第三章(多自由度系統(tǒng)的振動(dòng))

上次課內(nèi)容回顧1.完整約束系統(tǒng)的Lagrange方程的具體形式

系統(tǒng)不存在粘性阻尼時(shí)

系統(tǒng)存在粘性阻尼時(shí)上次課內(nèi)容回顧2.利用Lagrange方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的步驟①判斷系統(tǒng)的自由度數(shù)目，選定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo);②以廣義坐標(biāo)及廣義速度來表示系統(tǒng)的動(dòng)能,勢能和耗散函數(shù)；⑤將以上各量代入Lagrange方程，即得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程.③對于非保守主動(dòng)力，將其虛功寫成如下形式從而確定對應(yīng)于各個(gè)廣義坐標(biāo)的非保守廣義力；上次課內(nèi)容回顧在計(jì)算動(dòng)能和勢能的時(shí)候必須精確到二階小量。方同著《振動(dòng)理論及應(yīng)用》4.微振動(dòng)假設(shè)下的注意事項(xiàng)3.用Lagrange方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的優(yōu)點(diǎn)不用做隔離體的受力分析,免去處理約束力,是建立復(fù)雜離散系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的首選方法；即可用于線性系統(tǒng)，也可用于非線性系統(tǒng)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第三章與單自由度系統(tǒng)相比，多自由度振動(dòng)系統(tǒng)帶來的一些變化有：系統(tǒng)的固有頻率不是一個(gè)，而是多個(gè)；引入了固有振型的概念；固有振型關(guān)于質(zhì)量和剛度矩陣的加權(quán)正交性是線性振動(dòng)理論的精髓；在研究方法上大量使用線性代數(shù)和矩陣?yán)碚摲矫娴闹R；第三章：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析1.預(yù)備知識——線性代數(shù)與矩陣?yán)碚?.多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)第一講：第三章：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析預(yù)備知識－線性代數(shù)與矩陣?yán)碚摗敬鷶?shù)余子式】已知為一矩陣,則的余子式定義為:劃掉所在的第行和第列的元素,剩下的元素組成的矩陣的行列式,計(jì)作代數(shù)余子式則的代數(shù)余子式=已知:余子式預(yù)備知識－線性代數(shù)與矩陣?yán)碚摗揪仃嚨男辛惺降挠?jì)算】定理：任意方陣的行列式等于它的任一行或任意列的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。已知：則：已知：則：預(yù)備知識－線性代數(shù)與矩陣?yán)碚摗揪仃囖D(zhuǎn)置】將矩陣的行、列互換所得到的矩陣就是的轉(zhuǎn)置矩陣，用表示。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下規(guī)律：【矩陣的逆】預(yù)備知識－線性代數(shù)與矩陣?yán)碚撊绻粋€(gè)矩陣的行列式等于0，這個(gè)矩陣就稱為奇異矩陣?！酒娈惥仃嚒康陌殡S矩陣的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所組成的矩陣的轉(zhuǎn)置預(yù)備知識－線性代數(shù)與矩陣?yán)碚摗痉謮K矩陣的乘積】【半正定矩陣】【正定矩陣】對任意有則為正定矩陣。有對任意則為半正定矩陣。預(yù)備知識－線性代數(shù)與矩陣?yán)碚摗揪€性相關(guān)與線性無關(guān)】定義

向量線性相關(guān)指的是：存在不全為零的數(shù)使定義

向量線性無關(guān)指的是：僅當(dāng)才使也就是說，若則必有預(yù)備知識－線性代數(shù)與矩陣?yán)碚摗揪€性代數(shù)方程組的解】奇次線性方程組有非零解的充要條件是定義

