第9講 矩形單元和6節(jié)點三角形單元

第4章平面問題高精度單元4.2矩形單元4.36節(jié)點三角形單元簡介矩形單元討論單元位移模式單元應(yīng)力、應(yīng)變單元剛度矩陣單元簡介面積坐標(biāo)4.1提高有限元求解精度的途徑簡單三角形單元缺點提高有限元求解精度的途徑高精度單元的原理單元位移模式§4.1提高有限元求解精度的途徑三節(jié)點三角形單元精度低，收斂慢，在單元內(nèi)不能反映應(yīng)力應(yīng)變的變化。這是因為該單元只有3個節(jié)點，單元自由度少，單元位移模式只能是線性函數(shù)，描述單元內(nèi)位移變化的能力差。第一個途徑是對某一種特定類型的單元采用網(wǎng)格加密，依靠單元的收斂性提高求解精度；第二個途徑是對一定的單元網(wǎng)格和單元尺寸，采用高精度單元以提高求解精度。一、簡單三角形單元的缺點二、提高有限元求解精度的途徑途徑：主要是增加單元的節(jié)點數(shù)。三、建立高精度單元的原理和途徑原理：提高單元位移模式多項式的階次，從而增強單元擬合局部區(qū)域位移、應(yīng)力變化的能力。對平面問題，先考慮采用4節(jié)點矩形單元和6節(jié)點三角形單元?！?.1提高有限元求解精度的途徑§4.2矩形單元一、矩形單元及其位移模式矩形單元邊長分別為2a、2b。取4個頂點為節(jié)點。不失一般性地假設(shè)矩形的2個對稱軸分別為x，y軸。每節(jié)點2個位移分量，因此單元共8個自由度。單元節(jié)點編號為k，l，m，n單元節(jié)點位移列陣為：單元內(nèi)位移多項式設(shè)4項，為雙線性多項式：寫成矩陣形式為：其中為形函數(shù)矩陣§4.2矩形單元通過節(jié)點坐標(biāo)和節(jié)點位移代入，把廣義坐標(biāo)（多項式系數(shù)）代換為節(jié)點位移分量后得到插值形式的位移函數(shù)：各形函數(shù)為：形函數(shù)矩陣§4.2矩形單元由于邊界平行于坐標(biāo)軸，矩形單元位移模式沿單元邊界（x，y方向）都是線性變化，沿其他方向則按2次函數(shù)變化。稱為“雙線性”位移函數(shù)。由于單元位移在單元邊界上線性變化，而單元之間的公共邊界上有2個公共節(jié)點，所以單元邊界間的位移是連續(xù)的，單元滿足協(xié)調(diào)性條件。和簡單三角形單元一樣，矩形單元位移模式中包含了完全一次多項式，所以滿足完備性條件。因此矩形單元的收斂性得到保證。顯然，上述形函數(shù)滿足形函數(shù)性質(zhì)?！?.2矩形單元二、單元應(yīng)變和應(yīng)力

形函數(shù)矩陣經(jīng)過微分算子矩陣作用后得到3×8應(yīng)變矩陣：單元位移模式代入平面問題幾何方程：§4.2矩形單元由平面問題物理方程（應(yīng)力～應(yīng)變關(guān)系）得到：對于矩形單元，其單元上應(yīng)力、應(yīng)變不再是常數(shù)，而是一定程度上呈線性變化，即：x方向正應(yīng)變、正應(yīng)力隨y坐標(biāo)線性變化；y方向正應(yīng)變和正應(yīng)力隨x坐標(biāo)線性變化。因此，在一定條件下，精度會高一階。§4.2矩形單元三、矩形單元剛度矩陣矩形單元剛度矩陣導(dǎo)出的原理和方法同簡單三角形單元。計算式如下：可以通過積分計算出精確的剛度矩陣元素，見P51。§4.2矩形單元四、矩形單元討論4節(jié)點矩形單元采用了雙線性位移模式，應(yīng)力基本上沿坐標(biāo)軸呈線性變化，因而精度比3節(jié)點三角形單元高。由于位移模式在單元邊界上線性變化，并且根據(jù)單元公共邊界上兩個共同節(jié)點位移插值得到，單元的協(xié)調(diào)性得到滿足，同時也滿足完備性，因此單元是收斂的。單元要求兩對邊平行于坐標(biāo)軸，因而不能模擬復(fù)雜幾何邊界，單元網(wǎng)格疏密不能過渡，這是矩形單元的固有缺點。矩形單元可以與3節(jié)點三角形單元結(jié)合使用。如果突破幾何上的限制，成為任意方位的任意四邊形單元，便可成為實用的單元。§4.2矩形單元§4.36節(jié)點三角形單元簡介

6節(jié)點三角形單元

三角形單元天然具有很好的幾何適應(yīng)性，如果增加三角形單元位移模式多項式的階數(shù)，就能成為實用的單元?？紤]圖示6節(jié)點三角形單元，單元每邊中點設(shè)一個節(jié)點，則單元有12個自由度，因此位移模式恰好取完全二次多項式：一、單元概述§4.36節(jié)點三角形單元簡介顯然單元滿足完備性要求。由于該位移模式?jīng)Q定了單元邊界上位移呈二次拋物線分布，相鄰單元公共邊界上有三個公共節(jié)點，正好能夠保證相鄰單元在邊界上位移的連續(xù)性，因而是協(xié)調(diào)元，單元滿足收斂條件。該單元應(yīng)變、應(yīng)力隨坐標(biāo)完全呈線性變化，屬于高精度單元。進行廣義坐標(biāo)代換后位移模式仍可寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：但是，采取如前面3節(jié)點單元建立形函數(shù)的辦法過于復(fù)雜，下面介紹用三角形單元的面積坐標(biāo)描述單元位移模式和形函數(shù)的方法?！?.36節(jié)點三角形單元簡介三角形單元上的面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)的定義如圖所示。三角形中任意一點的位置用三個參數(shù)來表示，稱為面積坐標(biāo)。面積坐標(biāo)（Li,Lj,Lm）定義為三個比值：二、面積坐標(biāo)下6節(jié)點三角形單元分析§4.36節(jié)點三角形單元簡介因此，單元內(nèi)任一點的面積坐標(biāo)滿足關(guān)系：

Li+Lj+Lm=1

即3個面積坐標(biāo)只有2個面積坐標(biāo)是獨立的。面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間有確定的變換關(guān)系，因此，對三角形單元的描述完全可以用面積坐標(biāo)進行。直角坐標(biāo)表示面積坐標(biāo)不難導(dǎo)出下列變換關(guān)系：顯然，面積坐標(biāo)與3節(jié)點三角形單元的形函數(shù)完全相同。矩陣形式：§4.36節(jié)點三角形單元簡介面積坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)不難導(dǎo)出下列變換關(guān)系：矩陣形式：§4.36節(jié)點三角形單元簡介利用上面變換式，三角形單元上的任何多項式函數(shù)可以方便地在兩種坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)換。面積坐標(biāo)的各種形式冪函數(shù)在三角形上的積分有很簡便的計算公式。面積坐標(biāo)表示的6節(jié)點三角形單元形函數(shù)根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)直接構(gòu)造