模糊信息處理

模糊信息處理北京科技大學(xué)目錄模糊模式識(shí)別1模糊聚類3模糊決策4模糊控制21、模糊模式識(shí)別模糊識(shí)別基本方法1模糊模式識(shí)別應(yīng)用21.1、模糊識(shí)別基本方法根據(jù)給定的某個(gè)模型特征來識(shí)別它所屬的類型問題稱為模式識(shí)別。例如，給定一個(gè)手寫字符，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)字模來辨認(rèn)它。模式識(shí)別是通過已知的各種模型來識(shí)別給定對(duì)象屬哪一類模型的問題。模式識(shí)別通常采用統(tǒng)計(jì)方法、語(yǔ)言方法和模糊識(shí)別方法。模糊識(shí)別方法主要建立在“最大隸屬原則”和“擇近原則”的基礎(chǔ)之上。最大隸屬原則：設(shè)A1,A2,…,An是論域X中的n個(gè)模糊集合——標(biāo)準(zhǔn)模型。對(duì)于給定的待識(shí)別對(duì)象x0?X，如果存在一個(gè)i?{1,2,…,n}，使得 Ai(x0)=max{A1(x0),A2(x0),…,An(x0)}

則認(rèn)為x0相對(duì)隸屬于Ai。1.1、模糊識(shí)別基本方法例將人分為老、中、青三類，它們分別對(duì)應(yīng)于三個(gè)模糊集合A1，A2，A3，其隸屬函數(shù)分別為①現(xiàn)有某人45歲，因A1(45)=0,A2(45)=1,A3(45)=0,故有 max{A1(45),A2(45),A3(45)}=A2(45)，即此人應(yīng)屬于中年人②當(dāng)x=30歲，A1(30)=0,A2(30)=0.5,A3(30)=0.5，故有

max{A1(30),A2(30),A3(30)}=A2(30)＝A3(30)，即對(duì)于30歲的人，既可以認(rèn)為是青年人，也可以認(rèn)為是中年人。1.1、模糊識(shí)別基本方法例三角形識(shí)別。用三元組(A,B,C)表示一個(gè)三角形，A、B、C分別是三角形的三個(gè)內(nèi)角，且A≥B≥C。則三角形集合為X={(A,B,C)|A+B+C=180°}

現(xiàn)考慮五類三角形，并將其作為模型——論域X中的五個(gè)模糊集合。 ①等腰三角形模糊集合I：隸屬函數(shù)為

I(A,B,C)=1-min{(A-B),(B-C)}/60 ②直角三角形模糊集合R：隸屬函數(shù)為

R(A,B,C)=1-|A-90|/90 ③等腰直角三角形模糊集合IR：因IR＝I∩R，故隸屬函數(shù)為

IR(A,B,C)=min{I(A,B,C),R(A,B,C)} =1-max{min{(A-B),(B-C)}/60,|A-90|/90} ④正三角形模糊集合E：隸屬函數(shù)為

E(A,B,C)=1-(A-C)/180 ⑤其它三角形模糊集合T：因T=~(I∪E∪R)=~I∩~E∩~R,故

T(A,B,C)=min(3(A-B),3(B-C),2|A-90|,A-C}/180

1.1、模糊識(shí)別基本方法假設(shè)給定一個(gè)三角形x0=(85,50,45)，計(jì)算其對(duì)各個(gè)模型的隸屬度

I(x0)=0.916 R(x0)=0.94 IR(x0)=0.916 E(x0)=0.7 T(x0)=0.005按最大隸屬原則，應(yīng)判定x0近似為直角三角形。

1.1、模糊識(shí)別基本方法擇近原則：設(shè)A1,A2,…,An是論域X中的n個(gè)模糊集合——標(biāo)準(zhǔn)模型，對(duì)于給定的待識(shí)別對(duì)象B(X中的模糊集合),若存在k，使得

①σ(Ak,B)=max{σ(A1,B),σ(A2,B),…,σ(An,B)},其中σ(Ai,B)表示B對(duì)Ai的貼近度，則認(rèn)為B與Ak最相似；或 ②d(Ak,B)=min{d(A1,B),d(A2,B),…,d(An,B)},其中d(Ai,B)表示B與Ai的距離，則認(rèn)為B與Ak最相似。1.1、模糊識(shí)別基本方法例設(shè)X為6個(gè)元素的集合，并設(shè)標(biāo)準(zhǔn)模型由以下模糊向量組成 A1=(1,0.8,0.5,0.4,0,0.1) A2=(0.5,0.1,0.5,1,0.6,0) A3=(0,1,0.2,0.7,0.5,0.8) A4=(0.4,0,1,0.9,0.6,0.5) A5=(0.8,0.2,0,0.5,1,0.7) A6=(0.5,0.7,0.8,0,0.5,1)現(xiàn)給定一個(gè)待識(shí)別的模糊向量B=(0.7,0.2,0.1,0.4,1,0.8)問B與哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型最相似？采用最大/最小貼近度計(jì)算：

