2023 年九年級數(shù)學中考復習 圓、二次函數(shù)壓軸題 解答題專題訓練（含解析）

2022-2023學年九年級數(shù)學中考復習《圓、二次函數(shù)壓軸題》解答題專題訓練（附答案）1．（1）已知AC是半圓O的直徑，∠AOB＝（）°（n是正整數(shù)，且n不是3的倍數(shù)）是半圓O的一個圓心角．【操作】如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°（n取1、4、5、10）所對的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；【交流】當n＝11時，可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對的弧三等分嗎？從上面的操作我發(fā)現(xiàn)，就是利用60°、（）°所對的弧去找（）°的三分之一即（）°所對的弧我發(fā)現(xiàn)了它們之間的數(shù)量關系是4×（）°﹣60°＝（）°．我再試試：當n＝28時，（）°、60°、（）°之間存在數(shù)量關系．因此可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對的弧三等分．【探究】你認為當滿足什么條件時，就可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對的弧三等分？說說你的理由；（2）如圖2，⊙O的圓周角∠PMQ＝（）°．為了將這個圓的圓周14等分，請作出它的一條14等分?。ㄒ螅簝H用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．2．一次函數(shù)y＝x+1的圖象與x軸交于點A，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A、原點O和一次函數(shù)y＝x+1圖象上的點B（m，）．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，一次函數(shù)y＝x+n（n＞﹣，n≠1）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），過點C作直線l1⊥x軸于點E，過點D作直線l2⊥x軸，過點B作BF⊥l2于點F．①x1＝，x2＝（分別用含n的代數(shù)式表示）；②證明：AE＝BF；（3）如圖2，二次函數(shù)y＝a（x﹣t）2+2的圖象是由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象平移后得到的，且與一次函數(shù)y＝x+1的圖象交于點P、Q（點P在點Q的左側），過點P作直線l3⊥x軸，過點Q作直線l4⊥x軸，設平移后點A、B的對應點分別為A′、B′，過點A′作A′M⊥l3于點M，過點B′作B′N⊥l4于點N．①A′M與B′N相等嗎？請說明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．3．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）在對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q的坐標；（3）點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側拋物線上的一點，當△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標．4．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+4與坐標軸分別交于A，B，C三點，P是第一象限內拋物線上的一點且橫坐標為m．（1）A，B，C三點的坐標為，，．（2）連接AP，交線段BC于點D，①當CP與x軸平行時，求的值；②當CP與x軸不平行時，求的最大值；（3）連接CP，是否存在點P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．5．如圖CD是⊙O直徑，A是⊙O上異于C，D的一點，點B是DC延長線上一點，連AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的條件下，作∠CAD的平分線AP交⊙O于P，交CD于E，連PC、PD，若AB＝2，求AE?AP的值．6．綜合與實踐知識再現(xiàn)如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以BC、CA、AB為邊向外作的正方形的面積為S1、S2、S3．當S1＝36，S3＝100時，S2＝．問題探究如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）如圖2，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等腰直角三角形的面積為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的數(shù)量關系是．（2）如圖3，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等邊三角形的面積為S4、S5、S6，試猜想S4、S5、S6之間的數(shù)量關系，并說明理由．實踐應用（1）如圖4，將圖3中的△BCD繞點B逆時針旋轉一定角度至△BGH，△ACE繞點A順時針旋轉一定角度至△AMN，GH、MN相交于點P．求證：S△PHN＝S四邊形PMFG；（2）如圖5，分別以圖3中Rt△ABC的邊BC、CA、AB為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，BC、CA、AB為直徑的半圓柱的體積分別為V1、V2、V3．若AB＝4，柱體的高h＝8，直接寫出V1+V2的值．7．