第4章 平衡方程的應(yīng)用

第4章

平衡方程的應(yīng)用

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靜定與靜不定問題的概念

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考慮摩擦?xí)r的平衡問題

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物體系的平衡

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桁架

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結(jié)論與討論§4.1&4.2物體系的平衡·靜定和靜不定問題●靜定體系：未知量數(shù)目等于獨立平衡方程數(shù)目●超靜定體系：未知量數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)目PABCFAFBFCPABFBFAD1m2m1mABCFEPAQCBDE解：(1)取整體為研究對象已知：P=0.4kN，Q=1.5kN，sin=4/5；D,E為中點，

例題1AB＝l，桿重不計，

求：支座A、C的反力。AQCBPDEFAxFAyFCxFCy解得:PABFBxFByFAxFAy解上述方程，得(2)取AB為研究對象代入（3）式得DBPACHLaa45°ra圖示構(gòu)架，各桿及圓盤的重量均不計，試求：A、C的約束反力和DC桿內(nèi)力。例題2FDCDBHPF1解:(1)取BC和圓盤為研究對象（2）取整體為研究對象DBCH45°APF1FCFAxFAyABCDEGF3mG1m6m6m6m三鉸拱橋如圖所示，已知每段重G=40kN，重心分別在D，E處，且橋面受一集中荷載F=10kN。試求各鉸鏈中的力。例題3解：1.取AC段為研究對象。ACDFCxGFAxFAyFCyGF’CxFBxFByCEBFF’Cy2.再取BC段為研究對象，受力分析如圖。聯(lián)立求解，得

FAx=-FBx

=

FCx

=9.2kN

FAy=42.5kN，F(xiàn)By=47.5kN，F(xiàn)Cy=2.5kNqABqABCDFByFBxFAyFAxqABCDaaaFDyFDx已知:a=2m，q=3kN/m例題4

求：支座A、D的反力。解：取AB部分為研究對象FAyFAx取ABCD部分為研究對象求：A、C處的反力。練習(xí)：圖示構(gòu)架桿重不計分析CM=600N.mBFCFBFAxFAyMAq=25N/mABDP=500Nq=25N/mABCD4m4m3mP=500NM=600N.mEqaaaaaABCD已知如圖，構(gòu)架桿重不計，試求：A、E的約束反力和BC桿內(nèi)力。例題5FAyFAxFECDqFDxFDy解：(1)取整體為研究對象解得：(2)取曲桿CD為研究對象解得：FC

圖示構(gòu)架自重不計，已知：q=1.5kN/m，P1=10kN，P2=20kN

求：支座A、B處的約束反力。例題6DABCEP2P12m2m4m4m6m2m2m3mq解:(1)取DE部分為研究對象DEP2P1FDFExFEyFDFAyFByFBxFAx(2)取整體為研究對象DABCEP2P12m2m4m4m6m2m2m3mqFDFAyFByFBxFAx(2)取BC部分為研究對象BFByFBxFCxFCyCq1m1mAC1m1mMqB例題7

圖示連續(xù)梁，自重不計，已知：M=10kN·m,q=2kN/m，試求：支座A、C的反力。BCqMCAqFAxFAyMAFCxFCy

FBFAxFAyMA

FB解：(1)取BC為研究對象解得:(2)取AC為研究對象解得:500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m圖示結(jié)構(gòu)，各桿的自重不計，試求：D、E的約束反力。例題8500NDCEFDxFDyFExFEyFAxFAyFB解：(1)取CDE為研究對象解上述方程，得(2)取整體為研究對象解得:500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m500NDCEFDxFDyFExFEyFAxFAyFBGEBFGxFGyFB(3)取BEG為研究對象解得:代入（3）式得:如果取整體為研究對象時，A支座的反力都要求出來么？qMABCDEH2m2m2m2m1m1m例題9圖示構(gòu)架，各桿自重不計，已知：q=50kN/m,M=80kN·m；試求：A、B的約束反力。BCDqMEDFNBFAxFAyMAFCxFCyFNBFDxFDyFNEH解：(1)取DE桿為研究對象(2)取BDC桿為研究對象(3)取整體為研究對象解得：qABC2aaaaa①②③PD試求：A處的反力。練習(xí)圖示構(gòu)架的桿件的重量不計。CqB②③DFBxFByF1qABC②③PDF1FAxFAyMA練習(xí)圖示構(gòu)架各桿的自重不計試求CE桿的內(nèi)力。30°ABDCEaqqDCqABqFCBFAxFAyFDxFDyFCEFBC§4.3平面簡單桁架的內(nèi)力計算●桁架的桿件都是直的；●桿件用光滑的鉸鏈連接；●荷載均作用在節(jié)點上；●重量平均分配在節(jié)點上。理想桁架