奇次方程組（1）的一組解稱為（1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，如果1.(1)的任一個(gè)解都能表示成的線性組合；2.線性無關(guān)。定理在奇次方程組有非零解的情況下，方程組的基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于。是系數(shù)矩陣的秩。也是自由未知量的個(gè)數(shù)。預(yù)備知識－線性代數(shù)與矩陣?yán)碚摗咎卣髦蹬c特征向量】定義：設(shè)是階矩陣，如果對于數(shù)，存在非零列向量，使得則稱是的一個(gè)特征值，是的屬于特征值的特征向量。剪切變換前后的蒙娜麗莎圖像紅色箭頭是剪切變換的特征向量藍(lán)色箭頭不是剪切變換的特征向量推論：如果向量是的屬于特征值的特征向量，則（為任意常數(shù)）也是的屬于特征值的特征向量。如何求特征值和特征向量？求方程的根得到特征值；求線性方程組的基礎(chǔ)解系；預(yù)備知識－線性代數(shù)與矩陣?yán)碚摗緝?nèi)積】如果則與的內(nèi)積定義為【正交】預(yù)備知識－線性代數(shù)與矩陣?yán)碚撊绻麆t與正交或垂直【二次型】一個(gè)元多項(xiàng)式稱為元二次型。它可以表示為如下矩陣相乘的形式返回1.同步振動(dòng)是否存在？假設(shè)系統(tǒng)存在這樣的振動(dòng)，系統(tǒng)的位移可寫作:多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)系統(tǒng)是否存在這樣一種特殊的運(yùn)動(dòng)，即系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不同之外，隨時(shí)間的變化規(guī)律都相同的同步運(yùn)動(dòng)？運(yùn)動(dòng)規(guī)律系統(tǒng)各個(gè)自由度上的振動(dòng)幅值系統(tǒng)存在形如形式的同步振動(dòng)。結(jié)論：多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)對任意時(shí)間都成立特征方程特征值特征向量廣義特征值問題2.多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)第一階固有頻率第二階固有頻率第N階固有頻率第一階固有振型第二階固有振型第N階固有振型固有頻率（模態(tài)頻率）固有振型（模態(tài)振型）多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)第一階固有振動(dòng)第二階固有振動(dòng)第N階固有振動(dòng)固有振動(dòng)只是系統(tǒng)可能發(fā)生的一種運(yùn)動(dòng)形式。當(dāng)系統(tǒng)作固有振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)各個(gè)自由度都作幅值不同(一般情況下),但頻率卻相同的簡諧運(yùn)動(dòng),各個(gè)自由度的簡諧運(yùn)動(dòng)之間的相位差不是0度就是180度.固有振動(dòng)固有振動(dòng)就是系統(tǒng)以某一階固有頻率為振動(dòng)頻率,以該階固有振型向量為振動(dòng)形態(tài)的簡諧振動(dòng).多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)周邊固支鼓膜的各階固有振動(dòng)從物理上看：第i階固有振型向量中的一列元素，就是系統(tǒng)做第i階固有振動(dòng)時(shí)各個(gè)坐標(biāo)上位移（或振幅）的相對比值，描述了系統(tǒng)做第i階固有振動(dòng)時(shí)具有的振動(dòng)形態(tài)，稱為第i階固有振型。雖然各個(gè)坐標(biāo)上振幅的精確值并沒有確定，但是所表現(xiàn)的系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)已經(jīng)確定。如何理解固有振型從數(shù)學(xué)上看：固有振型是廣義特征值問題的特征向量；【問題】在已知固有頻率求固有振型時(shí),所得到的N個(gè)線性方程中有幾個(gè)是獨(dú)立的?結(jié)論:當(dāng)不是特征方程的重根時(shí),上述方程只有N-1個(gè)方程是獨(dú)立的(見<<振動(dòng)力學(xué)>>劉延柱第74頁).多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)【例】設(shè)圖中二自由度系統(tǒng)的物理參為,,,確定系統(tǒng)的固有振動(dòng).系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程：多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)固有振動(dòng)：節(jié)點(diǎn)STOP多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)固有頻率和固有振型固有振動(dòng)固有振動(dòng)就是系統(tǒng)以某一階固有頻率為振動(dòng)頻率,以該階固有振型向量為振動(dòng)形態(tài)的簡諧振動(dòng)。固有頻率，固有振型內(nèi)容回顧1.理解固有振型第二講：2.固有振型的正交性3.固有頻率為零的情況第三章：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析1st水平彎曲2nd水平彎曲1st扭轉(zhuǎn)2nd扭轉(zhuǎn)1st垂直彎曲2nd垂直彎曲從物理上看：第i階固有振型向量中的一列元素，就是系統(tǒng)做第i階固有振動(dòng)時(shí)各個(gè)坐標(biāo)上位移（或振幅）的相對比值，描述了系統(tǒng)做第i階固有振動(dòng)時(shí)具有的振動(dòng)形態(tài)，稱為第i階固有振型。雖然各個(gè)坐標(biāo)上振幅的精確值并沒有確定，但是所表現(xiàn)的系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)已經(jīng)確定。如何理解固有振型從數(shù)學(xué)上看：固有振型是廣義特征值問題的特征向量；理解固有振型圖膜的各階固有振型理解固有振型【問題】在已知固有頻率求固有振型時(shí),所得到的N個(gè)線性方程中有幾個(gè)是獨(dú)立的?結(jié)論:當(dāng)不是特征方程的重根時(shí),上述方程只有N-1個(gè)方程是獨(dú)立的(見<<振動(dòng)力學(xué)>>劉延柱第74頁).圖一杯熱咖啡的某階固有振動(dòng)（大約20Hz）理解固有振型【題】