已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A（1，4），且與x軸交于點B（﹣1，0）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點P（m，0）旋轉180°，此時點A、B的對應點分別為點C、D．①連結AB、BC、CD、DA，當四邊形ABCD為矩形時，求m的值；②在①的條件下，若點M是直線x＝m上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點Q，使得以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．8．在平面直角坐標系中，直線y＝mx﹣2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點，頂點為D的拋物線y＝﹣x2+2mx﹣m2+2與y軸交于點C．（1）如圖，當m＝2時，點P是拋物線CD段上的一個動點．①求A，B，C，D四點的坐標；②當△PAB面積最大時，求點P的坐標；（2）在y軸上有一點M（0，m），當點C在線段MB上時，①求m的取值范圍；②求線段BC長度的最大值．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（3，0）和點B（﹣1，0），交y軸于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）D是直線AC上方拋物線上一動點，連接OD交AC于點N，當?shù)闹底畲髸r，求點D的坐標；（3）P為拋物線上一點，連接CP，過點P作PQ⊥CP交拋物線對稱軸于點Q，當tan∠PCQ＝時，請直接寫出點P的橫坐標．10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸分別交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣3），連接BC．（1）求拋物線的解析式及點B的坐標．（2）如圖，點P為線段BC上的一個動點（點P不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值．（3）動點P以每秒個單位長度的速度在線段BC上由點C向點B運動，同時動點M以每秒1個單位長度的速度在線段BO上由點B向點O運動，在平面內是否存在點N，使得以點P，M，B，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．11．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C（0，2），連接BC．（1）求拋物線的解析式．（2）點P是第三象限拋物線上一點，直線PB與y軸交于點D，△BCD的面積為12，求點P的坐標．（3）在（2）的條件下，若點E是線段BC上點，連接OE，將△OEB沿直線OE翻折得到△OEB'，當直線EB'與直線BP相交所成銳角為45°，時，求點B'的坐標．12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達式；（2）將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點B的對應點為D，直接寫出點D的坐標，并求出四邊形OADC的面積；（3）點P是拋物線上的一動點，當∠PCB＝∠ABC時，求點P的坐標．13．拋物線y＝ax2+x﹣6與x軸交于A（t，0），B（8，0）兩點，與y軸交于點C，直線y＝kx﹣6經(jīng)過點B．點P在拋物線上，設點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的表達式和t，k的值；（2）如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐標；（3）如圖2，若點P在直線BC上方的拋物線上，過點P作PQ⊥BC，垂足為Q，求CQ+PQ的最大值．14．如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C，點P是第一象限內拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點E，設點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的表達式；（2）設線段PE的長度為h，請用含有m的代數(shù)式表示h；（3）如圖2，過點P作PF⊥CE，垂足為F，當CF＝EF時，請求出m的值；（4）如圖3，連接CP，當四邊形OCPD是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使原點O關于直線CQ的對稱點O′恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點Q的坐標．15．如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點A（4，0）的直線AB與y軸交于點B（0，4）．經(jīng)過原點O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達式；（2）M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當MN∥y軸且MN＝2時，求點M的坐標；（3）P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．16．定義：函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離都不大于n（n≥0）的點叫做這個函數(shù)圖象的“n階方點”．