彈塑性力學(xué)第五章 簡(jiǎn)單彈塑性力學(xué)問(wèn)題1

簡(jiǎn)單彈塑性力學(xué)問(wèn)題5.1彈塑性力學(xué)基本方程5.2彈性力學(xué)問(wèn)題的基本解法5.3解的唯一性定理5.4圣維南原理5.5疊加原理5.6桁架的彈塑性分析5.7平面問(wèn)題5.1彈塑性力學(xué)基本方程1.平衡(運(yùn)動(dòng))微分方程(Navier方程)2.幾何方程(2)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程(SaintVenant方程)(5.1)(5.2)(5.3)(1)幾何方程(Cauchy方程)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)與物理意義:幾何方程表明,六個(gè)應(yīng)變分量是通過(guò)三個(gè)位移分量表示的,因此,這六個(gè)應(yīng)變分量不是獨(dú)立的,它們之間的的相互聯(lián)系在物理上是保證固體變形必須滿足變形的協(xié)調(diào),而在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為六個(gè)應(yīng)變分量滿足一組偏微分方程組.首先,將對(duì)y求二階偏導(dǎo)數(shù)并與對(duì)x求二階偏導(dǎo)數(shù)相加,則同理,有其次,分別將對(duì)z求一階偏導(dǎo)數(shù)、對(duì)x求一階偏導(dǎo)數(shù)以及對(duì)y求一階偏導(dǎo)數(shù)，再把它們的前兩式相加并減去它們的后一式，則有將上式等號(hào)兩邊對(duì)y求一階偏導(dǎo)數(shù)，則有也可以寫成同理，有利用，以上各式易改寫為張量形式這六個(gè)方程的幾何意義是被分割后的微分單元體在受力變形后能重新拼合成連續(xù)體，即不會(huì)出現(xiàn)“撕裂”或“套疊”等現(xiàn)象。如圖（這里略）3.本構(gòu)方程1）彈性階段，即本構(gòu)方程可表示為兩種可相互轉(zhuǎn)換的形式：（1）應(yīng)力表示應(yīng)變；（2）應(yīng)變表示應(yīng)力或(5.4)(5.5)這里的為拉梅常數(shù)2）塑性階段本構(gòu)方程可以表示為增量或全量?jī)煞N形式增量形式之一——Prandtl-Reuss流動(dòng)法則（適用彈塑性材料）式中：是一個(gè)與加載歷史有關(guān)的大于零的比例系數(shù)。增量形式之二——Levy-Mises流動(dòng)法則（適用理想剛塑性）全量理論——依留申本構(gòu)方程，主要用于強(qiáng)化材料(5.5)(5.6)(5.7)5.2彈性力學(xué)問(wèn)題的基本解法可以分為位移解法和應(yīng)力解法兩種5.2.1位移法以待求解的三個(gè)位移為基本未知函數(shù)，所有基本方程都用位移形式給出首先，將幾何方程代入本構(gòu)方程得位移表示的應(yīng)力分量再將上式代入平衡微分方程，得位移表示的平衡方程注意到上式可改寫為上式稱為拉梅方程，是位移法求解要滿足的基本方程(5.8)邊界條件1）如果問(wèn)題給出的是位移邊界條件，則直接寫出位移邊界條件2）如果問(wèn)題給出的是應(yīng)力邊界條件或混合邊界條件，則要先將位移表示的應(yīng)力代入應(yīng)力邊界條件，即將面力的邊界條件改寫成位移的形式。5.2.2應(yīng)力法應(yīng)力法采用六個(gè)應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，將基本方程改用應(yīng)力分量表示。首先，應(yīng)力分量要滿足平衡微分方程和靜力邊界條件（方程保留），其次為保證所求位移函數(shù)為問(wèn)題的真實(shí)解，還要求應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)條件。因此還需將協(xié)調(diào)方程（變形連續(xù)條件）用應(yīng)力分量的形式給出。具體步驟為將應(yīng)力表示應(yīng)變本構(gòu)方程代入?yún)f(xié)調(diào)方程，并將方程簡(jiǎn)化可得應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程。上式稱為Beltrami-Michell方程，是應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。在常體力或無(wú)體力時(shí)可以簡(jiǎn)化為進(jìn)一步還可化為由此可見(jiàn)，在體力為常數(shù)或無(wú)體力時(shí)，應(yīng)力分量是雙調(diào)和函數(shù)。(5.9)(5.10)(5.11)5.3解的唯一性定理一個(gè)實(shí)際的彈塑性力學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為一個(gè)偏微分方程的邊值問(wèn)題，即在嚴(yán)格的邊界條件下求解一個(gè)復(fù)雜的偏微分方程組的解的問(wèn)題。但是在一般情況下，我們很難直接得到數(shù)學(xué)上的精確解或解析解。解的唯一性定理證明對(duì)彈塑性力學(xué)問(wèn)題的解是存在且唯一的。它可以表述為：彈塑性力學(xué)問(wèn)題的解是存在的，而且在小變形條件下，對(duì)于受一組平衡力系作用的固體，其內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量是唯一的；如果在固體表面全部給定位移邊界條件，或者在部分表面給定位移邊界條件而另外部分表面給定靜力邊界條件的情況下，則位移分量也是唯一的。本定理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明過(guò)程可參考其他彈塑性力學(xué)書籍，這里不給出。唯一性定理的作用：為逆解法和半逆解法以及各種近似（數(shù)值）解提綱了理論依據(jù)。逆解法：預(yù)先選取一組位移或應(yīng)力函數(shù)，由此確定其他的未知函數(shù)，然后驗(yàn)證是否滿足基本方程和邊界條件，如果滿足，則解的唯一性定理，該組位移或應(yīng)力函數(shù)以及由此確定的其他未知函數(shù)的解就是問(wèn)題的正確答案。半逆解法：就是在所有的未知量中，依據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)或已有研究成果，預(yù)先假設(shè)部分未知量為已知，然后利用基本方程和邊界條件，確定其余的未知量，最后得到全部未知量的解答。5.4圣維南原理圣維南原理彈塑性理論要求在固體表面的每個(gè)邊界點(diǎn)上給定邊界條件,而實(shí)際問(wèn)題往往只知道固體邊界的總的荷載值,具體分布形式并不明確.另外,在求解時(shí)使未知的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量滿足基本方程并不困難，但要求函數(shù)同時(shí)滿足逐點(diǎn)滿足邊界條件確很困難。因此希望能找到一個(gè)邊界條件的合理的簡(jiǎn)化方法。1855年，圣維南（SaintVenant)在關(guān)于梁的理論研究時(shí)提出：由作用在固體局部表面上的自平衡力系（即力系的主矢和主矩都為零的力系）所引起的應(yīng)變，在遠(yuǎn)離作用區(qū)（距離遠(yuǎn)大于該局部作用區(qū)的尺寸）的地方可以忽略不計(jì)。這就是圣維南原理，又稱局部影響原理。實(shí)例：鉗子剪斷鐵絲，鋼筋鉗截?cái)噤摻畹仍淼牧硗庖环N實(shí)用提法：若把作用在固體局部表面上的力系，用另一組與之靜力等效的力系來(lái)代替，則這種等效替換只對(duì)該局部作用區(qū)很近的地方產(chǎn)生影響，對(duì)遠(yuǎn)離該作用區(qū)處的影響則可忽略。這稱為靜力等效原理。圣維南原理主要應(yīng)用于實(shí)心固體。Goodier的研究表明，該原理中的局部影響區(qū)的大小大致與外力作用區(qū)大小相當(dāng)?shù)摹靶∵吔纭?。?duì)薄壁結(jié)構(gòu)不正確。圣維南原理明確還沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，但其正確性已被大量的實(shí)驗(yàn)觀察和工程實(shí)踐所證實(shí)。此外，從物理直觀上判斷，該原理不僅適用于彈性小變形的情況，而且適用于大變形和塑性的情況。是普適性原理5.5疊加原理（線彈性體）考慮同一邊界條件下作用在同一固體上的兩組荷載情況:第一組體力和面力,第二組為體力和面力.設(shè)它們引起的應(yīng)力場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)和位移場(chǎng)分別為，和，則在線彈性和小變形情況下兩組荷載共同作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)和位移場(chǎng)，等于各自單獨(dú)作用時(shí)引起的相應(yīng)場(chǎng)之和，即疊加原理適用于線彈性和小變形范圍。利用這一原理可以將復(fù)雜的問(wèn)題分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題求解。5.6.1簡(jiǎn)單桁架的彈塑性分析(a)l(b)如圖所示為三桿對(duì)稱桁架,假定材料是理想彈塑性的.設(shè)桁架所受的鉛垂力為F作用.各桿截面積均為A,中間桿3的長(zhǎng)度為.若用