σ(B,A1)=0.3333 σ(B,A2)=0.3778 σ(B,A3)=0.4545 σ(B,A4)=0.4348 σ(B,A5)=0.8824 σ(B,A6)=0.4565依據(jù)擇近原則，得B與A5最相似。1、模糊模式識(shí)別模糊模式識(shí)別應(yīng)用2模糊識(shí)別基本方法11.2、模糊模式識(shí)別應(yīng)用幾何圖形識(shí)別識(shí)別三角形識(shí)別四邊形用A、B、C、D表示四邊形的四個(gè)內(nèi)角,a、b、c、d表示四邊形的四條邊。①梯形B： B(x)=1-ρT×min{|A+B-180°|,|B+C-180°|}/180°

其中ρT為常數(shù)，通?？扇?。②矩形RE：RE(x)=1-ρRE×[(A-90°)+(A-90°)+(A-90°)+(A-90°)]/90°

其中ρRE為常數(shù)，通?？扇?。③平行四邊形P：P(x)=1-ρP×max{|A-C|,|B-D|}/180°其中ρP為常數(shù)，通?？扇?。④菱形RH： RH(x)=1-ρRH×max{|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-a|}/s

其中ρRH為某一常數(shù)，s=a+b+c+d1.2、模糊模式識(shí)別應(yīng)用幾何圖形識(shí)別識(shí)別多邊形設(shè)多邊形的邊和角分別為ai，Ai（i=1,2,…,n)①n邊等邊多邊形SD：

SD(x)=1-ρSD×max{|a1-a2|,|a2-a3|,…,|an-a1|}/s

其中ρSD為某一常數(shù)，②n邊等角多邊形AG：AG(x)=1-ρAG×max{|A1-[180°(n-2)/n]|,…,|An-[180°(n-2)/n]|}/180°

其中ρAG為某一常數(shù)。1.2、模糊模式識(shí)別應(yīng)用例染色體識(shí)別。如圖給出了幾種染色體的一般形狀，它們可以作為識(shí)別染色體的標(biāo)準(zhǔn)模型。根據(jù)這些染色體形狀的共有特征，先對(duì)其做統(tǒng)一的前處理，視其為下圖表示的六邊形。一種特殊的染色體稱之為“對(duì)稱染色體”,具有：a1=a2,a3=a4,A2i-1=A2i(i=1,2,3,4)。這種染色體也可作為識(shí)別的標(biāo)準(zhǔn)模型，視其為模糊集合S，則另外三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型為模糊集合M、SM、AC：