例如，點（，）是函數(shù)y＝x圖象的“階方點”；點（2，1）是函數(shù)y＝圖象的“2階方點”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三點中，是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點”的有（填序號）；（2）若y關于x的一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點”有且只有一個，求a的值；（3）若y關于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點”一定存在，請直接寫出n的取值范圍．17．如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的關系式；（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當△OPE面積最大時，求出P點坐標；（3）將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OAE內（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．18．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（，0），B（3，）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點D，若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；（3）拋物線上是否存在點Q，使∠QCB＝45°？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．19．如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點B，且與AC邊交于點D，點E為BC中點，連接DE、BD．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的長．20．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B兩點，交y軸于點C（0，3），頂點D的橫坐標為1．（1）求拋物線的解析式；（2）在y軸的負半軸上是否存在點P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）過點C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個交點為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點M，過點M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點為頂點的三角形與△ADE相似？若存在，請求出M點的坐標，若不存在，請說明理由．參考答案1．解：（1）【操作】三等分點如圖所示：【交流】60°﹣9×（）°＝（）°．故答案為：60°﹣9×（）°＝（）°；【探究】設60°﹣k?（）°＝（）°或k?（）°﹣60°＝（）°解得，n＝3k+1或n＝3k﹣1（k為非負整數(shù)），所以對于正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），都可以用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對的弧三等分．（2）如圖2中，即為所求．的度數(shù)＝的度數(shù)＝60°，的度數(shù)＝120﹣（）°+60°＝（）°．2．（1）解：∵直線y＝x+1與x軸交于點A，令y＝0，得x+1＝0，解得：x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∵直線y＝x+1經(jīng)過點B（m，），∴m+1＝，解得：m＝，∴B（，），∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣2，0），O（0，0），B（，），設y＝ax（x+2），則＝a××（+2），解得：a＝1，∴y＝x（x+2）＝x2+2x，∴這個二次函數(shù)的表達式為y＝x2+2x；（2）①解：由題意得：x2+2x＝x+n（n＞﹣），解得：x1＝，x2＝，故答案為：，；②證明：當n＞1時，CD位于AB的上方，∵A（﹣2，0），B（，），∴AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，∴AE＝BF，當＜n＜1時，CD位于AB的下方，∵A（﹣2，0），B（，），∴AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，∴AE＝BF，∴當n＞﹣且n≠1時，AE＝BF；（3）①設P、Q平移前的對應點分別為P′、Q′，則P′Q′∥PQ，∴P′Q′∥AB，∵平移后點A、B的對應點分別為A′、B′，由（2）②及平移的性質可知：A′M＝B′N；②∵A′M+3B′N＝2，∴A′M＝B′N＝，∵平移前二次函數(shù)y＝x2+2x的圖象的頂點為（﹣1，﹣1），平移后二次函數(shù)y＝（x﹣t）2+2的圖象的頂點為（t，2），∴新二次函數(shù)的圖象是由原二次函數(shù)的圖象向右平移（t+1）個單位，向上平移3個單位得到的，∴B（，）的對應點為B′（t+，），∵B′N＝，∴點Q的橫坐標為t+1，代入y＝x+1，得y＝（t+1）+1＝t+，∴Q（t+1，t+），將點Q的坐標代入y＝（x﹣t）2+2中，得t+＝（t+1﹣t）2+2，解得：t＝3．3．