分別表示桿1、桿2和桿3的內(nèi)力，求出各桿的應(yīng)力和應(yīng)變。5.6桁架的彈塑性分析(a)由靜力平衡，得各桿的應(yīng)力為（5.12)（5.13)式（5.13)代人（5.12）得(5.14)應(yīng)力表示的平衡方程若以分別表示杠1、2、3的伸長(zhǎng)，則在小變形情況下，有式中：表示節(jié)點(diǎn)A的位移。各桿中的應(yīng)變?yōu)?5.15)因此，有變形協(xié)調(diào)關(guān)系(5.16)幾何關(guān)系1、彈性階段——彈性解和彈性極限荷載當(dāng)荷載F足夠小時(shí)，各桿應(yīng)力都小于屈服應(yīng)力，整個(gè)桁架處于彈性階段。由虎克定律有(5.17)聯(lián)立式(5.14)、(5.15)和(5.17)并求解，得(5.18)由式(5.18)可見(jiàn)，當(dāng)F增加時(shí)，桿3將首先屈服。顯然，當(dāng)時(shí)，桁架開始初始屈服，由式（5.18)可求得桁架初始屈服時(shí)對(duì)應(yīng)的荷載值

稱為彈性極限載荷，它是桁架采用彈性理論設(shè)計(jì)時(shí)所能承受的最大載荷。(5.19)應(yīng)用的表達(dá)式,可以將(5.18)改寫成(5.20)代入本構(gòu)關(guān)系(5.17),得(5.21)再把式(5.21)代入幾何關(guān)系(5.15),得節(jié)點(diǎn)A的位移為(5.22)令式(5.22),可得節(jié)A的位移為(5.23)彈性極限位移2.彈塑性階段——彈塑性解和塑性極限荷載當(dāng)桿3發(fā)生初始屈服時(shí)，由于其他兩桿尚未屈服，可繼續(xù)加載。當(dāng)時(shí)，這時(shí)桁架進(jìn)入彈塑性階段。由于材料為理想彈塑性，桿3的應(yīng)力不能提高（變形可以增加），即有將式(5.24)代入平衡關(guān)系（5.14),得(5.24)(5.25)桁架的塑性變形當(dāng)杠3屈服時(shí)，處于所謂的塑性流動(dòng)階段，對(duì)單獨(dú)的3桿理論上可以發(fā)生任意伸長(zhǎng)，但由于在節(jié)點(diǎn)A處受到其他兩根彈性桿的約束而不能任意伸長(zhǎng)，此時(shí)桁架稱為有約束塑性變形階段。為求出桿3的應(yīng)變和節(jié)點(diǎn)A處的位移，必須先用彈性關(guān)系求出桿1和2的應(yīng)變。將式（5.25)代入本構(gòu)關(guān)系，得(5.26)再將式（5.26)代入變形協(xié)調(diào)關(guān)系（5.16),得(5.27)(5.27)代入幾何關(guān)系式（5.15),得到節(jié)點(diǎn)A的位移為(5.28)在桿3屈服后，隨著荷載F的進(jìn)一步增加，由于桿3中的應(yīng)力不能再增加，增加的荷載由桿1和桿2分擔(dān)。當(dāng)時(shí)桁架的三根桿全部進(jìn)入塑性流動(dòng)狀態(tài)。由式(5.25)有(5.29)式中：稱為塑性極限荷載，相應(yīng)的狀態(tài)稱為塑性極限狀態(tài)。由于此時(shí)三桿均已屈服，變形不再受到任何約束，桁架進(jìn)入無(wú)限制塑性變形階段，結(jié)構(gòu)喪失承載能力，所以，又表示桁架的極限承載能力。從式(5.29)可以發(fā)現(xiàn)，與材料的彈性模量無(wú)關(guān)，這表明，如果采用理想剛塑性模型，則求出的塑性極限荷載仍一樣。這為結(jié)構(gòu)的極限分析帶來(lái)方便。將式（5.29)代入式(5.28)，可得到桁架剛剛進(jìn)入塑性極限狀態(tài)時(shí)節(jié)點(diǎn)A的位移。（5.30)式中：稱為塑性極限位移將式（5.19)和式(5.23)表示的彈性極限載荷和彈性極限位移與式（5.29)和式（5.30)表示的塑性極限載荷和塑性極限位移比較，得(5.31)由（5.31)可見(jiàn)：這些數(shù)據(jù)說(shuō)明，桁架的塑性極限荷載總比彈性極限荷載大，而塑性極限變形與彈性極限變形在同一數(shù)量級(jí)。因此，采用塑性分析更能發(fā)揮結(jié)構(gòu)的潛力，尤其當(dāng)桁架的超靜定次數(shù)更高時(shí)，將提高更多。3.卸載——?dú)堄鄳?yīng)力和殘余變形若荷載增加到值（）后卸載，由于卸載服從彈性規(guī)律，因此，如果在卸載過(guò)程中，桁架各桿不發(fā)生反向屈服，則我們可以假想在節(jié)點(diǎn)A施加一個(gè)大小與卸載時(shí)荷載的改變量相等的假想荷載，按彈性規(guī)律求得其引起的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，然后將卸載前的應(yīng)力、應(yīng)變和位移與之相減，就得到卸載后的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。設(shè)卸載時(shí)載荷變化量為，則由式(5.17)、式（5.20）和式(5.22)得(5.32)(5.33)(5.34)若將（5.35)式中：表示（5.25)確定的卸載前的應(yīng)力量（式中的F用代替）?？梢?jiàn)盡管外載荷已經(jīng)完全卸除，但各桿中仍有應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為殘余應(yīng)力。

