第7章-數(shù)學物理方程定解問題

本篇主要內容：二階線性偏微分方程的建立和求解；重點：數(shù)學物理方程求解方法中的分離變量法；特點：加強物理模型和數(shù)學物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據數(shù)學物理模型建立數(shù)學物理方程。第二篇數(shù)學物理方程數(shù)理方程簡介物理/工程問題數(shù)學問題翻譯物理/工程規(guī)律數(shù)學結果求解數(shù)學理論數(shù)學性質討論物理/工程意義補充：二階線性偏微分方程及其分類一、偏微分方程階數(shù)：偏導數(shù)的最高階數(shù)定義：未知函數(shù)及其偏導數(shù)所滿足的方程。線性偏微分方程：所有含未知函數(shù)或其偏導數(shù)的項均為一次項。齊次方程：各非零項都含有未知函數(shù)，或未知函數(shù)的偏導數(shù)【例】未知函數(shù)

u＝u(x,y)

二階非線性非齊次

三階線性非齊次

二階線性齊次

一階非線性非齊次二、二階線性偏微分方程的分類

復雜多樣的物理問題被抽象成數(shù)學模型時，多樣的物理背景可能是同一個數(shù)學模型。下面把從物理問題中抽象出來的二階線性偏微分方程分為幾大類1.波動方程：描述機械的、電磁的振動和波動的運動規(guī)律的方程一般形式：設

u=u(x,y,z,t)簡記為：（a為常數(shù)）拉氏算符也稱：雙曲型方程（HyperbolicEquation）2.輸運方程：描述熱傳導和物質擴散規(guī)律的方程一般形式：也稱：拋物型方程（ParabolicEquation）：雙曲型方程和拋物型方程都是隨時間變化（或發(fā)展）的,有時也稱為發(fā)展方程.3.泊松方程和拉氏方程：描述各類穩(wěn)定問題規(guī)律的方程一般形式：泊松方程拉氏方程它是描述物理現(xiàn)象中穩(wěn)定（或平衡狀態(tài)）過程規(guī)律偏微分方程.在物理現(xiàn)象中，它很好地描述了重力場、靜電場、靜磁場、穩(wěn)恒流的速度勢等規(guī)律。借助算子的語言，以上各類方程可統(tǒng)一寫成對于波動方程：對于輸運方程：對于穩(wěn)定場方程：L為線性算子:滿足L(c1u1+c2u2)=c1Lu1+c2Lu2其中c1,c2是常量方程還可直接由實驗中總結出來（麥克斯韋方程組）或由某些假設推出來（薛定諤方程）要求：學會從物理、工程規(guī)律推導方程的基本方法由已知的物理/工程規(guī)律可推導出來這三類方程。數(shù)學建模---數(shù)學物理定解問題從一些典型的物理、工程問題中導出二階線性偏微分方程．為了說明物理模型，加強對模型物理、工程意義的描述.對主要類型的物理、工程現(xiàn)象均詳細地給出了數(shù)學物理方程的建立方法,切實加強數(shù)學建模能力的訓練和提高.數(shù)學建模的基本物理思想在科學技術和生產實際中常常要求研究空間連續(xù)分布的各種物理場的狀態(tài)和物理過程?！纠快o電場（或電磁波）的電場強度或電勢在空間中的分布，

聲場中的聲壓在空間和時間中的變化情況，半導體擴散工藝中雜質濃度在硅片中怎樣分布并怎樣隨時間而變化等等。定解條件：

邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環(huán)境和歷史，即問題的特殊性(個性)。數(shù)學物理方程的建立及其求解的一般步驟將物理、工程問題轉化為數(shù)學模型：對物理、工程問題根據相關的物理、工程定律建立相應的數(shù)學模型，也就是將物理或工程問題歸結成數(shù)學上的定解問題.解定解問題,也就是用數(shù)學方法求出滿足方程和定解條件的解;驗證模型的正確性并理解模型的物理、工程意義：對所得解通過數(shù)學的論證和客觀實踐的檢驗鑒定其正確性，并將所得的解作適當?shù)奈锢硪饬x解釋，從而理解遵循同一類方程的普遍物理模型.（1）牛頓（Newton）第二定律:F=ma；（2）胡克（Hooke）定律在彈性限度內，彈性體的張應力和彈性體的形變量成正比．