□桁架是一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu)，它在受力后幾何形狀不變?！锕?jié)點法★截面法1.以整體為研究對象，求支座約束力。解方程可得解：ABC2m2m12345FAyFByFBxFD平面桁架的尺寸和支座如圖所示。在節(jié)點D處受一集中載荷F=10kN的作用。試求桁架各桿件所受的內(nèi)力。例題10ABC2m2m12345FDABC2m2m12345FD2.取節(jié)點A為研究對象，受力分析如圖。F2F1FAyA解方程可得F3F4C3.取節(jié)點C為研究對象。解方程可得4.取節(jié)點D為研究對象。DF5F如圖所示平面桁架，各桿件的長度都等于1m。在節(jié)點E上作用載荷FE=10kN，在節(jié)點G上作用載荷FG=7kN。試計算桿1，2和3的內(nèi)力。ABCDEFGFEFG123例題11

1.取桁架整體為研究對象，求桁架的支座約束力。解：ABCDEFG123FByFAxFEFGFAy解方程求得mm2.

求桿1，2和3的內(nèi)力。用截面m-m將三桿截斷，選取左段為研究對象。F1ACDEFAxFAyF2FEF3解方程求得ABCDEFG123FByFAxFEFGFAy1FFFFF6×aABb例題12求1桿的內(nèi)力mn解：整體為研究對象再以截面m－n左面部分為研究對象FAFBFFAF1F2F3CFAF4(1)兩桿相交，節(jié)點無外力作用，則兩桿都是零桿;(2)三桿相交，其中兩桿共線，節(jié)點無外力作用，則第三桿為零桿。PPP12345678910PPACBGDE123aaaaaCPPBGDEF3F1F2F4F5FBPPGDEF1F2F6F7mnqr零桿：ABCDEGPnmFDE=0BDGPFDCFDEFDAFGCFB練習(xí)已知：等邊三角形ABC，其中E、D、G為各邊中點。求：CD桿的內(nèi)力

FMHABCDOEFGαααα思考題已知：各桿的自重不計。HAB平行于EFG,OCD垂直于AB,角度＝30o,除AB,CD外,各桿的長度均為。求AB桿的內(nèi)力。解：選圖(a)為隔離體圖，求出BC桿的內(nèi)力FBC，然后再以B節(jié)點為對象，求出FAB。參考受力圖(b)，選軸與FOB垂直。BF’BCFABFOB(b)FMCDEFααααFGxFGyFBCFAC(a)1.

接觸表面的粗糙性2.

分子間的引力

一.關(guān)于摩擦現(xiàn)象摩擦的分類摩擦的機(jī)理摩擦的利弊按兩物體的相對運動形式分，有滑動摩擦和滾動摩阻。按兩物體間是否有良好的潤滑，滑動摩擦又可分為干摩擦和濕摩擦?！?.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題實驗室測定摩擦系數(shù)的原理有關(guān)摩擦角的概念，摩擦錐的形成。幾個有意義的實際問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題幾個有意義的實際問題

賽車結(jié)構(gòu)為什么賽車結(jié)構(gòu)前細(xì)后粗；車輪前小后大？maFwFNF考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題幾個有意義的實際問題臺式風(fēng)扇放在光滑的桌面上，風(fēng)扇工作時將會發(fā)生什么現(xiàn)象？落地扇工作時又會發(fā)生什么現(xiàn)象？考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題幾個有意義的實際問題采用什么辦法，可以將左邊軸的轉(zhuǎn)動傳給右邊的軸？