A1A2A3A4A5A6a1a2a3a4a5對(duì)于任意一個(gè)染色體x，應(yīng)首先進(jìn)行前處理，用一組線段將其外形勾畫出一個(gè)六邊形，再根據(jù)邊ai、角Ai計(jì)算隸屬度，最后由最大隸屬原則判斷x屬于哪類染色體。1.2、模糊模式識(shí)別應(yīng)用文字識(shí)別書寫規(guī)范中含有極大的模糊性。將模糊數(shù)學(xué)引入模糊識(shí)別后，機(jī)器文字識(shí)別問題有了很大的進(jìn)展。1.2、模糊模式識(shí)別應(yīng)用例在計(jì)算機(jī)中存放十個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字的標(biāo)準(zhǔn)模型。例如下圖a是數(shù)字6的標(biāo)準(zhǔn)字模。它由一個(gè)5×4的點(diǎn)陣刻畫，將其轉(zhuǎn)化為機(jī)器可識(shí)別的0、1數(shù)據(jù)：對(duì)于任何一小方格，若被某一筆畫覆蓋，則將用1表示，否則用0表示。則數(shù)字“6”其對(duì)應(yīng)的字模矩陣為：假設(shè)現(xiàn)有一個(gè)待識(shí)別的手寫如圖b所示，識(shí)別時(shí)，首先將其轉(zhuǎn)化成字模矩陣B，則識(shí)別問題屬于一種群體識(shí)別問題，可采用擇近原則進(jìn)行識(shí)別。在實(shí)際應(yīng)用中，為了更精確的識(shí)別文字，通常選用更大的字模點(diǎn)陣，例如9×18、16×16、24×24甚至更大。計(jì)算量隨之大幅度增加。對(duì)于圖像識(shí)別，例如照片、指紋等，也可以采用原理相同的方法，采用[0,1]間的實(shí)數(shù)表示圖像中的灰度，從而得出模型矩陣和識(shí)別對(duì)象矩陣（都是模糊矩陣）。ab模糊信息處理模糊控制2模糊聚類3模糊決策4模糊模式識(shí)別12、模糊控制模糊控制基礎(chǔ)1模糊控制應(yīng)用實(shí)例22.1、模糊控制基礎(chǔ)設(shè)有一個(gè)儲(chǔ)水器K，具有可變水位x，調(diào)節(jié)閥y能夠向K中注水或從K向外排水。現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，通過調(diào)節(jié)閥y將水位穩(wěn)定在零點(diǎn)附近。根據(jù)操作者的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)水位的控制可有以下的控制策略：①若x較0大得多(稱為正大，記為PB),則y大量排水(稱為負(fù)大，記為NB)；②若x較0稍大(稱為正小，記為PS),則y小量排水(稱為負(fù)小，記為NS)；③若x與0相等，則y保持不動(dòng)(記為y=0)；④若x較0稍小(稱為負(fù)小，記為NS)，則y小量注水(稱為正小，記為PS)；⑤若x較0小得多(稱為負(fù)大，記為NB)，則y大量注水(稱為正大，記為PB)。根據(jù)這些，可以設(shè)計(jì)出描述控制規(guī)則模糊集合R。右圖給出了模糊控制器的框圖。通過某些手段對(duì)受控對(duì)象逐次進(jìn)行觀測(cè)取得觀察量——模糊集合A，再按一定的控制規(guī)則R便可以得到控制量B=A?R?？刂屏緽也是一個(gè)模糊集合，它為控制器對(duì)當(dāng)前情況的確切響應(yīng)動(dòng)作的確定提供依據(jù)。實(shí)現(xiàn)模糊控制需要三個(gè)基本步驟：①模糊化；②建立模糊控制規(guī)則，構(gòu)造模糊變換器；③模糊判決?？刂埔?guī)則R控制量B觀察量A受控對(duì)象模糊控制器2.1、模糊控制基礎(chǔ)1、模糊化：實(shí)際控制問題中，觀測(cè)值及控制量常常是確切的值，需要將其轉(zhuǎn)化為模糊集合，即模糊化。模糊化分兩部分進(jìn)行：①將觀測(cè)量論域中的語(yǔ)言值表示成模糊集合；②確定論域的劃分。將語(yǔ)言值表示成模糊集合可以主觀地定義，通常將連續(xù)的論域通過劃分等級(jí)的方法先離散化，然后在在此論域上定義語(yǔ)言值的模糊集合。例如，假設(shè)在實(shí)際中“誤差”的論域?yàn)閄＝[-6,6]，將其離散化后為X={x|x=-6,-5,…,5,6},用模糊集合A表示“誤差”的語(yǔ)言變量，它有7個(gè)元素——語(yǔ)言值：負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大。A的隸屬函數(shù)如下表所示。-6-5-4-3-2-10123456負(fù)大負(fù)中負(fù)小零正小正中正大10.2000000.80.8000000.310.100000.10.80.7000000.210.1000000.80.8000000.210.2000000.80.7000000.110.2000000.70.80.100000.210.3000000.70.8000000.312.1、模糊控制基礎(chǔ)隸屬函數(shù)曲線劃分法：假設(shè)論域X上的語(yǔ)言變量A取5個(gè)語(yǔ)言值：A1、A2、A3、A4、A5，其隸屬函數(shù)如下圖所示。圖中N1、N2、N3、N4為5條曲線的交點(diǎn)，我們定義各交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為劃分界限(-∞,x1]隸屬于A1，(x1,x2]隸屬于A2，(x2,x3]隸屬于A3，(x3,x4]隸屬于A4，(x4,∞)隸屬于A5，從而得到論域X的一個(gè)劃分。x1x2x3x4xA1(x)0N4A2(x)A3(x)A4(x)A5(x)N3N2N12.1、模糊控制基礎(chǔ)2、建立模糊控制規(guī)則和模糊變換器模糊條件語(yǔ)句的表示方法：①若A則B： R=AT?B R(x,y)=A(x)∧B(y)此模糊條件語(yǔ)句適用于單觀測(cè)量、單控制量的情況。②若A且B則C： R=s(D)?C其中s(D)表示將矩陣D“拉直”為單列，而

D=AT?B R(x,y,z)=A(x)∧B(y)∧C(z)此模糊條件語(yǔ)句適用于雙觀測(cè)量、單控制量的情況。③若A則B1，否則B2： R=AT?B1∪~AT?B2 R(x,y)=[A(x)∧B1(y)]∨[~A(x)∧B2(y)]此模糊條件語(yǔ)句適用于單觀測(cè)量、單控制量的情況。2.1、模糊控制基礎(chǔ)2、建立模糊控制規(guī)則和模糊變換器（續(xù)）④若A1則B1，否則若A2則B2，……，否則若An則Bn：此模糊條件語(yǔ)句適用于多觀測(cè)量、多控制量的情況。⑤若A1且B1則C1，否則若A2且B2則C2，……，否則若An且Bn則Cn：其中s(Di)表示將矩陣D”拉直”為單列，而 Di=AiT?Bi此模糊條件語(yǔ)句適用于多觀察窗量、多控制量的情況。2.1、模糊控制基礎(chǔ)2、建立模糊控制規(guī)則和模糊變換器（續(xù)）例1：設(shè)X={a,b,c},Y={!,@,#},X中的模糊集合A和Y中的模糊集合B為

A={(a,1.0),(b,0.5),(c,0.1)} B={(!,0.1),(@,0.6),(#,1.0)}模糊關(guān)系R：”若A則B”表示為：2.1、模糊控制基礎(chǔ)2、建立模糊控制規(guī)則和模糊變換器（續(xù)）例2：設(shè)X={a,b},Y={!,@,#},Z={$,%},X中的模糊集合A,Y中的模糊集合B和Z中的模糊集合C為

