第三章 無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)2

§3.2常用模擬低通濾波器特性

為了方便學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器，先討論幾種常用的模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法，高通、帶通、帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法，由低通濾波器變換得到。

模擬濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)一組設(shè)計(jì)規(guī)范設(shè)計(jì)模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個(gè)理想濾波器特性。因果系統(tǒng)中式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實(shí)函數(shù)?！?/p>

不難看出

定義振幅平方函數(shù)

式中Ha(s)—模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)

Ha(jΩ)—濾波器的頻率響應(yīng)

|Ha(jΩ)|—濾波器的幅頻響應(yīng)又S=jΩ，Ω2=-S2∴A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ問(wèn)題：由A(-S2)→Ha(S)

對(duì)于給定的A(-S2)，先在S復(fù)平面上標(biāo)出A(-S2)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，由(1)式知，A(-S2)的極點(diǎn)和零點(diǎn)總是“成對(duì)出現(xiàn)”，且對(duì)稱于S平面的實(shí)軸和虛軸，選用A(-S2)的對(duì)稱極、零點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的極、零點(diǎn)，則可得到Ha(s)。

為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應(yīng)選用A(-S2)在S左半平面的極點(diǎn)作為Ha(s)的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用任一半。例：已知,求對(duì)應(yīng)的Ha(s)。解：這4個(gè)極點(diǎn)和2個(gè)零點(diǎn)在s平面上的分布如下圖所示。如果按最小相位條件來(lái)選取，則應(yīng)取左半平面上的2個(gè)極點(diǎn)和1個(gè)零點(diǎn)構(gòu)成Ha(S)，因此N為濾波器階數(shù)，如圖1其幅度平方函數(shù)：特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f↗，幅頻特性單調(diào)↘。三種模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)：1）巴特沃茲濾波器(Butterworth濾波器)(巴特沃茲逼近)圖1巴特沃茲濾波器振幅平方函數(shù)

通帶:使信號(hào)通過(guò)的頻帶阻帶：抑制噪聲通過(guò)的頻帶過(guò)渡帶：通帶到阻帶間過(guò)渡的頻率范圍

Ωc：通帶邊界頻率。

過(guò)渡帶為零，阻帶|H(jΩ)|=0

通帶內(nèi)幅度|H(jΩ)|=const.，

H(jΩ)的相位是線性的。

理想濾波器圖1中，N增加，通帶和阻帶的近似性越好，過(guò)渡帶越陡。通帶內(nèi)，分母Ω/Ωc<1,(Ω/Ωc)2N《1，A(Ω2)→1。過(guò)渡帶和阻帶，Ω/Ωc>1，(Ω/Ωc)2N

》1,Ω增加，A(Ω2)快速減小。Ω=Ωc,，,幅度衰減，相當(dāng)于3dB衰減點(diǎn)。

振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)：

令分母為零，得

可見(jiàn)，Butterworth濾波器的振幅平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=Ωc的圓周上。例：為N=3階BF振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)分布，如圖。圖2三階A(-S2)的極點(diǎn)分布

考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知DF的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點(diǎn)（SP3，SP4，SP5）組成的，它們分別為：

系統(tǒng)函數(shù)為：

令，得歸一化的三階BF：

如果要還原的話，則有

2）切比雪夫（chebyshev）濾波器(切比雪夫多項(xiàng)式逼近)

特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率處，幅度下降很多，或者說(shuō)，為了使通常內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（N）很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近所希望的。切比雪夫?yàn)V波器的在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小?？筛鶕?jù)需要對(duì)通帶內(nèi)允許的衰減量（波動(dòng)范圍）提出要求，如要求波動(dòng)范圍小于1db。

振幅平方函數(shù)為—有效通帶截止頻率—與通帶波紋有關(guān)的參量，大，波紋大。

0<<1

VN（x）—N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為

如圖1,通帶內(nèi)變化范圍1~

Ω＞Ωc

，隨Ω/Ωc

↗，→0(迅速趨于零)當(dāng)Ω

=0時(shí)，

N為偶數(shù)，，min，

N為奇數(shù)，，max，

切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性

給定通帶波紋值分貝數(shù)后，可求。有關(guān)參數(shù)的確定:a、通帶截止頻率Ωc

，預(yù)先給定

b、通帶波紋為c、階數(shù)N—由阻帶的邊界條件確定。（、A事先給定）

3、橢圓濾波器（考爾濾波器）特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對(duì)于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過(guò)渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。其振幅平方函數(shù)為

RN（Ω，L）—雅可比橢圓函數(shù)

L—表示波紋性質(zhì)的參量

N=5，的特性曲線

可見(jiàn)，在歸一化通帶內(nèi)（-1≤Ω≤1），在（0，1）間振蕩，而超過(guò)ΩL后，在

間振蕩。這一特點(diǎn)使濾波器同時(shí)在通帶和阻帶具有任意衰減量。

下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)

橢圓濾波器的振幅平方函數(shù)

圖中ε和A的定義同切比雪夫?yàn)V波器ΩrΩr當(dāng)Ωc、Ωr、ε和A確定后，階次N的確定方法為：式中為第一類完全橢圓積分