隨機(jī)事件的概率的求解方法

掌握隨機(jī)事件的概率的求解方法，并能應(yīng)用其解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題(判斷游戲是否公平，對(duì)某些問題作出合理決策)用列舉法求概率【例1】(2010·淮安中考)在完全相同的五張卡片上分別寫上1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字后，裝入一個(gè)不透明的口袋內(nèi)攪勻.(1)從口袋內(nèi)任取一張卡片，卡片上數(shù)字是偶數(shù)的概率是____；(2)從口袋內(nèi)任取一張卡片記下數(shù)字后放回．?dāng)噭蚝笤購(gòu)闹腥稳∫粡?，求兩張卡片上?shù)字和為5的概率.【思路點(diǎn)撥】【自主解答】(1)任取一張卡片，共有5種情況，其中是偶數(shù)的有2種，所以P(抽得偶數(shù))=答案：(2)所有可能的情況(兩個(gè)數(shù)字的和)為2，3，4，5，6，3，4，5，6，7，4，5，6，7，8，5，6，7，8，9，6，7，8，9，10共25種，其中和為5的有4種，所以P(兩張卡片上數(shù)字和為5)=.

用列舉法求概率關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意，抓住題中的關(guān)鍵字詞，列舉所有可能出現(xiàn)的情況，做到不重不漏，再代入公式計(jì)算.1.(2010·銅仁中考)隨機(jī)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，落地后至多有一次反面朝上的概率為()【解析】選A.可能出現(xiàn)的情況為正正，正反，反正，反反，所以至多有一次反面朝上有正正，正反，反正三種情況，故選A.2.(2010·曲靖中考)在分別寫有數(shù)字-1,0,1,2的四張卡片中，隨機(jī)抽取一張后放回，再隨機(jī)抽取一張，以第一次抽取的數(shù)字作為橫坐標(biāo)，第二次抽取的數(shù)字作為縱坐標(biāo)的點(diǎn)落在第一象限的概率是_____.【解析】所有可能出現(xiàn)的情況為(-1,-1)、(-1，0)、(-1，1)、(-1，2)、(0，-1)、(0，0)、(0，1)、(0，2)、(1，-1)、(1，0)、(1，1)、(1，2)、(2，-1)、(2，0)、(2，1)、(2，2)，共有16種，其中在第一象限的有4種，所以P(落在第一象限)=.答案：在稍復(fù)雜的問題情景中分析所有可能出現(xiàn)的情況時(shí)，要仔細(xì)認(rèn)真，不要重復(fù)或遺漏，特別是與順序有關(guān)的問題時(shí)不要遺漏.應(yīng)用概率解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題【例2】(2010·南京中考)某廠為新型號(hào)電視機(jī)上市舉辦促銷活動(dòng)，顧客每買一臺(tái)該型號(hào)電視機(jī)，可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，該廠擬按10%設(shè)大獎(jiǎng)，其余90%為小獎(jiǎng).廠家設(shè)計(jì)的抽獎(jiǎng)方案是：在一個(gè)不透明的盒子中，放入10個(gè)黃球和90個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到黃球的顧客獲得大獎(jiǎng)，摸到白球的顧客獲得小獎(jiǎng).(1)廠家請(qǐng)教了一位數(shù)學(xué)老師，他設(shè)計(jì)的抽獎(jiǎng)方案是：在一個(gè)不透明的盒子中，放入2個(gè)黃球和3個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出2個(gè)球，摸到的2個(gè)球都是黃球的顧客獲得大獎(jiǎng)，其余的顧客獲得小獎(jiǎng).該抽獎(jiǎng)方案符合廠家的設(shè)獎(jiǎng)要求嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，請(qǐng)你將轉(zhuǎn)盤分為2個(gè)扇形區(qū)域，分別涂上黃、白兩種顏色，并設(shè)計(jì)抽獎(jiǎng)方案，使其符合廠家的設(shè)獎(jiǎng)要求.(友情提醒：1.轉(zhuǎn)盤上用文字注明顏色和扇形的圓心角的度數(shù)，2.結(jié)合轉(zhuǎn)盤簡(jiǎn)述獲獎(jiǎng)方式，不需說(shuō)明理由.)【思路點(diǎn)撥】用列舉法求概率是中考的一個(gè)基礎(chǔ)考點(diǎn)，題目難度不大，解題關(guān)鍵是深刻理解列出所有可能結(jié)果求概率的方法，不重不漏列出所有可能的結(jié)果，求出概率后再進(jìn)行決策或判斷.【自主解答】(1)該抽獎(jiǎng)方案符合廠家的設(shè)獎(jiǎng)要求.分別用黃1、黃2、白1、白2、白3表示這5個(gè)球.從中任意摸出2個(gè)球，可能出現(xiàn)的結(jié)果有：(黃1,黃2)、(黃1，白1)、(黃1,白2)、(黃1，白3)、(黃2，白1)、(黃2，白2)、(黃2，白3)，(白1，白2)、(白1，白3)、(白2,白3)，共有10種，它們出現(xiàn)的可能性相同.所有的結(jié)果中，滿足摸到的2個(gè)球都是黃球(記為事件A)的結(jié)果有1種，即(黃1，黃2)，所以P(A)=，即顧客獲得大獎(jiǎng)的概率為10%，獲得小獎(jiǎng)的概率為90%.(2)本題答案不惟一，下列解法供參考.如圖，將轉(zhuǎn)盤中圓心角為36°的扇形區(qū)域涂上黃色，其余的區(qū)域涂上白色，顧客每購(gòu)買一臺(tái)該型號(hào)電視機(jī)，可獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向黃色區(qū)域獲得大獎(jiǎng)，指向白色區(qū)域獲得小獎(jiǎng).

