統(tǒng)計(jì)學(xué)第5章概率與概率分布

NankaiUniversity1第五章概率與概率分布Contents概率及其運(yùn)算法則1隨機(jī)變量的概念2離散型隨機(jī)變量的概率分布3NankaiUniversity24連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布1.概率及其運(yùn)算法則NankaiUniversity3事件的概率概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的運(yùn)算法則事件的概率任何試驗(yàn)中出現(xiàn)的事件都有三種情形：必然事件：在每次試驗(yàn)中一定出現(xiàn)的事件，記作Ω；不可能事件：在任何一次試驗(yàn)中都不出現(xiàn)的事件，記作Φ；隨機(jī)事件：在每次試驗(yàn)中既可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件。事件A在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值度量，稱作事件A的概率，用P(A)表示。概率的性質(zhì)：對(duì)任一隨機(jī)事件A，有0≤P(A)≤1.必然事件的概率為1，P(Ω)=1；不可能事件的概率為0，P(Φ)=0.若A與B互斥，則NankaiUniversity4概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下隨機(jī)試驗(yàn)n次，某事件A出現(xiàn)m次(m≤n)，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)p上下波動(dòng)，且波動(dòng)的幅度逐漸減小，趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值即為該事件的概率，記為P(A)=m/n=pNankaiUniversity5概率的運(yùn)算法則加法原則法則1：兩個(gè)互斥事件之和的概率，等于兩個(gè)事件概率之和。設(shè)A和B是兩個(gè)互斥事件，則法則2：對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)事件，它們和的概率為兩個(gè)事件分別的概率之和減去兩事件之交的概率，即NankaiUniversity6ABAB乘法法則對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)事件，同時(shí)發(fā)生事件A和事件B的概率若A、B事件互相獨(dú)立，則同時(shí)發(fā)生事件A和事件B的概率

上式還可推廣到多個(gè)事件相互獨(dú)立的情形。NankaiUniversity7統(tǒng)計(jì)應(yīng)用如果要求一個(gè)打火機(jī)的可靠性達(dá)到90%，而它是由10個(gè)零件組成的，那么每個(gè)零件的可靠性應(yīng)該達(dá)到多少？一架波音737客機(jī)上有300多萬個(gè)零部件，如果用可靠性99.99%的零部件去組裝它，這樣的飛機(jī)你敢坐嗎？某生產(chǎn)線由三道工序組成，假定三道工序彼此獨(dú)立，已知三道工序的合格率分別為：98%，90%和95%，若三道工序后的檢驗(yàn)工序可以檢查出所有的缺陷，問整條線的合格率是多少？NankaiUniversity82.隨機(jī)變量的概念NankaiUniversity9隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的分類

