第3章-幾種常見的概率分布律

第三章幾種常見的概率分布律第一節(jié)二項式分布第二節(jié)泊松分布第三節(jié)另外幾種離散型分布第四節(jié)正態(tài)分布第五節(jié)另外幾種連續(xù)型分布第六節(jié)中心極限定理第一節(jié)二項分布3.1.1貝努利試驗及二項分布的概率函數(shù)最早被研究的隨機試驗模型之一，只有兩種可能的試驗結(jié)果。如擲錢幣可能正面，也可能反面；抽驗一個產(chǎn)品可能合格，也可能不合格等。它概括了最簡單、也是最常用的一類隨機現(xiàn)象。因瑞士數(shù)學家雅科布·貝努利首先研究而得名。

這是一個生產(chǎn)數(shù)學家和物理學家的家屬,Bernoulli一家在歐洲享有盛譽，有一個傳說，講的是DanielBernoulli（他是JohnBernoulli的兒子）有一次正在做穿過歐洲的旅行，他與一個陌生人聊天，他很謙虛的自我介紹：“我是DanielBernoulli?！蹦莻€人當時就怒了，說：“我是還是IssacNewton（牛頓）呢。”Daniel從此之后在很多的場合深情的回憶起這一次經(jīng)歷，把它當作自己曾經(jīng)聽過的最衷心的贊揚。

對于n次獨立的試驗，如果每次試驗結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對立事件A與之一，在每次試驗中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p(0<p<1)，因而出現(xiàn)對立事件的概率是1-p=q，則稱這一串重復的獨立試驗為n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗(Bernoullitrials)。

貝努里試驗具有如下屬性試驗包含了n

個相同的試驗每次試驗只有兩個可能的結(jié)果，即“成功”和“失敗”出現(xiàn)“成功”的概率p對每次試驗結(jié)果是相同的；“失敗”的概率q也相同，且p+q=1試驗是相互獨立的試驗“成功”或“失敗”可以計數(shù)在生物學研究中，我們經(jīng)常碰到的一類離散型隨機變量，如入孵n枚種蛋的出雛數(shù)、n頭病畜治療后的治愈數(shù)、n

尾魚苗的成活數(shù)等，可用貝努利試驗來概括。在n重貝努利試驗中，事件A可能發(fā)生0，1，2，…，n次，現(xiàn)在我們來求事件A

恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。

先取n=4，k=2來討論。在4次試驗中，事件A發(fā)生2次的方式有以下種：

其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次試驗發(fā)生；(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次試驗不發(fā)生。由于試驗是獨立的，按概率的乘法法則，于是有

P()=P()=…=P()=P()·P()·P()·P()=

又由于以上各種方式中，任何二種方式都是互不相容的，按概率的加法法則，在4次試驗中，事件A恰好發(fā)生2次的概率為

P4(2)=P()+P()+…+P()=

一般，在n重貝努利試驗中，事件A恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率為

K=0,1,2…，n

(4-14)

若把(4-14)式與二項展開式相比較就可以發(fā)現(xiàn)，在n重貝努利試驗中，事件A發(fā)生k次的概率恰好等于展開式中的第k+1項，所以作二項概率函數(shù)

。二項分布的意義及性質(zhì)二項分布定義如下：設隨機變量x所有可能取的值為零和正整數(shù)：0,1,2,…，n，且有

=k=0,1,2…，n

其中p＞0，q＞0，p+q=1，則稱隨機變量x服從參數(shù)為n和p的二項分布

(binomialdistribution),記為

x～B(n,p)。二項分布是一種離散型隨機變量的概率分布。參數(shù)n稱為離散參數(shù)，只能取正整數(shù)；p是連續(xù)參數(shù)，它能取0與1之間的任何數(shù)值(q由p確定，故不是另一個獨立參數(shù))。容易驗證，二項分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即：

1、P(x=k)=

Pn(k)(k=0,1,…，n)2、二項分布的概率之和等于1，即3、(4-15)4、(4-16)5、

（m1<m2）

(4-17)