解：（1）將點A（﹣1，0），點B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）連接CB交對稱軸于點Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∵A、B關于對稱軸x＝1對稱，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，當C、B、Q三點共線時，△ACQ的周長最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），設直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）當∠BPM＝90°時，PM＝PB，∴M點與A點重合，∴M（﹣1，0）；當∠PBM＝90°時，PB＝BM，如圖1，當P點在M點上方時，過點B作x軸的垂線GH，過點P作PH⊥GH交于H，過點M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，設P（1，t），則M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M點在對稱軸的左側，∴M點坐標為（1﹣，﹣2）；如圖2，當P點在M點下方時，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；綜上所述：M點的坐標為（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．4．解：（1）令x＝0，則y＝4，∴C（0，4）；令y＝0，則﹣x2+x+4＝0，∴x＝﹣2或x＝3，∴A（﹣2，0），B（3，0）．故答案為：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．（2）①∵CP∥x軸，C（0，4），∴P（1，4），∴CP＝1，AB＝5，∵CP∥x軸，∴＝＝．②如圖，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+4．設點P的橫坐標為m，則P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，∵PQ∥AB，∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，∴當m＝時，的最大值為．另解：分別過點P，A作y軸的平行線，交直線BC于兩點，仿照以上解法即可求解．（3）假設存在點P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．過點C作CF∥x軸交拋物線于點F，∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，∴∠MCF＝∠BCP，延長CP交x軸于點M，∵CF∥x軸，∴∠PCF＝∠BMC，∴∠BCP＝∠BMC，∴△CBM為等腰三角形，∵BC＝5，∴BM＝5，OM＝8，∴M（8，0），∴直線CM的解析式為：y＝﹣x+4，令﹣x2+x+4＝﹣x+4，解得x＝或x＝0（舍），∴存在點P滿足題意，此時m＝．5．（1）證明：連接OA，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD＝90°，∴∠OAC+∠OAD＝90°，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵∠BAC＝∠ADB，∴∠BAC+∠OAC＝90°，即∠BAO＝90°，∴AB⊥OA，又∵OA為半徑，∴直線AB是⊙O的切線；（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BAD，∴，設半徑OC＝OA＝r，∵BC＝2OC，∴BC＝2r，OB＝3r，在Rt△BAO中，AB＝，在Rt△CAD中，tan∠ADC＝；（3）解：在（2）的條件下，AB＝2r＝2，∴r＝，∴CD＝2，在Rt△CAD中，，AC2+AD2＝CD2，解得AC＝2，AD＝2，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝∠EAD，又∵∠APC＝∠ADE，∴△CAP∽EAD，∴，∴AE?AP＝AC?AD＝2×2＝4．6．知識再現(xiàn)：解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴S1+S2＝S3，∵S1＝36，S3＝100，∴S2＝64，故答案為：64；問題探究：（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+BC2，∴S1+S2＝S3，故答案為：S1+S2＝S3；（2）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，過點D作DG⊥BC交于G，在等邊三角形BCD中，CD＝BC，CG＝BC，∴DG＝BC，∴S4＝×BC×BC＝BC2，同理可得S5＝AC2，S6＝AB2，∴AB2＝AC2+BC2，∴S4+S5＝S6；實踐應用：（1）證明：設AB＝c，BC＝a，AC＝b，∴HN＝a+b﹣c，F(xiàn)G＝c﹣a，MF＝c﹣b，∵△HGB是等邊三角形，△ABF是等邊三角形，∴HG∥AF，MN∥BF，∴∠HPN＝60°，∴△HNP是等邊三角形，四邊形MFGP是平行四邊形，∴S△PHN＝（a+b﹣c）2，S四邊形PMFG＝（c﹣a）（c﹣b），∵△ABC是直角三角形，∴c2＝a2+b2，∴（a+b﹣c）2＝（a2+b2+c2+2ab﹣2bc﹣2ac）＝（c2+ab﹣bc﹣ac）＝（c﹣a）（c﹣b），∴S△PHN＝S四邊形PMFG；（2）解：設AB＝c，BC＝a，AC＝b，以AB為直徑的圓的面積為S3、以BC為直徑的圓的面積為S1、以AC為直徑的圓的面積為S2，∵△ABC是直角三角形，∴c2＝a2+b2，∴c2＝a2+b2，∴S1+S2＝S3，∵V2＝S2h，V1＝S1h，V3＝S3h，∴V2+V1＝（S1+S2）h＝S3h＝V3，∵AB＝4，h＝8，∴V3＝S3h＝×π×4×8＝16π，∴V1+V2＝16π．7．