第5章 圖像變換-傅里葉變換

第5章圖像變換問(wèn)題的提出目的：為達(dá)到某種目的將原始圖象變換映射到另一個(gè)空間上，使得圖象的某些特征得以突出，以便于后面的處理和識(shí)別。圖像變換：原則上，所有的圖像處理都是圖像變換。本章：圖像變換是指數(shù)字圖像經(jīng)過(guò)正交變換，把原先二維空間域中的數(shù)據(jù)，變換到另外一個(gè)“變換域”形式描述的過(guò)程。φ變換后的圖象，大部分能量都分布于低頻譜段，這對(duì)以后圖象的壓縮、傳輸都比較有利。使得運(yùn)算次數(shù)減少，節(jié)省時(shí)間。卷積考慮一維的情況，假設(shè)f(x)(x=0,1…,A-1)以及g(x)(x=0,1,…,C-1)是兩個(gè)有限離散函數(shù)，其線性卷積為任意函數(shù)與脈沖函數(shù)卷積的結(jié)果，是將該函數(shù)平移到脈沖所在位置。對(duì)于圖像二維函數(shù)的卷積，則相關(guān)2個(gè)函數(shù)的相關(guān)定義為

其中f*(i)為f(i)的復(fù)共軛

圖像變換基礎(chǔ)

信號(hào)變換理論“任意”的函數(shù)通過(guò)一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類。什么是傅立葉變換一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比作一個(gè)玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個(gè)成分的顏色由波長(zhǎng)（或頻率）來(lái)決定。傅里葉變換可以看作是數(shù)學(xué)上的棱鏡，將函數(shù)基于頻率分解為不同的成分。當(dāng)我們考慮光時(shí),討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過(guò)頻率成分來(lái)分析一個(gè)函數(shù)。5.2傅里葉變換傅立葉原理傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都

可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻

率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。因此，可以說(shuō)，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。

非周期性的連續(xù)信號(hào)周期性的連續(xù)信號(hào)非周期性的離散譜取樣作離散化處理周期性的連續(xù)譜離散化并延拓為周期性信號(hào)周期性的離散譜非周期性的連續(xù)波形例：求如圖所示的函數(shù)的傅立葉譜xyf(x,y)Af(x,y)函數(shù)其傅立葉譜為：傅立葉譜在(0,0)處取最大值；傅立葉譜在π

ux=nπ

π

vy=nπ處取零值。說(shuō)明：傅立葉譜通常用lg(1+|F(u,v)|)

的圖像顯示，而不是F(u,v)的直接顯示。因?yàn)楦盗⑷~變換中，F(xiàn)(u,v)隨u或v的衰減太快，這樣只能表示F(u,v)高頻項(xiàng)很少的峰，其余都難于看清楚。采用lg(1+|F(u,v)|)

顯示能更好得表示F(u,v)的高頻(即F(u,v)＝0的點(diǎn))，這樣便于對(duì)圖像頻譜的視覺(jué)理解；這樣顯示的傅立葉頻譜圖像中，窗口中心為低頻（圖像能量），向外為高頻（噪聲和細(xì)節(jié)），從而便于分析。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即使在

不移頻的情況下也是沒(méi)有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小

如：在圖像中灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于在圖像中灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。例對(duì)比傅立葉變換的物理意義梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。

這樣通過(guò)觀察傅立葉變換后的頻譜圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對(duì)較小），反之，如果

頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。

傅立葉變換的物理意義對(duì)頻譜移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心，對(duì)稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個(gè)好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào)，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移

頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心，對(duì)稱分布的亮點(diǎn)集合，這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時(shí)可以很直觀的通過(guò)在該位置放置帶阻

濾波器消除干擾圖像傅立葉變換原圖像幅度譜相位譜圖像傅立葉變換原圖像幅度譜相位譜圖像傅立葉變換幅度譜告訴我們圖像中某種頻率的成份有多少相位譜告訴我們頻率成份位于圖像的什么位置通常我們只關(guān)心幅度譜圖像傅立葉變換從幅度譜中我們