：圖示的三自由度系統(tǒng)，試計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解:系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為:其中:理解固有振型廣義特征值問題:特征方程:固有頻率:理解固有振型理解固有振型理解固有振型理解固有振型理解固有振型返回理解固有振型1.固有振型的歸一化固有振型的正交性按某一自由度的幅值歸一化都是固有振型向量按模態(tài)質(zhì)量歸一化特點(diǎn)：一眼可以看出某階固有振動(dòng)振動(dòng)最大的部位特點(diǎn)：理論推導(dǎo)，分析方便按自由度中最大幅值歸一化：固有振型的正交性固有振型的正交性2.固有振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的加權(quán)正交性※固有振型關(guān)于剛度矩陣加權(quán)正交固有振型關(guān)于質(zhì)量矩陣加權(quán)正交(1)(2)(1)減(2)，得固有振型的正交性固有振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的加權(quán)正交性固有振型關(guān)于剛度矩陣加權(quán)正交性當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)第r階模態(tài)質(zhì)量當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)第r階模態(tài)剛度

固有振型的正交性加權(quán)正交性的簡潔表示固有振型的正交性試證：固有振型按模態(tài)質(zhì)量歸一化后，固有振型的加權(quán)正交條件變?yōu)椋汗逃姓裥偷恼恍宰C：固有振型按模態(tài)質(zhì)量歸一化之前，固有振型的加權(quán)正交條件為：3.固有振型的線性無關(guān)性證：上式兩邊左乘所以，諸線性無關(guān)。只要證明滿足上式的必全為零就可以了返回固有振型的正交性4.固有頻率為零的情況固有頻率為零的情況零固有頻率所對應(yīng)的固有振型，稱為剛體模態(tài)振型。剛體模態(tài)多存在于無約束的懸浮結(jié)構(gòu)，如飛機(jī)等。零固有頻率的固有振動(dòng)為剛體運(yùn)動(dòng),不產(chǎn)生彈性勢能。剛度矩陣奇異非零

舉例圖無約束三自由度系統(tǒng)模態(tài)1橫向（顛簸）剛體模態(tài)模態(tài)2轉(zhuǎn)動(dòng)（滾動(dòng)）剛體模態(tài)模態(tài)3彎曲模態(tài)圖用三質(zhì)量飛機(jī)模型說明剛體模態(tài)固有頻率為零的情況固有頻率為零的情況固有頻率為零的情況STOP固有頻率為零的情況上次課內(nèi)容回顧從物理上看：第i階固有振型向量中的一列元素，就是系統(tǒng)做第i階固有振動(dòng)時(shí)各個(gè)坐標(biāo)上位移（或振幅）的相對比值，描述了系統(tǒng)做第i階固有振動(dòng)時(shí)具有的振動(dòng)形態(tài)，稱為第i階固有振型。雖然各個(gè)坐標(biāo)上振幅的精確值并沒有確定，但是所表現(xiàn)的系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)已經(jīng)確定。理解固有振型從數(shù)學(xué)上看：固有振型是廣義特征值問題的特征向量；1st水平彎曲2nd水平彎曲1st扭轉(zhuǎn)2nd扭轉(zhuǎn)1st垂直彎曲2nd垂直彎曲固有振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的加權(quán)正交性