同理，可求得各桿中的殘余應(yīng)變(5.36)節(jié)點(diǎn)A的殘余變形為(5.37)注：1）從式（5.35)和式（5.36)可以發(fā)現(xiàn)，桿1，2內(nèi)殘余應(yīng)力為拉應(yīng)力，桿3中殘余應(yīng)力為壓應(yīng)力，但各桿的殘余應(yīng)變均大于零。原因是它們要滿足如下的平衡關(guān)系與變形協(xié)調(diào)關(guān)系：2）對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)卸去外載后，殘余應(yīng)變不等于塑性應(yīng)變，它包含有彈性應(yīng)變（如(5.36)中的桿1的應(yīng)變）。只有靜定結(jié)構(gòu)卸載后的應(yīng)變是塑性應(yīng)變。4.重復(fù)加載若卸載后再重復(fù)加載，由于從卸載到零的過(guò)程是彈性變形過(guò)程，從零再加載到也是彈性過(guò)程。因?yàn)闂U3是從某個(gè)壓應(yīng)力開始的，所以，它的后繼屈服應(yīng)力是這個(gè)壓應(yīng)力加上。這就使得桁架的彈性范圍也擴(kuò)大了。如果將桁架加載到后卸載，則以后的彈性范圍最大也可以擴(kuò)大到。在結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生某種有利的殘余應(yīng)力狀態(tài)可以提高它的彈性范圍，這種狀態(tài)稱為安定狀態(tài)。在超靜定結(jié)構(gòu)中，常利用這種塑性應(yīng)力重分布規(guī)律對(duì)各構(gòu)件受力進(jìn)行合理的調(diào)整。5.6.2加載路徑對(duì)桁架變形的影響考慮上一節(jié)的三桿桁架，現(xiàn)設(shè)桁架同時(shí)受鉛直力P和水平力Q的作用。我們將P和Q按不同的加載方案施加在桁架上，討論當(dāng)荷載的最終數(shù)值一樣，但加載路徑不同對(duì)桁架變形的影響。PQl=h1.加載方案1：比例加載在整個(gè)加載過(guò)程中，保持單調(diào)增加，直到桁架到達(dá)塑性極限狀態(tài)，這種加載路徑屬于比例加載。桁架平衡關(guān)系為(5.38)這里取若以u(píng),v分別表示節(jié)點(diǎn)A的水平和垂直位移，則各桿的應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移之間有（幾何關(guān)系）：(5.39)由式(5.39),得變形協(xié)調(diào)關(guān)系(5.40)當(dāng)P從零開始增加，而整個(gè)桁架處于彈性階段，彈性本構(gòu)關(guān)系(5.17)仍成立。聯(lián)立方程(5.28)、(5.30)與(5.17)求解，得三桿內(nèi)的應(yīng)力可見(jiàn)，其中最大，是壓應(yīng)力。當(dāng)時(shí)，桿1發(fā)生屈服，此時(shí)對(duì)應(yīng)的荷載、應(yīng)力和位移為(5.41)其中當(dāng)P繼續(xù)增加時(shí),桿1保持不變,即桿2和桿3仍處于彈性狀態(tài)。由平衡關(guān)系的增量形式，可解得桿2和桿3的應(yīng)力增量(5.42)將它們代入本構(gòu)關(guān)系（5.17)，得到桿2和桿3的彈性應(yīng)變?cè)隽?5.43)利用變形協(xié)調(diào)關(guān)系(5.40)，進(jìn)一步可得到桿1的塑性應(yīng)變?cè)隽?5.44)將式(5.43)和式(5.44)代入幾何關(guān)系(5.39)，求得節(jié)點(diǎn)A的位移增量為桿2和桿3的應(yīng)力增量與式(5.41)的應(yīng)力值相加，得(5.45)從上式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)表明此時(shí)整個(gè)桁架達(dá)到塑性極限狀態(tài)。最終的荷載、應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)位移為2.加載方案2:非比例加載第二種加載路徑是:先只加P使桁架達(dá)到極限荷載然后保持節(jié)點(diǎn)豎直位移不變,從零開始增加Q直到(5.46)當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的各桿內(nèi)的應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)位移為現(xiàn)保持v不變,也即,施加Q,則,由幾何關(guān)系得到可見(jiàn),此時(shí)桿1和桿3仍保持塑性狀態(tài),而桿2卸載,因而有(5.47)將上式代入平衡關(guān)系的增量形式,求得此時(shí)各桿內(nèi)的應(yīng)力為從上式可以看出,當(dāng)時(shí),同時(shí)有,表明此時(shí)桁架再次達(dá)到塑性極限,所以有,在第二種加載路徑下最終的荷載、應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)位移為比較后可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的加載路徑，當(dāng)最終的荷載值一樣時(shí)，雖然所得到的應(yīng)力是一樣的（有些問(wèn)題應(yīng)力值也不相同），但應(yīng)變和位移卻不一樣。(5.48)5.7平面問(wèn)題嚴(yán)格地講,所有力學(xué)問(wèn)題都屬于三維空間物體的受力問(wèn)題.但是某些工程問(wèn)題中,結(jié)構(gòu)形狀、受力和約束情況都具有一定的特點(diǎn)，這些問(wèn)題只要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和力學(xué)抽象化處理，就可轉(zhuǎn)化為所謂的“平面問(wèn)題”。