可以看出明亮線

反映出原始圖像

的灰度級(jí)變化，

這正是圖像的輪

廓邊圖像傅立葉變換從幅度譜中我們

可以看出明亮線

和原始圖像中對(duì)

應(yīng)的輪廓線是垂

直的。如果原始

圖像中有圓形區(qū)

域那么幅度譜中

也呈圓形分布圖像傅立葉變換圖像中的顆粒狀對(duì)

應(yīng)的幅度譜呈環(huán)狀，

但即使只有一顆顆

粒，其幅度譜的模

式還是這樣。圖像傅立葉變換這些圖像沒(méi)有特定

的結(jié)構(gòu)，左上角到

右下角有一條斜線，

它可能是由帽子和

頭發(fā)之間的邊線產(chǎn)

生的

圖像的傅里葉變換是圖像在空域和頻域之間的變換

幅度和相位哪個(gè)更能影響圖像的形狀呢請(qǐng)看如下試驗(yàn)先準(zhǔn)備兩張圖片

a圖b圖圖的幅值譜圖的幅值譜ba圖的相位譜圖的相位譜ab

圖a的幅值譜

和圖b的相位譜

重新組合

圖的幅值譜圖的相位譜abb圖的大體輪廓

b圖的幅值譜與a圖的相位譜組合

圖的相位譜圖的幅值譜

baa圖的大體輪廓 由此可以說(shuō)明相位譜較幅值譜更能影響圖像的形狀。

通俗的說(shuō)，幅度決定圖像的強(qiáng)弱，相位決定圖像的頻率。

先將幅值譜設(shè)為常數(shù)（這里設(shè)為1），然后和圖像原來(lái)的相位譜結(jié)合，進(jìn)行傅里葉反變換

圖

aa圖的相位譜重構(gòu)圖

再將相位譜設(shè)為常數(shù)（這里設(shè)為1），然后和圖像原來(lái)的幅值譜結(jié)合，進(jìn)行傅里葉反變換

ab圖圖的幅值譜重構(gòu)圖

由此更加說(shuō)明相位譜較幅值譜更能影響圖像的輪廓。

（1）可分性從上式可以看出，一個(gè)二維傅立葉變換可用二次一維傅立葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)傅立葉變換的性質(zhì)f(x,y)(0,0)N-1N-1xyF(x,v)(0,0)N-1N-1xvF(u,v)(0,0)N-1N-1vu行變換列變換二維傅立葉變換分離成兩個(gè)一維變換行變換列變換（2）平移性在空域中，圖像原點(diǎn)平移到(x0，y0)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的頻譜F(u,v)要乘上一個(gè)負(fù)的指數(shù)項(xiàng)也就是說(shuō)，當(dāng)空域中f(x,y)產(chǎn)生移動(dòng)時(shí)，在頻域中只發(fā)生相移，而傅立葉變換的幅值不變。反之，在頻域中，原點(diǎn)平移到(u0，v0)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的f(x,y)要乘上一個(gè)正的指數(shù)項(xiàng)因此，當(dāng)頻域中F(u,v)產(chǎn)生移動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的f(x,y)在空域中也只發(fā)生相移，而幅值不變。在數(shù)字圖像處理中，我們常常將F(u,v)的原點(diǎn)移到N×N頻域方陣的中心，以使能清楚地分析傅立葉變換譜的情況，只需令：u0＝v0＝N/2則即，如果將圖像頻譜的原點(diǎn)從起點(diǎn)(0，0)移到圖像中心點(diǎn)(N/2，N/2)，只要f(x,y)乘上(－1)(x＋y)因子后，再進(jìn)行傅立葉變換即可。（3）周期性和共軛對(duì)程稱性周期性可表示為