【特征向量的計(jì)算】當(dāng)不是特征方程的重根時(shí),上述N個(gè)方程中，只有N-1個(gè)方程是獨(dú)立的上次課內(nèi)容回顧第三講：1.運(yùn)動(dòng)耦合無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)（三）3.無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.展開定理與模態(tài)坐標(biāo)變換4.課堂練習(xí)運(yùn)動(dòng)耦合1.運(yùn)動(dòng)耦合彈性耦合彈性耦合慣性耦合運(yùn)動(dòng)耦合返回能不能找到一種坐標(biāo),使得在這種坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)微分方程既不存在彈性耦合也不存在慣性耦合?展開定理與模態(tài)坐標(biāo)變換1.展開定理自由度系統(tǒng)的個(gè)模態(tài)振型向量構(gòu)成了維線性空間的正交基。維空間中的任何一個(gè)向量都可以表示成這組基的線性組合，即系數(shù)反映了各階模態(tài)振型向量在構(gòu)成向量時(shí)的參與程度。2.模態(tài)坐標(biāo)變換模態(tài)坐標(biāo)物理坐標(biāo)模態(tài)矩陣返回?zé)o阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)1.兩個(gè)重要公式令模態(tài)矩陣為則：模態(tài)坐標(biāo)變換＝？＝？2.無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程將物理坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程變換到模態(tài)坐標(biāo)系下后，可得到解耦的運(yùn)動(dòng)方程。無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)實(shí)際計(jì)算中，為了避免求解上式中的固有振型矩陣之逆，可采用關(guān)于模態(tài)質(zhì)量歸一化的固有振型矩陣，此時(shí)有。自由振動(dòng)：無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)解:固有頻率：固有振型：例:

設(shè)圖中卡車—拖車系統(tǒng)在時(shí)靜止，時(shí)一汽車迎面與卡車相撞后立即反彈脫離，卡車受到?jīng)_量作用，試確定后卡車—拖車系統(tǒng)的響應(yīng)。剛體模態(tài)振型彈性模態(tài)振型無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)回到物理坐標(biāo)系無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)1.模態(tài)坐標(biāo)變換模態(tài)坐標(biāo)物理坐標(biāo)2.求解多自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)的步驟（模態(tài)疊加法）(1)求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型(3)求各模態(tài)位移響應(yīng)(4)返回到物理坐標(biāo)系(2)物理坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程模態(tài)坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程模態(tài)坐標(biāo)變換無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)（小結(jié)）無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)（小結(jié)）物理空間耦合模態(tài)空間解耦模態(tài)疊加法返回課堂練習(xí)運(yùn)動(dòng)方程：根據(jù)已知條件有：STOP廣義特征值問題:特征方程:展開后，得:課堂練習(xí)第四講：習(xí)題課第三章：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析1.模態(tài)的概念模態(tài)——mode是指一種運(yùn)動(dòng)模式。模態(tài)參數(shù)有：模態(tài)頻率、模態(tài)振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼等。

上次課內(nèi)容回顧2.運(yùn)動(dòng)耦合物理坐標(biāo)系下多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程肯定是存在耦合的。3.模態(tài)坐標(biāo)變換物理空間耦合模態(tài)空間解耦模態(tài)疊加法上次課內(nèi)容回顧4.無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)——模態(tài)疊加法第五講：1.無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——頻域分析2.無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——時(shí)域分析第三章：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析是簡諧激勵(lì)是任意激勵(lì)頻域分析時(shí)域分析1.系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的響應(yīng)無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——頻域分析動(dòng)剛度矩陣系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的響應(yīng):頻響函數(shù)（動(dòng)柔度矩陣）無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——頻域分析位移頻響函數(shù)矩陣激振點(diǎn)所對應(yīng)的自由度標(biāo)號響應(yīng)點(diǎn)所對應(yīng)的自由度標(biāo)號2.頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展開式無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——頻域分析頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展開式揭示了頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系，從而為模態(tài)參數(shù)識別提供了一種有效的途徑。3.反共振反共振的定義：無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——頻域分析圖

跨點(diǎn)頻響函數(shù)示意圖【定義】所謂反共振指的是彈性系統(tǒng)在某些特定頻率的簡諧激勵(lì)作用下,系統(tǒng)某些部位出現(xiàn)響應(yīng)等于零的情形。換句話說,反共振情形也就是指在某些頻率上系統(tǒng)某些部位的動(dòng)柔度為零。