即張應力＝楊氏模量(E)×相對伸長.（3）熱傳導的傅里葉定律：在dt

時間內，通過面積元dS

流入小體積元的熱量dQ

與沿面積元外法線方向的溫度梯度成正比，也與dS和dt

成正比，即：式中k是導熱系數(shù)，由物體的材料決定．常用物理定理概述返回返回（4）牛頓(Newton)冷卻定律:單位時間內從周圍介質傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度差成正比,即：

這里u1

是外界媒質的溫度.h為比例系數(shù)．(5)擴散定律即斐克定律:單位時間內擴散流過某橫截面的雜質量m與該橫截面積S

和濃度梯度成正比，即：式中D為擴散系數(shù)，負號表示擴散是向著雜質濃度減少的方向進行的。返回返回（6）靜電場中的高斯(Gauss)定理:通過任意閉合曲面的電場強度通量，等于這個閉合曲面所包圍的自由電荷量的1/ε倍。即其中，ε為電荷所處媒質的介電常數(shù)，ρ為電荷體密度。

補充：拉普拉斯算符令（拉普拉斯算符）有時記記下標2是為了強調二維下標3是為了強調三維第七章數(shù)學物理方程定解問題7.2定解條件7.3數(shù)學物理方程的分類(自學）§7.1三類數(shù)學物理方程的導出7.4達朗貝爾公式、定解問題（不講）（弦的一維自由橫振動）一根均勻柔軟的細弦，平衡時將其繃緊，考察它沿垂直于弦方向的微小振動。1、均勻弦的微小橫振動§7.1三類數(shù)學物理方程的導出推導過程：（1）建立坐標系：選擇弦平衡時繃緊的直線為ox軸。（2）確定描述狀態(tài)的物理量：u(x,t)

u(x,t)—弦上位于x點在任意t時刻偏離平衡位置的橫向位移。（3）弦運動所遵循的物理規(guī)律：弦上任意一小段可視為質點，服從牛頓第二定律①弦是均勻的——密度為一常量

mg<<T（弦中的張力）——

重力可忽略不計，同時忽略空氣阻力③弦是完全柔軟體——（無抗彎力）張力沿切線方向④弦做微小振動——弦的伸縮量ΔS≈0(

ds

～dx）（4）簡化假設：xx+xxu弦的橫向位移為u(x,t)(5)導出方程（小塊分析法）：考慮微小橫振動xx+xxu記xx+xxu《高數(shù)》下冊P63偏導數(shù)的定義均勻弦的受迫橫振動如果各點受到一個垂直方向的外力F(x,t)x的作用，其中：F(x,t)為單位長度上受到的外力。推導過程相同，結果得：一維波動方程單位質量所受的力(力密度)桿長方向的縱向振動位移所遵從的運動規(guī)律：

對于一根桿，只要其中任意一小段有縱向移動，必然使它的臨近段壓縮或伸長，這鄰近段的壓縮或伸長又使得它自己的相鄰段壓縮或伸長······。這樣一來，任一小段的縱向振動必然傳播到整根桿．實際上，這種振動的傳播就是波．2、均勻桿的縱振動細桿分成許多段（研究B段）t時刻，某點的縱向位移為t時刻，B段伸長相對伸長為事實上，相對伸長是位置的函數(shù)，如B段兩端：相對伸長由胡克定律，B兩端的張應力（單位橫截面的力）分別為B段運動方程為記對于均勻桿，E和ρ都是常數(shù)。不同的物理過程，可能有相同的泛定方程。如：傳輸線方程（電報方程）均勻薄膜的微小橫振動方程流體力學與聲學方程電磁波方程盡管它們的物理本質根本不同，但是這些方程數(shù)學形式與弦振動方程和桿縱振動方程完全一樣。3、擴散方程由于濃度不同引起的分子運動擴散流強度q