二項分布由n和p兩個參數(shù)決定：

1、當p值較小且n不大時，分布是偏倚的。但隨著n的增大，分布逐漸趨于對稱。

2、當p值趨于0.5時，分布趨于對稱。

3、對于固定的n及p，當k增加時，Pn(k)先隨之增加并達到其極大值，以后又下降。

此外，在n較大，np、nq

較接近時，二項分布接近于正態(tài)分布；當n→∞時，二項分布的極限分布是正態(tài)分布。二項分布圖當n=20時，不同p值的曲線。二項分布的概率計算及應用條件

【例3.1】純種白豬與純種黑豬雜交，根據(jù)孟德爾遺傳理論，子二代中白豬與黑豬的比率為3∶1。求窩產(chǎn)仔10頭，有7頭白豬的概率。根據(jù)題意，n=10，p=3／4=0.75，q=1／4=0.25。設10頭仔豬中白色的為x頭，則x為服從二項分布B(10，0.75)的隨機變量。于是窩產(chǎn)10頭仔豬中有7頭是白色的概率為：

【例3.2】設在家畜中感染某種疾病的概率為20％，現(xiàn)有兩種疫苗，用疫苗A

注射了15頭家畜后無一感染，用疫苗B注射15頭家畜后有1頭感染。設各頭家畜沒有相互傳染疾病的可能，問：應該如何評價這兩種疫苗?

假設疫苗A完全無效，那么注射后的家畜感染的概率仍為20％，則15頭家畜中染病頭數(shù)x=0的概率為同理，如果疫苗B完全無效，則15頭家畜中最多有1頭感染的概率為由計算可知，注射A疫苗無效的概率為0.0352，比B疫苗無效的概率0.1671小得多。因此，可以認為A疫苗是有效的，但不能認為B疫苗也是有效的。

【3.3】仔豬黃痢病在常規(guī)治療下死亡率為20％，求5頭病豬治療后死亡頭數(shù)各可能值相應的概率。設5頭病豬中死亡頭數(shù)為x，則x服從二項分布B(5,0.2)，其所有可能取值為0，1，…，5，按(4-6)式計算概率，用分布列表示如下：

012345

0.32770.40960.20480.05120.00640.0003大豆子葉顏色由2對隱性重疊基因控制，在其F2代黃子葉表現(xiàn)為顯性，黃和青以3:1比例分離。（以二粒莢為例來說明）。全部可能的結(jié)果有四種：⑴兩粒都是黃的（YY）3/4×3/4=9/16⑵第一次是青的第二次是黃的（GY）1/4×3/4=3/16⑶第一次是黃的第二次是青的（YG）3/4×1/4=3/16⑷兩粒都是青的（GG）1/4×1/4=1/16假設y(黃子葉粒數(shù)）為變量，黃色子葉的概率為0.75，青色子葉的概率為0.25。那么其概率分別為（見上面）。如果一粒豆莢中有三粒種子，那么就有8種可能的情況。⑴全部是青子葉（GGG）1/64⑵僅有一粒黃子葉種子（GGY、GYG、YGG）9/64⑶具有兩粒黃了葉種子（YYG、YGY、GYY）27/64⑷全部是黃子葉種子（YYY）27/64數(shù)學上的組合公式為n相當于豆莢內(nèi)種子數(shù)，y相當于黃子葉種子數(shù)。因此由此可以推知二項分布的概率函數(shù)為：某種昆蟲在某地區(qū)的死亡率為40%，即p=0.4，現(xiàn)對這種害蟲用一種新藥進行治療試驗，每次抽樣10頭為一組治療。試問如新藥無療效，則在10頭中死3頭、2頭、1頭以及全部愈好的概率為多少？按照上面的公式進行計算：7頭愈好，3頭死去的概率為：8頭愈好，2頭死去的概率為：9頭愈好，1頭死去的概率為：10頭全部愈好的概率為：

受害株數(shù)概率函數(shù)P（y）P(y)F(y)nP(y)P（0）0.11600.116046.40P（1）0.31240.4284124.96P（2）0.33640.7648134.56P（3）0.18110.954972.44P（4）0.04880.994719.52P（5）0.00531.00002.12如果每次抽5個單株，抽n=400次，則理論上我們能夠得到y(tǒng)=2的次數(shù)應為：理論次數(shù)=400╳P（2）=400╳0.3364=134.56（次）對于任意y，其理論次數(shù)為：理論次數(shù)=nP(y)。