無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——頻域分析反共振頻率的確定:頻響函數(shù)的零點(diǎn)所對應(yīng)的頻率無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——頻域分析反共振頻率的計(jì)算：例：確定圖示系統(tǒng)頻響函數(shù)和的反共振頻率。解:(a)確定的反共振頻率無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——頻域分析進(jìn)一步分析質(zhì)量塊1,3的運(yùn)動(dòng):無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——頻域分析進(jìn)一步分析質(zhì)量塊2,3的運(yùn)動(dòng):(b)確定的反共振頻率無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——頻域分析[練習(xí)]

設(shè)剛度系數(shù)為的彈簧支承的物體上受到簡諧力的激勵(lì).此物體上安裝由小物體和剛度系數(shù)為的彈簧組成的吸振器.試證明:在一定條件下吸振器能消除物體的受迫振動(dòng).無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——頻域分析無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——時(shí)域分析基本思路：1.利用模態(tài)疊加法求系統(tǒng)的零初始狀態(tài)下的單位脈沖響應(yīng)矩陣任意激勵(lì)1.系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的響應(yīng)2.系統(tǒng)對任意激勵(lì)下的響應(yīng)用Duhamel積分求得(1)利用模態(tài)疊加法求零初始狀態(tài)下的單位脈沖響應(yīng)矩陣第一步:物理坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程模態(tài)坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——時(shí)域分析解模態(tài)坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程，得到模態(tài)位移第二步:無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——時(shí)域分析回到物理坐標(biāo)系中，得到物理坐標(biāo)系下的位移第三步:單位脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——時(shí)域分析（初始條件為零）（2）

系統(tǒng)對一般激勵(lì)下的響應(yīng)用Duhamel積分求得（初始條件不為零）無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)——時(shí)域分析STOP習(xí)題課第六講：第三章：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析上次課內(nèi)容回顧1.動(dòng)剛度矩陣2.動(dòng)柔度(頻響函數(shù))矩陣激振點(diǎn)所對應(yīng)的自由度標(biāo)號響應(yīng)點(diǎn)所對應(yīng)的自由度標(biāo)號3.反共振所謂反共振指的是彈性系統(tǒng)在某些特定頻率的簡諧激勵(lì)作用下,系統(tǒng)某些部位出現(xiàn)響應(yīng)等于零的情形。4.系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的響應(yīng)2.多自由度系統(tǒng)的阻尼第七講：3.比例阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)4.比例阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)第三章：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析1.模態(tài)截?cái)嗄B(tài)變換：如果系統(tǒng)有10000個(gè)自由度,則N=100001.占用資源：內(nèi)存，計(jì)算時(shí)間2.高階模態(tài)的計(jì)算誤差也大1.模態(tài)截?cái)嗟谋匾阅B(tài)截?cái)噍^大如果激勵(lì)頻帶覆蓋系統(tǒng)的前階固有頻率，那么由模態(tài)方程可見，只有前個(gè)方程是主要的(近似的)。很小模態(tài)變換：2.高階模態(tài)對響應(yīng)的貢獻(xiàn)由于外激勵(lì)能量往往集中在低頻范圍內(nèi)，因此高階模態(tài)對響應(yīng)的貢獻(xiàn)就很小。模態(tài)截?cái)嗥渲心B(tài)坐標(biāo)變換變?yōu)椋?.模態(tài)截?cái)嗟膶?shí)施如只保留系統(tǒng)的前6階模態(tài)，則固有振型矩陣為模態(tài)截?cái)喾祷啬B(tài)截?cái)啵簽楸Ａ裟B(tài)的數(shù)目多自由度系統(tǒng)的阻尼在線性振動(dòng)理論中，一般采用線性黏性阻尼假設(shè)，認(rèn)為阻尼和速度的一次方成正比，阻尼矩陣一般為非對角矩陣。阻尼矩陣為對角矩陣對角矩陣一般為非對角矩陣阻尼影響系數(shù)的物理意義：使系統(tǒng)僅在第個(gè)自由度上產(chǎn)生單位速度需要在第個(gè)自由度上施加的力。非對角陣多自由度系統(tǒng)的阻尼固有振型矩陣（實(shí)矩陣）的求取只涉及質(zhì)量和剛度矩陣，不涉及阻尼矩陣怎么能指望為對角矩陣呢？如何使變?yōu)閷顷嚹?工程上對阻尼矩陣做了近一步的假設(shè):(1)采用Rayleigh阻尼假設(shè)模態(tài)坐標(biāo)系下的第i個(gè)方程寫為第i階模態(tài)阻尼比（振型阻尼比）(2)