解：（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為A（1，4），∴設二次函數(shù)的表達式為y＝a（x﹣1）2+4，又∵B（﹣1，0），∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；（2）①∵點P在x軸正半軸上，∴m＞0，∴BP＝m+1，由旋轉可得：BD＝2BP，∴BD＝2（m+1），過點A（1，4）作AE⊥x軸于點E，∴BE＝2，AE＝4，在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，當四邊形ABCD為矩形時，AD⊥AB，∴∠BAD＝∠BEA＝90°，又∠ABE＝∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB2＝BE?BD，∴4（m+1）＝20，解得m＝4；②由題可得點A（1，4）與點C關于點P（4，0）成中心對稱，∴C（7，﹣4），∵點M在直線x＝4上，∴點M的橫坐標為4，存在以點B、C、M、Q為頂點的平行四邊形，1）當以BC為邊時，平行四邊形為BCMQ，點C向左平移8個單位，與點B的橫坐標相同，∴將點M向左平移8個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴Q（﹣4，y1）代入y＝﹣x2+2x+3，解得：y1＝﹣21，∴Q（﹣4，﹣21），2）當以BC為邊時，平行四邊形為BCQM，點B向右平移8個單位，與點C的橫坐標相同，∴將M向右平移8個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴Q（12，y2）代入y＝﹣x2+2x+3，解得：y2＝﹣117，∴Q（12，﹣117），3）當以BC為對角線時，點M向左平移5個單位，與點B的橫坐標相同，∴點C向左平移5個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴Q（2，y3）代入y＝﹣x2+2x+3，得：y3＝3，∴Q（2，3），綜上所述，存在符合條件的點Q，其坐標為（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．8．解：（1）∵直線y＝mx﹣2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點，∴A（2，0），B（0，﹣2m）；∵y＝﹣（x﹣m）2+2，∴拋物線的頂點為D（m，2），令x＝0，則y＝﹣m2+2，∴C（0，﹣m2+2）．①當m＝2時，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．②由上可知，直線AB的解析式為：y＝2x﹣4，拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣2．如圖，過點P作PE∥y軸交直線AB于點E，設點P的橫坐標為t，∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，∴△PAB的面積為：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，∵﹣1＜0，∴當t＝1時，△PAB的面積的最大值為3．此時P（1，1）．（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①∵y軸上有一點M（0，m），點C在線段MB上，∴需要分兩種情況：當m≥﹣m2+2≥﹣2m時，可得≤m≤1+，當m≤﹣m2+2≤﹣2m時，可得﹣3≤m≤1﹣，∴m的取值范圍為：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．②當≤m≤1+時，∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，∴當m＝1時，BC的最大值為3；當m≤﹣m2+2≤﹣2m時，即﹣3≤m≤1﹣，∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，當m＝﹣3時，點M與點C重合，BC的最大值為13．∴當m＝﹣3時，BC的最大值為13．9．解：（1）把點A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）過點D作DH∥y軸，交AC于點H，如圖所示：設D（m，﹣m2+2m+3），直線AC的解析式為y＝kx+b，由（1）可得：C（0，3），∴，解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，∴H（m，﹣m+3），∴DH＝﹣m2+3m，∵DH∥y軸，∴△OCN∽△DHN，∴，∵，∴當時，的值最大，∴；（3）由題意可得如圖所示：過點P作y軸的平行線PH，分別過點C、Q作CG⊥PH于G，QH⊥PH于H，∵PQ⊥CP，∴∠CPQ＝∠CGP＝∠PHQ＝90°，∴∠CPG+∠PCG＝∠CPG+∠QPH＝90°，∴∠PCG＝∠QPH，∴△PCG∽△QPH，∴，∵，∴，設點P（n，﹣n2+2n+3），由題意可知：拋物線的對稱軸為直線x＝1，C（0，3），∴QH＝|n﹣1|，PG＝|﹣n2+2n|，∴，當時，解得：，當時，解得：綜上：點P的橫坐標為或或或．10．解：（1）由題意得，，∴，∴y＝x2+2x﹣3，當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0）；（2）設直線BC的解析式為：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣3，設點P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴當m＝﹣時，PQ最大＝；（3）如圖1，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，作PD⊥y軸于D，∴CD＝PD＝PC?sin∠OCB＝＝t，當BM＝PM時，∴∠MPB＝∠OBC＝45°，∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°，∴四邊形OMPD是矩形，∴OM＝PD＝t，由BM+OM＝OB得，∴2t＝3，∴t＝，∴P（﹣，﹣），∴N（﹣3，﹣），如圖2，當PM＝PB時，作PD⊥y軸于D，作PE⊥x軸于E，∴BM＝2BE，可得四邊形PDOE是矩形，∴OE＝PD＝t，∴BE＝3﹣t，∴t＝2（3﹣t），∴t＝2，∴P（﹣2，﹣1），∴N（﹣2，1），如圖3，當PB＝MB時，3﹣＝t，∴t＝6﹣3，∴P（3，3﹣3），∴N（0，3﹣3），綜上所述：N（﹣3，﹣）或（﹣2，1）或（0，3﹣3）．