平面問(wèn)題的特征是：所有力學(xué)行為都可以看作是在一個(gè)平面內(nèi)發(fā)生的，因而在數(shù)學(xué)上屬于二維的問(wèn)題。5.7.1平面問(wèn)題的特點(diǎn)及分類平面問(wèn)題共分兩大類，即平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題。平面應(yīng)力問(wèn)題主要出現(xiàn)在薄板中。對(duì)于薄板，如果它所受的力（體力及面力）均平行于板的中面而且沿板的厚度不變。將與板中面垂直的方向設(shè)為z軸，因?yàn)榘搴鼙?，所以與z有關(guān)的所有應(yīng)力均近似為0，即由于時(shí)的板面上無(wú)外力作用，則邊界條件成為板很薄，外力不沿厚度變化，則板內(nèi)與z有關(guān)的應(yīng)力均為零剩下的應(yīng)力分量也與z無(wú)關(guān)，因此退化為x,y的函數(shù)因此非零的應(yīng)力分量只有，且設(shè)這三個(gè)應(yīng)力分量只與x,y有關(guān)，與z無(wú)關(guān)。平面應(yīng)變問(wèn)題是指某一方向的尺寸比另外兩個(gè)方向大很多（如無(wú)限長(zhǎng)的柱體），所受的力均平行于橫截面且沿柱體的長(zhǎng)度不變。因?yàn)檠貁軸方向長(zhǎng)度是無(wú)限的，所以沿z軸方向的近似為0，且假設(shè)沿另外兩個(gè)方向的位移u,v與z無(wú)關(guān)。由幾何方程可知有許多工程問(wèn)題是很接近平面應(yīng)變問(wèn)題的，如擋土墻、重力壩、某些化學(xué)容器及發(fā)動(dòng)機(jī)的汽壓管等可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題處理能達(dá)到工程精度。（5.49)(5.50)5.7.2直角坐標(biāo)系下平面問(wèn)題的基本方程一、平面應(yīng)力問(wèn)題在平面應(yīng)力問(wèn)題中，物體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力分布為位移分布為應(yīng)變分布為(5.51)(5.52)(5.53)其中不是獨(dú)立的。在彈性狀態(tài)下，根據(jù)得平面應(yīng)力問(wèn)題，三類方程可以簡(jiǎn)化。1、靜力平衡方程(5.54)將平面應(yīng)力分量表達(dá)式代入平衡方程，得（5.55)另外一個(gè)平衡方程自行滿足。2、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程平面應(yīng)力情況下，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程只有下面一個(gè)（5.56)3.本構(gòu)關(guān)系彈性狀態(tài)下，本構(gòu)關(guān)系應(yīng)服從彈性本構(gòu)關(guān)系，將物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)表達(dá)式代入廣義胡克定律，得（5.57)在解平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)，除了上述三類基本方程外，還需考慮邊界條件和屈服條件。4、邊界條件設(shè)薄板側(cè)面上點(diǎn)的法線為n,方向余弦為，該點(diǎn)處作用的面力為，則應(yīng)力邊界條件為（5.58)在板的上、下表面，法線的方向余弦是，作用在面上的外力均為零，因此靜力邊界條件為(5.59)5、屈服條件在平面應(yīng)力狀態(tài)下，材料進(jìn)入屈服狀態(tài)時(shí)，屈服條件可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。由于，可見(jiàn)此時(shí)不為零的主應(yīng)力只有兩個(gè)，設(shè)它們是，則求主應(yīng)力的特征方程變?yōu)?5.60)兩個(gè)非零主應(yīng)力為應(yīng)力偏量不變量為Mises屈服條件為(5.61)(5.62)(5.63)二、平面應(yīng)變問(wèn)題在平面應(yīng)變問(wèn)題中，物體內(nèi)任一點(diǎn)的位移場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)有下面的特點(diǎn)：位移場(chǎng)應(yīng)變場(chǎng)應(yīng)力場(chǎng)(5.64)(5.65)(5.66)1、靜力平衡方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程根據(jù)平面應(yīng)變狀態(tài)下應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)的特點(diǎn)容易證明，此時(shí)與平面應(yīng)力有完全相同的靜力平衡方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，因此這里不重復(fù)給出。2、本構(gòu)關(guān)系將代入廣義胡克定律，可得到彈性狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系(5.67)可見(jiàn)，平面應(yīng)力問(wèn)題中的E換成，就得到(5.67)，可見(jiàn)兩類平面問(wèn)題可以統(tǒng)一起來(lái)求解。3、屈服條件由于是一個(gè)主應(yīng)力。在體積不可壓縮的條件下，由