如果F(u,v)是f(x,y)的傅立葉變換，則F*(-u,-v)是f(-x,-y)的傅立葉變換的共軛函數(shù)F(u,v)=F*(-u,-v)|F(u,v)|=|F(-u,-v)|共軛對(duì)稱性可表示為（4）旋轉(zhuǎn)不變性如果引入極坐標(biāo)則f(x,y)和F(u,v)分別變?yōu)閒(r,θ)和F(ω，φ)在極坐標(biāo)系中，存在以下變換對(duì)該式表明，如果空間域函數(shù)f(x,y)旋轉(zhuǎn)θ0角度后，相應(yīng)的傅立葉變換F(u,v)在頻域中也旋轉(zhuǎn)同一θ0角，反之，F(xiàn)(u,v)在頻域中旋轉(zhuǎn)θ0角，其反變換f(x,y)在空間域中也旋轉(zhuǎn)θ0角（5）分配性（線性）和比例性（縮放）傅立葉變換的分配性表明，傅立葉變換和反變換對(duì)于加法可以分配，而對(duì)乘法則不行，即傅立葉變換的比例性表明，對(duì)于二個(gè)標(biāo)量a和b，有在空間比例尺度的展寬，相應(yīng)于頻域中比例尺度的壓縮，其幅值也減少為原來(lái)的（6）平均值性質(zhì)定義二維離散函數(shù)的平均值為將u=v=0代入二維離散傅立葉公式，可得比較上面兩式，可看出若求二維離散信號(hào)f(x,y)的平均值，只需算出相應(yīng)的傅立葉變換F(u,v)在原點(diǎn)的值F(0,0)（7）卷積定理卷積定理和相關(guān)定理都是研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的傅立葉變換之間的關(guān)系，這構(gòu)成了空間域和頻域之間的基本關(guān)系對(duì)于兩個(gè)二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)的卷積定義為其二維卷積定理可由下面關(guān)系表示設(shè)則（8）相關(guān)定理對(duì)于二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)的相關(guān)定義為相關(guān)定理可表示為5.4快速傅里葉變換直接進(jìn)行一個(gè)N×N的2-D傅里葉變換需要N4次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和N2(N2–1)次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算快速傅里葉變換（FFT）：

將復(fù)數(shù)乘法和加法的次數(shù)減少為正比于Nlog2N

逐次加倍法：復(fù)數(shù)乘法次數(shù)由N2減少為(Nlog2N)/2 復(fù)數(shù)加法次數(shù)由N2減少為Nlog2N

其原理：對(duì)于一個(gè)有限長(zhǎng)序列{f(x)}(0≤x≤N-1)，它的傅立葉變換由下式表示：令傅立葉變換對(duì)可寫為：(1)(2)將正變換(1)展開(kāi)得到：從上式可以看出，要得到每一個(gè)頻率分量，需進(jìn)行N次乘法和N-1次加法運(yùn)算。要完成整個(gè)變換需要N2次乘法和N(N-1)次加法運(yùn)算。當(dāng)序列較長(zhǎng)時(shí)，必然要花費(fèi)大量的時(shí)間。1965年庫(kù)利-圖基提出原始的N點(diǎn)序列依次分解成一系列短序列，然后，求出這些短序列的離散傅立葉變換，以此來(lái)減少乘法運(yùn)算，例如，設(shè)：由此，離散傅立葉變換可寫成下面的形式：因?yàn)椋核裕篎1(u)和F2(u)分別是f1(x)和f2(x)的N/2點(diǎn)的傅立葉變換

由上面的分析可見(jiàn)，一個(gè)N點(diǎn)的離散傅立葉變換可由兩個(gè)N/2點(diǎn)的傅立葉變換得到。當(dāng)N為2的整數(shù)冪時(shí)，則上式中的F1(u)和F2(u)還可以再分成兩個(gè)更短的序列，因此計(jì)算時(shí)間會(huì)更短。離散傅立葉變換已成為數(shù)字信號(hào)處理的重要工具，然而，它的計(jì)算量達(dá)，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，在某種程度上卻限制了它的使用范圍。快速算法大大提高了運(yùn)算速度，在某些應(yīng)用場(chǎng)合已能作實(shí)時(shí)處理，并且應(yīng)用在控制系統(tǒng)中?？焖俑盗⑷~變換不是一種新的變換，它是離散傅立葉變換的一種算法，它是在分析離散傅立葉變換中的多余運(yùn)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)而消除這些重復(fù)工作的思想指導(dǎo)下得到的。二維快速傅里葉變換的matlab實(shí)現(xiàn)在MATLAB中，函數(shù)fft：用于進(jìn)行一維離散傅立葉變換（DFT）函數(shù)fft2：用于進(jìn)行二維DFT函數(shù)fftn