11．解：（1）將A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝0，則﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴B（4，0），∴OB＝4，∴S△BCD＝×4×（2+OD）＝12，∴OD＝4，∴D（0，﹣4），設直線BD的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣4，聯(lián)立方程組，解得或，∴P（﹣3，﹣7）；（3）如圖1，當B'在第一象限時，設直線BC的解析式為y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+2，設E（t，﹣t+2），∴OH＝t，EH＝﹣t+2，∵D（0，﹣4），B（4，0），∴OB＝OD，∴∠ODB＝45°，∵直線EB'與直線BP相交所成銳角為45°，∴EB'∥CD，由折疊可知，OB'＝BO＝4，BE＝B'E，在Rt△OHB'中，B'H＝，∴B'E＝﹣（﹣t+2）＝+t﹣2，∴BE＝+t﹣2，在Rt△BHE中，（+t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣t+2）2，解得t＝，∵0≤t≤4，∴t＝，∴B'（，）；如圖2，當B'在第二象限，∠BGB'＝45°時，∵∠ABP＝45°，∴B'G∥x軸，∵將△OEB沿直線OE翻折得到△OEB'，∴BE＝B'E，OB＝OB'，∠BOE＝∠B'OE，∴∠BOE＝∠B'EO，∴B'E∥B'O，∵B'E＝BO，∴四邊形B'OBE是平行四邊形，∴B'E＝4，∴B'（t﹣4，﹣t+2），由折疊可知OB＝OB'＝4，∴平行四邊形OBEB'是菱形，∴BE＝OB，∴＝4，解得t＝4+或t＝4﹣，∵0≤t≤4，∴t＝4﹣，∴B'（﹣，）；綜上所述：B'的坐標為（，）或（﹣，）．方法2：在Rt△BCO中，BC＝2，CO：OB：BC＝1：2：，∵BP與x軸和y軸的夾角都是45°，BP與B'E的夾角為45°，∴B'E∥x軸或B'E∥y軸，當B'E∥y軸時，延長B'E交x軸于F，∴B'F⊥OB，∵∠CBA＝∠OB'E，∴△OB'F∽△CBO，∴OF：FB'：B'O＝1：2：，∵OB＝OB'＝4，∴FO＝，B'F＝，∴B'（，）；當B'E∥x軸時，過B'作B'F⊥x中交于F，∴B'F⊥OF，B'E∥OB，∵B'E和BE關于OE對稱，OB和OB'關于OE對稱，∴BE∥OB'，∵∠FOB'＝∠OBC，∴△OB'F∽△BCO，∴B'F：FO：OB'＝1：2：，∵OB＝OB'＝4，∴B'F＝，OF＝，∴B'（﹣，）；綜上所述：B'坐標為（，）或（﹣，）．12．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），∴，解得：．∴拋物線的表達式為y＝﹣+x+4；（2）點D的坐標為（﹣8，8），理由：將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點B的對應點為D，如圖，過點D作DE⊥x軸于點E，∵A（﹣2，0）、B（8，0），C（0，4），∴OA＝2，OB＝8，OC＝4．∵，，∴．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO．∵∠CBO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACB＝90°，∵將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點B的對應點為D，∴點D，C，B三點在一條直線上．由軸對稱的性質得：BC＝CD，AB＝AD．∵OC⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥OC，∴OC為△BDE的中位線，∴OE＝OB＝8，DE＝2OC＝8，∴D（﹣8，8）；由題意得：S△ACD＝S△ABC，∴四邊形OADC的面積＝S△OAC+S△ADC＝S△OAC+S△ABC＝OC?OA+AB?OC＝4×2+10×4＝4+20＝24；（3）①當點P在BC上方時，如圖，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴點C，P的縱坐標相等，∴點P的縱坐標為4，令y＝4，則﹣+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；②當點P在BC下方時，如圖，設PC交x軸于點H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．設HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．設直線PC的解析式為y＝kx+n，∴，解得：．∴y＝﹣x+4．∴，解得：，．∴P（，﹣）．綜上，點P的坐標為（6，4）或（，﹣）．13．解：（1）將B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6，∴64a+22﹣6＝0，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+x﹣6，當y＝0時，﹣t2+t﹣6＝0，解得t＝3或t＝8（舍），∴t＝3，∵B（8，0）在直線y＝kx﹣6上，∴8k﹣6＝0，解得k＝，∴y＝x﹣6；（2）作PM⊥x軸交于M，∵P點橫坐標為m，∴P（m，﹣m2+m﹣6），∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，在Rt△COA和Rt△AMP中，∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，∴∠OAC＝∠APM，∴△COA∽△AMP，∴＝，即OA?MA＝CO?PM，3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6），解得m＝3（舍）或m＝10，∴P（10，﹣）；（3）作PN⊥x軸交BC于N，過點N作NE⊥y軸交于E，∴PN＝﹣m2+m﹣6﹣（m﹣6）＝﹣m2+2m，∵PN⊥x軸，∴PN∥OC，∴∠PNQ＝∠OBC，∴Rt△PQN∽Rt△BOC，∴＝＝，∵OB＝8，OC＝6，BC＝10，∴QN＝PN，PQ＝PN，由△CNE∽△CBO，∴CN＝EN＝m，∴CQ+PQ＝CN+NQ+PQ＝CN+PN，∴CQ+PQ＝m﹣m2+2m＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，當m＝時，CQ+PQ的最大值是．