幾個有意義的實際問題1.靜滑動摩擦力二.摩擦定律FPFNFsPFN兩個表面粗糙的物體，當(dāng)其接觸表面之間有相對滑動趨勢或相對滑動時，彼此作用有阻礙相對滑動的阻力——滑動摩擦力★靜滑動摩擦力的大小必須由平衡方程確定靜摩擦定律：最大靜摩擦力的大小與兩物體間的正壓力成正比2.最大靜滑動摩擦力FNFsFRAAFmaxFNFRAAFRA=FN+FS全約束反力★摩擦角——全約束反力與法線間夾角的最大值FRAAFN摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)3.動滑動摩擦力三.考慮摩擦?xí)r物體的平衡考慮摩擦?xí)r系統(tǒng)平衡問題的特點(1)當(dāng)0≤F＜Fmax時，F(xiàn)是一個未知量，用平衡方程求出。當(dāng)為F=Fmax=fsFN的臨界平衡時,此時,有摩擦定律可以作為補(bǔ)充方程，其指向必須與運動趨勢相反。(3)當(dāng)運動后,F=fFN一般屬于動力學(xué)問題?！?/p>

檢驗物體是否平衡；●臨界平衡問題；●求平衡范圍問題。常見的問題有PQFmaxFN解：取物塊為研究對象，先求其最大值。解得：（2）求其最小值。解得：求：平衡時水平力Q的大小。例題13已知：P，，fsPQFmaxFNPQmaxFRPQminFRFRPQmax+PQminFR－例題14用幾何法求解前一個例題PPPPFF1243已知：P=10N，書之間fs1

=0.1，手與書fs2

=0.25。問：要提起這四本書需加的最小壓力。例題15FsFsPF1FsF12FN1P2解：（1）取整體為研究對象Fs=20N（2）取書1為研究對象（3）取書2為研究對象FN1F12′′FN2F23請大家回去考慮最多能提起多少本書MeaABdbABOFNAFAD解：取推桿為研究對象考慮平衡的臨界情況，可得補(bǔ)充方程已知：fs，b。求：a為多大，推桿才不致被卡。例題16FNBFBFCFABObad解:

由圖示幾何關(guān)系得例題17用幾何法求解例16即PF30°問題1已知摩擦角=20°，F(xiàn)=P，問物塊動不動？為什么？PF30°FR20°15°問題2已知摩擦角均為，問欲使楔子打入后不致滑出，在兩種情況下的，物角應(yīng)為若干？FNAFNBFSBFSAFRAFRBFRAFRBFNAFSAFNBFSB練習(xí)已知：P=1000N，fs=0.52若桿重不計。求：系統(tǒng)平衡時的Qmax。例題18ABCQ5cm10cm30°PBFBCQFBAFBA′FNFmaxAOP解:(1)取銷釘B為研究對象FBA=2Q(2)取物塊A為研究對象①處于滑動的臨界平衡狀態(tài)時FBA′FNFAOP②處于翻倒的臨界平衡狀態(tài)時ABCQ5cm10cm30°P四.滾動摩阻的概念FPFNFsoAFPoAPFoAFRMPFFNFsoAMFPoAFsFN′dCOMCFSCFNCFPCOFP解：以輪為研究對象(1)滾動時(2)滑動時F1=Fmax=f

FNCF=f

P=0.6×2000＝1200N

已知：輪胎的半徑R＝40cm,載重P＝2000kN，F(xiàn)作用與輪軸，滑動摩擦系數(shù)f＝0.6，滾動摩擦系數(shù)δ＝0.24cm，試求推動此輪的力F。例題19思考題1：有人想水平地執(zhí)持一迭書，他用手在這迭書的兩端加一壓力225N。如每本書的質(zhì)量為0.95kg，手與書間的摩擦系數(shù)為0.45，書與書間的摩擦系數(shù)為0.40。求可能執(zhí)書的最大數(shù)目。結(jié)論與討論思考題2：已知如圖，B處存在摩擦。就（a）、（b）分別回答下述問題：MFACBBAF(a)(b)(1)能否確定B處的法向反力？(2)能否確定B處的摩擦力？(3)問題是靜定，還是靜不定的？思考題3：均質(zhì)桿重P，長l，置于粗糙的水平面上，兩者間的靜摩擦系數(shù)為fs。現(xiàn)在桿的一端施加與桿垂直的水平力F，試求使桿處于平衡時的Fmax.設(shè)桿的高度忽略不計。FqqFmaxABCxl-x思考題4：重量均為P的小球A、B用一不計重量的桿連結(jié)。放置在水平桌面上，球與桌面間摩擦系數(shù)為

fs

，一水平力F作用于A球，試求系統(tǒng)平衡時Fmax。30°ABF30°