二項分布的應用條件有三：（1）各觀察單位只具有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性，生存或死亡等，屬于二項分類資料；（2）已知發(fā)生某一結(jié)果(如死亡)的概率為p，其對立結(jié)果的概率則為1-P=q，實際中要求p

是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值；（3）n個觀察單位的觀察結(jié)果互相獨立，即每個觀察單位的觀察結(jié)果不會影響到其它觀察單位的觀察結(jié)果。三、二項式分布的形狀和參數(shù)

對于一個二項式總體，如果p=q，二項式分布呈對稱形狀，如果pq，二項式分布則表現(xiàn)偏斜形狀。但如果n時，即使pq，二項式總體分布的情況也趨于對稱形狀，所以二項分布的形狀是由n和p兩個參數(shù)決定的。二項總體的平均數(shù)、方差2和標準差的公式為：=np，2=npq，。例如上述棉田受害調(diào)查結(jié)果，n=5,p=0.35，所以可求得總體參數(shù)為：=np=5×0.35=1.75株，株。

3.1.2二項分布的隨機變量的特征數(shù)統(tǒng)計學證明，服從二項分布B(n,p)的隨機變量之平均數(shù)μ、標準差σ與參數(shù)n、p有如下關(guān)系：當試驗結(jié)果以事件A發(fā)生次數(shù)k表示時

μ=np(4-18)σ=(4-19)

【例3.4】求【例3.3】平均死亡豬數(shù)及死亡數(shù)的標準差。以p=0.2,n=5代入(4-18)和(4-19)式得：平均死亡豬數(shù)μ=5×0.20=1.0(頭)

標準差σ===0.894(頭)

當試驗結(jié)果以事件A發(fā)生的頻率k／n表示時

(4-20)(4-21)

也稱為總體百分數(shù)標準誤，當p未知時，常以樣本百分數(shù)來估計。此時(4-21)式改寫為：

=(4-22)

稱為樣本百分數(shù)標準誤。第二節(jié)泊松分布泊松分布是一種可以用來描述和分析隨機地發(fā)生在單位空間或時間里的稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大。在生物、醫(yī)學研究中，服從泊松分布的隨機變量是常見的。如，一定畜群中某種患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)，畜群中遺傳的畸形怪胎數(shù)，每升飲水中大腸桿菌數(shù)，計數(shù)器小方格中血球數(shù)，單位空間中某些野生動物或昆蟲數(shù)等，都是服從泊松分布的。一、泊松分布的意義若隨機變量x(x=k)只取零和正整數(shù)值0，1，2，…，且其概率分布為，k=0，1，……(3-23)

其中λ＞0；e=2.7182…是自然對數(shù)的底數(shù)，則稱x服從參數(shù)為λ的泊松分布(Poisson‘sdistribution)，記為x～P(λ)。泊松分布重要的特征：

平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù)λ，即

μ=σ2=λ【例3.5】調(diào)查某種豬場閉鎖育種群仔豬畸形數(shù)，共記錄200窩，畸形仔豬數(shù)的分布情況如表4-3所示。試判斷畸形仔豬數(shù)是否服從泊松分布。

表3-1畸形仔豬數(shù)統(tǒng)計分布樣本均數(shù)和方差S2計算結(jié)果如下：

=Σfk/n

=(120×0+62×1+15×2+2×3+1×4)/200=0.51

=0.51，S2=0.52,這兩個數(shù)是相當接近的，因此可以認為畸形仔豬數(shù)服從泊松分布。

λ是泊松分布所依賴的唯一參數(shù)。λ值愈小分布愈偏倚，隨著λ的增大，分布趨于對稱。當λ=20時分布接近于正態(tài)分布；當λ=50時，可以認為泊松分布呈正態(tài)分布。所以在實際工作中，當λ≥20時就可以用正態(tài)分布來近似地處理泊松分布的問題。

