2022衡水中學(xué)地理內(nèi)部學(xué)習(xí)資料專題03 解三角形（新高考地區(qū)專用）（解析版）

專題03解三角形技巧導(dǎo)圖技巧導(dǎo)圖技巧詳講技巧詳講射影內(nèi)容中線定理1.中線定理推導(dǎo)2.三角形面積3.三角形的周長角平分線定理角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等三角形的一個(gè)角的角平分線,這個(gè)角平分線其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例即技巧舉證技巧舉證技巧一三角形的射影定理【例1】（2017?新課標(biāo)Ⅱ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則．【答案】【解析】技巧法：由射影定理可得，，，故答案為：常規(guī)法：，由正弦定理可得，，，，，，故答案為：【舉一反三】1.（2020?青島模擬）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，則B=【答案】【解析】技巧法：由射影定理可得，因?yàn)?，則．常規(guī)法：因?yàn)?，由正弦定理可得，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋瑒t．2（2020?安徽模擬）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，則的面積為?！敬鸢浮?【解析】技巧法：由射影定理可得，，得．，解得．則的面積．常規(guī)法：，，，即，，解得，，解得．，解得．則的面積．3（2020?南充模擬）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則內(nèi)角C=?！敬鸢浮俊窘馕觥考记煞ǎ河缮溆岸ɡ砜傻霉?，又，所以．常規(guī)法：由正弦定理得：，即，即，由于，故，又，所以．技巧2三角形的中線定理【例2】（2020·梅河口市第五中學(xué)高三（理））在中，，已知邊上的中線，則面積的最大值為__________．【答案】.【解析】技巧法：常規(guī)法：在△ABC中，，BC邊上的中線AD=3，，設(shè)AB＝c，AC＝b，平方可得9＝.化簡可得，，∴bc≤36，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故△ABC的面積S＝故答案為【舉一反三】1．（2020·廣東高三月考（理））在中，，已知BC邊上的中線，則面積的最大值為______.【答案】【解析】技巧法：常規(guī)法：中，，邊上的中線長為3，，設(shè)，，平方可得：，化簡可得，，可得：，故的面積．故答案為：．2．（2020·全國）在銳角三角形中，角、、的對(duì)邊分別為、、，向量，，且.（1）求角；（2）若，且的面積為，求邊上的中線的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)椋?，，所以，由正弦定理?因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)榈拿娣e為，所以，因?yàn)?，，所?在中，為的中點(diǎn)，，由余弦定理得.所以.技巧3角平分線的定理【例3】（2020·梅河口市第五中學(xué)）已知中，．是的角平分線，交于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的長．【答案】（I）；（II）.【解析】（Ⅰ）在中，，在中，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以（Ⅱ）法一：由題知，所以，所以法二：所以【舉一反三】1．（2019·江蘇）在中，，，角A的角平分線，則______.【答案】【解析】由題意，，，角的角平分線，在中，由正弦定理：，可得，則，所以，那么，則，所以．在中，由正弦定理：，所以.可得．故答案為：.2．（2020·梅河口市第五中學(xué)高一期末（文））已知中，是的角平分線，交于.（1）求的值；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，，在中，，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以.（2）設(shè)，則，所以，所以，所以.3．（2019·河南高考模擬（理））在中，，，為的內(nèi)角平分線，.（Ⅰ）求的值（Ⅱ）求角的大小【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得：在三角形ACD中,由正弦定理得：因?yàn)椋á颍┰谌切蜛BD中,由余弦定理得在三角形ACD中,由余弦定理得又解得又技巧強(qiáng)化技巧強(qiáng)化1.（2020春?上饒?jiān)驴迹┰谥?，角，，的?duì)邊分別是，，，且面積為，若，，則角等于【答案】 【解析】技巧法：由射影定理可得所以，故，，，，故，則角．常規(guī)法：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，，即，因?yàn)?，所以，故，，，，故，則角．2.（2020春?路南區(qū)校級(jí)月考）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．若，的面積為，則b+c=【答案】4 【解析】技巧法：由射影定理可得所以即，所以，，所以，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，，故．常?guī)法：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，．因?yàn)椋约?，所以，，所以，因?yàn)?，由余弦定理可得，，故?．（2019·福建高三（理））已知為等腰三角形，，邊上的中線的長為7，則的面積為__________．【答案】【解析】【分析】先設(shè)等腰三角形的腰長為，進(jìn)而可得底邊的長，再由余弦定理列出方程，即可求出，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等腰三角形的腰長為，因?yàn)?，所以，由余弦定理可得：，，因?yàn)榕c互補(bǔ)，所以，即，解得，所以，所以故答案為4．（2020·本溪市燕東高級(jí)中學(xué)）已知三角形兩邊長分別為和，第三邊上的中線長為，則三角形的外接圓半徑為________.【答案】1【解析】分析：設(shè)AB=1，AC=，AD=1，D為BC邊的中點(diǎn)，BC=2x，則BD=DC=x，由余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC通過cos∠ADB=﹣cos∠ADC，代入可求BC，則可得A=90°，外接圓的直徑2R=BC，從而可求結(jié)果．詳解：設(shè)AB=1，AC=，AD=1，D為BC邊的中點(diǎn)，BC=2x，則BD=DC=x，△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=，△ADC中，由余弦定理可得，cos∠ADC=，因?yàn)閏os∠ADB=﹣cos∠ADC所以=﹣∴x=1∴BC=2∴AB2+AC2=BC2即A=90°∴外接圓的直徑2R=BC=2，從而可得R=1故答案為：1．5．（2020·浙江省杭州第二中學(xué)高三）中，，，，則邊上的中線長_______.【答案】1【解析】設(shè)，，，由余弦定理得：，所以，或（舍去），在中，，由余弦定理得：，所以.故答案為：.6．（2020·商丘市第一高級(jí)中學(xué)）在中，，．邊上的中線，則_____．【答案】【解析】技巧法：常規(guī)法：設(shè)，中，，中，，,，解得：，，中，,,.故答案為：7．（2020·新疆高三月考（理））在中，已知,，BC邊上的中線，則________．【答案】【解析】如圖所示，由中線長定理可得：，由余弦定理得到：，即．聯(lián)立成方程組，解得：，故由可得，．故答案為：8．（2019·浙江）若銳角的面積為，則邊上的中線為_________．【答案】【解析】技巧法：銳角的面積為，，，則：，解得：，所以：，所以：，解得：．根據(jù)中線定理可得常規(guī)法：銳角的面積為，，，則：，解得：，所以：，所以：，解得：．在中，利用余弦定理：，在中，利用余弦定理：得：，解得：故答案為9．（2019·遼寧高三（理））已知△，，，是邊上的中線，且，則的長為__________．【答案】【解析】取AB中點(diǎn)E，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以,由余弦定理得，即10．（2020·全國高三月考（理））在中，角的平分線長，角，，則__________．【答案】.【解析】設(shè)角B的平分線為，由正弦定理得，即，得，，，．即答案為.11．（2020·濱?？h八灘中學(xué)高三）在中，，，的角平分線，則________.【答案】【解析】由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因?yàn)?，所以．所以，所以＝，所以?2．（2020·全國）在中，，的角平分線交于點(diǎn)，若，，則______.【答