A={(a,1.0),(b,0.6)} B={(!,0.2),(@,0.7),(#,1.0)} C={($,0.3),(%,1.0)}則這樣，模糊關(guān)系R：”若A且B則C”表示為：2.1、模糊控制基礎(chǔ)2、建立模糊控制規(guī)則和模糊變換器（續(xù)）例3：設(shè)X={a,b,c},Y={!,@,#},Z={$,%},X中的模糊集合A和Y中的模糊集合B、C為

A={(a,0.2),(b,0.4),(c,0.9)} B={(!,0.1),(@,0.6),(#,0.3)} C={(!,0.9),(@,0.3),(#,0.7)}則模糊關(guān)系R：”若A則B否則C”表示為：2.1、模糊控制基礎(chǔ)3、模糊判別方法由于經(jīng)模糊控制系統(tǒng)得到的控制量是一個(gè)模糊集合，而系統(tǒng)的最終響應(yīng)必須是確定的，所以對(duì)觀測(cè)量進(jìn)行模糊變換后，必須進(jìn)行模糊判決。模糊判決方法：①最大隸屬原則法根據(jù)最大隸屬原則，取模糊集合中隸屬函數(shù)值最大的點(diǎn)作為系統(tǒng)的確切響應(yīng)。若模糊集合中隸屬度最大值有多個(gè)時(shí)，有兩種情況：隸屬度為最大值的元素為相連的若干個(gè)元素。隸屬函數(shù)表現(xiàn)為曲線具有一個(gè)平頂，取平頂中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的論域中元素作為確切響應(yīng)。隸屬度為最大值的元素不相接。最大隸屬原則法失效。最大隸屬原則法的特點(diǎn)是能夠突出主要信息，簡(jiǎn)單直觀。缺點(diǎn)是不考慮其他所有次要信息，判別方法比較粗糙。2.1、模糊控制基礎(chǔ)3、模糊判別方法（續(xù)）②中位數(shù)判決法論域X中將隸屬函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)圍成的面積平分為兩部分的元素x*稱為中位數(shù)。將模糊控制量的模糊集合之中位數(shù)取做系統(tǒng)的確切響應(yīng)稱為“中位數(shù)判決法”。令X={x1,x2,…,xn},B為模糊控制量，則中位數(shù)xk滿足例：設(shè)模糊控制量為{(-4,0.1),(-3,0.5),(-2,0.1),(-1,0),(0,0.1),(1,0.2),(2,0.4),(3,0.5),(4,0.1)}由于0.1+0.5+0.1+0.1+0.2=0.4+0.5+0.1所以取xk=1，即選1為系統(tǒng)的確切響應(yīng)。例：設(shè)模糊控制量為{(-4,0.1),(-3,0.5),(-2,0.1),(-1,0),(0,0.1),(1,0.4),(2,0.5),(3,0.1),(4,0.2)}則1/2面積為：S=(0.1+0.5+0.1+0.1+0.4+0.5+0.1+0.2)/2=1由于0.1+0.5+0.1+0.1=0.80.1+0.5+0.1+0.1+0.4=1.2所以中位數(shù)x*在0與1之間，可以采用線性插值的方法，得x*＝0.52.1、模糊控制基礎(chǔ)3、模糊判別方法（續(xù)）③加權(quán)平均法記論域X＝{x1,x2,…,xn},B為模糊控制量，wi為xi的權(quán)重(i=1,2,…,n)。若系統(tǒng)的確切響應(yīng)取元素的加權(quán)平均值則稱為“加權(quán)平均法”。加權(quán)平均法的關(guān)鍵在于權(quán)系數(shù)的選取。元素的隸屬度是常用的一種權(quán)系數(shù)選取方法，這時(shí)有例：設(shè)模糊控制量為{(-4,0.1),(-3,0.5),(-2,0),(-1,0.1),(0,0.6),(1,0.3),(2,0.2),(3,0.1),(4,0.1)}取元素的隸屬度為權(quán)系數(shù)，則系統(tǒng)的確切響應(yīng)為：x*=-0.6/2=-0.32、模糊控制模糊控制應(yīng)用實(shí)例2模糊控制基礎(chǔ)12.2、模糊控制應(yīng)用實(shí)例以水位控制問題為例(1)模糊化①觀測(cè)量：用水位對(duì)于0點(diǎn)的偏差x?X表示 X={-3,-2,-1,0,1,2,3}即采用等級(jí)單位來描述水位偏差。記水位模糊觀測(cè)量為5個(gè)模糊集合：PBx(正大)、

PSx(正小)、Ox(零)、

NSx(負(fù)小)、

NBx(負(fù)大)，它們的隸屬函數(shù)如右表所示。②控制量：用調(diào)節(jié)閥角度增量y?Y表示

Y={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}記調(diào)節(jié)閥模型控制量為5個(gè)模糊集合：PBy(正大)、