：用于進(jìn)行N維DFT另外函數(shù)ifft：用于進(jìn)行一維DFT的快速傅立葉反變換函數(shù)ifft2：用于進(jìn)行二維DFT的快速傅立葉反變換函數(shù)ifftn

：用于進(jìn)行N維DFT的快速傅立葉反變換見(jiàn)例題補(bǔ)充說(shuō)明1、圖像經(jīng)過(guò)二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角，那么圖像信號(hào)能量將集中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時(shí)也表明——圖像能量集中低頻區(qū)域2、變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說(shuō)明低頻的能量大（幅角比較大）傅里葉變換的應(yīng)用例1：快速卷積fft-2.m例2：圖像特征定位fft-3.m5.4離散余弦變換離散余弦變換(DiscreteCosineTransform-簡(jiǎn)稱DCT)是傅里葉變換的一種特殊情況。在傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，被展開(kāi)的函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中只包含余弦項(xiàng)，稱之為余弦變換。二維離散余弦變換二維離散反余弦變換傅立葉變換需要復(fù)數(shù)的乘法和加法運(yùn)算，而復(fù)數(shù)運(yùn)算比實(shí)數(shù)運(yùn)算要費(fèi)時(shí)得多離散余弦變換是實(shí)值變換，計(jì)算復(fù)雜性適中，又具有可分離特性，還有快速算法，變換后這有很少的非零元素，所以被廣泛地用在圖象數(shù)據(jù)壓縮編碼算法中，如JPEG、MPEG-1、MPEG-2及H.261等壓縮編碼國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)都采用了離散余弦變換編碼算法其變換核－是為實(shí)數(shù)的余弦函數(shù)，因而DCT的計(jì)算速度比DFT快得多例：原圖像為：DCT變換圖像的離散余弦變換DCT矩陣的左上角代表低頻分量，右下角代表高頻分量由DCT域圖像我們能夠了解圖像主要包含低頻成份DCT域圖像空間域圖像

MATLAB圖像處理工具箱提供了dct2函數(shù)和idct2函數(shù)進(jìn)行二維DCT變換和逆變換的計(jì)算。例1yuxianbianhuan1.m

