計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第5章 異方差

1第5章異方差

§5.1異方差的概念一元和多元線性回歸模型的第二條假設(shè)，是隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差為常數(shù)，即Var(ui)=σ2不隨i變化。異方差可表示為Var(ui)=σi2≠常數(shù)，即Var(ui)≠Var(uj)，i≠j,i,j=1,2,…,n此時(shí)稱ui具有異方差性。2或者用隨機(jī)誤差項(xiàng)向量的協(xié)方差矩陣表示為：3異方差一般可歸結(jié)為三種類型：1遞增型異方差：σi2隨X的增大而增大；2遞減型異方差：σi2隨X的增大而減??；3復(fù)雜型異方差：σi2與X的變化呈復(fù)雜形式。45§5.2異方差的來源與后果一般經(jīng)驗(yàn)告訴我們：異方差性常來源于截面數(shù)據(jù)。異方差來源于測(cè)量誤差和模型中被省略的一些因素對(duì)被解釋變量的影響。異方差產(chǎn)生于計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型所研究的問題本身例1居民家庭的儲(chǔ)蓄行為：6用分組數(shù)據(jù)來估計(jì)經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型也是異方差性的一個(gè)重要來源。例2以絕對(duì)收入假設(shè)為理論假設(shè)，以截面數(shù)據(jù)為樣本建立居民消費(fèi)函數(shù)：7例3以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型：其中產(chǎn)出量Y，資本K，勞動(dòng)L，技術(shù)A異方差來源于許多復(fù)雜的因素，可能是投資環(huán)境，也可能是勞動(dòng)力的素質(zhì)等。8異方差性的后果1參數(shù)估計(jì)量非有效2變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義3模型的預(yù)測(cè)失效9§5.3異方差檢驗(yàn)異方差性，即相對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，也就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差，那么檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性。

Var(ui)=E(ui2)10（一）圖示法既可利用Y-X的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷，也可利用ei2-X的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷：對(duì)前者看是否存在明顯的散點(diǎn)擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢(shì)；對(duì)后者看是否形成一斜率為零的直線。注：圖示法只能進(jìn)行大概的判斷。1112（二）戈德菲爾德-夸特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn)此檢驗(yàn)方法以F檢驗(yàn)為基礎(chǔ)，適合于樣本容量較大，異方差為單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的情況。原假設(shè)為：H0:ui是同方差，即σ12=σ22=…=σn2備擇假設(shè)為：H1:ui是遞增（或遞減）異方差，即σi2隨X遞增（或遞減）(i=1,2,…,n)檢驗(yàn)過程如下：1、將解釋變量觀測(cè)值Xi按大小的順序排列，被解釋變量觀測(cè)值Yi保持原來與解釋變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。132、按照上述順序排列的觀測(cè)值，把位于中間的c個(gè)刪去，刪去的數(shù)目c是Goldfeld-Quandt通過試驗(yàn)的方法確定的。對(duì)于n≥30時(shí)，刪去的中心觀測(cè)數(shù)目為整個(gè)樣本數(shù)目的四分之一最合適（比如n=30,c=8;n=60,c=16）,將剩下的(n-c)個(gè)觀測(cè)值劃分為大小相等的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣本的容量均為(n-c)/2，其中一個(gè)子樣本是相應(yīng)的觀測(cè)值Xi較大的部分，另一個(gè)子樣本是相應(yīng)的觀測(cè)值Xi較小的部分。143、對(duì)兩個(gè)子樣本分別求出回歸方程，并計(jì)算出相應(yīng)的殘差平方和。設(shè)為X較小的子樣本的殘差平方和，設(shè)為X較大的子樣本的殘差平方和，它們的自由度均是，其中k為模型中解釋變量的個(gè)數(shù)。154、選擇統(tǒng)計(jì)量若是檢驗(yàn)遞增方差，若是檢驗(yàn)遞減方差，16這里，兩個(gè)殘差平方和除以各自的自由度，就得到隨機(jī)誤差項(xiàng)u的方差的兩個(gè)估計(jì)量。粗略地講，如果兩個(gè)方差估計(jì)量相同，則表明ui具有同方差項(xiàng)，計(jì)算的F值就應(yīng)該接近于1。如果不同，那么計(jì)算的F值就應(yīng)該比1大出許多。5、在給定的顯著性水平下，利用F分布的臨界值Fα進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。當(dāng)F>Fα?xí)r，應(yīng)拒絕H0，接受異方差性，當(dāng)F≤Fα?xí)r，應(yīng)接受H0,ui是同方差的。17（三）懷特(white)檢驗(yàn)此檢驗(yàn)是更一般的檢驗(yàn)方法，不需對(duì)異方差的性質(zhì)作任何假定。一般檢驗(yàn)步驟：1、用OLS方法估計(jì)原回歸模型，得到殘差平方和序列ei2;2、構(gòu)造輔助回歸模型ei2=f(Xi1,…,Xik,Xi12,…,Xik2,Xi1Xi2,…,Xi(k-1)Xik)其中f是含常數(shù)項(xiàng)的線性函數(shù)，系數(shù)為αj，j=1,…,g。用OLS方法估計(jì)此模型得到R2。183、提出原假設(shè)：H0:αj=0,j=1,…,g備擇假設(shè)：H1:αj中至少有一個(gè)不等于零。4、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