二、泊松分布的概率計算由(4-23)式可知，泊松分布的概率計算，依賴于參數(shù)λ的確定，只要參數(shù)λ確定了，把k=0，1，2，…代入(4-23)式即可求得各項的概率。但是在大多數(shù)服從泊松分布的實例中，分布參數(shù)λ往往是未知的，只能從所觀察的隨機樣本中計算出相應的樣本平均數(shù)作為λ的估計值，將其代替(4-23)式中的λ，計算出k=0，1，2，…時的各項概率。

如【例3.5】中已判斷畸形仔豬數(shù)服從泊松分布，并已算出樣本平均數(shù)=0.51。將0.51代替公式（4-23）中的λ得：

(K=0,1,2,…)

因為e-0.51=1.6653，所以畸形仔豬數(shù)各項的概率為：

P(x=0)=0.510／(0!×1.6653)=0.6005P(x=1)=0.511／(1!×1.6653)=0.3063P(x=2)=0.512／(2!×1.6653)=0.0781P(x=3)=0.513／(3!×1.6653)=0.0133P(x=4)=0.514／(4!×1.6653)=0.0017

把上面各項概率乘以總觀察窩數(shù)(n=200)即得各項按泊松分布的理論窩數(shù)。表3-2畸形仔豬數(shù)的泊松分布將實際計算得的頻率與根據(jù)λ=0.51的泊松分布計算的概率相比較，發(fā)現(xiàn)畸形仔豬的頻率分布與λ=0.51的泊松分布是吻合得很好的。這進一步說明了畸形仔豬數(shù)是服從泊松分布的。

【例3.6】為監(jiān)測飲用水的污染情況，現(xiàn)檢驗某社區(qū)每毫升飲用水中細菌數(shù)，共得400個記錄如下：試分析飲用水中細菌數(shù)的分布是否服從泊松分布。若服從，按泊松分布計算每毫升水中細菌數(shù)的概率及理論次數(shù)并將頻率分布與泊松分布作直觀比較。經(jīng)計算得每毫升水中平均細菌數(shù)

=0.500,方差S2=0.496。兩者很接近，故可認為每毫升水中細菌數(shù)服從泊松分布。以=0.500代替（4-23）式中的λ，得

(k=0,1,2…)計算結(jié)果如表3-3所示。

表3-3細菌數(shù)的泊松分布可見細菌數(shù)的頻率分布與λ=0.5的泊松分布是相當吻合的，進一步說明用泊松分布描述單位容積(或面積)中細菌數(shù)的分布是適宜的。

注意，二項分布的應用條件也是泊松分布的應用條件。比如二項分布要求n

次試驗是相互獨立的，這也是泊松分布的要求。然而一些具有傳染性的罕見疾病的發(fā)病數(shù)，因為首例發(fā)生之后可成為傳染源，會影響到后續(xù)病例的發(fā)生，所以不符合泊松分布的應用條件。對于在單位時間、單位面積或單位容積內(nèi)，所觀察的事物由于某些原因分布不隨機時，如細菌在牛奶中成集落存在時，亦不呈泊松分布。超幾何分布問題：假定一批供試驗用小白鼠共100只，其中有5只不合格，隨機取出的10只小白鼠中，不合格數(shù)X的概率分布如何？變式：隨機的取出10件改為3件，情況又如何？問題：能否把這個結(jié)論推廣到一般形式，建立一數(shù)學模型？一般地，若一個隨機變量X的分布列為定義：記為H（r；n，M，N）并稱記為：x~H(n,M,N),問題推廣：第四節(jié)正態(tài)分布正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機變量的概率分布。生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。許多統(tǒng)計分析方法都是以正態(tài)分布為基礎的。此外，還有不少隨機變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計學中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實際應用中，均占有重要的地位。3.4.1正態(tài)分布的密度函數(shù)、分布函數(shù)及其特征（一）

正態(tài)分布的定義若連續(xù)型隨機變量x的概率分布密度函數(shù)為

(4-6)

其中μ為平均數(shù)，σ2為方差，則稱隨機變量x服從正態(tài)分布(normaldistribution)，記為x～N(μ,σ2)。相應的概率分布函數(shù)為