得可見(jiàn)是中間大小的主應(yīng)力，另外兩個(gè)主應(yīng)力由式(5.61)求得。Tresca屈服條件可表示為Mises屈服條件可表示為(5.68)(5.69)綜上所述，在彈性狀態(tài)下，兩類平面問(wèn)題，都必須滿足平衡微分方程、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程和本構(gòu)方程。這三類方程共有6個(gè)，含有6個(gè)未知函數(shù)，加上具體的邊界條件，從理論上是可求解的，但在數(shù)學(xué)上要求得這類偏微分方程的解析解是很困難的。對(duì)于某些簡(jiǎn)單問(wèn)題，可以采用逆解法和半逆解法求解，如采用應(yīng)力函數(shù)方法。5.7.3應(yīng)力函數(shù)假定體力X及Y是零，則平衡微分方程(5.55)可以簡(jiǎn)化為齊次方程(5.70)將本構(gòu)方程代入?yún)f(xié)調(diào)方程得(5.71)由式(5.70)中第一式對(duì)x求偏導(dǎo),第二式對(duì)y求偏導(dǎo),然后再將兩式相加,整理得(5.72)將式(5.72)代入式(5.71),整理得即(5.73)式(5.73)是拉普拉斯方程或應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程,它與應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是等價(jià)的,同時(shí)對(duì)于常體力情況該方程也是一樣的.從平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系出發(fā)也能得到此方程,可以說(shuō)在彈性狀態(tài)下(5.73)適用于兩類平面問(wèn)題.設(shè)在橫截面上任一點(diǎn)均存在一個(gè)應(yīng)力函數(shù)。能滿足下式(5.74)這樣定義的應(yīng)力函數(shù)能滿足平衡方程式(5.70)，且將其代入(5.73)后得到(5.75)即方程式(5.75)稱為雙調(diào)和方程或應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程，也叫相容方程，適用于無(wú)體力的彈性力學(xué)問(wèn)題。對(duì)于常體力情況，應(yīng)力函數(shù)解可寫成相容方程與無(wú)體力情況一樣為重調(diào)和方程。在彈性狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)均應(yīng)滿足重調(diào)和方程，也可以將應(yīng)力邊界條件表示為應(yīng)力函數(shù)的形式。這樣先求出物體內(nèi)應(yīng)力函數(shù)，再由式（5.76)求出應(yīng)力分量。(5.76)一般地，應(yīng)力函數(shù)可以選為多項(xiàng)式或級(jí)數(shù)的形式，具體選擇什么樣的多項(xiàng)式及級(jí)數(shù)依具體問(wèn)題的邊界條件來(lái)確定。一、應(yīng)力函數(shù)取一次多項(xiàng)式§5.7.4平面問(wèn)題的多項(xiàng)式解答應(yīng)力分量：應(yīng)力邊界條件：結(jié)論：（1）線性應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于無(wú)面力、無(wú)應(yīng)力的狀態(tài)。（2）把任何平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。二、應(yīng)力函數(shù)取二次多項(xiàng)式1.對(duì)應(yīng)于，應(yīng)力分量。結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布?jí)毫ΓㄔO(shè)）的問(wèn)題。如圖3-1（a）。2.對(duì)應(yīng)于，應(yīng)力分量。結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力問(wèn)題。如圖3-1（b）。圖3-1（a）（b）（c）3.應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布?jí)毫ΓㄔO(shè)）的問(wèn)題。如圖3-1（c）。三、應(yīng)力函數(shù)取三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)（a）能解決矩形梁受純彎曲的問(wèn)題。如圖3-2所示的矩形梁。（a）圖圖3-2四、用應(yīng)力函數(shù)解矩形截面梁的純彎問(wèn)題（彈性解）如圖3-2,取單位寬度的梁來(lái)考察,并命每單位寬度上力偶的矩為。這里的因次是[力][長(zhǎng)度]/[長(zhǎng)度]，即[力]。在左端或右端，水平面力應(yīng)當(dāng)合成為力偶，而力偶的矩為，這就要求：將式（a）中的代入，上列二式成為：前一式總能滿足，而后一式要求：代入式（a），得：因?yàn)榱航孛娴膽T矩是，所以上式可改寫為：結(jié)果與材料力學(xué)中完全相同。注意：對(duì)于長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于深度的梁，上面答案是有實(shí)用價(jià)值的；對(duì)于長(zhǎng)度與深度同等大小的所謂深梁，這個(gè)解答是沒(méi)有什么實(shí)用意義的。