PSy(正小)、Oy(零)、

NSy(負(fù)小)、

NBy(負(fù)大)，它們的隸屬函數(shù)如右表所示。-3-2-10123PBx000000.51PSx000010.50Ox000.510.500NSx00.510000NBx10.500000-4-3-2-101234PBy0000000.20.51PSy000000.510.50Oy000.20.510.50.200NSy00.510.500000NBy10.50.20000002.2、模糊控制應(yīng)用實(shí)例(2)建立模糊控制規(guī)則，構(gòu)造模糊變換器對(duì)水位的控制采用以下控制規(guī)則：①若x較0大得多(稱為正大，記為PBx),則y大量排水(稱為負(fù)大，記為NBy)；②若x較0稍大(稱為正小，記為PSx),則y小量排水(稱為負(fù)小，記為NSy)；③若x與0相等(0x)，則y保持不動(dòng)(0y)；④若x較0稍小(稱為負(fù)小，記為NSx)，則y小量注水(稱為正小，記為PSy)；⑤若x較0小得多(稱為負(fù)大，記為NBx)，則y大量注水(稱為正大，記為PBy)。根據(jù)控制規(guī)則，得到控制規(guī)則表按照控制規(guī)則表，得到模糊關(guān)系變換器R——從X到Y(jié)的模糊關(guān)系 R=(NBx?PBy)∪(NSx?PSy)∪(0x?0y)∪(PSx?NSy)∪(PBx?NBy)若PBxPSx0xNSxNBx則NByNSy0yPSyPBy2.2、模糊控制應(yīng)用實(shí)例2.2、模糊控制應(yīng)用實(shí)例2.2、模糊控制應(yīng)用實(shí)例對(duì)于任一觀測(cè)量x,可得到模糊控制量y=x?R例如，有觀測(cè)量x0=PSx=[000010.50]，則模糊控制量為y0=x0?R=[0.50.510.50.50.50.200]2.2、模糊控制應(yīng)用實(shí)例(3)模糊判決

采用最大隸屬原則法。對(duì)于觀測(cè)量x0所得的控制量y0y0={(-4,0.5),(-3,0.5),(-2,1),(-1,0.5),(0,0.5),(1,0.5),(2,0.2),(3,0),(4,0)}