14．解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點，∴，解得：，∴拋物線的表達式為y＝x2+x+3；（2）∵拋物線y＝x2+x+3與y軸交于點C，∴C（0，3），設直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，設點P的橫坐標為m，則P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，∵點P是第一象限內拋物線上的一個動點，∴0＜m＜6，∴h＝m2+m（0＜m＜6）；（3）如圖，過點E、F分別作EH⊥y軸于點H，F(xiàn)G⊥y軸于點G，∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），∴PE＝m2+m，∵PF⊥CE，∴∠EPF+∠PEF＝90°，∵PD⊥x軸，∴∠EBD+∠BED＝90°，又∵∠PEF＝∠BED，∴∠EPF＝∠EBD，∵∠BOC＝∠PFE＝90°，∴△BOC∽△PFE，∴＝，在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），∵EH⊥y軸，PD⊥x軸，∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，∴四邊形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝m，∵EH∥x軸，∴△CEH∽△CBO，∴＝，即＝，∴CE＝m，∵CF＝EF，∴EF＝CE＝m，∴m＝（m2+m），解得：m＝0或m＝1，∵0＜m＜6，∴m＝1；（4）∵拋物線y＝x2+x+3，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝2，∵點Q在拋物線的對稱軸上，∴設Q（2，t），設拋物線對稱軸交x軸于點H，交CP邊于點G，則GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，①當點O′恰好落在該矩形對角線OP所在的直線上時，如圖，則CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OP，∴∠COP+∠OCQ＝90°，又∵四邊形OCPD是矩形，∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，∴∠PCQ＝∠COP，∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，∴＝tan∠PCQ＝，∴＝，解得：t＝，∴Q（2，）；②當點O′恰好落在該矩形對角線CD上時，如圖，連接CD交GH于點K，∵點O與點O′關于直線CQ對稱，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCQ＝∠DCQ，∵GH∥OC，∴∠CQG＝∠OCQ，∴∠DCQ＝∠CQG，∴CK＝KQ，∵C、P關于對稱軸對稱，即點G是CP的中點，GH∥OC∥PD，∴點K是CD的中點，∴K（2，），∴GK＝，∴CK＝KQ＝﹣t，在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，∴22+（）2＝（﹣t）2，解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，∴Q（2，﹣1）；③當點O′恰好落在該矩形對角線DC延長線上時，如圖，過點O′作O′K⊥y軸于點K，連接OO′交CQ于點M，∵點O與點O′關于直線CQ對稱，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，∴△O′CK∽△DCO，∴＝＝，即＝＝，∴O′K＝，CK＝，∴OK＝OC+CK＝3+＝，∴O′（﹣，），∵點M是OO′的中點，∴M（﹣，），設直線CQ的解析式為y＝k′x+b′，則，解得：，∴直線CQ的解析式為y＝x+3，當x＝2時，y＝×2+3＝4，∴Q（2，4）；綜上所述，點Q的坐標為（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．15．解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A（4，0）和O（0，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x；（2）∵直線AB經(jīng)過點A（4，0）和B（0，4），∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+4，∵MN∥y軸，設M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，當M在N點的上方時，MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，解得：t1＝，t2＝（舍），∴M1（，），當M在N點下方時，MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，解得：t1＝2，t2＝3，∴M2（2，2），M3（3，1），