圖像的離散沃爾什變換由于傅里葉變換和余弦變換的變換核由正弦、余弦函數(shù)組成，運(yùn)算速度受影響，為此。我們?cè)谔囟▎?wèn)題中往往引進(jìn)不同的變換方法，要求運(yùn)算簡(jiǎn)單且變換核矩陣產(chǎn)生方便。WalshTransform中的變換矩陣簡(jiǎn)單（只有1和－1），占用存儲(chǔ)空間少，產(chǎn)生容易，有快速算法，在大量數(shù)據(jù)需要實(shí)時(shí)處理的圖像處理問(wèn)題中，得到廣泛應(yīng)用圖像的K-L變換K-L變換也叫霍特林（Hotelling）變換，是一種基于圖像統(tǒng)計(jì)特性的變換K-L變換的協(xié)方差矩陣除對(duì)角線以外的元素都是零，消除了數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，從而在信息壓縮方面起著重要作用。K-L變換的應(yīng)用－人臉識(shí)別FT在信號(hào)處理中的局限性用傅立葉變換提取信號(hào)的頻譜需要利用信號(hào)的全部時(shí)域信息。傅立葉變換沒(méi)有反映出隨著時(shí)間的變化信號(hào)頻率成分的變化情況。5.5小波變換在不少實(shí)際問(wèn)題中，我們關(guān)心的是信號(hào)在局部范圍中的特征,例如：在音樂(lè)信號(hào)中人們關(guān)心的是什么時(shí)刻演奏什么樣的音符；對(duì)地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波；圖像識(shí)別中的邊緣檢測(cè)關(guān)心的是信號(hào)突變部分的位置，即紋理結(jié)構(gòu)。這些FT不能完成，需要引入時(shí)頻局部化分析與Fourier變換相比，小波變換是空間（時(shí)間）和頻率的局部變換，它通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能可對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分、低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，通過(guò)對(duì)高頻采取逐漸精細(xì)的時(shí)域或空域步長(zhǎng)，從而可以聚焦到分析對(duì)象的任意細(xì)節(jié)。解決了Fourier變換不能解決的許多困難，原則上，凡傳統(tǒng)使用Fourier分析的方法，都可以用小波分析代替小波定義：“小”是指在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集，“波”是指具有正負(fù)交替的波動(dòng)性，直流分量為0。小波概念：是定義在有限間隔而且其平均值為零的一種函數(shù)正弦波和小波（a）正弦波曲線；(b)小波曲線波與小波的差異：一維連續(xù)小波的例子：Haar小波：一維連續(xù)小波的例子2.Mexico草帽小波：3.Morlet小波：小波變換的含義是：把基本小波(母小波)的函數(shù)作位移后，再在不同尺度下與待分析信號(hào)作內(nèi)積，就可以得到一個(gè)小波序列基本小波函數(shù)ψ()的縮放和平移操作含義如下：

(1)縮放。簡(jiǎn)單地講，縮放就是壓縮或伸展基本小波，縮放系數(shù)越小，則小波越窄，如圖所示。

小波的縮放操作

(2)平移。簡(jiǎn)單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上，函數(shù)f(t)延遲k的表達(dá)式為f(t-k)，如圖所示。小波的平移操作(a)小波函數(shù)ψ(t)；(b)位移后的小波函數(shù)ψ(t-k)

CWT計(jì)算主要有如下五個(gè)步驟：第一步：取一個(gè)小波，將其與原始信號(hào)的開(kāi)始一節(jié)進(jìn)行比較。

第二步：計(jì)算數(shù)值C，C表示小波與所取一節(jié)信號(hào)的相似程度，計(jì)算結(jié)果取決于所選小波的形狀。第三步：向右移動(dòng)小波，重復(fù)第一步和第二步，直至覆蓋整個(gè)信號(hào)，如所示。第四步：伸展小波，重復(fù)第一步至第三步，如圖所示。計(jì)算系數(shù)值C

計(jì)算平移后系數(shù)值C計(jì)算尺度后系數(shù)值C

第五步：對(duì)于所有縮放，重復(fù)第一步至第四步。小波的縮放因子與信號(hào)頻率之間的關(guān)系是：縮放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信號(hào)的細(xì)節(jié)變化，表示信號(hào)頻率越高；縮放因子scale越大，表示小波越寬，度量的是信號(hào)的粗糙程度，表示信號(hào)頻率越低。(1)小波分解可以覆蓋整個(gè)頻域(提供了一個(gè)數(shù)學(xué)上完備的描述)(2)小波變換通過(guò)選取合適的濾波器，可以極大的減小或去除所提取得不同特征之間的相關(guān)性(3)小波變換具有“變焦”特性，在低頻段可用高頻率分辨率和低時(shí)間分辨率(寬分析窗口)，在高頻段，可用低頻率分辨率和高時(shí)間分辨率(窄分析窗口)(4)小波變換實(shí)現(xiàn)上有快速算法(Mallat小波分解算法)小波變換在圖像處理中的優(yōu)點(diǎn)：廣泛應(yīng)用：信號(hào)處理、圖像處理、模式識(shí)別、量子物理、非線性科學(xué)領(lǐng)域5.5.2小波變換用于圖像壓縮一般方法：（1）利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮（2）二維信號(hào)壓縮中的閾值的確定與作用命令例1xiaobo1.m例2xiaobo2.m原始圖像余弦變換壓縮解壓結(jié)果小波變換壓縮解壓結(jié)果5.5.3小波變換用于圖像去噪對(duì)小波分解的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化來(lái)達(dá)到消除噪聲的目的。例3xiaobo3.m圖像變換小結(jié)