確切響應(yīng)取-2級(jí)。模糊信息處理模糊聚類3模糊控制2模糊決策4模糊模式識(shí)別13、模糊聚類聚類分析是對(duì)事物按不同水平進(jìn)行分類的方法。換言之，聚類分析是將事物根據(jù)一定的特征，并且按某種特定的要求或規(guī)律進(jìn)行分類的方法。聚類分析的對(duì)象是尚未分類的群體。例如，對(duì)一個(gè)班的學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)做“優(yōu)”、“良”、“一般”、“差”四個(gè)等級(jí)的分類；工廠檢驗(yàn)科將某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為“特等品”、“一等品”、“二等品”、“等外品”和“次品”等等。對(duì)帶有模糊特征的事物進(jìn)行聚類分析，采用模糊數(shù)學(xué)的方法，稱其為模糊聚類分析。模糊聚類分析的方法大致分為三大類：系統(tǒng)聚類法：是一類基于模糊關(guān)系的分類法。其中包括基于模糊等價(jià)關(guān)系的聚類方法（傳遞閉包法）、基于模糊相似關(guān)系的聚類方法（直接法）、最大樹法（直接法）等等；逐步聚類法（迭代聚類法、ISODATA法）；混合法：通過參考數(shù)據(jù)的分布規(guī)律及某些經(jīng)驗(yàn)、要求等進(jìn)行分類。3、模糊聚類模糊聚類分析的基本步驟1傳遞閉包法2直接聚類法33.1、模糊聚類分析的基本步驟系統(tǒng)聚類法的基本步驟是：標(biāo)定過程：由原始統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)造模糊相似關(guān)系矩陣R；聚類過程：根據(jù)標(biāo)定生成的模糊相似矩陣R，按各種不同的水平對(duì)分類事物進(jìn)行劃分。標(biāo)定過程：記要構(gòu)造的相似矩陣為R=(rij)，(i,j=1,2,…,n)設(shè)論域U={x1,x2,…,xn}為待分類事物的全體，而每一分類對(duì)象xi是由R中一組元素ri1,ri2,…,rim來表征。通常根據(jù)實(shí)際情況，可選用以下方法：⑴數(shù)量積法3.1、模糊聚類分析的基本步驟⑵相似系數(shù)法其中⑶夾角余弦法3.1、模糊聚類分析的基本步驟⑷指數(shù)相加法其中⑸明可夫斯基法其中C、a是兩個(gè)適當(dāng)選擇的常數(shù)，它們應(yīng)使得0≤rij≤1；d(xi,xj)為明可夫斯基距離，常采用的有海明距離、歐幾里得距離。特別地，當(dāng)選用海明距離且取a=1時(shí)⑹蘭氏距離法其中a為適當(dāng)選擇的常數(shù)3.1、模糊聚類分析的基本步驟⑺絕對(duì)指數(shù)法其中⑻絕對(duì)值倒數(shù)法⑼最大最小法此法適用于xik?[0,1]時(shí)的情況。3.1、模糊聚類分析的基本步驟⑽算術(shù)平均最小法⑾幾何平均法⑿主觀評(píng)定法有實(shí)際經(jīng)驗(yàn)者直接對(duì)xi與xj的相似程度評(píng)分，作為rij的值。3、模糊聚類傳遞閉包法2模糊聚類分析的基本步驟1直接聚類法33.2、傳遞閉包法模糊等價(jià)矩陣能對(duì)論域進(jìn)行等價(jià)劃分。通常情況下，標(biāo)定過程構(gòu)造出的模糊關(guān)系僅滿足自反性和對(duì)稱性，而不滿足傳遞性。在模糊相似矩陣的基礎(chǔ)上生成模糊等價(jià)矩陣，求該模糊矩陣的傳遞閉包t(R),可以等到一個(gè)模糊等價(jià)矩陣。采用傳遞閉包法進(jìn)行聚類的過程，歸納為以下兩個(gè)步驟：①生成等價(jià)模糊矩陣：由R求閉包生成模糊等價(jià)矩陣；②劃分：從大到小，依次取實(shí)數(shù)λ?[0,1]，計(jì)算Rλ，再根據(jù)Rλ對(duì)X進(jìn)行等價(jià)劃分。最后便得到不同水平下對(duì)事物的分類及其“聚類圖”。3.2、傳遞閉包法例環(huán)境單元分類。每個(gè)環(huán)境單元包括四個(gè)要素：空氣、水份、土壤和作物，而環(huán)境單元的污染狀況可由污染物在四個(gè)要素中含量的超限度來描述。下表是對(duì)5個(gè)環(huán)境單元的污染狀況所做的記錄。環(huán)境單元空氣xi1水份xi2土壤xi3作物xi4a5532b2345c5523d1531e24313.2、傳遞閉包法取論域X={a,b,c,d,e},按C=0.1時(shí)的絕對(duì)值減數(shù)法構(gòu)造模糊相似矩陣得用逐步平方法計(jì)算R的傳遞閉包t(R)得依次取t(R)的λ截矩陣，并且根據(jù)它對(duì)X進(jìn)行等價(jià)劃分此等價(jià)布爾矩陣將X劃分為5類：{a},,{c},au46kme,{e}；此等價(jià)布爾矩陣將X劃分為4類：{a,c},,6wmo4oi,{e}；3.2、傳遞閉包法此等價(jià)布爾矩陣將X劃分為3類：{a,c},,{d,e}；此等價(jià)布爾矩陣將X劃分為2類：{a,c,d,e},；此等價(jià)布爾矩陣將X劃分為1類：{a,b,c,d,e}?？梢钥闯?，隨著λ值由1向0減小，劃分越來越村，等價(jià)類由單元集最終演變?yōu)槿?。聚類圖如下：abcdeλ=1λ=0.8λ=0.6λ=0.5λ=0.43、模糊聚類直接聚類法3模糊聚類分析的基本步驟1傳遞閉包法23.3、直接聚類法當(dāng)模糊相似矩陣的階數(shù)較高時(shí)，采用傳遞閉包法進(jìn)行分類計(jì)算量較大。直接聚類法不必求模糊相似矩陣的傳遞閉包。步驟為：①取λ1=1(R中的最大值),對(duì)論域中所有元素xi構(gòu)造相似類[xi]R={xj|rij=1},即將滿足rij=1的xi和xj歸為同一個(gè)類，構(gòu)成相似類。對(duì)于兩個(gè)交集不空的相似類，應(yīng)當(dāng)將其歸并為一個(gè)相似類——取它們的并集。這樣得到關(guān)于R的傳遞閉包t(R)對(duì)應(yīng)于λ1的等價(jià)劃分。②取λ2為R中的次最大值，并從R中找出相似程度為λ2的元素對(duì)(xi,xj),即rij=λ2。然后將取λ1＝1時(shí)所得到的所有劃分中含有xi與含有xj的等價(jià)類歸并(取其并集)。對(duì)所有這類元素進(jìn)行歸并后，便得到了關(guān)于R的傳遞閉包t(R)對(duì)應(yīng)于λ2的等價(jià)劃分。③取λ3為R中的第三大值，操作同②，最后等到關(guān)于R的傳遞閉包t(R)對(duì)應(yīng)于λ3的等價(jià)劃分。④重復(fù)以上方法，直到X被歸并成單個(gè)等價(jià)類。另外，由于模糊相似矩陣總是對(duì)稱的，所以在計(jì)算過程中，只需考慮該矩陣關(guān)于主對(duì)角線的上（或下）三角區(qū)域中的元素。3.3、直接聚類法例設(shè)X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7},現(xiàn)有模糊相似關(guān)系①λ1＝1，因?yàn)閞13和r35為1，故得相似類{x1,x3},{x2},{x3,x5},{x4},{x6},{x7}但第一個(gè)和第三個(gè)相似類中有公共元素x3，所以應(yīng)當(dāng)歸并為一類，最后得λ1＝1的等價(jià)劃分為：{x1,x3,x5},{x2},{x4},{x6},{x7}②λ2＝0.8(R中次大值)。因?yàn)閞12、r15、r46和r67為0.8，故將前面所得的等價(jià)類中x1所在類和x2所在類歸并，x4和x6所在類歸并，x6和x7所在類歸并。最后得到對(duì)應(yīng)于λ2＝0.8的等價(jià)劃分{x1,x2,x3,x5},{x4,x6,x7}③λ3＝0.7(R中第三大值)。因?yàn)閞34=0.7,故應(yīng)將前面得到的等價(jià)類中x3所在類和x4所在類歸并，最后得到對(duì)應(yīng)于λ3＝0.7的等價(jià)劃分{x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7}所得等價(jià)類包含了論域X中的所有元素，計(jì)算終止。3.3、直接聚類法例①λ1＝1：由于僅有主對(duì)角線上的元素為1，故得等價(jià)類均為單元集：{a},,{c},wyoei8s,{e}②λ2＝0.8(R中次大值)：在R中，r13=0.8,故將前面所得等價(jià)類中x1所在類和x3所在類歸并得：{a,c},,k4coe4m,{e}③λ3＝0.6(R中第三大值)：在R中，r45=0.6,故將前面所得等價(jià)類中x4所在類和x5所在類歸并得：