(4-7)

(二)正態(tài)分布的特征

1、正態(tài)分布密度曲線是單峰、對稱的懸鐘形曲線，對稱軸為x=μ；

2、f(x)在x=μ處達到極大，極大值；

3、f(x)是非負函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從-∞至+∞；下一張

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xf(x)CAB

4、曲線在x=μ±σ處各有一個拐點，即曲線在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)區(qū)間上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]區(qū)間內(nèi)是上凸的；

5、正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即平均數(shù)μ和標準差σ。

μ是位置參數(shù)，當σ恒定時，μ越大，則曲線沿x軸愈向右；反之曲線沿x軸越向左。σ是變異度參數(shù)，當μ恒定時，σ越大，表示x的取值越分散，曲線越“胖”；σ越小，曲線越“瘦”。

xf(x)CAB6、分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：abxf(x)

3.4.2標準正態(tài)分布

由上述正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布是依賴于參數(shù)μ和σ2(或σ)的一簇分布，正態(tài)曲線之位置及形態(tài)隨μ和σ2的不同而不同。這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難，需將一般的N(μ，σ2)轉(zhuǎn)換為μ=0,σ2=1的正態(tài)分布。

我們稱μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布(standardnormaldistribution)。

標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作ψ(u)和Φ(u)，由(4-6)及(4-7)式得：

(4-8)(4-9)

隨機變量u服從標準正態(tài)分布，記作u～N(0，1)。

標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)任何一個一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的分布函數(shù)xms一般正態(tài)分布=1Z標準正態(tài)分布

對于任何一個服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量x，都可以通過標準化變換：

u=(x-μ)／σ(4-10)

將其變換為服從標準正態(tài)分布的隨機變量u。

u稱為標準正態(tài)變量或標準正態(tài)離差(standardnormaldeviate)。

三、正態(tài)分布的概率計算

（一）標準正態(tài)分布的概率計算

設u服從標準正態(tài)分布，則u在[u1,u2

）內(nèi)取值的概率為：＝Φ(u2)－Φ(u1)(4-11)而Φ(u1)與Φ(u2)可由附表1查得。例如，u=1.75，1.7放在第一列0.05放在第一行。在附表1中，1.7所在行與0.05所在列相交處的數(shù)值為0.95994，即

Φ(1.75)=0.95994

有時會遇到給定Φ(u)值，例如Φ(u)=0.284，反過來查u值。這只要在附表1中找到與0.284最接近的值0.2843，對應行的第一列數(shù)-0.5，對應列的第一行數(shù)值0.07，即相應的u值為u=-0.57，即

Φ(-0.57)=0.284

如果要求更精確的u值，可用線性插值法計算。

由(4-11)式及正態(tài)分布的對稱性可推出下列關(guān)系式，再借助附表1，便能很方便地計算有關(guān)概率：

P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5

P(u≥u1)=Φ(-u1)

P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)(4-12)

P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)

P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)

【例4.6】已知u～N(0，1)，試求：

(1)P(u＜-1.64)＝?(2)P(u≥2.58)=?(3)P(｜u｜≥2.56)=?(4)P(0.34≤u＜1.53)=?利用(4-12)式，查附表1得：

(1)P(u＜-1.64)=0.05050(2)P(u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940(3)P(｜u｜≥2.56)=2Φ(-2.56)=2×0.005234=0.010468(4)P(0.34≤u＜1.53)=Φ(1.53)-Φ(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389關(guān)于標準正態(tài)分布，以下幾種概率應當熟記：

P（-1≤u＜1）=0.6826P（-2≤u＜2）=0.9545

P（-3≤u＜3）=0.9973P（-1.96≤u＜1.96）=0.95P(-2.58≤u＜2.58)=0.99

標準正態(tài)分布的三個常用概率99.74%65.26%95.46%

u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為：

P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1-P(-1≤u＜1)=1-0.6826=0.3174P(｜u｜≥2)=2Φ(-2)=1-P（-2≤u＜2）