五、楔形體受重力和液體壓力（彈性解）設(shè)有楔形體,如圖a所示，左面鉛直,右面與鉛直角成角，下端無(wú)限長(zhǎng)，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應(yīng)力分量。問(wèn)題：圖圖圖圖（a）（b）平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答取坐標(biāo)軸如圖所示。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：（二）邊界條件左面（）應(yīng)力邊界條件：這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。（一）應(yīng)力分量在該問(wèn)題中，體力分量，所以應(yīng)力分量的表達(dá)式為：（a）右面（），，應(yīng)力邊界條件：將式（a）代入，得：代入式（a），得：（b）將式（b）代入，得：（c）又：代入式（c），得：將這些系數(shù)代入式（b），得：各應(yīng)力分量沿水平方向的變化大致如圖b所示。注意：1.沿著壩軸，壩身往往具有不同的截面，而且壩身也不是無(wú)限長(zhǎng)的。因此，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，這里不是一個(gè)平面問(wèn)題。2.對(duì)于壩身底部來(lái)說(shuō)，上面的解答是不精確的。3.在靠近壩頂處，以上解答也不適用。平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答(一)極坐標(biāo)下的基本方程1、極坐標(biāo)中的平衡微分方程2、極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程（1）平面應(yīng)力情況（2）平面應(yīng)變情況：

將上式中的換為，換為。3、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程（1）應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系（2）相容方程

