積分變換第一章習(xí)題及答案

第一章

Fourier變換1重點(diǎn)和難點(diǎn)2內(nèi)容提要3典型例題1

一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：1求函數(shù)的Fourier變換求函數(shù)的Fourier變換2Fourier變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用2傅氏積分定理

若f(t)在(-,+)上滿足條件:

1).f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件;

2).f(t)在無限區(qū)間(-,+)上絕對(duì)可積,則有1Fourier積分定理二、內(nèi)容提要3若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件,則在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處,有(1)式叫做f(t)的Fourier變換式,(2)式為F(w)的Fourier逆變換式,f(t)與F(w)可相互轉(zhuǎn)換,可記為

F(w)=?[f(t)]

和

f(t)=?

-1[F(w)]2Fourier變換4稱de(t)的弱極限為d-函數(shù),記為d(t).即de(t)1/eeO3單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換5（2）函數(shù)為偶函數(shù),即（3）其中,稱為單位階躍函數(shù).反之,有

d-函數(shù)有性質(zhì):(1)6兩個(gè)常用的積分：一般地，有7(1).線性性質(zhì)

設(shè)F1(w)=?[f1(t)],

F2(w)=?[f2(t)],a,b是常數(shù),則

?[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)

同樣,傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì),即

?

-1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)

4Fourier變換的性質(zhì)(2).微分性質(zhì)

如果f(t)在(-,+)上連續(xù)或只有

有限個(gè)可去間斷點(diǎn),且當(dāng)|t|+時(shí),f(t)0,則

?[f'(t)]=jw?[f(t)].

同樣,我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,設(shè)?8若=?為實(shí)常數(shù),則

??

(3).

位移性質(zhì):

2）象函數(shù)的位移性質(zhì)

若=?為實(shí)常數(shù),則

??1）象原函數(shù)的位移性質(zhì)9(4).積分性質(zhì)??實(shí)際上,只要記住下面幾個(gè)常用的Fourier變換,則所有的Fourier變換都無須用公式直接計(jì)算而可由Fourier變換的性質(zhì)導(dǎo)出.10卷積滿足下列性質(zhì):5卷積和卷積定理11卷積定理

假定f1(t),f2(t)都滿足傅氏積分定理中的條件,如

?[f1(t)]=F1(w),?[f2(t)]=F2(w)則

?[f1(t)*f2(t)]=F1(w)F2(w)

以及??同理可得12任給函數(shù)f(t),

都有f(t)*d(t)=f(t),這是因?yàn)閱挝幻}沖函數(shù)d(t)在卷積運(yùn)算中起著類似數(shù)的運(yùn)算中的1的作用.13

首先取傅氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程,解代數(shù)方程求出象函數(shù),再取逆變換得最后的解.如下圖所示.象原函數(shù)(微分方程的解)象函數(shù)微分、積分方程象函數(shù)的代數(shù)方程取傅氏逆變換取傅氏變換解代數(shù)方程6微分、積分方程的