WT(g)=nR2～χ2(g)其中g(shù)=5、給定顯著性水平α，查臨界值χα2(g)，如果WT(g)<χα2(g)，則H0成立，原模型不存在異方差性；反之，則存在異方差性。19（四）帕克（Park）檢驗(yàn)與戈里瑟(Gleiser)檢驗(yàn)帕克檢驗(yàn)與戈里瑟檢驗(yàn)的基本思想是：以ei2或|ei|為被解釋變量，以原模型的某一解釋變量Xj為解釋變量,建立如下方程：或選擇關(guān)于變量Xj的不同的函數(shù)形式，對(duì)方程進(jìn)行估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。20如帕克檢驗(yàn)常用：或進(jìn)行檢驗(yàn)，若α在統(tǒng)計(jì)上顯著地異于零，表明存在異方差性。21優(yōu)點(diǎn)：不僅檢驗(yàn)了異方差性是否存在，同時(shí)給出了異方差存在時(shí)的具體表現(xiàn)形式，為克服異方差提供了方便。但是，由于構(gòu)造|ei|與解釋變量的回歸式是探測(cè)性的，如果試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦x得不好，則檢驗(yàn)不出是否存在異方差。22（五）斯皮爾曼(Spearman)等級(jí)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)一般檢驗(yàn)步驟：1、用OLS方法估計(jì)回歸模型，得到殘差序列ei;2、取ei的絕對(duì)值；分別將認(rèn)為對(duì)異方差有關(guān)系的解釋變量Xij和|ei|按升序或降序劃分等級(jí)，并分別用自然數(shù)表示它們的等級(jí)。3、按Xij的等級(jí)依次排列；排列時(shí)，|ei|的等級(jí)與Xij的等級(jí)按原來樣本點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行排列。4、計(jì)算Xij和|ei|的等級(jí)差di，計(jì)算等級(jí)相關(guān)系數(shù)

-1<r<1235、判斷。等級(jí)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。提出原假設(shè):H0:r=0,備擇假設(shè)：H1:r≠0。r近似服從均值為0，方差為1/（n-1）的正態(tài)分布。構(gòu)造Z統(tǒng)計(jì)量給定顯著性水平α，查正態(tài)分布表得臨界值Zα/2。當(dāng)|Z|<Zα/2時(shí)，接受H0，此時(shí)等級(jí)相關(guān)系數(shù)不顯著，隨機(jī)誤差項(xiàng)無異方差性；反之，則存在異方差性。24§5.4異方差的修正方法

——加權(quán)最小二乘法

加權(quán)最小二乘法（Weightedleastsquares,WLS）加權(quán)最小二乘法是對(duì)原模型加權(quán)，使之變成一個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS法估計(jì)其參數(shù)。25如線性回歸模型為Yi=β0+β1X1i+…+βkXki+ui且經(jīng)過檢驗(yàn)，已知誤差項(xiàng)ui有如下形式的異方差性那么我們可以用除模型的各項(xiàng)，得到26通過變量變換可得到一個(gè)新的線性回歸模型，新模型中的k+1個(gè)參數(shù)與原模型的參數(shù)完全相同。新模型誤差項(xiàng)的方差為顯然已經(jīng)不存在異方差問題。用這個(gè)新模型進(jìn)行線性回歸分析，可以克服原模型