積分變換第1傅里葉變換

§1.1傅氏變換及單位脈沖函數(shù)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解傅里葉積分;

2、理解傅里葉變換;

3、掌握Dirac

函數(shù)及傅里葉變換;

4、熟悉傅里葉變換的性質(zhì).

一、傅里葉積分定理若函數(shù)f(t)在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件，且在上絕對(duì)可積。則有成立，而左端的f(t)在它的間斷點(diǎn)t處值為

例1求函數(shù)的傅里葉積分表達(dá)式。

??二.傅里葉變換的概念

即

??????

例題:

例1、求函數(shù)：的傅立葉變換，并求的值。

例2、求指數(shù)衰減函數(shù)的傅立葉變換，并求的值。

在物理和工程技術(shù)中,常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì),如在電學(xué)中,要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等，研究此類問題就會(huì)需要我們介紹單位脈沖函數(shù)。三、單位脈沖函數(shù)在原來電流為零的電路中,某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則當(dāng)t0時(shí),i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù),則得這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為了確定這樣的電流強(qiáng)度,引進(jìn)一稱為狄利克雷(Dirac)的函數(shù),簡(jiǎn)單記成d-函數(shù):有了這種函數(shù),對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量,例如點(diǎn)電荷,點(diǎn)熱源,集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.de(t)1/eeO（在極限與積分可交換意義下）工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)?？蓪-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段表示,這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度.tOd(t)1d-函數(shù)有篩選性質(zhì)：可見d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實(shí)軸上的積分都有明確意義。因?yàn)閐函數(shù)是廣義函數(shù),所以其Fourier變換不是通常意義下的Fourier變換.根據(jù)Fourier變換的定義,以及d函數(shù)的性質(zhì),可得通常,沒有意義.然而由在廣義函數(shù)意義下,

性質(zhì)：證法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得例3證明：1和2pd(w)構(gòu)成傅氏變換對(duì).證法1：由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得例如常數(shù),符號(hào)函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對(duì)于古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說,原象函數(shù)f(t)和象函數(shù)F(w)構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì).在物理學(xué)和工程技術(shù)中,有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對(duì)可積條件,即不滿足條件例5

求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換。例6證明：證：例5計(jì)算和根據(jù)d函數(shù)Fourier變換的,可得例6計(jì)算利用,可得因?yàn)閐(x)是d逼近函數(shù)的弱極限,所以由,也可以理解為(1)d

函數(shù)Fourier變換的時(shí)移和頻移性質(zhì)

d-函數(shù)的傅氏變換為:于是d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì).根據(jù)