線性代數(shù)二三階行列式

線性代數(shù)（同濟(jì)五版）

在以往的中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們接觸過二元一次和三元一次等簡(jiǎn)單的方程組.

但是，從許多實(shí)踐或理論問題里導(dǎo)出的方程組常常含有超過三個(gè)或更多的未知量，并且未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)也不一定相等.

超過75%的科學(xué)研究和工程應(yīng)用中的數(shù)學(xué)問題,在某個(gè)階段都涉及求解方程組，線性代數(shù)研究n個(gè)未知量的線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu)，線性方程組應(yīng)用于商業(yè)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、生態(tài)學(xué)、人口統(tǒng)計(jì)學(xué)、遺傳學(xué)、電子學(xué)、工程學(xué)以及物理學(xué)等領(lǐng)域。時(shí)最大的計(jì)算機(jī)之一的MarkⅡ還不能處理所得到的包含500個(gè)未知量的500個(gè)方程的方程組，列昂惕夫只好把問題化簡(jiǎn)為42個(gè)未知量的42個(gè)方程，為解列昂惕夫的42個(gè)方程，編寫MarkⅡ計(jì)算機(jī)上的程序需要幾個(gè)月的工作，之后MarkⅡ運(yùn)行了56個(gè)小時(shí)才計(jì)算出最后的答案。列昂惕夫獲得了1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。1949年列昂惕夫在哈佛的工作標(biāo)志著應(yīng)用計(jì)算機(jī)分析大規(guī)模數(shù)學(xué)模型的開始，這些數(shù)學(xué)模型通?？梢员痪€性化，即它們是用線性方程組描述的。(1906年—1999年)

1949年夏末，哈佛大學(xué)教授列昂惕夫（Wassily

Leontief)把美國(guó)經(jīng)濟(jì)分解為500個(gè)部門，例如煤炭工業(yè)、汽車工業(yè)、交通系統(tǒng)等等，對(duì)每個(gè)部門，他寫出了一個(gè)描述該部門的產(chǎn)出如何分配給其他經(jīng)濟(jì)部門的線性方程，由于當(dāng)哈佛大學(xué)教授霍華德·艾肯(HowardHathawayAiken)因在20世紀(jì)40年代成功地研制出有深遠(yuǎn)影響的大型自動(dòng)數(shù)字計(jì)算機(jī)MarkI而被首批授予計(jì)算機(jī)先驅(qū)獎(jiǎng)。

艾肯1900年3月8日出生在美國(guó)新澤西州的霍伯。但在印第安那州首府印第安納波里斯(Indianapolis，Indiana)長(zhǎng)大。由于艾肯的家是一個(gè)單親家庭，家境清貧，他高中就讀于一所名為“阿森納”的職高(ArsenalTechnicalHighSchool)，白天上學(xué)，晚上在當(dāng)?shù)匾患夜╇姾凸岬墓旧?2個(gè)小時(shí)的夜班，負(fù)責(zé)操作開關(guān)板。后來(lái)，職高校長(zhǎng)知道了他的情況,就專門安排了一些考試，讓艾肯通過后提前畢業(yè)，接著，艾肯來(lái)到威斯康辛州首府麥迪遜，在麥迪遜煤氣和電力公司找到一份工作，這份工作允許他同時(shí)在威斯康辛大學(xué)上學(xué)。1923年，艾肯大學(xué)畢業(yè)，取得電氣工程學(xué)士學(xué)位，并立即被提升為公司的總工程師。

后來(lái)艾肯先進(jìn)了芝加哥大學(xué)，但很快轉(zhuǎn)至哈佛大學(xué)，1937年和1939年先后取得碩土和博土學(xué)位。

經(jīng)過艾肯和IBM公司長(zhǎng)達(dá)5—6年的合作和努力(當(dāng)然也包括難以避免的摩擦和碰撞)，MarkI終于在1944年5月完工并投入使用。它用了3000多個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的繼電器，是一個(gè)重達(dá)5噸的龐然大物造價(jià)高達(dá)50萬(wàn)美元(有的資料甚至說(shuō)超過100萬(wàn)美)，其中IBM公司的投資占2／3，其余1／3由海軍資助。

CleveMoler給這個(gè)接口程序取名為MATLAB,該名為矩陣(matrix)和實(shí)驗(yàn)室(labotatory)兩個(gè)英文單詞的前三個(gè)字母的組合.在以后的數(shù)年里,MATLAB在多所大學(xué)里作為教學(xué)輔助軟件使用,并作為面向大眾的免費(fèi)軟件廣為流傳.