{a,c},,{d,e}④λ4＝0.5(R中第四大值)：在R中，r14=0.5,故將前面所得等價(jià)類中x1所在類和x4所在類歸并得：

{a,c,d,e},⑤λ5＝0.4(R中第五大值)：在R中，r25=0.4,故將前面所得等價(jià)類中x2所在類和x5所在類歸并得：

{a,b,c,d,e}所得等價(jià)類包含了論域X中的所有元素，計(jì)算終止。模糊信息處理模糊決策4模糊控制2模糊聚類3模糊模式識(shí)別14、模糊決策

主要介紹模糊映射、模糊變換及模糊方程在模糊決策眾多應(yīng)用。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，決策的目的就是要將論域中的對(duì)象進(jìn)行排序，或者按照某種方法從論域中選出最優(yōu)對(duì)象。

4、模糊決策綜合評(píng)判1二元對(duì)比排序方法2意見集中34.1、綜合評(píng)判綜合評(píng)判問題又稱“綜合決策問題”，它解決的問題是在考慮多種因素的影響下對(duì)某種事物做出綜合決策。設(shè)X={x1,x2,…,xn}為n種因素，Y={y1,y2,…,ym}為m種決斷。在對(duì)某事物進(jìn)行決策時(shí)，由于各種因素受到人的主觀因素影響，所以不同類型的人做出的決斷也會(huì)有所差異。事實(shí)上，Y中的m種決斷本身常常是具有模糊性的，因此綜合決斷應(yīng)當(dāng)是Y中的一個(gè)模糊集合:B={b1,b2,…,bm},其中bi反映了第i種決斷yi對(duì)模糊集合B的隸屬度——在綜合決斷中的地位。綜合決斷B依賴于各種因素的權(quán)重分配，它可以視為論域X的模糊集合A=(a1,a2,…,an)(為適合于模糊計(jì)算，一般要求A的分量和為1),其中ai描述了第i種因素的權(quán)重。給定一個(gè)權(quán)重分配集合A，應(yīng)當(dāng)有一個(gè)相應(yīng)的綜合決斷B，因而需要建立一個(gè)從X到Y(jié)的模糊變換R。綜合決策的熟悉模型涉及三個(gè)要素： ①因素集合X={x1,x2,…,xn} ②決斷集合Y={y1,y2,…,ym} ③單因素決斷R=(rij)n×m綜合評(píng)判問題的數(shù)學(xué)描述是

B=A?R4.1、綜合評(píng)判綜合評(píng)判問題已知權(quán)重分配集合A，求以A權(quán)衡諸因素時(shí)，應(yīng)當(dāng)做出的決斷B=A?R例現(xiàn)對(duì)某種試銷服裝進(jìn)行評(píng)價(jià)，以對(duì)最終的投產(chǎn)量決策提供科學(xué)依據(jù)。設(shè)

X={花色樣式，耐穿程度，價(jià)格費(fèi)用} Y={很好，較好，較差，很差}設(shè)請(qǐng)若干人員對(duì)該服裝進(jìn)行單因素評(píng)價(jià)后，就“花色樣式”項(xiàng)考慮，有20％的人認(rèn)為很好，有70％的人認(rèn)為較好，10％的人認(rèn)為較差。于是 花色樣式:(0.2,0.7,0.1,0)類似地有 耐穿程度:(0,0.4,0.5,0.1)

價(jià)格費(fèi)用:(0.2,0.3,0.4,0.1)綜合所有單決斷集合，導(dǎo)出模糊關(guān)系4.1、綜合評(píng)判現(xiàn)假設(shè)有兩類顧客，他們對(duì)X中給出的諸因素權(quán)重分配為

A1={0.2,0.5,0.3} A2={0.5,0.3,0.2}

則可求得他們對(duì)這種服裝的綜合評(píng)價(jià)為

B1={0.2,0.4,0.5,0.1} B2={0.2,0.5,0.3,0.1}

若按最大隸屬原則判斷，第一類顧客對(duì)此服裝的評(píng)價(jià)為“較差”，第二類顧客對(duì)此服裝的評(píng)價(jià)為“較好”。另外，經(jīng)計(jì)算得到的綜合評(píng)價(jià)向量一般不能保證其各分量之和為1，所以有時(shí)需要對(duì)其進(jìn)行“歸一化”：

