北工大-電磁場(chǎng)與電磁波重要例題

例2.7.1

z<0的區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為,z

>0區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為。若媒質(zhì)1中的電場(chǎng)強(qiáng)度為媒質(zhì)2中的電場(chǎng)強(qiáng)度為（1）試確定常數(shù)A的值;（2）求磁場(chǎng)強(qiáng)度和；（3）驗(yàn)證和滿(mǎn)足邊界條件。

解:（1）這是兩種電介質(zhì)的分界面，在分界面z=0處，有1利用兩種電介質(zhì)分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)的邊界條件得到將上式對(duì)時(shí)間t積分，得（2）由，有2可見(jiàn)，在z=0處，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，因?yàn)樵诜纸缑嫔希▃=0）不存在面電流。（3）z=0時(shí)同樣，由，得3試問(wèn)關(guān)于1區(qū)中的和能求得出嗎？

解根據(jù)邊界條件，只能求得邊界面z＝0處的和。由，有則得1區(qū)2區(qū)xyz電介質(zhì)與自由空間的分界面O

例2.7.2

如圖所示，1區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為、、2區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為。若已知自由空間的電場(chǎng)強(qiáng)度為4又由，有則得最后得到5解

（1）由,有試求:（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度；（2）導(dǎo)體表面的電流密度。

例2.7.3

在兩導(dǎo)體平板（z=0和z=d）之間的空氣中，已知電場(chǎng)強(qiáng)度6將上式對(duì)時(shí)間t

積分，得（2）z=0處導(dǎo)體表面的電流密度為z=d處導(dǎo)體表面的電流密度為78

例3.1.1

求電偶極子的電位.

解

在球坐標(biāo)系中用二項(xiàng)式展開(kāi)，由于，得代入上式，得

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。+q電偶極子zod－q9將和代入上式，解得E線方程為

由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度等位線電場(chǎng)線電偶極子的場(chǎng)圖

電場(chǎng)線微分方程：

等位線方程：10

解選定均勻電場(chǎng)空間中的一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P

的位置矢量為r，則若選擇點(diǎn)O為電位參考點(diǎn)，即，則

在球坐標(biāo)系中，取極軸與的方向一致，即，則有

在圓柱坐標(biāo)系中，取與x軸方向一致，即，而，故

例3.1.2

求均勻電場(chǎng)的電位分布。11xyzL-L

解

采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與z

軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對(duì)稱(chēng)性，電位與無(wú)關(guān)。在帶電線上位于處的線元，它到點(diǎn)的距離，則

例3.1.3

求長(zhǎng)度為2L、電荷線密度為的均勻帶電線的電位。12

在上式中若令，則可得到無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的電位。當(dāng)時(shí)，上式可寫(xiě)為當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)闊o(wú)窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上一個(gè)任意常數(shù)，則有并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇ρ=a

的點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則有13

解：則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng)同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時(shí)，

例3.1.4

同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q

，求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容14

例3.1.5

如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。

解

設(shè)兩導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電量分別為和。由于，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩導(dǎo)線間的電位差故單位長(zhǎng)度的電容為15

例3.1.6

同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長(zhǎng)度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差

解

設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為同軸線16

例3.1.7

半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場(chǎng)能量。

解：方法一，利用計(jì)算

根據(jù)高斯定理求得電場(chǎng)強(qiáng)度故17

方法二：利用計(jì)算

先求出電位分布

故18

例3.2.1一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。

解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。19

例3.2.2

填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1和2

、電導(dǎo)率為

1和2

。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0

，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)2介質(zhì)120

（1）設(shè)同軸電纜中單位長(zhǎng)度的徑向電流為I,則由可得電流密度介質(zhì)中的電場(chǎng)

解電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對(duì)稱(chēng)分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由求出電流密度的表達(dá)式，然后求出和，再由確定出電流I。21故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為由于于是得到22

（2）由可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為23

例3.2.3

求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長(zhǎng)度為l

，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ、介電常數(shù)為ε。解：直接用恒定電場(chǎng)的計(jì)算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I

。24方程通解為

例3.2.4

在一塊厚度為h

的導(dǎo)電板上，由兩個(gè)半徑為r1和r2的圓弧和夾角為

0的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計(jì)算沿方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ。

解：設(shè)在沿方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿

方向流動(dòng)，而且電流密度是隨

變化的。但容易判定電位只是變量的函數(shù)，因此電位函數(shù)滿(mǎn)足一維拉普拉斯方程代入邊界條件可以得到環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr20σ25電流密度兩電極之間的電流故沿方向的兩電極之間的電阻為所以26

例

3.3.1

求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場(chǎng)。小圓形回路的半徑為a

，回路中的電流為I

。

解如圖所示，由于具有軸對(duì)稱(chēng)性，矢量磁位和磁場(chǎng)均與無(wú)關(guān)，計(jì)算xOz平面上的矢量磁位與磁場(chǎng)將不失一般性。小圓環(huán)電流aIxzyrRθIPO27對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)，有r>>a

，所以由于在=0面上，所以上式可寫(xiě)成于是得到28式中S=πa

2是小圓環(huán)的面積。

載流小圓環(huán)可看作磁偶極子，為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則或29

解：先求長(zhǎng)度為2L的直線電流的磁矢位。電流元到點(diǎn)的距離。則

例3.3.2

求無(wú)限長(zhǎng)線電流I

的磁矢位，設(shè)電流沿+z方向流動(dòng)。與計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)線電荷的電位一樣，令可得到無(wú)限長(zhǎng)線電流的磁矢位xyzL-L30