用極坐標(biāo)求解平面問(wèn)題時(shí)（體力不計(jì)），就只須從相容方程求解應(yīng)力函數(shù)，然后求出應(yīng)力分量，再考察應(yīng)力分量是否滿足邊界條件，多連體還要滿足位移單值條件。(二)如圖所示，設(shè)圓筒的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于筒的直徑，材料為理想彈塑性的，且不計(jì)體力，求圓筒內(nèi)部的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。邊界條件：本問(wèn)題可以采用應(yīng)力解法也可以采用位移解法，這里采用應(yīng)力解法。（1）彈性階段——彈性解和彈性極限在極坐標(biāo)里，本構(gòu)方程的形式為將幾何方程代入上式，得將應(yīng)力分量代入平衡方程并化簡(jiǎn)后，得到這是軸對(duì)稱平面問(wèn)題用位移表示的平衡方程。它是一個(gè)歐拉(Euler)方程，其通解為式中為待定常數(shù)。將上式代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得其中利用邊界條件可以確定常數(shù)A、B為因此，最終得到厚壁筒受內(nèi)、外壓作用時(shí)的彈性應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)：當(dāng)時(shí)，厚壁筒問(wèn)題化為一個(gè)具有圓孔的無(wú)限大彈性薄板或具有圓形孔道的無(wú)限大彈性體，它們的應(yīng)力分量為當(dāng)圓筒僅受內(nèi)壓時(shí),圓筒內(nèi)的應(yīng)力是第一主應(yīng)力,而是第三主應(yīng)力,故有從上式可見(jiàn),圓筒內(nèi)壁的最大.假設(shè)材料服從Tresca屈服條件,則圓筒內(nèi)壁將首先達(dá)到屈服,此時(shí)有解上式得這里,就是問(wèn)題的彈性極限壓力值,它與圓筒的內(nèi)外半徑之比有關(guān).當(dāng)時(shí)，?？梢?jiàn)，當(dāng)彈性無(wú)限空間內(nèi)的圓柱形孔洞受到內(nèi)壓作用（如有壓隧洞）時(shí)，其內(nèi)表面開始屈服時(shí)的壓力值與洞的半徑無(wú)關(guān)。此外，當(dāng)內(nèi)外半徑之比a/b較小時(shí)，僅僅加大圓筒的外半徑，并不會(huì)明顯提高筒的彈性極限壓力值。例如當(dāng)a/b=1/3時(shí)，；當(dāng)

，即時(shí)。因此，在設(shè)計(jì)高壓圓筒時(shí)，不能只是采取加大圓筒厚度的辦法來(lái)提高其強(qiáng)度，必須采用其他的措施，如采用高強(qiáng)度材料或?qū)A筒施加預(yù)應(yīng)力等。在彈性區(qū)，部分，應(yīng)力分布規(guī)律仍可前面的彈性解給出，但是要把其中的a改為c，內(nèi)壓力改為r=c處的應(yīng)力值。在塑性區(qū)，平衡微分方程仍能成立，即如果材料服從Tresca屈服條件，則在塑性區(qū)內(nèi)處處有將屈服條件代入平衡微分方程，則方程化為積分上式，得利用邊界條件，可以確定出待定常數(shù)C,代入上式即得到塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力分量為再利用屈服條件，得到綜上，可得到塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力解為注意，當(dāng)時(shí)，由上式得下面根據(jù)彈性區(qū)和塑性區(qū)交界的連續(xù)條件，確定彈性區(qū)的應(yīng)力分布以及交界圓周線的半徑c。彈性區(qū)和塑性區(qū)交界的應(yīng)力連續(xù)條件為考慮到在處，有上式表示在彈性區(qū)無(wú)限接近交界的內(nèi)側(cè)，材料趨近屈服另外，將彈性區(qū)域彈性解表達(dá)式中的a改為c,外壓力改為外層彈性區(qū)的邊界應(yīng)力，經(jīng)整理后得和塑性區(qū)的外邊界比較，最后得到彈塑性分解線所滿足的方程綜上所述,最終得到應(yīng)力解為1)彈性區(qū)2)塑性區(qū)3)交界線由應(yīng)力解可以發(fā)現(xiàn),在彈性區(qū)和塑性區(qū)的交界,徑向應(yīng)力連續(xù)而周向應(yīng)力卻間斷,這正是彈塑性問(wèn)題的特殊之處.當(dāng)塑性區(qū)擴(kuò)展到整個(gè)截面時(shí),可得到塑性極限狀態(tài)下的內(nèi)壓力為三)楔形體在楔頂或楔面受力平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答

楔形體的中心角為，下端為無(wú)限長(zhǎng)。1.頂部受集中力P

設(shè)楔形體在楔頂受有集中力，與楔形體的中心線成角。取單位寬度的部分來(lái)考慮，并令單位寬度上所受的力為。

楔形體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于α、β、P、r、θ，因此，應(yīng)力分量的表達(dá)式中只包含這幾個(gè)量。其中α、β、θ是無(wú)量綱的量，因此根據(jù)應(yīng)力分量的量綱，應(yīng)力分量的表達(dá)式應(yīng)取PN/r的形式，其中N是α、β、θ組成的無(wú)量綱的量。由應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式可以看出應(yīng)力函數(shù)中r的冪次應(yīng)當(dāng)比各應(yīng)力分量的冪次高出兩次，因此可設(shè)：

平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答代入相容方程后得：求解這一微分方程，得：不影響應(yīng)力，?。浩渲杏谑堑茫浩矫鎲?wèn)題的極坐標(biāo)解答楔形體左右兩面的邊界條件：

上述應(yīng)力分量滿足該邊界條件。集中力P按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應(yīng)力和P成平衡力系：將的表達(dá)式代入，可求出C、D，最后得到密切爾解答：例