1983年春天,CleveMoler到Standford大學(xué)講學(xué),MATLAB深深地吸引了工程師JohnLittle.JohnLittle敏銳地覺察到MATLAB在工程領(lǐng)域的廣闊前景.他和CleveMoler,Steve

Bangert一起,用C語(yǔ)言開發(fā)了第二代專業(yè)版.這一代的MATLAB語(yǔ)言同時(shí)具備了數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)圖示化的功能.

70年代后期,身為美國(guó)NewMexico大學(xué)計(jì)算機(jī)系系主任的CleveMoler,在給學(xué)生講授線性代數(shù)課程時(shí),想教學(xué)生使用EISPACK和LINPACK程序庫(kù),但他發(fā)現(xiàn)學(xué)生用FORTRAN編寫接口程序很費(fèi)時(shí)間,于是他開始自己動(dòng)手,利用業(yè)余時(shí)間為學(xué)生編寫EISPACK和LINPACK的接口程序.

1984年,CleveMoler和JohnLittle成立了MathWorks公司,正式把MATLAB推向市場(chǎng),并繼續(xù)進(jìn)行MATLAB的研究和開發(fā).在當(dāng)今30多個(gè)數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中,就軟件數(shù)學(xué)處理的原始內(nèi)核而言,可分為兩大類.一類是數(shù)值計(jì)算型軟件,如MATLAB,Xmath,Gauss等,這類軟件長(zhǎng)于數(shù)值計(jì)算,對(duì)處理大批數(shù)據(jù)效率高;另一類是數(shù)學(xué)分析型軟件,Mathematica,Maple等,這類軟件以符號(hào)計(jì)算見長(zhǎng),能給出解析解和任意精確解,其缺點(diǎn)是處理大量數(shù)據(jù)時(shí)效率較低.MathWorks公司順應(yīng)多功能需求之潮流,在其卓越數(shù)值計(jì)算和圖示能力的基礎(chǔ)上,又率先在專業(yè)水平上開拓了其符號(hào)計(jì)算,文字處理,可視化建模和實(shí)時(shí)控制能力,開發(fā)了適合多學(xué)科,多部門要求的新一代科技應(yīng)用軟件MATLAB.經(jīng)過多年的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng),MATLAB以經(jīng)占據(jù)了數(shù)值軟件市場(chǎng)的主導(dǎo)地位.含有m個(gè)方程n個(gè)未知量的線性方程組注意：這個(gè)方程組中，有n個(gè)未知量，m個(gè)方程Alinearsystemofmequationsinnunknownsisthenasystemoftheform第一章行列式內(nèi)容提要

§1二階與三階行列式

§2全排列及其逆序數(shù)

§3n

階行列式的定義

§4對(duì)換

§5行列式的性質(zhì)

§6行列式按行（列）展開

§7克拉默法則行列式的概念.行列式的性質(zhì)及計(jì)算.——線性方程組的求解.

行列式是線性代數(shù)的一種工具！學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計(jì)算行列式的值.Determinant我們從最簡(jiǎn)單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡(jiǎn)此公式.從而得出二階行列式的概念.§1

二階與三階行列式一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組同理可得：當(dāng)時(shí)，該方程組有唯一解求解公式為:二元線性方程組請(qǐng)觀察，此公式有何特點(diǎn)？分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減而得.其求解公式為二元線性方程組我們引進(jìn)新的符號(hào)來(lái)表示“四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減”.記號(hào)數(shù)表表達(dá)式稱為由該數(shù)表所確定的二階行列式，即其中，稱為元素.i為行標(biāo)，表明元素位于第i行；j為列標(biāo)，表明元素位于第j

列.原則：橫行豎列二階行列式的計(jì)算主對(duì)角線副對(duì)角線即：主對(duì)角線上兩元素之積－副對(duì)角線上兩元素之積——對(duì)角線法則二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為例1求解二元線性方程組解因?yàn)樗远⑷A行列式定義

設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表原則：橫行豎列引進(jìn)記號(hào)稱為三階行列式.主對(duì)角線副對(duì)角線二