綜上，滿足條件的點M的坐標有三個（，）或（2，2）或（3，1）；（3）存在，①如圖2，若AC是矩形的邊，設拋物線的對稱軸與直線AB交于點R，且R（2，2），過點C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點P1，P2，∵C（1，3），D（2，4），∴CD＝＝，同理得：CR＝，RD＝2，∴CD2+CR2＝DR2，∴∠RCD＝90°，∴點P1與點D重合，當CP1∥AQ1，CP1＝AQ1時，四邊形ACP1Q1是矩形，∵C（1，3）向右平移1個單位，向上平移1個單位得到P1（2，4），∴A（4，0）向右平移1個單位，向上平移1個單位得到Q1（5，1），此時直線P1C的解析式為：y＝x+2，∵直線P2A與P1C平行且過點A（4，0），∴直線P2A的解析式為：y＝x﹣4，∵點P2是直線y＝x﹣4與拋物線y＝﹣x2+4x的交點，∴﹣x2+4x＝x﹣4，解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍），∴P2（﹣1，﹣5），當AC∥P2Q2時，四邊形ACQ2P2是矩形，∵A（4，0）向左平移3個單位，向上平移3個單位得到C（1，3），∴P2（﹣1，﹣5）向左平移3個單位，向上平移3個單位得到Q2（﹣4，﹣2）；②如圖3，若AC是矩形的對角線，設P3（m，﹣m2+4m）當∠AP3C＝90°時，過點P3作P3H⊥x軸于H，過點C作CK⊥P3H于K，∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，∴△P3CK∽△AP3H，∴＝，∴＝，∵點P不與點A，C重合，∴m≠1或m≠4，∴m2﹣3m+1＝0，∴m＝，∴如圖4，滿足條件的點P有兩個，即P3（，），P4（，），當P3C∥AQ3，P3C＝AQ3時，四邊形AP3CQ3是矩形，∵P3（，）向左平移個單位，向下平移個單位得到C（1，3），∴A（4，0）向左平移個單位，向下平移個單位得到Q3（，），當P4C∥AQ4，P4C＝AQ4時，四邊形AP4CQ4是矩形，∵P4（，）向右平移個單位，向上平移個單位得到C（1，3），∴A（4，0）向右平移個單位，向上平移個單位得到Q4（，）；綜上，點Q的坐標為（5，1）或（﹣4，﹣2）或（，）或（，）．16．解：（1）①（﹣2，﹣）到兩坐標軸的距離分別是2＞1，＜1，∴（﹣2，﹣）不是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點”；②（﹣1，﹣1）到兩坐標軸的距離分別是1≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點”；③（1，1）到兩坐標軸的距離分別是1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點”；故答案為：②③；（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，∴函數(shù)經(jīng)過定點（3，1），在以O為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當直線與正方形區(qū)域只有唯一交點時，圖象的“2階方點”有且只有一個，由圖可知，C（2，﹣2），D（2，2），∵一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點”有且只有一個，當直線經(jīng)過點C時，a＝3，此時圖象的“2階方點”有且只有一個，當直線經(jīng)過點D時，a＝﹣1，此時圖象的“2階方點”有且只有一個，綜上所述：a的值為3或a＝﹣1；（3）在以O為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點”一定存在，如圖2，當n＞0時，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），當拋物線經(jīng)過點D時，n＝﹣1（舍）或n＝；當拋物線經(jīng)過點B時，n＝1；∴≤n≤1時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象有“n階方點”；綜上所述：≤n≤1時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點”一定存在．17．解：（1）∵拋物線L：y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）如圖，過P作PG∥y軸，交OE于點G，設P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直線OE的解析式為：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG＝PG?AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴當m＝時，△OPE面積最大，此時，P點坐標為（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得拋物線l的對稱軸為直線x＝2，頂點為（2，﹣1），拋物線L向上平移h個單位長度后頂點為F（2，﹣1+h）．設直線x＝2交OE于點DM，交AE于點N，則E（3，3），∵直線OE的解析式為：y＝x，∴M（2，2），∵點F在△OAE內（包括△OAE的邊界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）設P（m，m2﹣4m+3），分四種情況：①當P在對稱軸的左邊，且在x軸下方時，如圖，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐標為（，）；②當P在對稱軸的左邊，且在x軸上方時，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐標為（，）；③當P在對稱軸的右邊，且在x軸下方時，如圖，過P作MN⊥x軸于N，