解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過(guò)沿軸線單位長(zhǎng)度的矩形面積元dS=d的磁通為

例3.3.4

求同軸線單位長(zhǎng)度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為則與dΦi相應(yīng)的磁鏈為31因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則故單位長(zhǎng)度的外自感為單位長(zhǎng)度的總自感為32

例3.3.5

計(jì)算平行雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的間距為D，且D>>a。導(dǎo)線及周?chē)劫|(zhì)的磁導(dǎo)率為μ0

。穿過(guò)兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度的面積的外磁鏈為

解

設(shè)兩導(dǎo)線流過(guò)的電流為I

。由于D>>a

，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P

的磁感應(yīng)強(qiáng)度為PII33于是得到平行雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的外自感兩根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的自感為34由圖中可知長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形回路穿過(guò)三角形回路面積的磁通為

解

設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線中的電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定理，得到

例3.3.6

如圖所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。35因此故長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為36

例3.3.7

如圖所示，兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈C1和C2，半徑分別為a1和a2，中心相距為d

。求它們之間的互感。于是有

解利用紐曼公式來(lái)計(jì)算，則有兩個(gè)平行且共軸的線圈式中θ=2－1為與之間的夾角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且37

若d>>a1，則于是

一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來(lái)表示。但是若d>>a1或d>>a2時(shí)，可進(jìn)行近似計(jì)算。38

例3.3.8

同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為

b和c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流I

，試求同軸電纜中單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量與自感。

解：由安培環(huán)路定理，得39三個(gè)區(qū)域單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量分別為240單位長(zhǎng)度內(nèi)總的磁場(chǎng)能量為單位長(zhǎng)度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感41

例3.3.9

如圖所示的一個(gè)電磁鐵，由鐵軛（繞有N匝線圈的鐵芯）和銜鐵構(gòu)成。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為S，平均長(zhǎng)度分別為l1和l2。鐵軛與銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長(zhǎng)度為x。設(shè)線圈中的電流為I，鐵軛和銜鐵的磁導(dǎo)率為。若忽略漏磁和邊緣效應(yīng)，求鐵軛對(duì)銜鐵的吸引力。

解在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通Ψ不變，則B和H不變，儲(chǔ)存在鐵軛和銜鐵中的磁場(chǎng)能量也不變，而空氣隙中的磁場(chǎng)能量則要變化。于是作用在銜鐵上的磁場(chǎng)力為電磁鐵空氣隙中的磁場(chǎng)強(qiáng)度42

例3.5.1

一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？

解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷q受的電場(chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。可以先求電荷q移至無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。q'qx=∞0d-d由鏡像法，感應(yīng)電荷可以用像電荷

替代。當(dāng)電荷q移至x時(shí)，像電荷

應(yīng)位于－x，則像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度43

例4.3.1

同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U，導(dǎo)體中流過(guò)的電流為I。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線44

解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無(wú)切向分量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量45電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源流向負(fù)載，如圖所示。穿過(guò)任意橫截面的功率為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）46

（2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng)內(nèi)根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為內(nèi)磁場(chǎng)則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）47式中是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見(jiàn)，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。由此可見(jiàn)，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為

以上分析表明電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）48

例4.5.1

將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫(xiě)為復(fù)數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以49（2）因?yàn)楣仕?0

例4.5.2

已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫(xiě)出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量51

例題：已知正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為式中

解：（1）因?yàn)楣孰妶?chǎng)的復(fù)矢量為試求：（1）電場(chǎng)的復(fù)矢量;（2）磁場(chǎng)的復(fù)矢量和瞬時(shí)值。52（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場(chǎng)的復(fù)矢量磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值53

解：（1）由得（2）電場(chǎng)和磁場(chǎng)的瞬時(shí)值為

例4.5.4

已知無(wú)源的自由空間中，電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為，其中k和E0為常數(shù)。求：（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量

；（2）瞬時(shí)坡印廷矢量

；（3）平均坡印廷矢量

。54

（3）平均坡印廷矢量為或直接積分，得瞬時(shí)坡印廷矢量為55

例5.1.1

頻率為9.4GHz的均勻平面波在聚乙烯中傳播，設(shè)其為無(wú)耗材料，相對(duì)介電常數(shù)為εr=2.26。若磁場(chǎng)的振幅為7mA/m，求相速、波長(zhǎng)、波阻抗和電場(chǎng)強(qiáng)度的幅值。

解：由題意因此

56

解：以余弦為基準(zhǔn)，直接寫(xiě)出

例5.1.2

均勻平面波的磁場(chǎng)強(qiáng)度的振幅為A/m，以相位常數(shù)為30rad/m在空氣中沿方向傳播。當(dāng)t=0和z=0時(shí)，若取最大值取向?yàn)椋噷?xiě)出和的表示式，并求出頻率和波長(zhǎng)。因，故則57

例5.1.3

頻率為100Mz的均勻電磁波，在一無(wú)耗媒質(zhì)中沿+z方向傳播，其電場(chǎng)。已知該媒質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)εr=4、相對(duì)磁導(dǎo)率μr=1，且當(dāng)t=0、z=1/8m時(shí)，電場(chǎng)達(dá)到幅值為10－4V/m。試求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表示式。

解：設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表示式為對(duì)于余弦函數(shù)，當(dāng)相角為零時(shí)達(dá)振幅值?？紤]條件t=0、z=1/8m

時(shí)，電場(chǎng)達(dá)到幅值，得式中58

所以磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表示式為式中因此59

解：電場(chǎng)