=1-0.9545=0.0455P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01

（二）一般正態(tài)分布的概率計算

正態(tài)分布密度曲線和橫軸圍成的一個區(qū)域，其面積為1，這實際上表明了“隨機變量x取值在-∞與+∞之間”是一個必然事件，其概率為1。若隨機變量x服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則x的取值落在任意區(qū)間[x1,x2）的概率，記作P(x1≤x＜x2)，等于圖中陰影部分曲邊梯形面積。即：

(4-13)

對(4-13)式作變換u=(x-μ)／σ，得dx=σdu，故有其中，這表明服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量x在[x1，x2）內(nèi)取值的概率，等于服從標準正態(tài)分布的隨機變量u在[(x1-μ)/σ,(x2-μ)/σ）內(nèi)取值的概率。因此，計算一般正態(tài)分布的概率時，只要將區(qū)間的上下限作適當變換(標準化)，就可用查標準正態(tài)分布的概率表的方法求得概率了。正態(tài)分布

（實例）【例】設X~N(5，32)，求以下概率

(1)P(X

10)；(2)P(2<X

<10)

解：(1)(2)

【例】設x服從μ=30.26,σ2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64≤x＜32.98)。

令則u服從標準正態(tài)分布，故

=P(-1.69≤u＜0.53)=Φ(0.53)-Φ(-1.69)=0.7019-0.04551=0.6564

標準化的例子

P(5X6.2)

x=5=10一般正態(tài)分布6.2=1Z標準正態(tài)分布00.12.0478標準化的例子

P(2.9X7.1)

一般正態(tài)分布.1664.0832.0832標準正態(tài)分布關(guān)于一般正態(tài)分布，以下幾個概率(即隨機變量x落在μ加減不同倍數(shù)σ區(qū)間的概率)是經(jīng)常用到的。

P(μ-σ≤x＜μ+σ)=0.6826P(μ-2σ≤x＜μ+2σ)=0.9545P(μ-3σ≤x＜μ+3σ)=0.9973P(μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ)=0.95P(μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)=0.99

上述關(guān)于正態(tài)分布的結(jié)論，可用一實例來印證。

126頭基礎母羊體重資料的次數(shù)分布接近正態(tài)分布，現(xiàn)根據(jù)其平均數(shù)=52.26(kg)，標準差S=5.10(kg)，算出平均數(shù)加減不同倍數(shù)標準差區(qū)間內(nèi)所包括的次數(shù)與頻率，列于表4—2。

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頻率分布直方圖表4—2126頭基礎母羊體重在±kS

區(qū)間內(nèi)所包括的次數(shù)與頻率由表4—2可見，實際頻率與理論概率相當接近，說明126頭基礎母羊體重資料的頻率分布接近正態(tài)分布，從而可推斷基礎母羊體重這一隨機變量很可能是服從正態(tài)分布的。生物統(tǒng)計中，不僅注意隨機變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標準差區(qū)間(μ-kσ,μ+kσ)之內(nèi)的概率而且也很關(guān)心x落在此區(qū)間之外的概率。我們把隨機變量x落在平均數(shù)μ加減不同倍數(shù)標準差σ區(qū)間之外的概率稱為雙側(cè)概率(兩尾概率)，記作。對應于雙側(cè)概率可以求得隨機變量x小于μ-kσ或大于μ+kσ的概率，稱為單側(cè)概率(一尾概率),記作α／2。例如，x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的雙側(cè)概率為0.05，而單側(cè)概率為0.025。即

P(x＜μ-1.96σ＝=P(x＞μ+1.96σ)=0.025

x落在(μ-2.58σ,μ+2.58σ)之外的雙側(cè)概率為0.01，而單側(cè)概率

P(x＜μ-2.58σ)=P(x＞μ+2.58σ)=0.005附表3給出了滿足P(u＞

)=α的上側(cè)的分位數(shù)值。因此，只要已知上側(cè)概率α的值，由附表3就可直接查出對應的上側(cè)分位數(shù)，查法與附表2相同。例如，已知u～N(0,1)試求：

(1)P(u＜-)+P(u≥)=0.10的

(2)P(-≤u＜﹚=0.86的因為附表3中的α值是：所以（1)P(u＜-)+P(u≥)=1-P(-≤u＜﹚=0.10=α由