B’=(b1/S,b2/S,…,bm/S)其中4.1、綜合評(píng)判綜合評(píng)判逆問題已知綜合決斷B，求作出此決斷所依賴的因素權(quán)重A。綜合評(píng)判逆問題實(shí)質(zhì)上是求解模糊關(guān)系方程A?R=B。問題：①模糊關(guān)系方程無(wú)解；②模糊關(guān)系方程在有多個(gè)解的情況下，應(yīng)當(dāng)選擇那個(gè)解。近似處理方法：假設(shè)已有一組備擇的權(quán)重分配方案U={A1,A2,…,AS}，從中選擇一個(gè)最佳的權(quán)重分配方案Ai，使得由Ai所決定的綜合決斷Bi=Ak?R與已知的B最為接近。可采用貼近度解決該問題。4.1、綜合評(píng)判例假設(shè)已知綜合評(píng)斷B={0.2,0.5,0.4,0.1}以及模糊關(guān)系現(xiàn)有備擇權(quán)重分配方案A1=(0.2，0.5，0.3)A2=(0.5，0.3，0.2)A3=(0.2，0.3，0.5)試從{A1,A2,A3}中選擇出最佳權(quán)重分配方案。首先計(jì)算各備擇權(quán)重分配方案對(duì)應(yīng)的綜合決斷

B1=A1?R=(0.2,0.4,0.5,0.1)B2=A2?R=(0.2,0.5,0.3,0.1)B3=A3?R=(0.2,0.3,0.4,0.1)采用最大/最小貼近度σ(B1,B)=(0.2+0.4+0.4+0.1)/(0.2+0.5+0.5+0.1)=1.1/1.3=0.846σ(B2,B)=(0.2+0.5+0.3+0.1)/(0.2+0.5+0.4+0.1)=1.1/1.2=0.917σ(B3,B)=(0.2+0.3+0.4+0.1)/(0.2+0.5+0.4+0.1)=1/1.2=0.833所以A2=(0.5，0.3，0.2)為最佳權(quán)重分配方案。4、模糊決策二元對(duì)比排序方法2綜合評(píng)判1意見集中34.2、二元對(duì)比排序方法1、相對(duì)比較法二元相對(duì)比較矩陣：設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}，對(duì)于X中任意的兩個(gè)元素xi和xj，定義“二元相對(duì)比較級(jí)”為正數(shù)： fj(xi)表示xi相對(duì)xj而言所具有的優(yōu)點(diǎn)， fi(xj)表示xj相對(duì)xi而言所具有的優(yōu)點(diǎn)。另外，規(guī)定fi(xi)=1。下表所示為一種二元相對(duì)比較級(jí)：二元相對(duì)比較矩陣為元素x、y相比較說明fx(y)fy(x)x與y”同等重要”對(duì)于某一性質(zhì)x、y具有相同貢獻(xiàn)11x比y”稍微重要”x的貢獻(xiàn)稍大于y，但不明顯13x比y”重要”x的貢獻(xiàn)大于y，比較明顯15x比y”重要得多”x的貢獻(xiàn)明顯大于y17x比y”絕對(duì)重要”x的貢獻(xiàn)絕對(duì)大于y(最高等級(jí))19x比y處于兩相鄰判斷之間需要兩個(gè)判斷的折衷12,4,6,8之一4.2、二元對(duì)比排序方法相對(duì)比較法計(jì)算步驟：①計(jì)算二元相對(duì)比較矩陣；②構(gòu)造“模糊相及矩陣”：

其中f(xi|xj)稱為“相對(duì)函數(shù)”，它的定義為：③選取Ψ中各行最小元素，記yi表示第i行最小元素；④令yk=max{y1,y2,…,yn},則取xk為第一優(yōu)越對(duì)象；⑤刪除Ψ的第k行和第k列，得n-1階模糊相及矩陣，重復(fù)③、④、⑤n次；⑥將各次所得的第一優(yōu)越對(duì)象順序排列便是排序結(jié)果。4.2、二元對(duì)比排序方法例設(shè)X＝{a,b,c},經(jīng)兩兩比較得二元比較級(jí)fb(a)=8fa(b)=5fc(b)=4fb(c)=7fc(a)=5fa(c)=3則二元相對(duì)比較矩陣為：由此得模糊相及矩陣為Ψ中各行最小元素的最大者是第一行的1，它對(duì)應(yīng)的元素a是第一優(yōu)越對(duì)象，刪除第一行和第一列，得Ψ1中各行最小元素的最大者是第二行的1，它對(duì)應(yīng)的c是第二優(yōu)越對(duì)象。所以第三優(yōu)越對(duì)象是b。則本例的排序結(jié)果為a，c，b。4.2、二元對(duì)比排序方法2、模糊優(yōu)先關(guān)系定序法設(shè)X={x1,x2,…,xn},按某種特性在X中建立模糊關(guān)系 C＝(cij)n×n其中，元素cij表示xi比xj優(yōu)越的程度，并且要求 (1)cij+cji=1 (