隨機(jī)變量的定義在同一組條件下，如果每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)這樣或那樣的結(jié)果，并且把所有的結(jié)果都能列舉出來，即把X的所有可能值x1,x2,…，xn都能列舉出來，而且X的所有可能值具有確定概率P(x1),P(x2),…,P(xn)，其中P(xi)=P(X=xi)稱為概率函數(shù)，則X稱為P(X)的隨機(jī)變量，P(X)稱為X的概率函數(shù)。NankaiUniversity10隨機(jī)變量的分類按照隨機(jī)變量的特性，通?？砂央S機(jī)變量分為兩類，即離散型（discrete）隨機(jī)變量和連續(xù)型（continuous）隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有取值都可以逐個(gè)列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有取值不可以逐個(gè)列舉出來，而是取數(shù)軸上一區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)，則稱該隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量。NankaiUniversity113.離散型隨機(jī)變量的概率分布NankaiUniversity120—1分布二項(xiàng)分布超幾何分布泊松分布0—1分布設(shè)離散型隨機(jī)變量X只可能取0和1兩個(gè)值，它的概率分布為P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q，其中p,q>0為常量，p+q=1，則稱X服從0—1分布。0—1分布也可寫成下表形式0—1分布是經(jīng)常遇到的一種分布。如對(duì)新生嬰兒的性別登記，檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，某種實(shí)驗(yàn)是否成功，電力消耗是否超過負(fù)荷等，都可以用0—1分布的離散型隨機(jī)變量來描述。NankaiUniversity13X10P(x)pq二項(xiàng)分布問題：若供應(yīng)商提供一批產(chǎn)品，已知不良率為p，從中有放回的隨機(jī)抽取n次，問恰好有d個(gè)不良品的概率？NankaiUniversity14二項(xiàng)分布的條件：實(shí)驗(yàn)次數(shù)固定，包含了n個(gè)相同的實(shí)驗(yàn)每次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)（如好與壞，通過與不通過，正面與反面）每次實(shí)驗(yàn)概率保持不變15超幾何分布問題：若有一批產(chǎn)品，批量N=10000件，已知其中有不良品D=500件；若從中無放回的隨機(jī)抽取n=100件，問其中有d=3件不良品的概率是多少？NankaiUniversity16設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中D件次品，從中任取n件(n≤N)，則此n件產(chǎn)品中的次品數(shù)x是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布律為期望和方差超幾何分布在抽樣檢驗(yàn)中具有重要作用。17泊松分布問題：若根據(jù)大量抽樣測得某產(chǎn)品的單位缺陷等于1，今從大量的該產(chǎn)品中抽取一件，問該產(chǎn)品沒有缺陷的概率為多少？NankaiUniversity18泊松分布是用來描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在指定的面積或體積之內(nèi)某一事件出現(xiàn)的次數(shù)的分布。下面是一些典型的服從泊松分布的隨機(jī)變量的例子：在某企業(yè)中每月發(fā)生的事故的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)某一服務(wù)柜臺(tái)需要服務(wù)的顧客人數(shù)某種儀器每月出現(xiàn)故障的次數(shù)泊松分布的公式為泊松分布的期望為泊松分布的方差為NankaiUniversity194.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布NankaiUniversity20均勻分布正態(tài)分布概率密度與分布函數(shù)當(dāng)用函數(shù)f(x)來表示連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，我們將f(x)稱為概率密度函數(shù)。概率密度函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：f(x)≥0

需要指出的是，f(x)并不是一個(gè)概率，即f(x)≠P(X=x)，f(x)稱為概率密度函數(shù)，而P(X=x)在連續(xù)分布的條件下為零。在連續(xù)分布的情況下以曲線下面的面積表示概率，如隨機(jī)變量X在a與b之間的概率可以寫成NankaiUniversity21連續(xù)性隨機(jī)變量的概率也可以用分布函數(shù)F(x)來表示，分布函數(shù)定義為因此P(a<X<b)也可以寫成NankaiUniversity22均勻分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X在有限區(qū)間（a，b）內(nèi)取值，其概率密度為則稱連續(xù)型隨機(jī)變量X為均勻分布。NankaiUniversity23正態(tài)分布(Normaldistribution)如果隨機(jī)變量X的概率密度為

則稱X服從正態(tài)分布，記作

f(x)≥0，即整個(gè)概率密度曲線都在x軸的上方；曲線f(x)相對(duì)于x=μ對(duì)稱，并在x=μ處達(dá)到最大值曲線的陡峭程度由σ決定，σ越大，曲線越平緩；σ越小，曲線越陡峭；當(dāng)x趨于無窮時(shí)，曲線以x軸為其漸近線。NankaiUniversity24特點(diǎn)：鐘型對(duì)稱雙側(cè)尾部無限趨近于0具有兩個(gè)參數(shù)：μ和σNankaiUniversity25標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(StandardNormaldistribution)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是

記作隨機(jī)變量X服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為NankaiUniversity26查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表對(duì)于負(fù)的x值，可由得到。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。設(shè)，則NankaiUni