如圖所示，楔形體兩邊受均勻分布的切向荷載作用，求其中的應(yīng)力分布。解：（1）根據(jù)因次分析選擇并求解

=(,q,r,)=r2f()代入?yún)f(xié)調(diào)方程通解是：f()=Asin2+Bcos2＋C+D=2Asin2

2Bcos2＋2C+2D＝2(Asin2+Bcos2＋C+D)=

2Acos2+2Bsin2

C根據(jù)力邊界條件求出常數(shù)A、B、C、D

()=

=0

(r)==q

(r)==qA=0，C=0，

楔形體（尖劈）問(wèn)題應(yīng)力函數(shù)的構(gòu)造小結(jié)：xyOPxyOM附1：曲梁一端受徑向集中力作用矩形截面曲梁（單位厚度），內(nèi)半徑為a，外半徑為b，一端固定，另一端受徑向集中力作用。（1）應(yīng)力函數(shù)的確定分析：任取一截面m-n

，截面彎矩為由材料力學(xué)初等理論，可知截面上正應(yīng)力由此假定：再由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)間的關(guān)系，可推得：將其代入相容方程（a）該方程可轉(zhuǎn)變?yōu)闅W拉方程求解，其解為（b）代入應(yīng)力函數(shù)為（c）（2）應(yīng)力分量的確定（d）邊界條件：代入應(yīng)力分量得：端部條件：（e）代入剪應(yīng)力分量得：（f）聯(lián)立求解式（e）、（f），得：其中，代入應(yīng)力分量式（d），有：（f）(2)

楔形體問(wèn)題xyOPxyOMlrrrrrrrrrrarlra取半徑為a的半圓分析，由其平衡得：5.8應(yīng)力函數(shù)在梁的彈性彎曲問(wèn)題中的應(yīng)用梁的彈性彎曲問(wèn)題可簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題,如圖所示的簡(jiǎn)支梁,沿z向(圖中未畫出)取單位長(zhǎng)度,梁內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)滿足MMhhLyxo假設(shè)梁兩段作用有力偶M,由于直接求解三類方程困難，這里用逆解法來(lái)求解．梁上、下表面處的邊界條件是在梁的左右兩端，無(wú)法滿足精確的應(yīng)力邊界條件，只能由圣維南原理寫出靜力等效的邊界條件(5.77)(5.78)(5.79)(5.80)設(shè)應(yīng)力函數(shù)為其中c為待定參數(shù)。式(5.81)設(shè)定的函數(shù)顯然滿足雙調(diào)和方程。由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)變分量的關(guān)系，可求得應(yīng)力分量(5.81)(5.82)將(5.82)代入式(5.80)，得(5.83)因此，有求得代定參數(shù)后，得到梁內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量為由于矩形截面的慣性矩為故應(yīng)力分量的表達(dá)式為(5.85)(5.84)上述結(jié)果與材料力學(xué)所得到的解答完全相同。對(duì)于梁的端部，以上解答與實(shí)際情況存在一定的誤差，但根據(jù)圣維南原理，這只會(huì)影響梁的端點(diǎn)附近的應(yīng)力分布，其它部位沒(méi)有影響。應(yīng)變分量：根據(jù)本構(gòu)關(guān)系可求出梁內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變場(chǎng)為(5.86)將上式代入幾何方程得(5.87)積分式(5.87)的前兩式得(5.88)將(5.88)代入(5.87)的最后一個(gè)方程，得整理得(5.89)上式左邊只與x有關(guān)，而右邊只與y有關(guān)，由此得式中，是一個(gè)待定常數(shù)。整理上式得積分上述兩式，得(5.90)將式（5.90）代入（5.88),得(5.91)式中均為待定常數(shù)，根據(jù)位移邊界條件確定。如為簡(jiǎn)支邊的邊界條件(5.92)將式(5.92)代如式(5.91)，得因此，得式(5.93)中取可得撓度曲線方程(5.93)此曲線方程同材料力學(xué)中得出的結(jié)論一致。注：當(dāng)梁的截面形式或荷載作用情況比較復(fù)雜時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)取為多項(xiàng)式形式可能會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，這時(shí)可選應(yīng)力函數(shù)為三角形式的級(jí)數(shù)解，這里不再進(jìn)一步討論。5.9梁的彈塑性彎曲問(wèn)題從本節(jié)開始研究梁的彈塑性彎曲,為了簡(jiǎn)化問(wèn)題,假設(shè)梁的橫截面具有兩個(gè)對(duì)稱軸,即y軸及z軸均是橫截面的對(duì)稱軸.5.9.1基本假定①梁橫截面變形后,仍為平面且與變形后的軸線垂直(平截面假定).經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,這個(gè)假定在彈性狀態(tài)下成立,在塑性狀態(tài)下仍成立.②梁內(nèi)各點(diǎn)只有兩個(gè)應(yīng)力分量不為0,梁的彎曲問(wèn)題可以按平面應(yīng)力問(wèn)題來(lái)處理.③梁選用材料抗拉抗壓是對(duì)稱的.這里假定材料是理想彈塑性材料,單向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足(5.94)5.9.2基本方程1.變形協(xié)調(diào)方程梁的彎曲問(wèn)題的變形協(xié)調(diào)方程