規(guī)律總結(jié)概率在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用廣泛，利用概率作決策或判斷游戲的公平性，關(guān)鍵是確定不同事件發(fā)生的概率，然后根據(jù)概率的大小，結(jié)合現(xiàn)實(shí)情景作出合理的判斷.設(shè)計(jì)方案時(shí)要以概率為依據(jù).3.(2010·山西中考)哥哥與弟弟玩一個(gè)游戲：三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下洗勻，哥哥從中任意抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻，然后弟弟從中任意抽取一張，計(jì)算抽得的兩個(gè)數(shù)字之和，如果和為奇數(shù)，則弟弟勝；和為偶數(shù)，則哥哥勝.該游戲?qū)﹄p方_____.(填“公平”或“不公平”).【解析】列舉所有的情況為：2、3、4、3、4、5、4、5、6共9種，P(和為奇數(shù))=4/9，P(和為偶數(shù))=5/9，二者獲勝的概率不相等，所以游戲?qū)﹄p方不公平.答案：不公平4.(2010·濱州中考)某電視臺(tái)在2010年春季舉辦的青年歌手大獎(jiǎng)賽活動(dòng)中,得獎(jiǎng)選手由觀眾發(fā)短信投票產(chǎn)生,并對(duì)發(fā)短信者進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng).一萬(wàn)條短信為一個(gè)開獎(jiǎng)組,設(shè)一等獎(jiǎng)1名,二等獎(jiǎng)3名,三等獎(jiǎng)6名.王小林同學(xué)發(fā)了一條短信,那么他獲獎(jiǎng)的概率是_____.【解析】共有10000種情況，其中獲獎(jiǎng)的情況有10種，所以獲獎(jiǎng)的概率為.答案：

應(yīng)用概率判斷游戲的公平性，就是通過(guò)比較概率的大小來(lái)判斷，涉及到修改游戲規(guī)則的問題，其方法往往不惟一，但基本上有兩種情形：(1)對(duì)概率進(jìn)行修改，通過(guò)修改原題中的條件使他們各自的概率相等;(2)對(duì)他們的分值進(jìn)行修改，使最后得分相等.1.(2010·內(nèi)江中考)在四張完全相同的卡片上分別印有等邊三角形、平行四邊形、等腰梯形、圓的圖案，現(xiàn)將印有圖案的一面朝下，混合后從中一次性隨機(jī)抽取兩張，則抽到的卡片上印有的圖案都是軸對(duì)稱圖形的概率為()【解析】選C.所有可能情況為等邊三角形、平行四邊形；等邊三角形、等腰梯形；等邊三角形、圓；平行四邊形、等腰梯形；平行四邊形、圓；等腰梯形、圓共6種，其中都是軸對(duì)稱圖形的有3種，故選C.2.若一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，則這兩個(gè)孩子都是男孩的概率為()【解析】選A.所有可能的情況有(男，男)、(男，女)、(女，男)、(女，女)，故選A.3.(2010·衢州中考)玉樹地震災(zāi)區(qū)小朋友卓瑪從某地捐贈(zèng)的2種不同款式的書包和2種不同款式的文具盒中，分別取一個(gè)書包和一個(gè)文具盒進(jìn)行款式搭配，則不同搭配的可能有_____種.【解析】設(shè)書包分別為A、B，文具盒為C、D，則所有的搭配情況為A、C；A、D；B、C；B、D共4種.答案：44.從數(shù)字1，2，3中任取兩個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于21的概率是_____.【解析】共有12，13，23，21，31，32這6種情況，大于21的有23，31，32三種，所以P(大于21)=答案：5.樂樂有紅色、黃色、白色三件運(yùn)動(dòng)短袖上衣和白色、黑色兩條運(yùn)動(dòng)短褲，若任意組合穿著，則樂樂穿著“衣褲同色”的概率是多大？【解析】替換列舉法，用A，B，C表示上衣紅色，黃色，白色，E，D表示短褲的白色，黑色，列舉可能情況有AE，BE，CE；AD，BD，CD，共6種，即n=6，m=1，所以P(同色衣褲)=．