，即單位

時間內流過單位面積的分子數(shù)或質量，與濃度

u(單位體積內的粒子數(shù)）

的梯度成正比

D為擴散系數(shù)。

負號表擴散方向與濃度梯度相反。(擴散定律/斐克定律)大小

x方向左表面，dt

時間流入六面體的流量為流出六面體的流量為凈流入量為x

方向凈流入量為同理可以求得y方向凈流入量為以及z方向凈流入量為則六面體凈流入量如六面體內無源和匯，則dt時間內粒子增加數(shù)為該增加數(shù)等于六面體凈流入量，即于是得到三維擴散方程：如果擴散系數(shù)D在空間中是均勻的，則上式可以簡化為這里

a2=D。如果僅在x方向有擴散，則有

即如六面體內有源或匯，則需進一步考慮以下兩種情況：第二種情況，若單位時間內單位體積中產生的粒子數(shù)為

b2u，則即第一種情況，若單位時間內單位體積中產生的粒子數(shù)為

F(x,y,z,t)與u無關4、熱傳導方程第一種情況：系統(tǒng)內無熱源（熱傳導僅由物體內部溫度不均勻所引發(fā)）如果物體內各點的溫度不一樣，則物體內部就會有熱傳導現(xiàn)象發(fā)生，即熱量會從溫度高的地方流向溫度低的地方。熱傳導的結果使物體各點溫度發(fā)生變化，我們的任務就是要推導溫度變化所滿足的偏微分方程。設有一根橫截面為A的均勻細桿，沿桿長有溫度差，其側面絕熱。u(x,t)為

x處t

時刻的溫度，為桿密度。xxx+x熱傳導的傅里葉定律：單位

時間內流過單位面積的熱量

q(熱流強度量）與溫度的梯度成正比，即

（k為熱傳導系數(shù)）

一維情況下有大小

x方向左表面，dt

時間流入圓柱體的熱量為dt

時間流出圓柱體的熱量為xxx+xdt

時間凈流入的熱量為

這里認為熱傳導系數(shù)k

為常數(shù)。u(x,t)為

x處t

時刻的溫度，為桿密度xxx+xdt

時間內引起小段dx溫度升高所需熱量為由能量守恒定律：dt流入dx內的凈熱量＝

體元dx溫度改變du所吸收（放出）的熱量

即：各向同性均勻物體，當體內無熱源時的熱傳導方程。為該情況下，按單位質量單位熱容量計算的熱源強度。設：單位時間單位體積內產生的熱量為F(x,t)，（如焦耳熱），則能量守恒方程改寫為第二種情況：系統(tǒng)內有熱源三維情況下5、穩(wěn)定場方程

以熱傳導方程為例：如果邊界條件及熱源內不隨時間變化，經過一定時間后，物體內部的溫度分布將達到穩(wěn)定狀態(tài)。即：那么：退化為

Laplace方程泊松方程§7.1作業(yè)：P121習題3和習題4。注意習題4需要先推導出(7.1.34)和(7.1.36)。6、靜電場情況下的泊松方程和Laplace方程電場強度通量的高斯定理稱為泊松方程稱為Laplace

方程若《高數(shù)》下冊P229高斯公式7、不可壓縮流體的無旋穩(wěn)恒流動無旋穩(wěn)恒流動的速度勢滿足無源無旋穩(wěn)恒流動的速度勢f

為流體源或匯的強度（不講，幻燈片隱藏）各類方程均是對一種連續(xù)分布的物理場的逐點、瞬時的精確描述。也就是說，從空間上看，方程所反映的是系統(tǒng)中除邊界點外所有內部點的運動規(guī)律。從時間上看，方程所反映的是系統(tǒng)在t>0以后各個時刻的運動規(guī)律。方程反映的是同一類物理問題的共性，跟具體條件無關—泛定方程。具體問題的個性是由邊界條件和初始條件反映的；要完全確定地解出一個具體的物理問題，還必須考慮邊界條件和初條件－定解條件。

7.2定解條件t>0時刻系統(tǒng)的周圍環(huán)境t=0時刻系統(tǒng)的初始狀態(tài)物理、工程數(shù)學t>0時刻系統(tǒng)內部的物理、工程過程泛定方程邊界條件初始條件某系統(tǒng)物理狀態(tài)的最后確定不僅取決于系統(tǒng)內部的物理過程，而且還取決于系統(tǒng)周圍環(huán)境和初始狀態(tài)。對于輸運方程（一）、初始條件初始條件要求已知對于弦振動方程初始條件要求已知位移滿足速度滿足定義：描述初始時刻，系統(tǒng)各點狀態(tài)的定解條件。注：只有非穩(wěn)定問題，提初始條件才有意義。x=l/2xyx=lhx0位移滿足速度滿足（二）、邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件一維情況解釋Σ和M如兩端固定弦,端點位移x=l/2xyx=l