由實(shí)驗(yàn)測定各階模態(tài)阻尼比是常數(shù)。英國科學(xué)家Rayleigh（1842-1919）多自由度系統(tǒng)的阻尼(3)忽略模態(tài)阻尼矩陣中的非對角元素稱為第

i

階模態(tài)阻尼系數(shù)多自由度系統(tǒng)的阻尼比例阻尼的定義在固有振型矩陣的變換下可對角化的阻尼矩陣叫比例阻尼。Rayleigh阻尼是比例阻尼比例阻尼不一定是Rayleigh阻尼因?yàn)闈M足下列條件之一的阻尼矩陣在固有振型矩陣的變換下仍可對角化：多自由度系統(tǒng)的阻尼返回運(yùn)動(dòng)方程模態(tài)坐標(biāo)變換模態(tài)坐標(biāo)系下解耦的運(yùn)動(dòng)方程求解無耦合的運(yùn)動(dòng)方程反回到物理坐標(biāo)系1.求解步驟比例阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)③.得到模態(tài)坐標(biāo)系下解耦的運(yùn)動(dòng)方程①.列寫物理坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程②.進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)變換比例阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)④.求解無耦合運(yùn)動(dòng)方程⑤.返回到物理坐標(biāo)系比例阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)例

圖中系統(tǒng)的左右阻尼器參數(shù)有小差異()，兩質(zhì)量在正向單位靜位移條件下釋放，求其自由振動(dòng)響應(yīng)。解：比例阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)變換:運(yùn)動(dòng)方程化為:系統(tǒng)初始條件化為:非比例阻尼系統(tǒng)比例阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)阻尼差異是小量。忽略模態(tài)阻尼矩陣中的非對角元素，將上式解耦為:代回變換得系統(tǒng)振動(dòng)物理響應(yīng):根據(jù)初始條件可解出:比例阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)返回動(dòng)剛度矩陣頻響函數(shù)矩陣比例阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)1.頻域分析頻響函數(shù)矩陣的一般元素是復(fù)數(shù)，其幅值的物理意義是：在系統(tǒng)的第j個(gè)自由度上施加單位幅值正弦激勵(lì)后系統(tǒng)第i個(gè)自由度上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值；而輻角的物理意義是上述響應(yīng)滯后（超前）激勵(lì)的相位角。比例阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)2.頻響函數(shù)的模態(tài)展開式頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展開式3.時(shí)域分析Fourier逆變換公式:比例阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)任意激勵(lì)下的響應(yīng)：STOP比例阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)習(xí)題課第八講：第三章：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析作業(yè)情況一些毛病：12物理坐標(biāo)系下的位移為：應(yīng)改成：應(yīng)改成：作業(yè)情況3應(yīng)改成：4沒有按照模態(tài)疊加法的標(biāo)準(zhǔn)步驟來，而是直接用教材61頁,62頁的方法來求系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)，作業(yè)中未見到模態(tài)坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程。其中1.模態(tài)截?cái)嗄B(tài)截?cái)啵簽楸Ａ裟B(tài)的數(shù)目內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧2.

Rayleigh阻尼是常數(shù)。3.某一階模態(tài)阻尼比在比例阻尼假設(shè)下，模態(tài)坐標(biāo)系下的各個(gè)方程為近一步表示為：(4)實(shí)際中對阻尼的一種處理方法基于壓電作動(dòng)器的垂尾抖振主動(dòng)抑制內(nèi)容回顧在比例阻尼假設(shè)下，模態(tài)坐標(biāo)系下的各個(gè)方程為1.一般粘性阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)第九講：第三章：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析對于比例阻尼系統(tǒng)，在固有振型矩陣的變換