一、選擇題（每小題4分，共12分）1.（2010·菏澤中考）某醫(yī)院決定抽調(diào)甲、乙、丙、丁4名醫(yī)護(hù)人員參加抗震救災(zāi)，先隨機(jī)地從這4人中抽取2人作為第一批救災(zāi)醫(yī)護(hù)人員，那么丁醫(yī)護(hù)人員被抽到作為第一批救災(zāi)醫(yī)護(hù)人員的概率是（）【解析】選A.所有可能的情況為甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6種，丁醫(yī)護(hù)人員被抽到的情況有3種，故選A.2.在拼圖游戲中，從圖①中的四張紙片中，任取兩張紙片，能拼成“小房子”（如圖②）的概率是()【解析】選C.若要拼成“小房子”，則取得的兩張紙片中，一張應(yīng)為三角形，一張應(yīng)為正方形，所有可能的結(jié)果有6個(gè)，取得一張三角形紙片與一張正方形紙片的結(jié)果有4個(gè).所以P（拼成“小房子”）=.3.（2010·畢節(jié)中考）在盒子里放有三張分別寫有整式a+1、a+2、2的卡片，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母，則能組成分式的概率是（）【解析】選B.所有的結(jié)果有能組成分式的有4種，所以P(組成分式)=.或者：分母為a+1、a+2、2三種情況，當(dāng)分母為a+1或a+2時(shí)，組成分式，所以P(組成分式)=.

【歸納整合】用列舉法求概率，思考問題的角度不同，所列舉的情況也有可能不同.但結(jié)果都是相同的.無(wú)論從何種角度考慮必須滿足的特征是有限等可能性，否則，若列舉的情況發(fā)生的可能性不同，則不能使用P(A)=進(jìn)行計(jì)算.二、填空題（每小題4分，共12分）4.（2010·杭州中考）一個(gè)密碼箱的密碼,每個(gè)數(shù)位上的數(shù)都是從0到9的自然數(shù),若要使不知道密碼的人一次就撥對(duì)密碼的概率小于,則密碼的位數(shù)至少需要_____位.【解析】密碼為一位數(shù)時(shí)，一次撥對(duì)的概率為，兩位數(shù)時(shí)，一次撥對(duì)的概率為，三位數(shù)時(shí)，一次撥對(duì)的概率為，四位數(shù)時(shí)，一次撥對(duì)的概率為，所以密碼最少為四位數(shù).答案：四5.（2010·紹興中考）根據(jù)第六屆世界合唱比賽的活動(dòng)細(xì)則,每個(gè)參賽的合唱團(tuán)在比賽時(shí)須演唱4首歌曲.愛樂合唱團(tuán)已確定了2首歌曲,還需在A,B兩首歌曲中確定一首,在C,D兩首歌曲中確定另一首,則同時(shí)確定A,C為參賽歌曲的概率是____.【解析】所有可能的情況為AC，AD，BC，BD四種，同時(shí)確定A、C為參賽歌曲的概率為.答案：6.一張圓桌有四個(gè)座位，A先坐在如圖所示的座位上，B、C、D三人隨機(jī)坐到其他三個(gè)座位上，則A與B不相鄰而坐的概率是_____.【解析】按題意，先把B的位置確定下來(lái)，因?yàn)锳與B不相鄰而坐，那么B只能坐到A的對(duì)面那一個(gè)位置，C、D可以在剩下的2個(gè)位置隨機(jī)地選取一個(gè)而坐，有兩種坐法，再考慮B、C、D三人隨機(jī)而坐有幾種可能情形，對(duì)于B來(lái)說(shuō)在三個(gè)座位中任選取一個(gè)座位后，C、D再隨機(jī)地選取一個(gè)，總共有6種情形.所以A與B不相鄰而坐的概率為：P（A與B不相鄰）=.答案：三、解答題（共26分）7.（8分）（2010·安徽中考）上海世博會(huì)門票價(jià)格如下表所示：某旅行社準(zhǔn)備了1300元，全部用來(lái)購(gòu)買指定日普通票和平日優(yōu)惠票，且每種至少買一張.（1）有多少種購(gòu)票方案？列舉所有可能結(jié)果；（2）如果從上述方案中任意選中一種方案購(gòu)票，求恰好選到購(gòu)得11張門票的概率.【解析】（1）共有6種購(gòu)票方案：（2）由（1）知，共有6種購(gòu)票方案，且選到每種購(gòu)票方案的可能性相等而恰好選到購(gòu)得11張門票的方案只有1種，因此恰好選到購(gòu)得11張門票的概率是.8.（8分）某校有A、B兩個(gè)餐廳，甲、乙、丙三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中的一個(gè)餐廳用餐