸力。桿1與桿2各截面拉壓剛度均為E1A1，桿截面拉壓剛度E3A3。軸向拉伸和壓縮解：1.建立平衡方程2.建立補(bǔ)充方程變形協(xié)調(diào)方程由胡克定律得補(bǔ)充方程3.軸力計(jì)算3.9.2裝配應(yīng)力

裝配應(yīng)力:結(jié)構(gòu)未加載前，因桿件制造誤差，在裝配而引起的應(yīng)力例3-14火車車輪通常由鑄鐵輪心和套在其上的鋼制輪緣兩部分組成，如圖所示。輪緣橫截面可近似地認(rèn)為是矩形，并設(shè)其寬度為b，厚度為t。輪緣的彈性模量為E。為了使輪緣牢固地裝在輪心上，通常把輪緣的內(nèi)徑d2做得稍小于輪心的外徑