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概率論基礎(chǔ)(Ⅲ)2009年3月山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理1知識(shí)拓展山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理2一、多維隨機(jī)變量(隨機(jī)向量)二、多維隨機(jī)變量的特征數(shù)三、大數(shù)定理四、中心極限定理相關(guān)概念山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理3n維隨機(jī)變量(隨機(jī)向量)的形式:n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù):二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列:二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù):二維隨機(jī)變量的特征數(shù)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理4協(xié)方差相關(guān)系數(shù)二維隨機(jī)變量的協(xié)方差山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理5設(shè)(X,Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量,如果存在,則稱其為X與Y的協(xié)方差,或稱為X與Y的相關(guān)(中心)矩,并記為特別地:協(xié)方差>0,稱X與Y正相關(guān),即同增同減;協(xié)方差<0,稱X與Y負(fù)相關(guān),即增減相反;協(xié)方差=0,稱X與Y不(線性)相關(guān)。二維隨機(jī)變量的協(xié)方差山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理6協(xié)方差的性質(zhì):Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y);若X與Y獨(dú)立,則Cov(X,Y)=0,反之亦然;Cov(X,Y)=Cov(Y,X);Cov(X,a)=0,a為常數(shù);Cov(aX,bY)=abCov(Y,X),a,b為常數(shù);Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y),Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)。二維隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理7設(shè)(X,Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量,且Var(X)>0,Var(Y)>0。則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差是同符號(hào)的,即同正同負(fù),所以從相關(guān)系數(shù)的取值也可以反映X與Y的(線性)相關(guān)性。相關(guān)系數(shù)可以看做是X與Y標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差。二維隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理8相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):有界:;不等式關(guān)系:;相關(guān)系數(shù)為的充分必要條件是X與Y幾乎處處有線性關(guān)系,即存在a(不為0)和b,使得P(Y=aX+b)=1。其中當(dāng)Corr(X,Y)=1時(shí),有a>0;當(dāng)Corr(X,Y)=1,有a<0。獨(dú)立與不相關(guān)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理9一般場(chǎng)合,獨(dú)立必然導(dǎo)致不相關(guān),但不相關(guān)推不出獨(dú)立。但在正態(tài)場(chǎng)合下兩者等價(jià)。TH.在二維正態(tài)分布場(chǎng)合,不相關(guān)與獨(dú)立是等價(jià)的。伯努利大數(shù)定律山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理10設(shè)為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p為每次實(shí)驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率,則對(duì)任意的,有注解:只要試驗(yàn)次數(shù)足夠大,事件A發(fā)生的頻率就會(huì)與其概率真值相當(dāng)?shù)慕咏?,偏離的機(jī)會(huì)很小,可以認(rèn)為是0。大數(shù)定律的一般形式山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理11設(shè)有一隨機(jī)變量序列{Xn},若對(duì)任意的,有則稱該隨機(jī)變量序列服從大數(shù)定律。注解:只要n充分大,隨機(jī)變量“平均值”與理論“期望”可以無(wú)限接近。大數(shù)定律的不同形式山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理121、切比雪夫大數(shù)定律設(shè){Xn}為一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,若每個(gè)Xi的方差存在,且有共同的上界,則{Xn}服從大數(shù)定律。2、馬爾科夫大數(shù)定律(條件)隨機(jī)變量序列{Xn},若滿足3、辛欽大數(shù)定律設(shè){Xn}為一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,若Xi的期望存在,則{Xn}服從大數(shù)定律。中心極限定理&大數(shù)定律的關(guān)系山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理13大數(shù)定律討論的是多個(gè)隨機(jī)變量的平均(1)的漸進(jìn)性質(zhì),中心極限定理討論的是隨機(jī)變量和(2)的極限分布。(1)(2)獨(dú)立同分布的中心極限定理山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理141、林德貝格-勒維中心極限定理設(shè){Xn}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且記則對(duì)任意實(shí)數(shù)y,有注解:獨(dú)立隨機(jī)變量和序列標(biāo)準(zhǔn)化后的分布是漸進(jìn)正態(tài)的。二項(xiàng)分布的正態(tài)近似山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理152、棣莫弗-拉普拉斯極限定理設(shè)n重伯努利試驗(yàn)中,事件A在每次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是p(0<p<1),記為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),且記則,對(duì)任意實(shí)數(shù)y,有注解:二項(xiàng)分布(n個(gè)獨(dú)立同分布事件和)是漸進(jìn)正態(tài)的。林德貝格條件山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理16林德貝格條件設(shè){Xn}是一個(gè)相互獨(dú)立的的隨機(jī)變量序列,他們具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差:
,則隨機(jī)變量的和的期望方差分別為:若諸Xi為連續(xù)隨機(jī)變量時(shí),記其密度函數(shù)為pi(x)。如果對(duì)任意的,有 *獨(dú)立不同分布的中心極限定理1山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大數(shù)定律&中心極限定理173、林德貝格中心極限定理設(shè){Xn}是相互獨(dú)立的的隨機(jī)變量序列,如果滿足林德貝格條件,即對(duì)任意,有則對(duì)任意的x,有
注解:n個(gè)獨(dú)立不同分布事件的和是漸進(jìn)正態(tài)的,只要它
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