圖像變換主要內(nèi)容：圖像的代數(shù)變換圖像的幾何變換圖像的離散傅立葉變換圖像的離散余弦變換圖像的離散沃爾什變換圖像的K-L變換圖像的小波變換圖像的代數(shù)變換代數(shù)運(yùn)算包括算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算算術(shù)運(yùn)算：加法運(yùn)算：C(x,y)=A(x,y)+B(x,y)減法運(yùn)算：C(x,y)=A(x,y)-B(x,y)乘法運(yùn)算：C(x,y)=A(x,y)*B(x,y)除法運(yùn)算：C(x,y)=A(x,y)/B(x,y)邏輯運(yùn)算：非運(yùn)算：g(x,y)=255-f(x,y)異或運(yùn)算：g(x,y)=f(x,y)

h(x,y)或運(yùn)算：g(x,y)=f(x,y)v

h(x,y)與運(yùn)算：g(x,y)=f(x,y)

h(x,y)加法運(yùn)算加法運(yùn)算可以去除加性（Additive）隨機(jī)噪聲加性隨機(jī)噪聲一般理解成背景噪聲，比如閃電、雷擊和大氣中的電暴等等對(duì)于原圖像f(x,y),有一個(gè)噪音圖像集 {gi(x,y)}i=1,2,...M其中：gi(x,y)=f(x,y)+hi(x,y)M個(gè)圖像的均值定義為：g(x,y)=1/M(g0(x,y)+g1(x,y)+…+gM(x,y))當(dāng)噪音hi(x,y)為互不相關(guān)，且均值為0時(shí)，上述圖像均值將降低噪音的影響舉例：加法運(yùn)算當(dāng)M增大，即對(duì)圖像相加次數(shù)增加時(shí)，去除加性（Additive）噪聲的效果更加明顯加法運(yùn)算生成圖像疊加效果對(duì)于兩個(gè)圖像f(x,y)和h(x,y)的均值有：g(x,y)=f(x,y)/2+h(x,y)/2會(huì)得到二次曝光的效果。推廣這個(gè)公式為：

g(x,y)=αf(x,y)+βh(x,y)

其中α+β=1，我們可以得到各種圖像合成的效果也可以用于兩張圖片的銜接舉例：加法運(yùn)算＋＝減法運(yùn)算可以去除不需要的疊加性圖案設(shè)：背景圖像b(x,y)，前景背景混合圖像f(x,y)

g(x,y)=f(x,y)–b(x,y)g(x,y)為去除了背景的圖像電視制作的藍(lán)屏技術(shù)就基于此減去背景圖像b(x,y)添加藍(lán)色背景f(x,y)g(x,y)減法運(yùn)算可以檢測(cè)同一場(chǎng)景兩幅圖像之間的變化設(shè)：時(shí)間1的圖象為T1(x,y)，時(shí)間2的圖象為T2(x,y)g(x,y)=T2(x,y)-T1(x,y)=-乘法運(yùn)算用二值蒙板圖像與原圖像做乘法進(jìn)行圖像的局部顯示：非運(yùn)算可以獲得一個(gè)陰圖象255－非運(yùn)算獲得一個(gè)子圖像的補(bǔ)圖像255－異或運(yùn)算01＝1 10＝1 00＝0 11＝0可以獲得相交子圖象=或運(yùn)算0v1＝1 1v0＝1 0v0＝0 1v1＝1可以合并子圖像=或運(yùn)算0v1＝1 1v0＝1 0v0＝0 1v1＝1模板運(yùn)算：提取感興趣的子圖像=與運(yùn)算0

1＝0 1

0＝0 0

0＝0 1

1＝1求兩個(gè)